专题10最短路径问题(原卷版+解析)

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题10最短路径问题考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·花都期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（）A．7 B．8 C．9 D．102．（2分）（2022春•定海区期末）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（）A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ3．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（）A．105° B．115° C．120° D．130°4．（2分）（2021八上·惠民月考）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°5．（2分）（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°6．（2分）（2022•桥西区校级模拟）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝α（∠BAE为钝角），∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M，N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A． B．α﹣90° C．2α﹣180° D．α﹣45°7．（2分）（2022春•袁州区校级月考）已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（）A．5 B．6 C． D．8．（2分）（2022春•新郑市期末）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（）A． B． C． D．9．（2分）（2022春•中原区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝5，BE＝6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则PC+PE的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．810．（2分）（2022•西城区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A． B．5 C．3 D．评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•临渭区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，在线段ED上存在一点P，使P、B、F三点构成的△PBF的周长最小，则△PBF周长的最小值为．12．（2分）（2022春•宝安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，P是DE上的动点，Q是BD上的动点，则BP+PQ的最小值为．13．（2分）（2022春•青岛期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝°时，△PDQ的周长最小．14．（2分）（2022春•通川区期末）如图，在四边形ABCD​中，AD∥BC，AB＝BC＝4，AD＝DC​，连接BD，△BCD​的面积为​，点E​是边AB​边上一动点，点P​在线段BD​上，连接PA，PE​，则PA+PE​的最小值是．15．（2分）（2022春•碑林区校级期末）如图，在等边△ABC中，BF是AC上中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF的周长最小时，则∠EAF＝．16．（2分）（2022•南京模拟）如图△ABC为等腰三角形，其中∠ABC＝∠BAC＝30°，以AC为底边作△ACD，其中∠ACD＝∠CAD＝30°，再以AD为底边作△ADE，其中∠ADE＝∠DAE＝30°，△ADE两底角的角平分线交于点O，点P为直线AC上的动点，已知|BP﹣DP|最大值为8．则DP+OP的值为．17．（2分）（2022春•卧龙区期末）如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点D，且AD＝CD，点P是直线a上一动点，连接PB，PC，若AB＝5，AC＝6，BC＝3，则△PBC周长的最小值是．18．（2分）（2021秋•西青区期末）如图，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝12．点M在BC边上，且MC＝BC，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点．（Ⅰ）线段MP+NP是否存在最小值？（用“是”或“否”填空）（Ⅱ）如果线段MP+NP存在最小值，请直接写出BN的长；如果不存在，请说明理由．19．（2分）（2022春•抚州期末）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为160，点F是BC边上的一个动点，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则CD+DF的最小值为．20．（2分）（2022春•霞浦县期中）已知∠ABC＝60°，点P为平面内一点，且BP为定长，∠ABP＝20°，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2020秋•饶平县校级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，P是AB边上的一点，试在高AD上找一点E，使得△PEB的周长最短．22．（6分）（2022春•二七区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是；②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；②线段BC、DC、CE之间的数量是．23．（6分）（2021秋•潼南区校级期末）已知四边形ABCD，请在四边形ABCD内部找一点O．（1）使点O到点A、B、C、D的距离之和最小．保留作图痕迹，不写作法．（请用黑色签字笔作图）（2）这样作图的理由是．24．（8分）（2021春•东港市月考）如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．25．（9分）（2021春•万州区期末）已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20°，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．26．（8分）（2021春•龙口市月考）如图，直线a∥b，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝15cm，BE：AE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．（1）当t＝m时，PC+PD有最小值，求m的值；（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时，探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．27．（8分）（2020秋•天心区校级月考）如图，把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD，N是斜边AC上一动点．（1）若E、F为AC的三等分点，求证：∠ADE＝∠CBF；（2）若M是DC上一点，且DM＝2，求DN+MN的最小值；（注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2）（3）若点P在射线BC上，且NB＝NP，求证：NP⊥ND．28．（9分）（2020八上·椒江期中）如图（1）（1分）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PBPC（填“”“”或“=”）；（2）（4分）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则，请帮小明说明原因.（3）（4分）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题10最短路径问题考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·花都期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【完整解答】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，∴PE=PE'，∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，此时EP+FP的值最小，∵△ABC是正三角形，∴∠B=60°，∵E'F⊥AB，∴∠FE'B=30°，∴BE'=2BF，∵BF=5，BE=4，∴E'B=10，∵CE=CE'，∴10=2CE+BE=2CE+4，∴CE=3，∴BC=7，故答案为：A．

【思路引导】作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意得出∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，得出10=2CE+BE=2CE+4，解出CE=3，即可得出BC=7。2．（2分）（2022春•定海区期末）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（）A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ【思路引导】根据两点间直线距离最短，使FEPP′为平行四边形即可，即PP′垂直河岸且等于河宽，接连P′Q即可．【完整解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽，连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E，则EF∥PP′且EF＝PP′，于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE，根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．故C选项符合题意，故选：C．3．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（）A．105° B．115° C．120° D．130°【思路引导】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，可证得△ABG≌△AB′G（ASA），所以∠E′B′G＝∠E′BG，由“直角三角形两锐角互余”可得∠AB′F′＝40°＝∠ABE，所以∠BE′F′＝50°，由此可得结论．【完整解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故选：B．4．（2分）（2021八上·惠民月考）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【完整解答】解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故答案为：D．【思路引导】过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，由四边形内角和及三角形内角和求出∠C+∠EPF＝180°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，从而求出∠D+∠G＝=∠C=50°，有轴对称的性质可得∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，从而得出∠GPN+∠DPM＝50°，根据∠MPN＝∠DPG-（∠GPN+∠DPM）即可求解.5．（2分）（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°【思路引导】延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），进而得出∠MAN的度数．【完整解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝a，∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，故选：B．6．（2分）（2022•桥西区校级模拟）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝α（∠BAE为钝角），∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M，N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A． B．α﹣90° C．2α﹣180° D．α﹣45°【思路引导】作点A关于BC对称点A'，作点A关于DE对称点A''，则A''E＝AE，A'B＝AB，连接A'A''，分别交线段BC和线段DE于点M和点N，连接AM，AN，这时候△AMN的周长取最小值．【完整解答】解：作点A关于BC对称点A'，作点A关于DE对称点A''，则A''E＝AE，A'B＝AB，连接A'A''，分别交线段BC和线段DE于点M和点N，连接AM，AN，这时候△AMN的周长取最小值．∵∠B＝∠E＝90°，∴A'M＝AM，∴AN＝A''N，∴∠AA'M＝∠A'AM，∠AA''N＝∠A''AN，∴∠AMN＝2∠A'AM，∠ANM＝2∠A''AN，∴∠MAN+∠MAB+∠NAE＝α，∠MAN+∠AMN+∠ANM＝180°，∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN＝180°，∴∠BAM+∠EAN＝180°﹣α，∴∠MAN＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°，故选：C．7．（2分）（2022春•袁州区校级月考）已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（）A．5 B．6 C． D．【思路引导】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．【完整解答】解：∵AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，∴AB2＝6.52＝42.25，AD2+BD2＝62+2.52＝42.25，∴AB2＝AD2+BD2，∴∠ADB＝90°，∵D为BC的中点，BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，∴6.5•CE＝5×6，∴CE＝，∴PE+PB的最小值为，故选：C．8．（2分）（2022春•新郑市期末）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（）A． B． C． D．【思路引导】作A点关于直线l的对称点，连接对称点和点B交l于点P，进而根据轴对称性质解答即可．【完整解答】解：作A点关于直线l的对称点，连接对称点和点B交l于点P，P即为所求；故选：B．9．（2分）（2022春•中原区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝5，BE＝6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则PC+PE的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【思路引导】如图连接PB，只要证明PB＝PC，即可推出PC+PE＝PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．【完整解答】解：如图，连接PB，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PC+PE＝PB+PE，∵PE+PB≥BE，∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，∴CP+EP的最小值是6．故选：B．10．（2分）（2022•西城区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A． B．5 C．3 D．【思路引导】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．【完整解答】解：在AB上取一点G，使AG＝AF，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS），∴FE＝EG，∴CE+EF＝CE+EG，则最小值时CG垂直AB时，CG的长度，CG＝．故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•临渭区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，在线段ED上存在一点P，使P、B、F三点构成的△PBF的周长最小，则△PBF周长的最小值为7．【思路引导】由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，则当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小为AF+FB的长．【完整解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，∴A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，∵AP＝PB，∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，∵F为BC边的中点，AB＝AC，∴AF⊥BC，∴S△ABC＝×BC×AF＝10，∵BC＝4，∴AF＝5，∴△PBF周长＝AF+FB＝5+2＝7，∴△PBF周长的最小值为7，故答案为：7．12．（2分）（2022春•宝安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，P是DE上的动点，Q是BD上的动点，则BP+PQ的最小值为8．【思路引导】过点D作DH⊥AB于H，并延长DH，先判断出△ADH≌△ADC（AAS），再判断出∠BDE＝∠HDE，在DH上取一点Q'，时DQ'＝DQ，连接PQ'，BQ'，进而判断出△QDP≌△Q'DP（SAS），得出PQ＝PQ'，即可判断出垂直于DH时，BP+PQ最小，即可求出答案．【完整解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，并延长DH，∴∠AHD＝90°＝∠C，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAH＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△ADH≌△ADC（AAS），∴∠ADH＝∠ADC，AH＝AC＝4，∴BH＝AB﹣AC＝12﹣4＝8，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠BDE＝90°＝∠ADH+∠EDH，∴∠BDE＝∠HDE，在DH上取一点Q'，时DQ'＝DQ，连接PQ'，BQ'，∵DP＝DP，∴△QDP≌△Q'DP（SAS），∴PQ＝PQ'，∴BP+PQ＝BP+PQ'≥BQ'（假设点Q是定点，点B，P，Q'共线时，取最小BQ'），∵点Q是动点，∴当BQ'⊥DH时，即点Q'与点H重合，BP+PQ的最小值为BH＝8，故答案为：8．13．（2分）（2022春•青岛期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝28°时，△PDQ的周长最小．【思路引导】根据两点之间线段最短，把三角形的周长转化为一条线段的长，利用三角形的内角和及平角的定义求解．【完整解答】解：过点D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，过点D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，连接EF，则EF的长为△DPQ的最小值，根据作图知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF，∴DQ＝FQ，PD＝PE，∴DQ+DP+PQ＝FQ+QP+PE，根据两点之间线段最短，所以EF的长是△DPQ的最小值，此时有：∠FDQ＝∠DQP，∠MDP＝∠DPQ，在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°，∴∠B＝50°，∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°，∴∠QDP＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP＝180°﹣40°﹣36°﹣（∠DQP+∠DPQ）＝104°﹣（180﹣∠PDQ）＝104°﹣90°+∠QDP，解得：∠QDP＝28°．故当∠PDQ＝28°时，△PDQ的周长最小．14．（2分）（2022春•通川区期末）如图，在四边形ABCD​中，AD∥BC，AB＝BC＝4，AD＝DC​，连接BD，△BCD​的面积为​，点E​是边AB​边上一动点，点P​在线段BD​上，连接PA，PE​，则PA+PE​的最小值是​．【思路引导】根据已知条件得到BD垂直平分AC，得到点A与点C关于直线BD对称，过C作CE⊥AB于E交BD于P，则此时，PA+PE​的值最小，且PA+PE​的最小值＝CE，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【完整解答】解：连接AC，∵AB＝BC＝4，AD＝DC​，∴BD垂直平分AC，∴点A与点C关于直线BD对称，过C作CE⊥AB于E交BD于P，则此时，PA+PE​的值最小，且PA+PE​的最小值＝CE，∵AD∥BC，∴S△ABC＝S△BCD，∴AB•CE＝4CE＝，∴CE＝​，故答案为：．15．（2分）（2022春•碑林区校级期末）如图，在等边△ABC中，BF是AC上中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF的周长最小时，则∠EAF＝30°．【思路引导】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小．【完整解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AF＝CF，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，∵CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∵AF＝CF，∴FM⊥AC，∴E′是等边三角形三条角平分线的交点，∴∠E′AF＝30°，即∠EAF＝30°．故答案为：30°．16．（2分）（2022•南京模拟）如图△ABC为等腰三角形，其中∠ABC＝∠BAC＝30°，以AC为底边作△ACD，其中∠ACD＝∠CAD＝30°，再以AD为底边作△ADE，其中∠ADE＝∠DAE＝30°，△ADE两底角的角平分线交于点O，点P为直线AC上的动点，已知|BP﹣DP|最大值为8．则DP+OP的值为4．【思路引导】作D点关于AC的对称点D'，BD'与AC的交点P为点A，此时|BP﹣DP|的值最大为BD'，即BD'＝8，连接CD'，证明△ODD'≌△OAD'（SSS），求出D'O＝D'A＝4，即可求解．【完整解答】解：作D点关于AC的对称点D'，∵∠DAC＝∠CAB＝30°，∴D'在AB上，∴BD'与AC的交点P为点A，∴DP＝D'P，此时|BP﹣DP|的值最大为BD'，∵|BP﹣DP|最大值为8，∴BD'＝8，连接CD'，∵∠CBA＝30°，∠ACD＝30°，∠ACD'＝∠DCA，∴∠BCD'＝120°﹣30°＝90°，∴AD＝AD'＝CD＝CD'＝BD'•sin30°＝4，∵∠D'AD＝60°，∴DD'＝4，∵OA是∠DAE的角平分线，DO是∠ADE的角平分线，∴∠OAD＝∠ODA＝15°，∴D'AO＝75°，∵DO＝OA，DD'＝AD'，∴△ODD'≌△OAD'（SSS），∴∠AOD'＝∠DOD'＝75°，∴∠D'OA＝∠D'AO＝75°，∴D'O＝D'A＝4，∴DP+OP的值为4，故答案为：4．17．（2分）（2022春•卧龙区期末）如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点D，且AD＝CD，点P是直线a上一动点，连接PB，PC，若AB＝5，AC＝6，BC＝3，则△PBC周长的最小值是8．【思路引导】找出C点关于a的对称点A，AB交a于P，则△PBC的周长最小，求出即可．【完整解答】解：设直线a与AB交于P′，当点P与点P′重合时，PB+PC最小，即△PBC的周长最小，∵直线a⊥AC于点D，且AD＝CD，∴直线a是AC的垂直平分线，∴P′C＝P′A，∴△PBC的周长＝PC+PB+BC＝P′A+P′B+BC＝AB+BC＝5+3＝8，∴△PBC周长的最小值是8，故答案为：8．18．（2分）（2021秋•西青区期末）如图，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝12．点M在BC边上，且MC＝BC，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点．（Ⅰ）线段MP+NP是否存在最小值？是（用“是”或“否”填空）（Ⅱ）如果线段MP+NP存在最小值，请直接写出BN的长；如果不存在，请说明理由．【思路引导】作点M关于直线CD的对称点M'，过M作M'N⊥AB于N，交CD于P，此时，MP+PN的值最小．则CM'＝CM＝3，所以BM'＝BC+CM'＝12+3＝15，推出BN＝BM'＝＝．【完整解答】解：如图，作点M关于直线CD的对称点M'，过M作M'N⊥AB于N，交CD于P，此时，MP+PN的值最小，∵BC＝12，MC＝BC＝3，∴CM'＝CM＝3，∴BM'＝BC+CM'＝12+3＝15，∵∠B＝60°，∠BNM'＝90°，∴∠M'＝30°，∴BN＝BM'＝＝．故答案为：是．19．（2分）（2022春•抚州期末）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为160，点F是BC边上的一个动点，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则CD+DF的最小值为16．【思路引导】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA＝DC，推出DF+DC＝AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长．【完整解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴DF+DC＝AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵•BC•AH＝160，∴AH＝16，根据垂线段最短，∴当AF＝AH时AF最小，∴CD+DF的值最小为16．故答案为：16．20．（2分）（2022春•霞浦县期中）已知∠ABC＝60°，点P为平面内一点，且BP为定长，∠ABP＝20°，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝50°．【思路引导】当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，据此解答即可．【完整解答】解：∵BP为定长，∴当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，∴∠PQB＝90°，∵∠ABC＝60°，∠ABP＝20°，∴∠PBQ＝40°，∴∠BPQ＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50°．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2020秋•饶平县校级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，P是AB边上的一点，试在高AD上找一点E，使得△PEB的周长最短．【思路引导】利用轴对称求最短路线作法得出答案．【完整解答】解：①连接PC，交AD于点E．②由等腰三角形对称的性质可知BE＝CE，故BE+PE＝PC，③由两点之间线段最短可知，△PMN的最短周长即为PC+PB．22．（6分）（2022春•二七区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是α+β＝180°；②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是8；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；②线段BC、DC、CE之间的数量是CE＝BC+CD．【思路引导】（1）①先证∠CAE＝∠BAD，再证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等∠ABD＝∠ACE，即可得出结论；②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；（2）①如图2，根据等式的性质就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出结论；②根据全等三角形的性质即可得到结论．【完整解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，故答案为：α+β＝180°；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，当AD⊥BC时，AD最短，即四边形ADCE周长的值最小，∵点A到直线BC的距离是3，∴AD＝AE＝3，∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，故答案为：8；（2）①成立，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，即α+β＝180°；②∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD，故答案为：CE＝BC+CD．23．（6分）（2021秋•潼南区校级期末）已知四边形ABCD，请在四边形ABCD内部找一点O．（1）使点O到点A、B、C、D的距离之和最小．保留作图痕迹，不写作法．（请用黑色签字笔作图）（2）这样作图的理由是两边之和大于第三边．【思路引导】连接AC和BD交于点O，可得点O到点A，B，C，D的距离之和最小．【完整解答】解：（1）连接AC、BD，交于点O，则点O为所求的点．理由如下：如果存在不同于点O的交点P，连接PA、PB、PC、PD，那么PA+PC＞AC，即PA+PC＞OA+OC，同理，PB+PD＞OB+OD，∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小．（2）这样作图的理由是，两边之和大于第三边．故答案为：两边之和大于第三边．24．（8分）（2021春•东港市月考）如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．【思路引导】作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''，分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求．此时△PMN的周长最短．【完整解答】解：如图．作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''，分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求．此时△PMN的周长为PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''，即最小值为P'P''的长度．25．（9分）（2021春•万州区期末）已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20°，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．【思路引导】（1）设∠O＝∠OMN＝α，由三角形外角可得∠MNB＝2α，再由MD∥OB，可得∠AMD＝α，根据NE平分∠MNC，得到∠MNE＝∠ENC，设∠MNE＝β，可求∠CNB＝2α﹣2β，∠MCN＝2α﹣2β，再由三角形内角和定理，得∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，可得∠MEN＝α﹣β，进而得到2∠MEN＝∠MCN；（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，此时MP+PQ+QN的值最小，由对称性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，所以∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），代入已知∠AOB＝20°，可得∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，所以∠OPM+∠OQN＝200°．【完整解答】解：（1）设∠O＝∠OMN＝α，∴∠MNB＝2α，∵MD∥OB，∴∠AMD＝α，∵NE平分∠MNC，∴∠MNE＝∠ENC，设∠MNE＝β，∴∠CNB＝2α﹣2β，∵MD∥OB，∴∠MCN＝2α﹣2β，∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN，∴∠MEN＝α﹣β，∴2∠MEN＝∠MCN；（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，∴MP+PQ+QN＝M'N'，此时MP+PQ+QN的值最小，由对称性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），∵∠AOB＝20°，∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，∴∠OPM+∠OQN＝200°．26．（8分）（2021春•龙口市月考）如图，直线a∥b，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝15cm，BE：AE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．（1）当t＝m时，PC+PD有最小值，求m的值；（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时，探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．【思路引导】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；（2）当t＜m时，点P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论；（3）当t＞m时，点P在BE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论．【完整解答】解：（1）在△PCD中，PC+PD＞CD，当点P与E重合时，此时PC+PD＝CD最小，∴AP＝AE，∵BE：AE＝1：2，AB＝15cm，∴AE＝AB＝10cm，∴t＝m＝＝10s．故m＝10时，PC+PD值最小；（2）如图，当t＜m即t＜10时，点P在AE上，过点P作PN∥a，∵a∥b，∴PN∥a∥b，∴∠PCM＝∠CPN，∠PDA＝∠DPN，∴∠PCM+∠PDA＝∠CPN+∠DPN，∵∠CPD＝∠CPN+∠DPN，∴∠PCM+∠PDA＝∠CPD．（3）当t＞m即t＞4时，点P在BE上，过点P作PH∥a，如图：又∵a∥b，∴PH∥a∥b，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即当12≥t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．当t＞12时，同法可得∠PCM＝∠CPD+∠PDA．综上所述，t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．27．（8分）（2020秋•天心区校级月考）如图，把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD，N是斜边AC上一动点．（1）若E、F为AC的三等分点，求证：∠ADE＝∠CBF；（2）若M是DC上一点，且DM＝2，求DN+MN的最小值；（注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2）（3）若点P在射线BC上，且NB＝NP，求证：NP⊥ND．【思路引导】（1）用SAS证明△ADE