专题09-二元一次方程组篇(原卷版+解析)2

专题09二元一次方程组考点一：二元一次方程组之相关概念：知识回顾知识回顾二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程。二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程组合在一起，就组成一个二元一次方程组。二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边成立的两个未知数的值叫做二元一次方程的一组解。对于给定其中一个未知数的值总能求出另一个未知数的值。所以二元一次方程的解成对出现，且无数对。二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解。叫做二元一次方程组的解。微专题微专题1．（2022•雅安）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为．2．（2021•凉山州）已知是方程ax+y＝2的解，则a的值为．3．（2021•金华）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是．4．（2021•浙江）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解．5．（2021•台湾）若二元一次联立方程式的解为x＝a，y＝b，则a+b之值为何？（）A．﹣15 B．﹣3 C．5 D．256．（2021•无锡）若x，y满足方程组，则x+y＝．7．（2021•遵义）已知x，y满足的方程组是，则x+y的值为．8．（2021•枣庄）已知x，y满足方程组，则x+y的值为．考点二：二元一次方程组之解二元一次方程组：知识回顾知识回顾解二元一次方程组的思想：消元思想：将方程组中的未知数由多化少，逐一解决的思想。解二元一次方程组的方法：①代入消元法：将其中一个方程的其中一个未知数用另一个未知数表示出来代入另一个方程中，实现消元，进而求出方程组的解的方法叫做代入消元法。（通常适用于有未知数的系数是±1的方程组）②加减消元法：当方程组中的两个方程的同一个未知数的系数相同或相反时，则可以利用将两个方程相减或相加的方法消掉这个未知数的方法叫做加减消元法。微专题微专题9．（2022•株洲）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（）A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝710．（2022•潍坊）方程组的解为．11．（2022•沈阳）二元一次方程组的解是．12．（2022•无锡）二元一次方程组的解为．13．（2022•随州）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为．14．（2022•安顺）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为．考点三：二元一次方程组之实际应用知识回顾知识回顾列方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程。④解方程——按照解方程的步骤解二元一次方程。⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。微专题微专题15．（2022•齐齐哈尔）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种16．（2022•黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A．5 B．6 C．7 D．817．（2022•绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有种购买方案．18．（2022•日照）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）A． B． C． D．19．（2022•通辽）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（）A． B． C． D．20．（2022•深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（）A． B． C． D．21．（2022•毕节市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．22．（2022•湘潭）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是（）A． B． C． D．23．（2022•嘉兴）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．24．（2022•扬州）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有x只，兔有y只，那么可列方程组为（）A． B． C． D．25．（2022•宁波）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（）A． B． C． D．26．（2022•宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（）A．30 B．26 C．24 D．2227．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）A．9 B．10 C．11 D．1228．（2022•枣庄）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金两．29．（2022•湖北）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨．30．（2022•重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为．专题09二元一次方程组考点一：二元一次方程组之相关概念：知识回顾知识回顾二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程。二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程组合在一起，就组成一个二元一次方程组。二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边成立的两个未知数的值叫做二元一次方程的一组解。对于给定其中一个未知数的值总能求出另一个未知数的值。所以二元一次方程的解成对出现，且无数对。二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解。叫做二元一次方程组的解。微专题微专题1．（2022•雅安）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为．【分析】把x与y的值代入方程计算得到a+2b的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：把代入ax+by＝3得：a+2b＝3，则原式＝2（a+2b）﹣5＝2×3﹣5＝6﹣5＝1．故答案为：1．2．（2021•凉山州）已知是方程ax+y＝2的解，则a的值为．【分析】把方程的解代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入到方程中得：a+3＝2，∴a＝﹣1，故答案为：﹣1．3．（2021•金华）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是．【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，∴m＝2，故答案为：2．4．（2021•浙江）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解．【分析】把y看作已知数求出x，确定出整数解即可．【解答】解：x+3y＝14，x＝14﹣3y，当y＝1时，x＝11，则方程的一组整数解为．故答案为：（答案不唯一）．5．（2021•台湾）若二元一次联立方程式的解为x＝a，y＝b，则a+b之值为何？（）A．﹣15 B．﹣3 C．5 D．25【分析】运用加减消元法求出方程组的解，即可得到a，b的值，再求a+b即可．【解答】解：，①+②得：6y＝4y+10，∴y＝5，把y＝5代入①得：x＝20，∴a+b＝x+y＝20+5＝25，故选：D．6．（2021•无锡）若x，y满足方程组，则x+y＝．【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相减，求出x+y的值即可．【解答】解：，①﹣②，可得：（2x﹣3y）﹣（x﹣4y）＝7﹣2，∴x+y＝5．故答案为：5．7．（2021•遵义）已知x，y满足的方程组是，则x+y的值为．【分析】将方程组中的两个方程直接相减即可求解．【解答】解：，②﹣①得，x+y＝5，故答案为5．8．（2021•枣庄）已知x，y满足方程组，则x+y的值为．【分析】用加减消元法解二元一次方程组，然后求解．【解答】解：方法一：，①﹣②，得：2x+2y＝﹣4，∴x+y＝﹣2，故答案为：﹣2．方法二：，②×2，得：4x+2y＝6③，①﹣③，得：y＝﹣7，把y＝﹣7代入②，得2x﹣7＝3，解得：x＝5，∴方程组的解为，∴x+y＝﹣2，故答案为：﹣2．考点二：二元一次方程组之解二元一次方程组：知识回顾知识回顾解二元一次方程组的思想：消元思想：将方程组中的未知数由多化少，逐一解决的思想。解二元一次方程组的方法：①代入消元法：将其中一个方程的其中一个未知数用另一个未知数表示出来代入另一个方程中，实现消元，进而求出方程组的解的方法叫做代入消元法。（通常适用于有未知数的系数是±1的方程组）②加减消元法：当方程组中的两个方程的同一个未知数的系数相同或相反时，则可以利用将两个方程相减或相加的方法消掉这个未知数的方法叫做加减消元法。微专题微专题9．（2022•株洲）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（）A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7【分析】将①式代入②式，得x+2（x﹣1）＝7，去括号即可．【解答】解：，将①式代入②式，得x+2（x﹣1）＝7，∴x+2x﹣2＝7，故选：B．10．（2022•潍坊）方程组的解为．【分析】由第一个方程得4x+6y＝26，由第二个方程得9x﹣6y＝0，两个方程相加消去y，解出x，再进一步解出y即可．【解答】解：，由①×2得4x+6y＝26③，由②×3得9x﹣6y＝0④，由③+④得13x＝26，解得x＝2，将x＝2代入②得3×2﹣2y＝0，解得y＝3，所以原方程组的解为．故答案为：．11．（2022•沈阳）二元一次方程组的解是．【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可．【解答】解：，将②代入①，得x+4x＝5，解得x＝1，将x＝1代入②，得y＝2，∴方程组的解为，故答案为：．12．（2022•无锡）二元一次方程组的解为．【分析】根据代入消元法求解即可得出答案．【解答】解：，由②得：y＝2x﹣1③，将③代入①得：3x+2（2x﹣1）＝12，解得：x＝2，将x＝2代入③得：y＝3，∴原方程组的解为．故答案为：．13．（2022•随州）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为．【分析】将第一个方程化为x＝4﹣2y，并代入第二个方程中，可得2（4﹣2y）+y＝5，解得y＝1，将y＝1代入第一个方程中，可得x＝2，即可求解．【解答】解：解法一：由x+2y＝4可得：x＝4﹣2y，代入第二个方程中，可得：2（4﹣2y）+y＝5，解得：y＝1，将y＝1代入第一个方程中，可得x+2×1＝4，解得：x＝2，∴x﹣y＝2﹣1＝1，故答案为：1；解法二：∵，由②﹣①可得：x﹣y＝1，故答案为：1．14．（2022•安顺）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为．【分析】直接利用已知解方程组进而得出答案．【解答】解：方法一、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，则a＝8﹣2b，代入3a+4b＝18，解得：b＝3，则a＝2，故a+b＝5．方法二、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，∴2a+2b＝10，∴a+b＝5，故答案为：5．考点三：二元一次方程组之实际应用知识回顾知识回顾列方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程。④解方程——按照解方程的步骤解二元一次方程。⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。微专题微专题15．（2022•齐齐哈尔）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【分析】根据题意列方程，求其正整数解．【解答】解：设A种食品盒x个，B种食品盒y个，根据题意得：8x+10y＝200，∴y＝20﹣0.8x，∴方程的正整数解为：，，，．故选：C．16．（2022•黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】设购买毛笔x支，围棋y副，根据“购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元”列二元一次方程，再由x和y分别取正整数，即可确定购买方案．【解答】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意，得15x+20y＝360，∴y＝18﹣x，∵两种都买，∴18﹣x＞0，x、y都是正整数，解得x＜24，故x是4的倍数且x＜24，∴x＝4，y＝15或x＝8，y＝12或x＝12，y＝9或x＝16，y＝6或x＝20，y＝3；∴共有5种购买方案，故选：A．17．（2022•绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有种购买方案．【分析】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种购买方案．【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，依题意得：4x+3y＝48，∴x＝12﹣y．又∵x，y均为正整数，∴或或，∴共有3种购买方案．故答案为：3．18．（2022•日照）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）A． B． C． D．【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，由题意可得．故选：D．19．（2022•通辽）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：依题意得：．故选：C．20．（2022•深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（）A． B． C． D．【分析】设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，利用已知“他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数”分别得出等量关系求出答案．【解答】解：设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，根据题意可列方程组为：．故选：C．21．（2022•毕节市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】利用总价＝单价×数量，结合“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，∴4x+6y＝48；∵马三匹、牛五头，共价三十八两，∴3x+5y＝38．∴可列方程组为．故选：C．22．（2022•湘潭）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据“组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，且桌子腿数与凳子腿数的和为40条”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共12个，∴x+y＝12；又∵桌子腿数与凳子腿数的和为40条，且每张桌子有4条腿，每条凳子有3条腿，∴4x+3y＝40．∴列出的方程组为．故选：B．23．（2022•嘉兴）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】由题意：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．列出二元一次方程组即可．【解答】解：根据题意得：，即，故选：A．24．（2022•扬州）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有x只，兔有y只，那么可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】关系式为：鸡的只数+兔的只数＝35；2×鸡的只数+4×兔的只数＝94，把相关数值代入即可求解．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，可列方程组为：．故选：D．25．（2022•宁波）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】根据原来的米+向桶中加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7即可得出答案．【解答】解：根据题意得：，故选：A．26．（2022•宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（）A．30 B．26 C．24 D．22【分析】设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．列出二元一次方程组，求出x+y的值即可．【解答】解：设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，依题意得：，①+②得：3x+3y＝78，∴x+y＝26，即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26，故选：B．27．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，∴最左下角的数为：6+20﹣22＝4，∴最中间的数为：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4，最右下角的数为：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6