第十三章轴对称单元过关检测02

2022—2023学年八年级上学期第三单元过关检测（2）一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）1．（4分）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是（）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：故选：B．2．（4分）如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（）A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，∴AC＝A1C1，BO＝B1O，CC1⊥MN，故选项A、B、C正确，不符合题意；AB∥B1C1不一定成立，故选项D错误，符合题意；故选：D．3．（4分）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（）A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处【分析】根据线段垂直平分线的性质作出判断即可．【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以判断出将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，故选：A．4．（4分）如图，点P为∠AOB内一点，分别作P点关于直线OA，OB的对称点C，D，若∠COD＝70°，则∠CPD的度数是（）A．110° B．135° C．145° D．155°【分析】根据对称的性质得出∠C+∠D＝∠CPD，再根据四边形内角和是360°得出∠CPD的度数，即可得出结论．【解答】解：根据对称知，∠C＝∠OPC，∠D＝∠OPD，∵∠COD＝70°，∴∠C+∠D＝∠CPD＝（360°﹣70°）＝145°，故选：C．5．（4分）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，△BEG的周长为17，且GE＝1，则AC的长为（）A．13 B．14 C．15 D．16【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，∴EB＝EA，GB＝GC，∵△BEG周长为17，∴EB+GB+EG＝17，∴EA+GC+EG＝17，∴GA+EG+EG+EG+EC＝17，∴AC+2EG＝17，∵EG＝1，∴AC＝15，故选：C．6．（4分）若点P（a+1，﹣a+1）关于x轴对称的点在第一象限，则a的取值范围是（）A．a＞﹣1 B．a＞2 C．﹣1＜a＜2 D．a＜2【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点P的对称点的坐标，再利用第一象限内点的坐标特征得到，然后解不等式组即可．【解答】解：∵点P（a+1，﹣a+1）关于x轴对称的点的坐标为（a+1，a﹣1），而点（a+1，a﹣1）在第一象限，∴，解得a＞2，即a的取值范围为a＞2．故选：B．7．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝40°，则∠CDE的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】根据三角形外角性质和等腰三角形的性质得出∠BAD+∠B＝∠C+2∠EDC，进而解答即可．【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝40°+∠B，∵∠AED是△DEC的外角，∴∠AED＝∠C+∠EDC，∵∠ADE＝∠AED，∴∠ADE＝∠C+∠EDC，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠C+2∠EDC，∵∠B＝∠C，∴∠B+40°＝∠B+2∠EDC，∴∠EDC＝20°，故选：C．8．（4分）如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1＝45°，则∠2的度数为（）A．105° B．120° C．75° D．45°【分析】先根据等边三角形的性质求出∠ACB的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠1＝45°，∴∠1+∠ACB＝105°，∵a∥b，∴∠2＝∠1+∠ACB＝105°．故选：A．9．（4分）如图，在等边△ABC中，延长AB到点D，使得BD＝AB，延长BC到点E，使得CE＝2BC，连接DE、AE，若S△ADE＝18，则S△ABC为（）A．1.8 B．2 C．3 D．4.5【分析】根据三角形中线把三角形分成面积相等的两份，可得△ABE的面积，同理可得△ABC的面积．【解答】解：∵BD＝AB，S△ADE＝18，∴＝9，∵CE＝2BC，∴＝3，故选：C．10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）A．4 B．4.8 C．5 D．6【分析】先作CE垂直AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值．【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，∵BD平分∠ABC，∴ME＝MN，∴CM+MN＝CM+ME＝CE．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，∴S△ABC＝•AB•CE＝•AC•BC，∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8．即CM+MN的最小值是4.8，故选：B．11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复地轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2022次变换后点A的对应点的坐标为（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可．【解答】解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，点A第二次关于x轴对称后在第三象限，点A第三次关于y轴对称后在第四象限，点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2022÷4＝505余2，∴经过第2022次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（﹣1，﹣2）．故选：B．12．（4分）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据先证明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE，根据已知给出的条件即可得出答案；【解答】解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，连接AD，若AD＝2，则点C到DF的距离为．【分析】根据平移的性质以及含30度角的直角三角形的性质解决此题．【解答】解：如图，过点C作CM⊥DF于M．由平移的性质，得△ABC≌△DEF，AD＝CF＝2．∴∠DEF＝∠BAC＝90°，DE＝AB＝2，∠ACB＝∠F＝30°．∵CM⊥DF于M，∴CM＝＝1．∴点C到DF的距离为1．故答案为：1．14．（4分）如图，∠AOB＝30°，M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6cm，则△PMN的周长的最小值为cm．【分析】作P点关于OA的对称点C，作P点关于OB的对称点D，连接CD，CD与OA、OB的交点即为所求点M、N，∴△PMN的周长最小即为CD，由已知证明△OCD为等边三角形，则可求CD＝6cm，即可求△PMN的周长的最小值为7．【解答】解：作P点关于OA的对称点C，作P点关于OB的对称点D，连接CD，CD与OA、OB的交点即为所求点M、N，∴△PMN的周长＝CD，此时△PMN的周长最小，∵点P与点D关于OB对称，∴PO＝OD，∵点P与点C关于OA对称，∴OP＝OC，∵∠AOB＝30°，∴∠COD＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴OP＝6cm，∴CD＝6cm，∴△PMN的周长的最小值为6cm，故答案为6．15．（4分）如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角．若已知∠1＝50°，∠2＝55°，则∠3＝°．【分析】由入射角等于反射角可得∠6＝∠1＝50°，∠5＝∠3，∠2＝∠4＝55°，那么利用三角形的内角和定理和平角定义可得∠2+∠4＝∠5+∠6，所以2∠2减∠6即为∠3的度数．【解答】解：∵∠6＝∠1＝50°，∠5＝∠3，∠2＝∠4，∴∠3＝2∠2﹣∠6＝60°．故答案为：60．16．（4分）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E．若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝．【分析】连接CE，过E作ER⊥AC于R，交CD于Q，AE交BC于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE＝BE，ER＝EF，根据全等求出∠RCE＝∠EBF，求出∠ACB＝∠QED＝26°，求出∠BED＝∠CED＝65°，求出∠REF的度数，再求出∠CAB，求出∠CAE，根据三角形的外角性质求出∠DOE，再求出答案即可．【解答】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，交CD于Q，AE交BC于O，∵DE是线段BC的中垂线，∴∠EDC＝90°，CE＝BE，∴∠ECB＝∠CBE，∵∠CBE＝25°，∴∠ECB＝25°，∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，∵ER⊥AC，ED⊥BC，∴∠QRC＝∠QDE＝90°，∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，∵∠CQR＝∠EQD，∴∠ACB＝∠QED，∵∠ACB＝26°，∴∠QED＝26°，∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，∴ER＝EF，在Rt△ERC和Rt△EFB中，，∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝26°+25°＝51°，∵∠EFB＝90°，∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣51°＝39°，∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝26°+65°+39°＝130°，∵∠ARE＝∠AFE＝90°，∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∵AE平分∠CAM，∴∠CAE＝CAM＝25°，∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+26°＝51°，∵ED⊥BC，∴∠EDB＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣51°＝39°，故答案为：39°．三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）17．（8分）如图所示，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险？【分析】作PC⊥AB于点C，根据方向角的定义求得∠PAB和∠PBC的度数，证明PB＝AB，然后在直角△PBC中利用含30°角的直角三角形的性质求得PC的大小，与22海里进行比较即可．【解答】解：作PC⊥AB于点C．∵∠PAB＝90°﹣75°＝15°，∠PBC＝90°﹣60°＝30°，又∵∠PBC＝∠PAB+∠APB，∴∠PAB＝∠APB＝15°，∴BP＝AB＝20×2＝40（海里），在直角△PBC中，PC＝PB＝40×＝20＜22．则若轮船仍向前航行有触礁的危险．18．（8分）如图，E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若AF＝4，求CE的长．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，再根据等角对等边可得结论；（2）利用“SAS”证明△ABF≌△CAE，根据全等三角形的性质可得结论．【解答】（1）证明：∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，∵E为△ABC的外角平分线上的一点，∴∠DAE＝∠EAC，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝CE，∵AF＝4，∴CE＝4．19．（10分）如图，已知△ABC​中，∠C＝90°，∠B＝30°​，以A​为圆心，任意长为半径画弧交边AB，AC​于点M​和N​，再分别以M、N​为圆心，大于​的长为半径画弧，两弧交于点P​，连结AP​并延长交BC​于点D．​（1）求证：点D​在线段AB​的垂直平分线上；（2）若△ACD​的面积为3，求△ADB​的面积．【分析】根据直角三角形的性质求出∠CAB，根据尺规作图得出AD​是∠CAB​的角平分线，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝BD，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；（2）根据含30°角的直角三角形的性质得到CD＝AD，​进而得出CD＝BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠B＝30°​，∴∠CAB＝60°，根据作图方法可知，AD​是∠CAB​的角平分线，∴∠DAC＝∠DAB＝∠BAC＝30°，​∴∠DAB＝∠B＝30°，∴AD＝BD，∴点D​在线段AB​的垂直平分线上；（2）在△ACD中，∠CAD＝30°，∠C＝90°，​∴CD＝AD，​∵AD＝BD，​∴CD＝BD，∴S△ABD＝2S△ACD＝6​．20．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C′和△ABC关于x轴对称；（2）已知△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，写出点A1，B1，C1的坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此可得出答案．（3）利用割补法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．（2）∵△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，∴点A1（﹣4，0），B1（1，4），C1（3，1）．（3）△ABC的面积为7×4﹣﹣﹣＝．21．（12分）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是点D，连结CD交OA于点M，交OB于点N．（1）①若∠AOB＝60°，求∠COD的度数．②若∠AOB＝n°，则∠COD＝°（用含n的代数式表示）．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为．【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长．【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2×60°＝120°；②∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COP＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2n°，故答案为：2n；（2）∵点C和点P关于OA对称，∴CM＝PM，∵点P关于OB对称点是D，∴DN＝PN，∵CD＝4，∴CM+MN+DN＝4，∴PM+MN+PN＝4，即△PMN的周长为4，故答案为：4．22．（12分）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC．（1）若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．①求线段BC的长；②求线段OA的长．（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．【分析】（1）①根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；②根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．【解答】解：（1）①∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；②∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝16cm，∴OA＝OB＝OC＝5cm；（2）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°．23．（12分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣6