数学-教材习题点拨：合情推理与演绎推理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨教材习题解答(探究）类比圆的特征,填写表2－1中球的相关特征，并说说推理的过程．表2－1圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦(非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点(x0，y0）为圆心，r为半径的圆的方程为(x－x0）2＋（y－y0)2＝r2解：思维过程是：将球与圆作类比,发现球存在一些与圆类似的特征(如都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合)，而已经知道圆的一些已知特征,由此可以推测球的类似特征．由于圆是平面内的基本图形，而球是空间中的基本图形,所以在将圆的基本特征推广为球的类似特征时，要将涉及的平面元素推广为相应的空间元素．例如，平面内长度(周长）、面积、角等平面元素推广到空间一般为面积(表面积）、体积、二面角等空间元素．解答如下(表2－1）：表2－1圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长球的表面积圆的面积球的体积圆心与弦(非直径）中点的连线垂直于弦球心与截面圆（不经过球心的截面圆）圆心的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大以点P（x0，y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x－x0）2＋(y－y0）2＝r2以点P（x0，y0，z0)为球心，r为半径的球的方程为（x－x0)2＋（y－y0）2＋(z－z0)2＝r2（问题)这个结论是正确的吗？请同学们自己证明．答：结论是正确的．即：四面体PDEF中，△PEF，△PDE，△PDF,△DEF的面积分别为S，S3，S2，S1，如果PD⊥DE，PD⊥DF，DE⊥DF,则有S2＝Seq\o\al（2,1)＋Seq\o\al（2，2）＋Seq\o\al（2，3)。证明：由题意知PD⊥面DEF，△PDE,△PDF,△DEF均为直角三角形，作DM⊥EF且交EF于点M，连接PM,则EF⊥平面PDM，PM⊥EF。于是Seq\o\al(2，3）＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2，1)＝（eq\f(1，2)×PD×DE)2＋（eq\f(1，2)×PD×DF)2＋(eq\f(1，2）×DM×EF)2＝eq\f(1,4)×PD2×(DE2＋DF2）＋eq\f(1，4)×DM2×EF2＝eq\f(1，4）×PD2×EF2＋eq\f（1，4)×DM2×EF2＝eq\f(1，4)×EF2×（PD2＋DM2)＝eq\f(1，4）×EF2×PM2＝S2。练习11．解:由a1＝a2＝a3＝a4＝1，猜想an＝1.点拨:利用归纳推理进行猜想，本题答案不唯一．2．解：相邻两行数之间的关系是:每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和．3．解：设和分别是四面体和四面体的体积,则。教材问题解答（思考)你能再举出一些用“三段论”推理的例子吗？答:（1）在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下，把水加热到100℃时，水会沸腾．（2)对数函数y＝logax(a＞1）为增函数,而y＝log2x为对数函数且2＞1，故y＝log2x为增函数．(3）所有偶函数的图象均关于y轴对称，而y＝x2＋|x|为偶函数，故y＝x2＋|x｜的图象关于y轴对称．（问题)还有其他的证明方法吗？答：利用定义证明．设x1＜x2＜1，则f（x2）－f（x1）＝（－xeq\o\al(2，2)＋2x2)－(－xeq\o\al（2,1）＋2x1)＝－（xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2，1）)＋2（x2－x1)＝－(x2－x1）(x2＋x1）＋2(x2－x1）＝(x2－x1）[2－(x1＋x2)]．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵x1＜x2＜1，∴x1＋x2＜2，∴2－(x1＋x2)＞0。于是（x2－x1)［2－（x1＋x2)]＞0，∴f(x2）＞f（x1）,因此函数f(x）＝－x2＋2x在（－∞，1)内是增函数．练习21．(1)大前提:太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，小前提:天王星是太阳系的行星，结论:天王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(2）大前提:一切奇数都不能被2整除，小前提:（2100＋1)是奇数,结论：（2100＋1)不能被2整除．（3）大前提：三角函数都是周期函数，小前提：tanα是三角函数,结论：tanα是周期函数．（4)大前提：两条直线平行,同旁内角互补，小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，结论：∠A＋∠B＝180°。2．证明:因为通项公式为an的数列{an}，若eq\f(an＋1，an）＝p，p是非零常数,则{an}是等比数列;又因为cq≠0，则q是非零常数，且eq\f（an＋1,an）＝eq\f(cqn＋1，cqn)＝q,所以通项公式为an＝cqn（cq≠0)的数列｛an}是等比数列．点拨：利用演绎推理证明．3．解：由AD＞BD，得到∠ACD＞∠BCD的推理是错误的．因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角"，小前提是“AD＞BD”，而AD与BD不在同一个三角形中．点拨:利用三段论的形式分析．习题2。1A组1．解：∵a1＝1，an＋1＝eq\f(2an，2＋an)(n∈N*),∴a2＝eq\f(2，3），a3＝eq\f（2×\f(2，3),2＋\f（2,3)）＝eq\f(1，2）＝eq\f(2，4)，a4＝eq\f(2×\f(1，2），2＋\f(1,2))＝eq\f(2,5），…，猜想:an＝eq\f（2,n＋1)(n∈N＊）．2．解：F＋V＝E＋2.3．解:当n≤6时,2n－1＜（n＋1)2；当n＝7时，2n－1＝（n＋1)2；当n≥8时，2n－1＞(n＋1)2(n∈N＊)．4．解：eq\f(1，A1)＋eq\f（1,A2)＋…＋eq\f（1,An）≥eq\f(n2,n－2π)(n＞2，且n∈N＊）．点拨：在△ABC中，eq\f（1，A)＋eq\f(1,B）＋eq\f(1,C)≥eq\f（9，π)；在四边形中，eq\f（1，A）＋eq\f（1，B)＋eq\f(1，C)＋eq\f(1,D)≥eq\f（16,2π)；在五边形中，eq\f(1,A）＋eq\f(1，B)＋eq\f(1，C)＋eq\f(1，D)＋eq\f（1,E)≥eq\f（25，3π）；在n边形A1A2…An中，有eq\f(1,A1）＋eq\f(1，A2）＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f（n2,n－2π）。5．解：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17,且n∈N＊）．6．证明:如图，作DE∥AB交BC于E.因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，又AD∥BE,AB∥DE，所以ABED是平行四边形．因为平行四边形的对边相等，又四边形ABED是平行四边形，所以AB＝DE。因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又AB＝DE，AB＝DC,所以DE＝DC.因为等腰三角形的两底角是相等的，又△DEC是等腰三角形，所以∠DEC＝∠C.因为平行线的同位角相等，又∠DEC与∠B是平行线AB和DE的同位角,所以∠DEC＝∠B。因为等于同一角的两个角是相等的，又∠