第08讲平面向量的线性运算（原卷版）

第08讲平面向量的线性运算掌握实数与向量相乘掌握向量的线性运算重点是平面向量的有关概念及线性运算难点是在几何图形中对目标向量进行线性表示模块一：实数与向量相乘平面向量的相关概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．平面向量的加减法则几个向量相加的多边形法则；向量减法的三角形法则；向量加法的平行四边形法则．实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．如果，且，那么的长度；的方向：当k>0时与同方向；当k<0时与反方向．如果k=0或，那么．实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则；；．平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．由实数与向量的乘积可知：，．填空： ； ； ； ； ； ．ABCDO如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O．设，，试用、表示下列向量：ABCDO，，，，，．已知非零向量，求作，．ABCDEFGHO如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O．设，，试用向量或表示向量、，并写出图中与相等的向量ABCDEFGHO计算： ； ； ．模块二：向量的线性运算向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如、、、等，都是向量的线性运算．一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．向量的合成与分解如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．计算：（1）； （2）．已知向量、不平行，x、y是实数，且，求x、y的值．如图，已知向量、和、，求作：（1）向量分别在、方向上的分向量；ABO（2）向量分别在、方向上的分向量．ABO若，其中、、为已知向量，求未知向量．ABCDEO已知O为内一点，点D、E分别在边AB和AC上，且，DE//BC．设，，试用、表示．ABCDEO一、单选题（2023·上海闵行·统考一模）下列说法正确的是（

）A．如果为单位向量，那么 B．如果，那么C．如果都是单位向量，那么 D．如果，那么（2023·上海杨浦·统考一模）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（）A． B． C． D．（2023·上海·一模）已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是()A．| B．C．与方向相同 D．（2023·上海崇明·统考一模）已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（

）A． B． C． D．（2023·上海奉贤·统考一模）如果C是线段的中点，那么下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．（2023·上海宝山·一模）已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是（）A．， B． C． D．，（2023·上海宝山·统考二模）已知点D、E分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为（

）A． B． C． D．（2023·上海松江·统考一模）已知、为非零向量，下列判断错误的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么二、填空题（2023·上海奉贤·统考二模）如图，在平行四边形中，为对角线，E是边的中点，连接．如果设，，那么________（含的式子表示）．（2023·上海静安·统考二模）如图，已知四边形中，点、、分别是对角线、和边的中点．如果设，，那么向量______（用向量、表示）．（2023·上海崇明·统考二模）已知梯形中，，，设，，那么可用、表示为________．（2023·上海青浦·统考二模）已知点为的重心，，，那么__．（用、表示）（2023·上海普陀·统考二模）如图，在中，中线、交于点，设，，那么向量用向量，表示为______．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，过的重心G，设向量，那么向量_____（结果用、表示）（2023·上海金山·统考二模）如图，已知、分别是的边、上的点，且，联结，如果，，当时，那么________．（用含、的式子表示）（2023·上海杨浦·统考三模）如图，已知点G是的重心，设，那么用可表示为______．

三、解答题（2023·上海奉贤·统考一模）如图，在中，点D在边上，，E是的中点．(1)求证：；(2)设，，用向量、表示向量．（2023·上海崇明·统考一模）如图，在梯形中，，且，过点作，分别交于点，若．(1)用表示和；(2)求作在方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）（2023·上海徐汇·统考一模）如图，点在平行四边形的边的延长线上，且，与交于点．设．(1)用向量、表示向量；(2)求作：向量分别在向量、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）已知在中，点D、E分别是的中点，设，，那么向量用向量、表示为（

）A． B． C． D．如图，在中，点D是在边上一点，且，，，那么等于（

）A． B． C． D．如图，在梯形中，，，对角线与交于点O，设，，那么_______．（结果用、表示）

如图，在中，点在边上，且，交于点，如果，，用向量、表示向量＝______．

如图，已知中，点D、E分别