专题12与一元一次不等式(组)有关的新定义型问题(原卷版+解析)

七年级数学下册解法技巧思维培优专题12与一元一次不等式(组)有关的定义新运算问题【典例1】（2019•汉阳区期末）记R（x）表示正数x四舍五入后的结果，例如R（2.7）＝3，R（7.11）＝7，R（9）＝9，（1）R（π）＝，R（3）＝；（2）若R（12x﹣1）＝3，则x的取值范围是（3）R（R(x+2)2）＝4，则x的取值范围是【点拨】（1）根据题意即可得到结论；（2）根据题意列不等式即可得到结论；（3）根据题意列不等式即可得到结果．【典例2】（2019•昌图县模拟）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣2，﹣1，0}＝﹣1；max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}=a(a≥−1)若max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}，则x的取值范围为．【点拨】由max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}得5−3x≤32x−6≤3【典例3】（2019•金牛区校级月考）对x，y定义一个新运算T，规定：T（x，y）=ax+by2x+y（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a×0+b×12×0+1=b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组T(2m，5−4m)≤4T(m3−2m)＞P【点拨】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出p的范围．【典例4】（2019•西湖区校级月考）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范围是．（2）如果[y+12]=4，满足条件的所有正整数y有【点拨】（1）根据已知符号[a]表示不大于a的最大整数得出即可；（2）根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集，再得出答案即可．【典例5】（2019•岳麓区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2关联方程是（2）若不等式组x−12＜11+x＞−3x+2（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m【点拨】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．巩固练习1．（2019•大石桥市期末）对于非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]，即当m为非负整数时，若m−12≤x＜m+12，则[x]＝m，如：[6.4]＝6，[6.5]＝7，……根据以上材料，若[5x2．（2019•大兴区期末）对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[x+23]＝﹣5，则整数x的取值是3．（2019•丹阳市期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+byx+2y（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，侧如：T（1，0）=a×1+b×01+2×0=a．已知T（1，﹣1）＝1，T（5，﹣2）＝4，若关于m的不等式组T(2m，5−m)＜24．（2019•雁塔区校级期中）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如：[1.6]＝1，[π]＝3，[2.8]＝﹣3等[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x≤[x]+1．根据以上所述，则满足[x]＝2x﹣1的所有x的和为．5．（2019•西湖区校级月考）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范围是．（2）如果[y+12]=4，满足条件的所有正整数y6．（2019•岳麓区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2关联方程是（2）若不等式组x−12（写出一个即可）．（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m7．（2019•玉州区期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①x﹣（3x+1）＝﹣5；②2x3+1＝0；③3x﹣1＝0中，不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2（2）若不等式组x−2＜11+x＞−x+2的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是（3）若方程12−12x=12x，3+x＝2（x+1七年级数学下册解法技巧思维培优专题12与一元一次不等式(组)有关的定义新运算问题【典例1】（2019•汉阳区期末）记R（x）表示正数x四舍五入后的结果，例如R（2.7）＝3，R（7.11）＝7，R（9）＝9，（1）R（π）＝3，R（3）＝2；（2）若R（12x﹣1）＝3，则x的取值范围是7≤x＜9（3）R（R(x+2)2）＝4，则x的取值范围是4.5≤x＜6.5【点拨】（1）根据题意即可得到结论；（2）根据题意列不等式即可得到结论；（3）根据题意列不等式即可得到结果．【解析】解：（1）R（π）＝3，R（3）＝2，故答案为：3，2；（2）∵R（12x∴2.5≤12解得：7≤x＜9，故答案为：7≤x＜9；（3）∵R（R(x+2)2∴3.5≤R(x+2)∴7≤R（x+2）＜9，∴R（x+2）＝7或R（x+2）＝8，∴6.5≤x+2＜8.5，∴4.5≤x＜6.5，故答案为：4.5≤x＜6.5．【典例2】（2019•昌图县模拟）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣2，﹣1，0}＝﹣1；max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}=a(a≥−1)若max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}，则x的取值范围为23≤x≤【点拨】由max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}得5−3x≤32x−6≤3【解析】解：∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}＝3，∴5−3x≤32x−6≤3∴23≤x故答案为23≤x【典例3】（2019•金牛区校级月考）对x，y定义一个新运算T，规定：T（x，y）=ax+by2x+y（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a×0+b×12×0+1=b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组T(2m，5−4m)≤4T(m3−2m)＞P恰好有5个整数解，则实数P的取值范围【点拨】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出p的范围．【解析】解：∵T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，∴a−b2+(−1)=−2，解得：a＝1，b＝3，T（2m，5﹣4m）=2m+3(5−4m)4m+5−4m≤4，解得T（m，3﹣2m）=m+3(3−2m)2m+3−2m＞P，解得∵关于m的不等式组T(2m，5−4m)≤4T(m3−2m)＞P∴4＜9−3p∴−163≤∴实数P的取值范围是−163≤故答案为：−163≤【典例4】（2019•西湖区校级月考）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范围是﹣4≤a＜﹣3．（2）如果[y+12]=4，满足条件的所有正整数y【点拨】（1）根据已知符号[a]表示不大于a的最大整数得出即可；（2）根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集，再得出答案即可．【解析】解：（1）∵[a]＝﹣3，∴﹣4≤a＜﹣3，故答案为：﹣4≤a＜﹣3；（2）∵[y+1∴4≤y+1解得：7≤y＜9，∴所有正整数y有7，8，故答案为：7，8．【典例5】（2019•岳麓区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2关联方程是③（2）若不等式组x−12＜11+x＞−3x+2（写出一个即可）．（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m【点拨】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．【解析】解：（1）①解方程3x﹣1＝0得：x=1②解方程23x+1＝0得：x=−③解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，解不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2得：34＜所以不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2的关联方程是③故答案为：③；（2）解不等式x−12＜解不等式1+x＞﹣3x+2得：x＞0.25，则不等式组的解集为0.25＜x＜1.5，∴其整数解为1，则该不等式组的关联方程为2x﹣2＝0．故答案为：2x﹣2＝0．（3）解方程9﹣x＝2x得x＝3，解方程3+x＝2（x+12）得解不等式组x＜2x−mx−2≤m得m＜x≤m∵方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组∴1≤m＜2．巩固练习1．（2019•大石桥市期末）对于非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]，即当m为非负整数时，若m−12≤x＜m+12，则[x]＝m，如：[6.4]＝6，[6.5]＝7，……根据以上材料，若[5x+3]＝5，则x【点拨】根据“四舍五入”到个位的定义，根据不等式组即可解决问题．【解析】解：由题意：5−12≤5x解得0.3≤x＜0.5，故答案为0.3≤x＜0.5．2．（2019•大兴区期末）对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[x+23]＝﹣5，则整数x的取值是﹣17，﹣16，﹣15【点拨】根据题意得出﹣5≤x+23＜−【解析】解：∵[m]表示不大于m的最大整数，∴﹣5≤x+2解得：﹣17≤x＜﹣14，∴整数x为﹣17，﹣16，﹣15，故答案为﹣17，﹣16，﹣15．3．（2019•丹阳市期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+byx+2y（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，侧如：T（1，0）=a×1+b×01+2×0=a．已知T（1，﹣1）＝1，T（5，﹣2）＝4，若关于m的不等式组T(2m，5−m)＜2T(4m，1−2m)≥1【点拨】已知两对值代入T中计算求出a与b的值，然后根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可．【解析】解：∵T（1，﹣1）＝﹣1，T（5，﹣2）＝4，∴a−b1−2=1，解得：a＝2，b＝3，∵T(2m，5−m)＜2T(4m，1−2m)≥∴m+1510∴m＜5m≥∵有3个整数解，∴1＜p−3∴5＜p≤7，故答案为5＜p≤7．4．（2019•雁塔区校级期中）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如：[1.6]＝1，[π]＝3，[2.8]＝﹣3等[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x≤[x]+1．根据以上所述，则满足[x]＝2x﹣1的所有x的和为1.5．【点拨】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．【解析】解：∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]＝2x﹣1，∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，解得，0＜x≤1，∵2x﹣1是整数，∴x＝0.5或x＝1，∴0.5+1＝1.5故答案为：1.5．5．（2019•西湖区校级月考）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范围是﹣4≤a＜﹣3．（2）如果[y+12]=4，满足条件的所有正整数y【点拨】（1）根据已知符号[a]表示不大于a的最大整数得出即可；（2）根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集，再得出答案即可．【解析】解：（1）∵[a]＝﹣3，∴﹣4≤a＜﹣3，故答案为：﹣4≤a＜﹣3；（2）∵[y+1∴4≤y+1解得：7≤y＜9，∴所有正整数y有7，8，故答案为：7，8．6．（2019•岳麓区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2关联方程是③（2）若不等式组x−12＜11+x＞−3x+2（写出一个即可）．（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m【点拨】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．【解析】解：（1）①解方程3x﹣1＝0得：x=1②解方程23x+1＝0得：x=−③解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，解不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2得：34＜所以不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2的关联方程是③故答案为：③；（2）解不等式x−12＜解不等式1+x＞﹣3x+2得：x＞0.25，则不等式组的解集为0.25＜x＜1.5，∴其整数解为1，则该不等式组的关联方程为2x﹣2＝0．故答案为：2x﹣2＝0．（3）解方程9﹣x＝2x得x＝3，解方程3