第7章锐角三角函数（单元重点综合测试）

第七章锐角三角函数（单元重点综合测试）一、单选题（每题3分，共24分）1．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（

）A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小【答案】C【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角的三角函数值不变．故选：C．2．如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（

）米．

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦的定义进行解答即可．【详解】解：，，故选：．3．下列三角函数的值是的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】解：，，，，观察四个选项，选项A符合题意，故选：A．4．如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．=cosA，不符合题意；B．=tanA，不符合题意；C．=cos∠DBC=cosA，不符合题意；D．=sin∠DBC=sinA，符合题意；故选：D．5．在ABC中，，则ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴，∴ABC一定是等腰直角三角形故选：D．6．在△ABC中，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义，知，设BC=x，AC=2x，根据勾股定理可求得AB，再根据三角函数的定义就可以求出的值．【详解】解：在△ABC中，，∵，∴设BC=x，AC=2x，，，故选：C．7．在中，，，则下列式子成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据各个三角函数的定义即可解答．【详解】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合题意；B、，∴，故B成立，符合题意；C、，∴，故C不成立，不符合题意；D、，∴，故D不成立，不符合题意；故选：B．

8．如图，在中，，平分，，那么的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作于E，根据等腰直角三角形的性质证明，设,表示出的长，根据角平分线的性质证明，得到答案．【详解】解：作于E，

∵平分，，，∴，∵，，∴，∴，设，则，，则，∴，故选：B．二、填空题(共10小题，每题4分，共40分）9．满足的锐角的度数是．【答案】/30度【分析】根据特殊角的三角函数值求解可得．【详解】解：∵∴故答案为：．10．在中，如果满足，则．【答案】/75度【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值求出，，再根据三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：，，，，，，．故答案为：．11．如图，在矩形中，点在边上，把沿直线翻折，得到，的延长线交于点为的中点，连接，若点在同一条直线上，，则的值为．

【答案】【分析】根据题意可得，即，设，则，根据直角三角形的性质可证，由此可求出的值，根据题意可得，，在中，根据余弦的计算方法即可求解．【详解】解：四边形是矩形，∴，，，，∴，，∵点是的中点，∴，∵沿直线翻折得到，∴，，∵点在同一条直线上，∴，即，设，则，且，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴或（不符合题意，舍去），∴，∵，，∴，∴故答案为：．12．如图，，于点，，则．

【答案】/【分析】设，，则，根据已知条件得出，根据真切的定义得出，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【详解】解：设，，则∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，整理得，，解得：或，∴故答案为：．13．在正方形网格中的位置如图所示，则的值为．【答案】【分析】过点A作于点D，设小正方形的边长为a，首先根据勾股定理求出，然后根据正弦的概念求解即可．【详解】解：过点A作于点D，如图所示，设小正方形的边长为a，则，∵，，∴，故答案为：．14．在中，，、、的对边分别为、、，且，则的值为．【答案】/【分析】先利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数进行计算即可解答．【详解】解：在中，，，，．故答案为：．15．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为米．

【答案】4【分析】利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离．【详解】解：∵相邻两树间的水平距离是米，坡比．∴，即解得∴（米）．故答案为：4．16．在中，，，点为上一动点，，则的最小值是．

【答案】【分析】作的外接圆，连接，，，作，根据圆周角定理求出，过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一求出，再根据相似三角形的性质求得，设，则，，根据勾股定理求出，根据三角形边长关系即可得出结果．【详解】解：如图，作的外接圆，连接，，，作，

，，过点作，垂足为，

，，，，，，，，设，则，，，，，，的最小值为，故答案为：．17．如图，内接于圆，为的直径，，，为圆上一点，连接，，为直径上一点，连接、，则的最小值为．

【答案】【分析】作点B关于直径的对称点E，连接，则，可得当点D，P，E三点共线时，的值最小，最小值为的长，连接，过点E作于点F，过点D作于点G，可得，从而得到，再根据，可求出，，从而得到，，，再由是等边三角形，可得，，从而得到，，进而得到，，即可求解．【详解】解：如图，作点B关于直径的对称点E，连接，则，，∴，即当点D，P，E三点共线时，的值最小，最小值为的长，连接，过点E作于点F，过点D作于点G，

∴，∴，∴，∵是直径，∴，∵，∴可设，则，∵，∴，，解得：，∴，，∵，∴，∴，，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，，∴，∴，，∴，即的最小值为．故答案为：．18．已知点E，F分别在正方形的边CD，AD上，，，则．

【答案】/【分析】根据，延长，相交于，得到等腰，连接点和的中点，由，得到，设，，由，得，得出，列出方程求出，即可求出的值．【详解】解：如图：延长交的延长线于，设的中点为，连，∵，∴，∴，

四边形是正方形，，，，，，则，，，，设，，，，，，，，

，，，，，整理得到：，或0（舍弃）．．故答案为．三、解答题(共8小题，共76分）19．（本题8分）（1）计算：【答案】0【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值及特殊角的锐角三角函数，再进行加减计算即可．【详解】解：原式．（2）计算：．【答案】【分析】根据二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，零指数幂，进行计算即可求解．【详解】解：20．（本题8分）如图，在中，，，，求的长．

【答案】【分析】作于点D，如图，根据正弦的定义求出，再根据正切的定义求出，然后利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：作于点D，如图，

则在直角三角形中，∵，，∴，在直角三角形中，∵，∴，∴．21．（本题8分）如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是，若斜坡的坡比，求大树的高度．（结果保留根号）

【答案】【分析】根据题意和锐角三角函数可以计算出、的长，再根据题目中的数据，即可求得大树的高度．【详解】解：作于点，作于点，如图所示，，斜坡的坡比，，，，在中，，则设米，，，在中，，，，解得，，，答：大树的高度是．22．（本题10分）如图，内接于，，的延长线交于点D．(1)求证：平分；(2)若，，求和的长．【答案】(1)见解析(2)，．【分析】（1）连接，根据圆的性质得，，利用证明，得，即可得；（2）延长交于E，连接，延长交于H，交于F，则是的直径，，由圆周角定理得，由垂经定理得，根据得，由勾股定理得，，根据，得，，根据得，即，进行计算即可得，则，根据，得是的中位线得，，则，在中，根据勾股定理得的长．【详解】（1）证明：如图所示，连接，根据圆的性质得，，在和中，∴，∴，即平分．（2）解：如图，延长交于E，连接，延长交于H，交于F，

则是的直径，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴，∵，，∴是的中位线，∴，，∴，在中，根据勾股定理得，即，．23．（本题10分）在日常生活中我们经常使用订书机，如图，是订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B滑动，在滑动过程中，的长保持不变，已知．

(1)如图1，当，B、E之间的距离为，求连接杆的长度．(2)现将压柄从图1的位置旋转到与底座垂直，如图2所示，求在此过程中点E滑动的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点D作交与点P，在中，通过解直角三角形可求出的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度；（2）在中，利用勾股定理可求出的长度，结合（1）中的长度即可求出答案．【详解】（1）解：在图1中，过点D作交与点P，

在中，，在中，，∴，即连接杆的长度为；（2）解：在中，，∴，∴在此过程中点E滑动的距离为，24．（本题12分）已知：如图，各顶点的坐标分别是．(1)求的余切值；(2)若点在轴的正半轴，且与相似，请直接写出点的坐标；(3)已知点在轴上，如果，求点的坐标．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）由两点距离公式可求，，由直角三角形的性质可求的长，即可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（3）根据题意可得，再由，可得，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，如图1，过点B作于H，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵点P在y轴上，∴，当时，则，∴，∴，∴点P的坐标为或；当时，则，∴，∴，∴点P的坐标为或；综上所述：当点P的坐标为或或或时，与相似；（3）解：∵，，∴，由（1）得：，∴，∴，∴，此时点M的坐标为或．25．（本题12分）如图1，已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．

(1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是；(2)如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长；(3)如图3，若，，，当时，求此时的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；（2）求出，延长交于点F，在中，由直角三角形的性质求得，，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求出案．（3）如图所示，以为边在上方作，，连接，，同（1）可得，得到求出的长，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，根据相似三角形的对应角相等，得到，利用正切的定义即可得出答案．【详解】（1）解：在中，，在中，，，∴，，∴，∴，．∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：；（2）解：在，，，，∴，，延长交于点F，如图所示，

∵，∴，∴，，∴，由（1）可得，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，即；（3）如图所示，以为边在上方作，使，则：，

同（1）可得，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴在中，．26．（本题8分）如图，已知是的直径，是