第04讲解一元二次方程（因式分解法5种题型）

第04讲解一元二次方程（因式分解法5种题型）【知识梳理】（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【考点剖析】题型1利用提公因式法例1.方程：的较小的根是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】提公因式，得：，整理得：，∴，∵，故选择D．【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．例2.解关于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（2）①②∴；②∴．【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．题型2利用平方差公式例3.用因式分解法解下列方程：(2x+3)225＝0．【答案与解析】(2x+35)(2x+3+5)＝0，∴2x2＝0或2x+8＝0，∴x1＝1，x2＝4．例4.解关于的一元二次方程：．【答案】．【解析】移项，得：，，，，，解得：．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．题型3利用完全平方公式例5.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；【答案与解析】(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴．题型4十字相乘法因式分解例6.用合适的方法解下列关于的方程：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）；【解析】（1），，解得：；（2），解得：；【总结】本题考查了一元二次方程的解法．题型5：选择合适的方法解一元二次方程例7.解关于的方程（合适的方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因式分解法（2）直接开方法①②∴；∴．【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！例8.解关于的方程（合适的方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因式分解法（2）把看作一个整体，因式分解①②∴；②∴．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意整体意识的建立．例9.用适当的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）（2），②，，解得：；解得：；（3）整理得：（4）∵原方程是一元二次方程，，，，解得：；，解得：．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．【过关检测】一、单选题1．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的两根，则该三角形的周长为（

）A．4 B．13 C．4或9 D．13或18【答案】B【分析】利用因式分解解方程得到三角形的第三边长为4或9，然后计算三角形的周长．【详解】解：，，解得：或者，即第三边长为9或4，边长为9，3，6不满足三角形三边关系；而4，3，6能构成三角形，∴三角形的周长为，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的解以及三角形三边关系，理解三角形三边关系是解题的关键．2．（2022春·八年级单元测试）若是一次函数，则的值等于（）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根据一次函数的定义可得，且，再求解即得答案.【详解】解：∵是一次函数，∴，且，即，且，解得；故选：B.【点睛】本题考查了一次函数的定义和一元二次方程的解法，熟练掌握相关知识是解题的关键.3．（2019·广东汕头·校考二模）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】由题意可得，且，再求解关于m的方程即可.【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，∴，且，解得：；故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的基本知识是解题的关键，注意在求出m的值后，还要使方程的二次项系数不为0.4．（2022秋·九年级单元测试）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是()A． B． C．或 D．或或【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．【详解】解：，，，，，，有两种情况：①三角形的三边为，，，此时不符合三角形三边关系定理，②三角形的三边为，，，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为，故选：B．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．5．（2023·贵州遵义·统考二模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或【答案】B【分析】根据题意进行分类讨论，当时，可得，求出x的值即可；当时，可得求出x的值即可．【详解】解：当时，则，∴，即，解得：（不符合题意，舍去），当时，则，∴，即，解得：（不符合题意，舍去），，综上：x的值是5或，故选：B．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．6．（2022春·八年级单元测试）在正数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解是（）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】根据规则可得：，再解此方程，即可求解．【详解】解：根据题意得：，得，得，故或，解得（舍去），，所以，原方程的解为，故选：D．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．7．（2023年天津市滨海新区中考二模数学试题）方程的两个根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可解答．【详解】解：，，，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，利用方程的特点选择简便的方法是解题的关键．二、填空题8．（2023春·北京房山·八年级统考期末）方程的解为：___________．【答案】，【分析】先移项，然后用分解因式法解方程即可．【详解】解：，移项得：，分解因式得：，∴或，解得：，．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法：因式分解法，是基础知识比较简单，解题的关键是分解因式．9．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则该方程另一个根是__________．【答案】【分析】将代入方程，求出的值，再解方程求出另一个根即可．【详解】解：由题意，得：，解得：，∴一元二次方程为，解得：或，∴该方程另一个根是：．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的根以及解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．10．（2023春·浙江·八年级期末）定义新运算“※”，规则：，如，．若的两根分别为，则______．【答案】3【分析】先通过因式分解法解方程，求出，根据新定义的运算规则，的值为和中较大的那个数，由此可解．【详解】解：方程，分解因式得：，解得：或，则或．故答案为：3．【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键．11．（2023·江苏苏州·统考三模）关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是_________________．【答案】/【分析】先计算，再利用因式分解法解方程得，，再根据题意得到，然后解不等式组即可．【详解】解：根据题意，，解方程得，，∵该方程有一个大于的非正数根，，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程、解一元一次不等式组，理解一元二次方程的解，正确得到关于a的不等式组是解答的关键．12．（2023·山东济宁·校联考三模）方程的根是__．【答案】，【分析】才用因式分解法即可求解．【详解】解：∴或,∴，．故答案为：，．【点睛】此题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．13．（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为___________【答案】15【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据求出k的值，然后将k的值代入方程求出解，得出周长．【详解】若为腰，则中还有一腰，即6是方程的一个根．∴解得：将代入得：解得：．，此时能构成三角形，的周长为：若为底，则，即方程有两个相等的实根．∴解得：将代入得：解得：．，∵∴此时不能构成三角形，不能计算周长综上可得：的周长为15．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按若是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形．14．（2023·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）如图，等边的边长为6，D是的中点，是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为______．

【答案】1或2【分析】过F作交于H，交于；过A作于N,然后说明为等边三角形，进而可得；再证可得；设，则，然后运用勾股定理列式求解即可．【详解】解：过F作交于H，交于；过A作于N,

∴∴为等边三角形∵，，∴在和中,,∴,∴设，则在中，∴在中，,，∴∴，解得：或．∴线段的长为1或2．故答案为1或2．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键．三、解答题15．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；（2）用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：，这里，，，，，，；（2）解：，，，或，，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．16．（2023·江苏南京·统考二模）解方程：．【答案】【分析】先移项，然后利用因式分解法可进行求解．【详解】解：解得：．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．17．（2020秋·广东韶关·九年级校考期末）用适当的方法解方程：．【答案】，【分析】先移项，再提公因式即可求解．【详解】解：，或解得：，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．18．（2023春·北京房山·八年级统考期末）解下列一元二次方程：(1)（直接开平方法）；(2)（配方法）．(3)（公式法）；(4)（因式分解法）．【答案】(1)(2)，(3)(4)【分析】按要求解一元二次方程即可．【详解】（1）解：，，解得；（2）解：，，，，解得，；（3）解：，，，，∴，解得；（4）解：，，解得．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．19．（2023·北京西城·统考二模）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【答案】，，【分析】先根据根的判别式的意义得到，解不等式，从而得到正整数m的值，代入原方程，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】根据题意得解得所以正整数m的值为1代入原方程得即∴，【点睛】此题主要考查了根的判别式，解一元二次方程，正确得出m的值是解题关键．20．（2022春·八年级单元测试）在一堂数学课上，李老师对课本上的一道习题进行了改编，改编后的习题为：一架梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙角距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，此时点将向外移动米，（参考数据：，，）

(1)问梯子的长是多少？(2)若梯子的长度保持不变，梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你利用学过的知识解答上面的问题．【答案】(1)(2)有可能，理由见解析【分析】（1）根据梯子长度不变进而得出等式求出即可；（2）设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米代入（1）中方程，求出的值符合题意．【详解】（1）解：设的长是，根据题意得出：，，解得：，，答：梯子的长是；（2）有可能．设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，则有，解得：或（舍）当梯子顶端从处下滑米时，点向外也移动米，即梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等．

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出关于的一元二次方程是解答此题的关键．21．（2023·河北石家庄·统考二模）老师就式子，请同学们自己出问题并解答．(1)小磊的问题：若代表，代表，计算该式的值；(2)小敏的问题：若，代表某数的平方，代表该数与1的和的平方，求该数．【答案】(1)22(2)0或1【分析】（1）根据代数式代入值进行计算即可；（2）设该数为a，则，再进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：原式；（2）解：设该数为a，则，解得：，，∴求该数为0或1．【点睛】本题考查代数值求值、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．22．（2023·河北石家庄·校考一模）发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积；验证：连续整数，，