人教版九年级数学下册《第二十七章相似》单元测试卷及答案

第第页人教版九年级数学下册《第二十七章相似》单元测试卷及答案一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．[2024上海徐汇区期末]如果x，y都不为零，且2x＝3y，那么下列比例式中正确的是()A.eq\f(x,y)＝eq\f(2,3)B.eq\f(x,3)＝eq\f(y,2)C.eq\f(x,2)＝eq\f(3,y)D.eq\f(x,3)＝eq\f(2,y)2．[2024重庆八中月考]若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为()A．1：9B．3：1C．1：3D．1：813.某两地的实际距离为8km，画在地图上的距离是10cm，则在地图上的距离与实际的距离之比是()A．1：800B．1：8000C．1：80000D．1：8000004．如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，若点B的坐标为(1，1)，则点D的坐标是()A．(3，3)B．(4，4)C．(5，5)D．(6，6)5．如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则eq\f(OA,OH)等于()A．3B.eq\r(3)C．2D.eq\r(2)6.如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB＝60cm，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，则钢梁DE的长为()A．20cmB．24cmC．32cmD．40cm7．如图，AD是△ABC的中线，∠B＝90°，AB＝3，CE⊥BC于点C，CE＝5，且∠ADE＝90°，则AE的长为()A．13B．11C．8D．68．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB·(AB＋BC)，且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(8,5)9．一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的．如图，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么eq\f(AD,AB)＝()A．0.618B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．210．如图是一个由A，B，C三种相似的直角三角形纸片(相似比相同)拼成的矩形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中A，B，C的纸片的面积分别是S1，S2，S3，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为()A．4S1B．6S2C．4S2＋3S3D．3S1＋4S3二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11．若eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(e,f)＝2，且b＋d＋f＝3，则a＋c＋e＝________．12.如图，△ADE，△ABC和3张都标有一个条件的卡片．若从这3张卡片中随机一次性抽取2张，则能判断△ADE∽△ABC的概率为________．13．如图，放缩尺是利用图形的位似将图形放大或缩小的工具，点O的位置固定不变，在A，A′处装有画笔，当画笔A沿图形F运动时，画笔A′画出图形F′，图形就放大了，反之，图形就缩小了．位似比可以通过调节点B，D的位置来确定，调整时确保AB∥DC，AD∥BC，点O，F，F′在同一直线上，若OD：DC＝1：2，图形F的面积为1.5，则图形F′的面积为________．14．如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即连成一个正五角星形．此时点M是线段AD，BE的黄金分割点，也是线段NE，AH的黄金分割点，则eq\f(MN,AM)＝________．15.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝16，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向点B运动．同时点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3个单位长度的速度向点A运动，其中一点到达终点，则另一点也随之停止运动，当△ABC与以A，P，Q为顶点的三角形相似时，运动时间为________．三、解答题(共75分)16．(10分)已知：eq\f(a,b)＝eq\f(2,5).(1)求代数式eq\f(a＋4b,2a－3b)的值；(2)当2a＋3b－3＝35时，求a，b的值．17．(11分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的13×12的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC.(1)以点C为中心，将△ABC在网格上放大到原来的2倍，得到△A1B1C.点A，B的对应点分别是点A1，B1，画出△A1B1C；(2)以点B1为中心，将线段A1B1逆时针旋转90°，得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)填空：∠CB1A2＝________°.18．(12分)如图，已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)．(1)求线段AP的长；(2)以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的长．19．(12分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，DP为⊙O的切线，且DP∥BC，AC的延长线交DP于点P.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AB＝6，AC＝8，求PC的长．20．(15分)综合实践【问题情境】5月1日，某市在民族广场举行了“五一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全体劳动者的节日里用庄严的升国旗仪式向所有伟大的劳动者致敬．某校把“测量旗杆”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度(单位：度)的仪器、测量距离(单位：m)的皮尺、标杆、平面镜等．(注：以下数据为多次测量的平均值)【实践探究】某小组测量方案及数据如表：项目测量民族广场旗杆的高度工具标杆、测量距离(单位：m)的皮尺测量示意图及说明说明：用标杆测量旗杆的高度．线段AD表示观测者的眼睛到地面的距离，线段EF表示标杆，线段BC表示旗杆，点D，点F，点C三点共线，DM∥AB，AD⊥AB，EF⊥AB，BC⊥AB，点A，E，B在同一平面内.测量数据ADAEBEEF平均值1.6m0.5m20.5m2m【问题解决】(1)请运用所学知识，根据上表中的测量数据，求出旗杆的长度；(2)请运用所学知识，再设计一种方案，画出示意图，并写出需要测量的量．21．(15分)如图，矩形ABCD中，AD＞AB，点P是对角线AC上的一个动点(不包含A，C两点)，过点P作EF⊥AC分别交射线AB、射线AD于点E，F.(1)求证：△AEF∽△BCA；(2)连接BP，若BP＝AB，且F为AD的中点，求eq\f(AP,PC)的值；(3)连接PD，若AD＝2AB，移动点P，使△ABP与△CPD相似，直接写出eq\f(AF,AB)的值．参考答案一、1.B2.C3.C4.A5．B【点拨】连接BD，如图所示．由正六边形和正方形的性质易得B，D，H三点共线，设正六边形的边长为a，则BC＝CD＝DE＝a.又∵四边形DEGH为正方形，∴DH＝DE＝a.∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，∴BD＝eq\r(3)a.∵OD∥AB，∴eq\f(OA,OH)＝eq\f(BD,DH)＝eq\f(\r(3)a,a)＝eq\r(3)，故选B.6．B【点拨】∵AB＝60cm，AB＋BC＝140cm，∴BC＝140－60＝80(cm)．由题意，得∠ABC＝90°，∴在Rt△ABC中，AC＝eq\r(602＋802)＝100(cm)．∵点D是BC的中点，∴CD＝eq\f(1,2)BC＝40cm.∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°.∴∠DEC＝∠ABC＝90°.又∵∠ACB＝∠DCE，∴△ECD∽△BCA.∴eq\f(CD,CA)＝eq\f(DE,BA).∴eq\f(40,100)＝eq\f(DE,60)，解得DE＝24cm.7．C【点拨】如图，过点A作AH⊥EC于点H，则∠AHC＝90°.∵∠ADE＝90°，∴∠ADB＋∠CDE＝90°.∵CE⊥BC于点C，∴∠DCE＝90°.∴∠CED＋∠CDE＝90°.∴∠ADB＝∠CED.又∵∠ABD＝∠DCE＝90°，∴△ABD∽△DCE.∴ABDC＝BDCE.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.又∵AB＝3，CE＝5，∴BD＝CD＝eq\r(15).∴BC＝2CD＝2eq\r(15).∵∠B＝∠DCE＝∠AHC＝90°，∴四边形ABCH是矩形．∴CH＝AB＝3，AH＝BC＝2eq\r(15).∴EH＝5－3＝2.∴AE＝eq\r(EH2＋AH2)＝8.8．A【点拨】∵△DAB∽△DCA，∴eq\f(DA,DC)＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(AB,CA).又∵AD＝6，BC＝5，∴eq\f(6,5＋BD)＝eq\f(BD,6)，解得BD＝4(负值已舍去)．∴CD＝9.∴eq\f(AB,CA)＝eq\f(AD,CD)＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).∴AC＝eq\f(3,2)AB.又∵AC2＝AB·(AB＋BC)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)AB))eq\s\up12(2)＝AB·(AB＋BC)．∴AB＝4.∴AB＝BD.如图，过B作BH⊥AD于H，∴AH＝eq\f(1,2)AD＝3.∴BH＝eq\r(AB2－AH2)＝eq\r(42－32)＝eq\r(7).∵AD＝3AP，AD＝6，∴AP＝2.当PQ⊥AB时，PQ的值最小，此时∠AQP＝∠AHB＝90°.又∵∠PAQ＝∠BAH，∴△AQP∽△AHB.∴eq\f(AP,AB)＝eq\f(PQ,BH).∴eq\f(2,4)＝eq\f(PQ,\r(7)).∴PQ＝eq\f(\r(7),2).故选A.9．C【点拨】∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，且各种开本的矩形都相似，∴eq\f(S矩形ABCD,S矩形AEFB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))eq\s\up12(2)＝2.∴eq\f(AD,AB)＝eq\r(2).故选C.10．A【点拨】如图，由题意设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2.∴EH＝m(1＋k2)．∴FM＝eq\f(m（1＋k2）,k)，FK＝km(1＋k2)．则易得km(1＋k2)＋mk＝eq\f(m（1＋k2）,k)，整理得k4＋k2－1＝0，∴k2＝eq\f(－1＋\r(5),2)或eq\f(－1－\r(5),2)(舍去)．∴S2＝eq\f(－1＋\r(5),2)S1，S3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(5),2)))eq\s\up12(2)S1＝eq\f(3－\r(5),2)S1.∴S2＋S3＝S1.∴这个矩形的面积＝2S1＋2(S2＋S3)＝4S1.二、11.612.eq\f(2,3)【点拨】若抽到①②，即∠1＝∠2，∠D＝∠B，则易得△ADE∽△ABC；若抽到①③，即∠1＝∠2，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，则易得△ADE∽△ABC；若抽到②③，即∠D＝∠B，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，则无法证明△ADE∽△ABC.∵从这3张卡片中随机一次性抽取2张，有3种等可能的结果，其中能判断△ADE∽△ABC的结果有两种，∴能判断△ADE∽△ABC的概率为eq\f(2,3).13．13.5【点拨】如图，∵点O，F，F′在同一直线上，∴连接OF′.∵DF∥CF′，∴OF：FF′＝OD：DC＝1：2.∴OF：OF′＝1：3.∴图形F的面积图形F′的面积＝1：9.∵图形F的面积为1.5，∴图形F′的面积为13.5.14.eq\f(\r(5)－1,2)【点拨】连接AE，如图．∵将⊙O的圆周分成五等份，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵)).∴∠AEB＝∠DAE.∴MA＝ME.∵点M是NE的黄金分割点，∴eq\f(ME,NE)＝eq\f(NM,ME)＝eq\f(\r(5)－1,2).∴eq\f(MN,AM)＝eq\f(\r(5)－1,2).15．4s或eq\f(16,7)s【点拨】设运动时间为ts.则AP＝2t，CQ＝3t，∴AQ＝AC－CQ＝16－3t.当△ABC∽△APQ时，eq\f(AP,AB)＝eq\f(AQ,AC)，即eq\f(2t,8)＝eq\f(16－3t,16)，解得t＝eq\f(16,7)；当△ACB∽△APQ时，eq\f(AP,AC)＝eq\f(AQ,AB)，即eq\f(2t,16)＝eq\f(16－3t,8)，解得t＝4.综上所述，运动时间为4s或eq\f(16,7)s.三、16.【解】∵eq\f(a,b)＝eq\f(2,5)，∴设a＝2k，则b＝5k.(1)eq\f(a＋4b,2a－3b)＝eq\f(2k＋4×5k,2×2k－3×5k)＝eq\f(22k,－11k)＝－2.(2)当2a＋3b－3＝35时，2×2k＋3×5k－3＝35，∴k＝2.∴a＝2k＝4.b＝5k＝10.17．【解】(1)如图，△A1B1C即为所求．(2)如图，线段A2B1即为所求．(3)45【点拨】∵AC2＝12＋32＝10，AB2＝12＋32＝10，BC2＝22＋42＝20，∴BC2＝AB2＋AC2.∴△ABC为直角三角形，即∠BAC＝90°.又∵AC＝AB，∴△ABC为等腰直角三角形．∴∠ACB＝45°.∵△A1B1C与△ABC为位似图形，∴∠A1＝∠BAC＝90°.∵线段A1B1以B1为中心逆时针旋转90°得到线段A2B1，∴∠A1B1A2＝90°＝∠A1.∴AA1∥B1A2.∴∠CB1A2＝∠ACB＝45°.18．【解】(1)∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP＝eq\f(\r(5)－1,2)×AB＝eq\f(\r(5)－1,2)×2＝eq\r(5)－1.(2)∵QP平分∠AQB，∴点P到AQ，BQ的距离相等．∴eq\f(S△PAQ,S△PBQ)＝eq\f(AQ,BQ)＝eq\f(AP,PB).又∵AP＝BQ＝eq\r(5)－1，AB＝2，∴PB＝AB－AP＝2－(eq\r(5)－1)＝3－eq\r(5).∴AQ＝eq\f(AP·BQ,PB)＝eq\f(（\r(5)－1）2,3－\r(5))＝2.19．(1)【证明】如图，连接OD.∵DP为⊙O的切线，BC是⊙O的直径，∴OD⊥PD.又∵DP∥BC，∴OD⊥BC.∴易得eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).∴∠BAD＝∠CAD.∴AD平分∠BAC.(2)【解】过C作CH⊥PD于H，如图．∴∠CHP＝90°.∵OC∥DH，OD⊥PD，∴易得四边形ODHC是矩形．∴CH＝OD.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.又∵AB＝6，AC＝8，∴BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(62＋82)＝10.∴OD＝eq\f(1,2)BC＝5.∴CH＝OD＝5.∵BC∥PD，∴∠ACB＝∠P.又∵∠CHP＝∠BAC＝90°，∴△PCH∽△CBA.∴PC：CB＝CH：BA.∴PC：10＝5：6.∴PC＝eq\f(25,3).20．【解】(1)延长DM交BC于点G，交EF于点H，∴DG∥AB.又∵AD⊥AB，EF⊥AB，BC⊥AB，∴DG⊥BC，DG⊥EF.∴易得四边形AEHD，四边形BEHG都是矩形，EF∥BC.∴AE＝DH＝0.5m，HG＝BE＝20.5m，BG＝EH＝AD＝1.6m，△DFH∽△DCG.∴eq\f(FH,DH)＝eq\f(CG,DG)，即eq\f(2－1.6,0.5)＝eq\f(CG,0.5＋20.5).∴CG＝16.8m.∴旗杆的长度BC＝BG＋CG＝1.6＋16.8＝18.4(m)．(2)设计方案如下．项目测量民族广场旗杆的高度工具测量角度(单位：度)的仪器、测量距离(单位：m)的皮尺测量示意图及说明说明：用测角仪测量旗杆的高度．线段AD表示观测者的眼睛到地面的距离，线段BC表示旗杆，α为看到旗杆顶端的仰角，点D，点C共线，DG∥AB，AD⊥AB，BC⊥AB，点A，B在同一平面内.测量数据ADABα计算过程CG＝AB·tanα，BC＝AD＋AB·tanα21.(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°＝∠ABC.∴∠BAC＋∠DAC＝90°.∵EF⊥AC，∴∠APE＝90°.∴∠DAC＋∠AFE＝90°.∴∠AFE＝∠BAC.∴△AEF∽△BCA.(2)【解】∵BA＝BP，∴∠BAP＝∠BPA.∵EF⊥AC，∴∠BAP＋∠E＝90°＝∠BPA＋∠BPE.∴∠E＝∠BPE.∴AB＝BP＝BE＝eq\f(1,2)AE.设BC交FE于点G.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴△AFE∽△BGE.∴eq\f(BG,AF)＝eq\f(BE,AE)＝eq\f(1,2).∴BG＝eq\f(1,2)AF.∵F为AD的中点，∴AF＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC.∴CG＝BC－BG＝eq\f(3,4)AD.∵AD∥BC，∴△AFP∽△CGP.∴eq\f(AP,PC)＝eq\f(AF,GC)＝eq\f(\f(1,2)AD,\f(3,4)AD)＝eq\f(2,3).(3)【解】eq\f(AF,AB)的值为eq\f(5,4)或eq\f(5－\r(5),4)或eq\f(5＋\r(5),4).【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，∠ABC＝90°.①当△ABP∽△CDP时，则eq\f(AP,CP)＝eq\f(AB,DC)＝1