押江苏南京中考数学第19-25题(函数、几何证明、尺规作图与解三角形)(原卷版+解析)-备战2022年中考数学临考题号押题(江苏南京专用)

押江苏南京中考数学第19-25题函数的图像与性质、几何证明、尺规作图与解三角形南京中考在解答题方面对知识的考查是比较全面的，对函数的图像与性质、几何证明与计算、锐角三角函数的实际应用均有考查，题号不固定但总体分布在19-25题之间，题目比较简单，属基础题和中等难度题目。例如：2021年南京中考在第20题考查了全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合，在第23题考查了解直角三角形的实际应用，在第25题考查了作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、作等腰三角形(尺规作图)以及画圆(尺规作图)等知识点；2020年中考的第19题考查了全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合，较为简单，第20题考查了反比例函数的图像和性质，难度中等，第23题考查了锐角三角函数的应用和解三角形，第24题考查了圆与四边形结合的证明题，难度中等；2019年中考的第19题考查了平行四边形的性质和全等三角形的证明，较为简单，第22题考查了圆的基本性质，第23题主要考查了一次函数的图像与性质，第24题考查了锐角三角函数的应用和解三角形等。解此类题型时应注意：1.在面对函数的图像与性质时，注意利用数形结合，利用函数图像分析问题；2.在做简单几何证明题时，注意不要跳步骤，善于做辅助线和运用转化思想；3.在解三角形时要注意构建锐角三角函数的模型，记住特殊角的三角函数值和锐角三角函数的概念。1．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．（1）k＝；（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：．2．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是（只填序号）．3．（2021·江苏泰州·中考真题）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．4．（2021·江苏南京·中考真题）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．（1）求证；（2）若，求的长．5．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求线段的长．6．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，为的直径，点在上，与交于点，，连接．求证：（1）；（2）四边形是菱形．7．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证：四边形是矩形．8．（2021·江苏南京·中考真题）如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．9．（2021·江苏常州·中考真题）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，．（1）求证：；（2）将沿直线l翻折得到．①用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接，则直线与l的位置关系是__________．10．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，已知锐角中，．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）11．（2021·江苏南京·中考真题）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得，，，，，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：．）12．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）13．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．（1）求的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：三角函数锐角13°28°32°0.220.470.530.970.880.850.230.530.6214．（2021·江苏连云港·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）1．（2022·江苏盐城·一模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A(，4)、B(n，2)两点．(1)求、n的值；(2)求一次函数的解析式；(3)求△AOB的面积．2．（2022·江苏南通·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，点的坐标为，点的坐标为．(1)则，；(2)若时，则的取值范围是；(3)过点作轴于点，连接，过点作于点，求线段的长．3．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．4．（2022·江苏·南闸实验学校一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM＝2∠A．(1)判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA＝4，∠BCM＝60°，求图中阴影部分的面积．5．（2022·江苏扬州·一模）如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AF＝CE．(1)试判断四边形BEDF的形状，并说明理由；(2)若BE⊥AC，BF＝10，BE＝6，求线段CF的长．6．（2022·江苏徐州·一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，连接BE并延长，交AD的延长线与点F，延长ED至点G，使DG=DE，分别连接AE，AG，FG．(1)求证：；(2)当时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．7．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．(1)求证：DF为⊙O的切线；(2)若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧的长．8．（2022·江苏无锡·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．(1)若∠BAC＝40°，则∠ADC＝°；∠DAC＝°(2)求证：∠BAC＝2∠DAC；(3)若AB＝10，CD＝5，求BC的值．9．（2022·江苏南京·一模）菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．(1)如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；(2)如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．10．（2022·江苏南京·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．(1)边BC的长等于________．(2)用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形方框内，作出圆心在斜边AB上，经过点B，且与边AC相切的⊙O，并简要说明作法（保留作图痕迹，不要求证明）．11．（2022·江苏盐城·一模）（1）如图△ABC，请在边BC、CA、AB上分别确定点D、E、F，使得四边形BDEF为菱形，请作出菱形BDEF．（要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）（2）若△ABC中，AB=10，BC=15，求（1）中所作菱形BDEF的边长．12．（2022·江苏无锡·一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，tan∠A＝．(1)尺规作图：以AC为直径作⊙O，与AB交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求⊙O的半径长度．13．（2022·江苏徐州·一模）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，一市民骑自行车由A地出发，途径B地去往C地，如图，当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔P，他由A地沿正东方向骑行km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东方向，然后他由B地沿北偏东方向骑行12km到达C地．(1)求A地与信号发射塔P之间的距离；(2)求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）14．（2022·江苏淮安·一模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，腰AB=AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝，若canB＝1，则∠B＝°．(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．15．（2022·江苏徐州·一模）图（1）为某大型商场的自动扶梯．图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m，（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）．(1)求图中B到一楼地面的高度．(2)求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）．（限时：40分钟）1．（2022·四川资阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，且，．(1)求一次函数的解析式；(2)连结AO并延长交双曲线于点D，连结BD，求△ABD的面积．2．（2022·河南郑州·二模）如图1，点A、B是双曲线y=（k＞0）上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于点G，得到正方形OCGF（阴影部分），且S阴影=1，△AGB的面积为2．(1)求双曲线的解析式；(2)在双曲线上移动点A和点B，上述作图不变，得到矩形OCGF（阴影部分），点A、B在运动过程中始终保持S阴影=1不变（如图2），则△AGB的面积是否会改变？说明理由．3．（2022·浙江宁波·一模）如图所示，已知二次函数的图象与x轴的一个交点为A（3,0），另一个交点为B，与y轴的交点为点C．(1)求m的值；(2)若经过点B的一次函数平分△的面积．求k、b的值．4．（2022·云南昆明·一模）已知抛物线与x轴只有一个交点，并且还经过，两点中的一个点．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，说明线段AB与线段CD之间的数量关系．5．（2022·陕西·西安工业大学附中二模）如图，的外接的圆心在AC边上，以CB为边作，BD边交AC延长于点D，点E为OC中点，连接BE并延长交于点F，连接AF．(1)求证：BD是的切线；(2)若，，求AF的长．6．（2022·河北·景县第二中学一模）如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．(1)求证：OD＝OB；(2)求证：四边形ABCD是菱形；(3)若sin∠CDE＝，CE＝1，求BD的长度．7．（2022·山东济宁·一模）如图，是⊙的直径，过点A作⊙的切线，并在其上取一点C，连接交⊙于点D，的延长线交于E，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长．8．（2022·广西崇左·一模）如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接，．(1)求证：平分；(2)若，，求的面积；(3)在（2）的条件下，求的长．9．（2022·浙江温州·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，作DE∥BC，交BO的延长线于点E，且BE平分∠ABD．(1)求证：四边形BCDE是平行四边形；(2)若AD＝8，tan∠BDE＝，求AC的长与▱BCDE的周长．10．（2022·陕西宝鸡·一模）如图，四边形内接于，，为的直径，过作的切线．(1)求证：．(2)若的半径为5，，求的长．11．（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC，H为垂足，将△ABH绕点A逆时针旋转得△ADE，连接CD，F为CD的中点，连接FH，FE．(1)求证：FH=FE且FH⊥FE；(2)若AB=4，，直接写出点F经过的路径长．12．（2022·甘肃平凉·一模）如图，的面积为10，．(1)尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，求CE的长．13．（2022·福建·一模）如图，在中，．(1)请作出经过A、B两点的圆，且该圆的圆心O落在线段AC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；(2)在（1）的条件下，已知，将线段AB绕点A逆时针旋转后与⊙O交于点E．试证明：B、C、E三点共线．14．（2022·福建龙岩·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上．(1)在AC边上作一点E，连结DE，将△ADE沿DE翻折得△FDE，点A的对应点F恰好落在射线BC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，FD平分∠EFB，AC=4，BC=3，求AD的长．15．（2022·陕西安康·一模）如图所示，等边三角形内接于圆，点D，F分别是中点，的延长线相交于E，请仅用无刻度的直尺作图．(1)在图1中，作出圆的圆心O；(2)在图2中，过点C作圆的切线．16．（2022·河南许昌·一模）随着冬奥会的闭幕，坐落于冬奥核心区的国家跳台滑雪中心——“雪如意”，成为本次冬奥会比赛场馆中最具标志性和辨识度的建筑物之一．该跳台滑雪中心设计灵感来源于中国的传统吉祥饰物“如意”，从跳台环形顶端，再到剖面线形和底部看台，与“如意”的S型曲线完美契合，因此被称为“雪如意”，既体现了体育建筑的动感，又凸显了中国文化元素．如图，是“雪如意”的侧面示意图，“雪如意”由顶峰俱乐部AC、滑道（包括助滑区DE和着陆坡EF）及看台区GF三部分构成（AC、GF均与水平面平行），其中BD⊥AC于点B，BD＝14m，DE＝109m，EF＝198m，从点E处测得点D处的仰角为26°，点F处的俯角为31°，求“雪如意”的高BH的长（结果精确到1m，，，，，，）．17．（2022·四川资阳·一模）如图，一天，我国A、B两舰队在南海某海域进行例行训练，B舰队在A舰队的正东方向．突然，B舰队发现在它北偏东45°方向上相距海里的P处有一货轮遇险发出求救信号，同时A舰队测得P在A的北偏东55°方向上．(1)求A、B两舰队的距离；(2)此时A舰队发现在它正北方向海里的Q处有一艘救援船，并立即委派它前往营救，其航行速度为40海里/小时，求救援船到点P处所需的最短时间．（参考数据：，，）18．（2022·重庆实验外国语学校一模）如图，小敏在参观大风车时；想测一下风叶AB的长度．她首先通过C处的铭牌简介得知每个风车杆子BC的高度为98米，然后沿水平方向走到D处，再沿着斜坡DE走了35米到达E处观察风叶的转动，当风叶AB转到如图铅垂方向时测得点A的仰角为68°；当风叶AB转到如图水平方向时测得点的仰角为45°，若斜坡DE的坡度，小敏身高忽略不计；（参考数据：，，）(1)求D到E的过程中上升的竖直高度；(2)求风叶AB的长度．19．（2022·福建省诏安县第三实验中学一模）又到了一年中的夏令营活动，某班学生在活动期间到诏安梅岭去参观“悬钟塔”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为；乙：我站在此处看塔顶仰角为；甲：我们的身高都是1．5m；乙：我们相距20m；请你根据两位同学的对话，计算该塔的高度（精确到1m，，）．20．（2022·山东济南·一模）如图，某旅游景点新建空中玻璃走廊PD，PD与建筑物AB垂直，在P处测得建筑物顶端A的仰角为37°，测得建筑物C处的仰角为26.6°，PD为54米．图中的点A、B、C、D、P及直线l均在同一平面内．(1)求A、C两点的高度差（结果精确到1米）；(2)为方便游人，广场从地面l上的Q点新建扶梯PQ，PQ所在斜面的坡度，P到地面l的距离PE为10米．一公告牌MN位于EB的中点M处，为防止车辆阻塞，现要求在点Q右侧需留出12米宽的行车道，请判断是否需要挪走公告牌MN，并说明理由．（参考数据：，，，，）押江苏南京中考数学第19-25题函数的图像与性质、几何证明、尺规作图与解三角形南京中考在解答题方面对知识的考查是比较全面的，对函数的图像与性质、几何证明与计算、锐角三角函数的实际应用均有考查，题号不固定但总体分布在19-25题之间，题目比较简单，属基础题和中等难度题目。例如：2021年南京中考在第20题考查了全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合，在第23题考查了解直角三角形的实际应用，在第25题考查了作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、作等腰三角形(尺规作图)以及画圆(尺规作图)等知识点；2020年中考的第19题考查了全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合，较为简单，第20题考查了反比例函数的图像和性质，难度中等，第23题考查了锐角三角函数的应用和解三角形，第24题考查了圆与四边形结合的证明题，难度中等；2019年中考的第19题考查了平行四边形的性质和全等三角形的证明，较为简单，第22题考查了圆的基本性质，第23题主要考查了一次函数的图像与性质，第24题考查了锐角三角函数的应用和解三角形等。解此类题型时应注意：1.在面对函数的图像与性质时，注意利用数形结合，利用函数图像分析问题；2.在做简单几何证明题时，注意不要跳步骤，善于做辅助线和运用转化思想；3.在解三角形时要注意构建锐角三角函数的模型，记住特殊角的三角函数值和锐角三角函数的概念。1．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．（1）k＝；（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：．【答案】（1）2；（2）见解析；（3），．【分析】（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；（2）根据AAS可证，根据全等三角形面积相等即可得证结论；（3）设A点坐标为（a，），则可得C（0，），D（0，﹣），根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标．【详解】解：（1）点是反比例函数图象上的点，，解得，故答案为：2；（2）在和中，，，，点坐标为，则可得，，，即，整理得；（3）设点坐标为，则，，，，，即，解得（舍去）或，点的坐标为，．2．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是（只填序号）．【答案】（1），见解析；（2）见解析，①（也可以选择②）【分析】（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可；（2）若选择条件①，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件②，由DB=6及OC=2，可得BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k．【详解】（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故；当x=-6时，；当x=-2时，∵，k＜0∴即（2）选择条件①∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD∴四边形OCED是矩形∴OD∙OC=2∵OC=2∴OD=1即∴点B的坐标为(-6,1)把点B的坐标代入y＝中，得k=-6若选择条件②，即BE=2AE∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD∴四边形OCED是矩形∴DE=OC，CE=OD∵OC=2，DB=6∴BE=DB-DE=DB-OC=4∴∵AE=AC-CE=AC-OD=即由（1）知：∴k=-63．（2021·江苏泰州·中考真题）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．【答案】（1）；（2）p=-1；（3）1＜2．【分析】（1）根据顶点坐标公式即可得答案；（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；（3）利用（2）的结果可得抛物线与x轴的交点坐标，根据顶点在y轴右侧，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方可得关于a的不等式，解不等式即可得答案．【详解】（1）∵二次函数解析式y＝﹣x2+（a﹣1）x+a，∴顶点横坐标为=．（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a==﹣（x﹣p）（x﹣a），∴p=-1．（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（a，0），∵-1＜0，∴该二次函数的图象开口向下，∵图象的顶点在y轴右侧，∴＞0，∴，∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，∴-1＜m＜a，∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，∴≤3，解得：，∴a的范围为1＜≤2．4．（2021·江苏南京·中考真题）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．（1）求证；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．【详解】解：（1）∵，又∵，∴；（2）∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴的长为．5．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据矩形的性质可得,则,因为折叠，，即可得证；（2）设用含的代数式表示，由折叠，，再用勾股定理求解即可【详解】（1）四边形是矩形因为折叠，则是等腰三角形（2）四边形是矩形,设，则因为折叠，则，,在中即解得：6．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，为的直径，点在上，与交于点，，连接．求证：（1）；（2）四边形是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由已知条件根据全的三角形的判定即可证明；（2）首先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．【详解】解：（1）在和中，∵，∴；（2）∵为的直径，∴，∵，∴，，∴∥，，∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是菱形．7．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证：四边形是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．8．（2021·江苏南京·中考真题）如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．【答案】答案见解析．【分析】方法一：作出OP的垂直平分线，交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．方法二：根据等腰三角形的性质三线合一作的切线，作射线，交于点，以为圆心，为半径作,以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接,交于点，则是等腰三角形，，则，即为所求．【详解】解：作法：连结PO，分别以P、O为圆心，大于PO的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO于点A；以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．作法：作射线，交于点，以为圆心，为半径作,以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接,交于点，则是等腰三角形，，则，即为所求．9．（2021·江苏常州·中考真题）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，．（1）求证：；（2）将沿直线l翻折得到．①用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接，则直线与l的位置关系是__________．【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②平行【分析】（1）根据“SAS”即可证明；（2）①以点B为圆心，BA为半径画弧，以点C为圆心，CA为半径画画弧，两个弧交于，连接B，C，即可；②过点作M⊥l，过点D作DN⊥l，则M∥DN，且M=DN，证明四边形MND是平行四边形，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵，∴BC=EF，∵，∴∠ABC=∠DEF，又∵，∴；（2）①如图所示，即为所求；②∥l，理由如下：∵，与关于直线l对称，∴，过点作M⊥l，过点D作DN⊥l，则M∥DN，且M=DN，∴四边形MND是平行四边形，∴∥l，故答案是：平行．10．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，已知锐角中，．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤，即可作的平分线，作出AC的中垂线交CD于点O，再以点O为圆心，OC为半径，画圆，即可；（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得AD=BD=，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，进而即可求解．【详解】解：（1）如图所示：（2）连接OA，∵，的平分线，∴AD=BD=，CD⊥AB，∵的半径为5，∴OD=，∴CD=CO+OD=5+=，∴BC=，∴．故答案是：．11．（2021·江苏南京·中考真题）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得，，，，，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：．）【答案】52m【分析】作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．先证明四边形CEBF是正方形，设CE=BE=xm，根据三角函数表示出DE，根据列方程求出CE=BE=48m，进而求出CF=BF=48m，解直角三角形ACD求出AC，得到AF，根据勾股定理即可求出AB，问题得解．【详解】解：如图，作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．∵∠FCD=90°，∴四边形CEBF是矩形，∵BE⊥CD，，∴∠BCE=∠CBE=45°，∴CE=BE，∴矩形CEBF是正方形．设CE=BE=xm，在Rt△BDE中，m，∵，∴，解得x=48，∴CE=BE=48m，∵四边形CEBF是正方形，∴CF=BF=48m，∵在Rt△ACD中，m，∴AF=CF-AC=20m，∴在Rt△ABF中，m，∴A，B两点之间的距离是52m．12．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【答案】68.5m【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可．【详解】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．则AE＝50m，在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．答：铁塔CD的高度约为68.5m．13．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．（1）求的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：三角函数锐角13°28°32°0.220.470.530.970.880.850.230.530.62【答案】（1）；（2）【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根据AM-AE可求出结论．【详解】解：（1）在Rt△ADF中，∴===88cm在Rt△AEF中，∴（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，则∴在Rt△ADF中，在Rt△DFG中，∴∴AG=AF+FG=88+75.8=∵AN⊥GD∴∠ANG=90°∴在Rt△ANM中，∴∴∴的最小值为14．（2021·江苏连云港·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）【答案】（1）8.1m；（2）4.58m【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用;（2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．【详解】（1）过点作，垂足为，延长交于点，则，垂足为．由，∴，∴，即，∴，由，∴，∴，即，∴．又，∴，∴，即，∴，即到岸边的距离为．（2）过点作，垂足为，延长交于点，则，垂足为．由，∴，∴，即，∴．由，∴，∴，即，∴．∴，∴，即点到岸边的距离为．1．（2022·江苏盐城·一模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A(，4)、B(n，2)两点．(1)求、n的值；(2)求一次函数的解析式；(3)求△AOB的面积．【答案】(1)m=6，n=3；(2)；(3)△AOB的面积为4.5【分析】（1）把点A代入y＝中可求出m=6，得y＝，再把B(n，2)代入y＝可求出n的值；（2）运用待定系数法即可解决问题；（3）求得直线与x轴的交点，然后根据S△AOB=S△AOC-S△BOC求得即可．【解析】(1)把点A(，4)代入y＝，得∴∴y＝，把B(n，2)代入y＝得，∴(2)由（1）得：A(，4)，B（3，2）代入一次函数y＝kx+b得，解得，∴一次函数的解析式为(3)设直线与x轴的交点为C，把y=0代入，则，解得x=4.5，∴C（4.5，0），∴S△AOB=S△AOC-S△BOC=2．（2022·江苏南通·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，点的坐标为，点的坐标为．(1)则，；(2)若时，则的取值范围是；(3)过点作轴于点，连接，过点作于点，求线段的长．【答案】(1)，；(2)或；(3)【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式中，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式中求出；（2）根据图象直接得出结论；（3）先求出，，再求出，最后用三角形的面积公式建立方程求解，即可得出结论．【解析】(1)点，在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为，在反比例函数的图象上，，，故答案为：，；(2)由（1）知，，，，当或时，，故答案为：或；(3)轴，，，，点到的距离，，，，，，．3．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．【答案】（1）y=－2x+2；（2）y=－+2x【分析】（1）根据顶点抛物线的定义，只要选择的抛物线过点（1，1）即可，可选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1；（2）将点（1，1）代入顶点抛物线解析式中得到b与c的关系式，再求得顶点纵坐标，并整理为关于b的二次函数，利用二次函数的性质求解b、c值即可求解．【详解】解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1，根据顶点式得：y=x2﹣2x+2；（2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1），且﹣1+2b+c+1=1，∴c=1﹣2b，∵顶点纵坐标c+b2+1=2﹣2b+b2=（b﹣1）2+1，∴当b=1时，c+b2+1最小，即抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．4．（2022·江苏·南闸实验学校一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM＝2∠A．(1)判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA＝4，∠BCM＝60°，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)MN是⊙O切线，理由见解析；(2)．【分析】（1）如图，连接OC，证明∠OCM＝90°即可．（2）求出∠AOC以及BC，根据计算即可．【解析】(1)解：MN是⊙O切线．理由如下：如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠A，∠BCM＝2∠A，∴∠BCM＝∠BOC，∵∠B＝90°，∴∠BOC+∠BCO＝90°，∴∠BCM+∠BCO＝90°，∴OC⊥MN，又∵是⊙O半径,∴MN是⊙O切线．(2)解：由（1）可知∠BOC＝∠BCM＝60°，∴∠AOC＝120°，在中，OC＝OA＝4，∠BCO＝30°，∴，，∴∴图中阴影部分的面积为．5．（2022·江苏扬州·一模）如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AF＝CE．(1)试判断四边形BEDF的形状，并说明理由；(2)若BE⊥AC，BF＝10，BE＝6，求线段CF的长．【答案】(1)四边形BEDF为平行四边形，理由见解析；(2)【分析】（1）证明△AFD≌△CEB（SAS），得出∠AFD=∠CEB，即可得出结论；（2）连接BD交AC于点O,先根据勾股定理求出EF的长，再求出OB的长，由此即可解决问题．【解析】(1)四边形BEDF为平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAF=∠DCE，在△BAF和△DCE中，，∴△DCE≌△BAF（SAS），∴DE=BF，∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形BEDF为平行四边形；(2)如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是矩形，6．（2022·江苏徐州·一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，连接BE并延长，交AD的延长线与点F，延长ED至点G，使DG=DE，分别连接AE，AG，FG．(1)求证：；(2)当时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)菱形，理由见解析．【分析】（1）由题干得到，可证得，再根据、可以证明；（2）根据得到，从而根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证得四边形AEFG是平行四边形，再由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可以推出四边形AEFG是菱形．【解析】(1)证：∵四边形ABCD平行四边形∴∴∵E为CD的中点∴在与中，∴（ASA）(2)四边形AEFG是菱形，理由如下：∵∴又∵∴∵DG=DE∴四边形AEFG是平行四边形∵∴∴四边形AEFG是菱形7．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．(1)求证：DF为⊙O的切线；(2)若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）证明OD//AC，可得OD⊥DF，即可证得结论；（2）根据外角的性质可得：∠EAB=∠B+∠C=60°，可得圆心角∠EOB=2∠EAB=120°，然后根据弧长公式可求得结果．【解析】(1)解：证明：如图，连接OD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠C=∠ODB，∴OD//AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，DF为⊙O的切线；(2)解：如图，连接OE，∵∠B=∠C=30°，∴∠EAB=∠B+∠C=60°，∴∠EOB=2∠EAB=120°，∴的长=．8．（2022·江苏无锡·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．(1)若∠BAC＝40°，则∠ADC＝°；∠DAC＝°(2)求证：∠BAC＝2∠DAC；(3)若AB＝10，CD＝5，求BC的值．【答案】(1)；；(2)见解析；(3)【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可求∠ADC，根据圆周角定理和三角形内角和定理即可求∠DAC；（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理及三角形内角和定理即可求解；（3）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到，CH＝BH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到AG＝AH，CG＝CH，根据形似三角形的性质得到，设BH＝k，AH＝2k，由勾股定理即可求解．【解析】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，∵BD⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠DAC＝180°﹣∠ADB﹣∠AED＝20°，故答案为：110；20(2)证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；(3)过A作AH⊥BC于H，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵AB＝AC，∴，CH＝BH，∵∠BAC＝2∠DAC，∴∠CAG＝∠CAH，∴∠G＝∠AHC＝90°，∵AC＝AC，∴△AGC≌△AHC（AAS），∴AG＝AH，CG＝CH，∵∠CDG＝∠ABC，∴△CDG∽△ABH，∴，∴，设BH＝k，AH＝2k，∴∴k＝，∴BC＝2k＝．9．（2022·江苏南京·一模）菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．(1)如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；(2)如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）先由菱形的性质得BC＝AD＝6，AD∥BC，再证△AOE∽△COB，即可得出答案；（2）先证△ABC是等边三角形，得AC＝BC，∠ACB＝60°，再证△ACE≌△BCF（SAS），得CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，然后证∠ECF＝∠ACB＝60°，即可得出结论．【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∵点E为AD的中点，∴AE＝AD＝3，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COB，∴；(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D＝60°，∴∠CAE＝∠ACB，△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠EAC＝60°＝∠B，∵AE+DE＝AD＝6，BF+DE＝6，∴AE＝BF，在△ACE和△BCF中，,∴△ACE≌△BCF（SAS），∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，∴∠ACE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝60°，即∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形．10．（2022·江苏南京·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．(1)边BC的长等于________．(2)用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形方框内，作出圆心在斜边AB上，经过点B，且与边AC相切的⊙O，并简要说明作法（保留作图痕迹，不要求证明）．【答案】(1)3；(2)见解析【分析】（1）利用勾股定理计算；（2）先作∠ABC的平分线，交AC与D，然后过点D作DO⊥AC于D，交AB于点O，得△ODC为等腰三角形，OD=OC，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，则⊙O为所求作的圆．【解析】(1)解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4．∴BC==3；故答案为：3；(2)解：先作∠ABC的平分线，交AC与D，然后过点D作DO⊥AC于D，交AB于点O，得△ODC为等腰三角形，OD=OC，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，则⊙O为所求作的圆．证明：∵BD平分∠CBA，∴∠DBC=∠DBA，∵OD⊥AC，∠C=90°，∴OD∥BC，∴∠ODB=∠DBC∴∠ODB=∠DBA，∴OD=OB，∴以点O为圆心，OD长为半径的⊙O过点B，∵OD⊥AC，OD为半径，∴AC为⊙O的切线，∴以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，为所求．故答案为：作∠B的平分线与AC交于点D；过点D作AC的垂线（或BC的平行线）与AB交于点O；以点O为圆心，OB为半径作圆，所作⊙O即为所求．11．（2022·江苏盐城·一模）（1）如图△ABC，请在边BC、CA、AB上分别确定点D、E、F，使得四边形BDEF为菱形，请作出菱形BDEF．（要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）（2）若△ABC中，AB=10，BC=15，求（1）中所作菱形BDEF的边长．【答案】（1）见解析；（2）所作菱形BDEF的边长为6【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于点E，作线段BE的垂直平分线交AB于点F，交BC于点D，连接EF，ED，四边形BDEF即为所求．（2）根据菱形性质可得∠，进一步证明得，代入相关数据可得结论．【详解】解：（1）如图所示，四边形BDEF即为所求．（2）∵四边形BDEF是菱形∴，//设，则∵//∴∠在和中，∴∴∴解得，∴（1）中所作菱形BDEF的边长612．（2022·江苏无锡·一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，tan∠A＝．(1)尺规作图：以AC为直径作⊙O，与AB交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求⊙O的半径长度．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧交于两点，连接这两点交AC于点O，以O为圆心，OA为半径作圆交AB于点D；（2）连接CD，根据AC是⊙O的直径，可得∠ADC=90°，由tan∠A=，可得CD=2，再运用勾股定理可得AC=，从而可得圆的半径．【解析】(1)如图所示，⊙O即为所作的圆：(2)连接CD，如图，∵AC是圆O的直径∴，即∵BC=AC∴∵tan∠A＝∴∴在Rt△ACD中，∴∴⊙O的半径=13．（2022·江苏徐州·一模）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，一市民骑自行车由A地出发，途径B地去往C地，如图，当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔P，他由A地沿正东方向骑行km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东方向，然后他由B地沿北偏东方向骑行12km到达C地．(1)求A地与信号发射塔P之间的距离；(2)求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）【答案】(1)（4+4）km；(2)4km【分析】（1）根据题意得到∠PAB=45°，∠PBG=15°，∠GBC=75°，过点B作BD⊥AP于D点，求得AD=BD=4，得到∠PBD=60°，由BD=4，求得PD＝4，于是得到结论；（2）过点P作PE⊥BC于E，根据∠PBG=15°，∠GBC=75°，求得∠PBE=60°，得到BE=4，PE＝4，根据BC=12，则CE=8，于是由勾股定理可得到答案．【解析】(1)解：依题意知：∠PAB=45°，∠PBG=15°，∠GBC=75°，过点B作BD⊥AP于D点，∵∠DAB=45°，AB＝4，∴AD=BD=4，∵∠ABD=∠GBD=45°，∠GBP=15°，∴∠PBD=60°，∵BD=4，∴PD＝4，∴PA=（4+4）（km）；答：A地与信号发射塔P之间的距离为（4+4）km．(2)解：∵∠PBD=60°，BD=4，∴PB=8，过点P作PE⊥BC于E，∵∠PBG=15

，∠GBC=75°，∴∠PBE=60°，∵PB=8，∴BE=4，PE＝4，∵BC=12，∴CE=8，∴PC==4（km）．答：C地与信号发射塔P之间的距离为4km．14．（2022·江苏淮安·一模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，腰AB=AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝，若canB＝1，则∠B＝°．(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．【答案】(1)，60；(2)36【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据∠B=30°，可得出BD=AB，结合等腰三角形的性质可得出BC=AB，继而得出canB；只需要证明△ABC是等边三角形即可得到答案；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，先得到，设BC＝8x，AB＝5x，则BD＝BC＝4x，AD＝＝3x，再由S△ABC＝48，得到BC•AD＝48，由此求解即可．【解析】(1)解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B=30°，∴cos∠B==，∴BD=AB，∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD=AB，∴can30°==；∵canB==，∴又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，故答案为：，60；(2)解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵canB＝，∴，设BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x，∴AD＝＝3x，∵S△ABC＝48，∴BC•AD＝48，∴•8x•3x＝48，∴x2＝4，∴x＝±2（负值舍去），∴x＝2，∴AB＝AC＝10，BC＝16，∴△ABC的周长为36．15．（2022·江苏徐州·一模）图（1）为某大型商场的自动扶梯．图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m，（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）．(1)求图中B到一楼地面的高度．(2)求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）．【答案】(1)图中B到一楼地面的高度为(2)日光灯到一楼地面的高度为【分析】（1）过点作于、交于，过点作于，过点作于、交于，如图（2）所示：则，四边形、四边形是矩形，，，，，设，的坡度为，在中，由勾股定理得：，解得：，即可求得；（2）由（1），得出，在中，利用，求出，求出．【解析】(1)解：过点作于、交于，过点作于，过点作于、交于，如图（2）所示：则，四边形、四边形是矩形，，，，，设，的坡度为，，，在中，由勾股定理得：，解得：，，答：图中B到一楼地面的高度为；(2)解：，，在中，，，，，即日光灯到一楼地面的高度为．（限时：40分钟）1．（2022·四川资阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，且，．(1)求一次函数的解析式；(2)连结AO并延长交双曲线于点D，连结BD，求△ABD的面积．【答案】(1)；(2)16【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）过点D作轴交AB于点E．根据A、D两点关于原点对称，可得，把代入得，则，根据即可求得△ABD的面积．【解析】(1)解：把代入得，∴反比例函数的解析式为，∴将和代入得，解得∴一次函数的解析式为：(2)过点D作轴交AB于点E．∵A、D两点关于原点对称，∴把代入得，∴∴，∴2．（2022·河南郑州·二模）如图1，点A、B是双曲线y=（k＞0）上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于点G，得到正方形OCGF（阴影部分），且S阴影=1，△AGB的面积为2．(1)求双曲线的解析式；(2)在双曲线上移动点A和点B，上述作图不变，得到矩形OCGF（阴影部分），点A、B在运动过程中始终保持S阴影=1不变（如图2），则△AGB的面积是否会改变？说明理由．【答案】(1)；(2)△AGB的面积保持不变，理由见解析【分析】（1）结合题意，根据正方形和直角坐标系的性质，得推导得点A的横坐标为1，点B纵坐标为1；根据双曲线的性质，得AC=k，BF=k，根据三角形面积公式，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）结合题意，根据矩形和直角坐标系的性质，设矩形OCGF的边OC=m，得推导得点A的横坐标为m，点B纵坐标为；根据双曲线的性质，得AC=，BF=3m，根据三角形面积公式计算，即可得到答案．【解析】(1)∵四边形OCGF是正方形，∴OC=CG=GF=OF，∠CGF=90°，∵阴影部分S=OC2=1，∴OC=CG=GF=OF=1，∴点A的横坐标为1，点B纵坐标为1．∵点A、B是双曲线y=上的点，∴点A的纵坐标为y==k，点B横坐标为x==k，∴AC=k，BF=k，∴AG=k-1，BG=k-1．∵∠AGB=∠CGF=90°，∴S△AGB=AG•BG=（k−1）2=2，解得：k=3或k=-1（舍去）∴双曲线的解析式为y=；(2)设矩形OCGF的边OC=m∵阴影部分S=OC•OF=1，∴OF=∴点A的横坐标为m，点B纵坐标为．∵点A、B是双曲线y=上的点∴点A的纵坐标为y=，点B横坐标为x=3m．∴AC=，BF=3m．∵FG=OC=m，CG=OF=，∴AG=AC-CG=-=，BG=BF-FG=3m-m=2m，∴S△AGB=AG•BG=••2m=2∴点A、B在运动过程中△AGB的面积保持不变．3．（2022·浙江宁波·一模）如图所示，已知二次函数的图象与x轴的一个交点为A（3,0），另一个交点为B，与y轴的交点为点C．(1)求m的值；(2)若经过点B的一次函数平分△的面积．求k、b的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）将点A（3，0）代入，即可求出m；（2）由（1）的m=3得，求出点B、C的坐标，再由一次函数平分△ABC的面积，可知一次函数经过AC的中点E，求出点E的坐标，即可求出答案．【解析】(1)解：∵二次函数的图象与轴的一个交点为A（3，0），∴，∴m=3；(2)如上图，∵一次函数平分△ABC的面积，∴一次函数平分线段AC，∴一次函数经过AC的中点E，∵m=3，∴时，解得，，∴点B的坐标为B（-1，0），

当时，，∴点C的坐标为C（0，3），∴点E的坐标为E（，），

∵一次函数经过点B，∴解得：4．（2022·云南昆明·一模）已知抛物线与x轴只有一个交点，并且还经过，两点中的一个点．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，说明线段AB与线段CD之间的数量关系．【答案】(1)y＝x2－2x＋1；(2)【分析】（1）根据抛物线与x轴有一个交点求出a，再抛物线开口向上，并且还经过（0，1），将点代入抛物线解析式求解；（2）先根据直线与抛物线相交于A、B两点，求出，再根据直线与抛物线相交于点C，D，联立y＝n（n＞0）与组成方程组，解方程组求出，进而求出CD的距离，结合AB的距离即可求出AB与CD关系．【解析】(1)解：∵抛物线与x轴只有一个交点（1，0）∴，∴．抛物线开口向上，并且还经过（0，1）．把（0，1）代入y＝x2－2x＋c中，解得c＝1．∴抛物线的解析式y＝x2－2x＋1；(2)解：由y＝x2－2x＋1可变形为：y＝（x－1）2．令y＝n，∴（x－1）2＝n，解得，∴．联立y＝n（n＞0）与得解得．∴．5．（2022·陕西·西安工业大学附中二模）如图，的外接的圆心在AC边上，以CB为边作，BD边交AC延长于点D，点E为OC中点，连接BE并延长交于点F，连接AF．(1)求证：BD是的切线；(2)若，，求AF的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）连接OB，由AC为的直径，得∠BAC＋∠ACB=90°，由OB=OC得∠OBC＝∠ACB，再根据∠CBD=∠BAC可得∠OBD=90°，从而得出结论；（2）由，得∠BOC＝60°，进而知△OBC是等边三角形，由点E为OC中点可得AC⊥BF，再由AC是直径得AF=AB，从而解决问题．【解析】(1)解：如图，连接OB，∵AC为的直径，∴∠ABC=90°，∴∠BAC＋∠ACB=90°，∵∠CBD=∠BAC，∴∠CBD＋∠ACB=90°，∵OB=OC，∴∠OBC＝∠ACB，∴∠CBD＋∠OBC=90°，∴∠OBD=90°，∴，∵OB是的半径，∴BD是的切线；(2)解：∵，，∴，，由（1）知∠OBD=90°，在Rt△OBD中，，∴∠BOC＝60°，又∵，∴△OBC是等边三角形，∴，∵点E为OC中点，∴，即AC⊥BF，∵AC是的直径∴AC垂直平分BF，∴AF=AB，在Rt△ABC中，，∴，∴．6．（2022·河北·景县第二中学一模）如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．(1)求证：OD＝OB；(2)求证：四边形ABCD是菱形；(3)若sin∠CDE＝，CE＝1，求BD的长度．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2【分析】（1）证明△AOD≌△COB，即可求证；（2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可求证；（3）利用锐角三角函数可得CD＝2，从而得到DE＝．进而得到BE＝BC＋CE＝3．再由勾股定理，即可求解．【解析】(1)证明：∵ADBC，∴∠OAD＝∠OCB．在△AOD和△COB中，∵∠OAD＝∠OCB，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB（ASA），∴OD＝OB；(2)证明：由（1）知OD＝OB．∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；(3)解：∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°．在Rt△DCE中，CE＝1，sin∠CDE＝＝，∴CD＝2，由勾股定理得DE＝．由（2）知四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝2，∴BE＝BC＋CE＝3．在Rt△BDE中，由勾股定理得BD＝2．7．（2022·山东济宁·一模）如图，是⊙的直径，过点A作⊙的切线，并在其上取一点C，连接交⊙于点D，的延长线交于E，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出∠ADB=90°，再利用切线的性质求出∠BAC=90°，从而可得∠B=∠CAD，然后利用等腰三角形的性质可得∠B=∠ODB，进而可得∠CAD=∠CDE；（2）先在Rt△AOC中，利用勾股定理求出OC，然后再根据两角相等的两个三角形相似证明△CDE∽△CAD，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解析】(1)证明：∵是⊙的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙的切线，A为切点，∴，∴∠BAC=90°，∴，∴∠B=∠CAD，∵，∴∠B=∠ODB，∵，∴，∴∠CAD=∠CDE；(2)解：∵，∴，在Rt△AOC中，，∴，∴，∵，，∴△CDE∽△CAD，∴，即：，解得：．8．（2022·广西崇左·一模）如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接，．(1)求证：平分；(2)若，，求的面积；(3)在（2）的条件下，求的长．【答案】(1)见解析；(2)；(3)【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到∠OEB＝90°，进而得到OE∥AC，根据平行线的性质得到∠OEA＝∠EAC，根据等腰三角形的性质得到∠OEA＝∠OAE，根据角平分线的定义证明结论；（2）求出∠DAE＝∠CAE＝∠BAC＝30°，由直角三角形的性质可得出答案；（3）根据圆周角定理得到∠AED＝90°，根据锐角三角函数的定义计算可得到答案．【解析】(1)证明：连接，是的切线，，即，，，，，，，即平分；(2)解：，，，，，，，，，，；(3)解：为的直径，，，，．9．（2022·浙江温州·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，作DE∥BC，交BO的延长线于点E，且BE平分∠ABD．(1)求证：四边形BCDE是平行四边形；(2)若AD＝8，tan∠BDE＝，求AC的长与▱BCDE的周长．【答案】(1)见解析；(2)的长为6，的周长为【分析】（1）延长BE交AD于点F，交于点G，由角平分线的性质得到，再根据圆周角定理得到，结合垂径定理解得，再根据直径所对的圆周角是90°，可证明，最后根据平行四边形的判断方法解答；（2）由两直线平行内错角相等及同弧所对的圆周角相等，证得，继而得到，解得CD，AC，AF的长，证明OF是的中位线，得到OF的长，由勾股定理解得BD的长，证明是线段AD的垂直平分线，由勾股定理解得BC的长，最后计算周长．【解析】(1)解：延长BE交AD于点F，交于点G，平分，，，是的直径，，是的直径，，，，，四边形BCDE是平行四边形；(2)，，和所对的都是，，，，中，，，，是的直径，，，是的直径，是的半径，，，是的中位线，，，，，是线段AD的垂直平分线，，是的直径，，，，的长为6，的周长为．10．（2022·陕西宝鸡·一模）如图，四边形内接于，，为的直径，过作的切线．(1)求证：．(2)若的半径为5，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）由直径所对的圆周角为得，进而得到，由得，由三角形内角和定理得，又，利用内错角相等两直线平行证明；（2）作于点M．由同弧所对的圆周角相等得，解求出AM，BM，再利用勾股定理依次求出BD，DM，通过即可求解．【解析】(1)证明：如图，连接OD，是的直径，，，，，，，是的切线，，，．(2)解：如图，作于点M．，和都是弧所对的圆周角，，在中，，即，，，，的半径为5，，，，，即，解得，，．11．（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC，H为垂足，将△ABH绕点A逆时针旋转得△ADE，连接CD，F为CD的中点，连接FH，FE．(1)求证：FH=FE且FH⊥FE；(2)若AB=4，，直接写出点F经过的路径长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）连接AF，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=45°，BH=CH，结合旋转的的性质得到∠AED+∠AFD=180°，∠AHС+∠AFC=180°，从而证得A、E、D、F四点共圆，A、H、C、F四点共圆，求出∠AFE=∠ADE=45°，∠AFH=∠ACH=45°，得到∠EFH=∠AFE+∠AFH=90°，证得FH⊥FE，再证明△EAF≌△HAF，得到HF=FE；（2）取线段AC的中点O，连接OF、OH，根据三角形中位线的定义得到OF=AD=AB=2，OF∥AD，OH∥AB，从而得到在△ABH绕点A逆时针旋转过程中，点F从点H开始，在以点O为圆心，2为半径的圆上移动，当时，B、A、D三点共线，确定H、O、F三点共线，根据公式求出点F经过的路径长．【解析】(1)证明：连接AF，∵AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC，∴∠B=∠ACB=45°，BH=CH，由旋转性质知，AD=AB=AC，AE=AH，∠AED=∠AHB=90°，∠ADE=∠B=45°，∠EAD=∠BAH=45°，∵CF=DF，AC=AD，∴AF⊥CD，∠DAF=∠CAF，∴∠AFD=∠AFC=90°，∵∠AED=∠AHC=90°，∴∠AED+∠AFD=180°，∠AHС+∠AFC=180°，∴A、E、D、F四点共圆，A、H、C、F四点共圆，∴∠AFE=∠ADE=45°，∠AFH=∠ACH=45°，∴∠EFH=∠AFE+∠AFH=90°，∴FH⊥FE，∵∠EAD=∠HAC=45°，∠DAF=∠CAF，∴∠EAD+∠DAF=∠HAC+∠CAF，∴∠EAF=∠HAF，∴△EAF≌△HAF，∴HF=FE；(2)取线段AC的中点O，连接OF、OH，∵点F为CD中点，点H为BC中点，点O为AC中点，∴OF为△ACD的中位线，OH为△ABC的中位线，∴OF=AD=AB=2，OF∥AD，OH∥AB，在△ABH绕点A逆时针旋转过程中，点F从点H开始，在以点O为圆心，2为半径的圆上移动，当时，B、A、D三点共线，∵OF∥AD，OH∥AB，∴H、O、F三点共线，∴点F经过的路径长为半圆O的弧长：．12．（2022·甘肃平凉·一模）如图，的面积为10，．(1)尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，求CE的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）以C为圆心，CB为半径作弧，交线段AB延长线于F，分别以B、F为圆心，大于一BF的线段长为半径作弧，两弧交于G、H，连接GH，交AF于E，作直线CE，则CE即为AB的垂线；（2）由平行四边形的性质可证，再根据平行四边形的面积可得，继而推出，即可求解．【解析】(1)如图，直线CE为所求．(2)四边形ABCD为平行四边形（AAS）∵四边形ABCD的面积为10，∴，∴，∵，∴．13．（2022·福建·一模）如图，在中，．(1)请作出经过A、B两点的圆，且该圆的圆心O落在线段AC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；(2)在（1）的条件下，已知，将线段AB绕点A逆时针旋转后与⊙O交于点E．试证明：B、C、E三点共线．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）只需要作AB的垂直平分线，其与AC的交点即为圆心O，由此作图即可；（2）先由圆周角定理求出，再由旋转的性质求出，从而得到，证明△OBC≌△OEC得到∠OCE=∠OCB=90°，则∠OCB+∠OCE=180°，即可证明B、C、E三点共线．【解析】(1)解：如图所示，