数学-互动课堂复数的四则运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1。复数的加法与减法(1)复数加减法运算法则（a+bi）±（c+di）=(a±c）+（b±d）i,即两个复数相加（减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加（减)。（2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+（z2+z3).2.复数的乘法(1）复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数,即(a+bi)(c+di）=ac+bci+adi+bdi2=(ac—bd）+（bc+ad)i.（2）复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。即对任何z1、z2、z3有z1·z2=z2·z1，（z1·z2)·z3=z1·（z2·z3），z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.实数集R中正整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立,即对z1、z2、z∈C及m、n∈N＊，有zm·zn=zm+n，(zm)n=zmn,(z1·z2)n=z1n·z2n。(3）i幂的周期性i4n+1=i,i4n+2=-1，i4n+3=-i,i4n=1,n∈N＊.3.复数的除法规定复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足(c+di)（x+yi）=a+bi(c+di≠0）的复数x+yi叫做复数a+bi除以c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或.因为(x+yi)(c+di)=（cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx—dy)+(dx+cy)i=a+bi。由此可得解这个方程组，得于是有(a+bi）÷（c+di）=(c+di≠0)在进行复数除法运算时,通常先把（a+bi)÷(c+di）写成的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di，化简后，即可得出上面的结果.4.共轭复数当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数。复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi，那么=a—bi.当复数z=a+bi的虚部b=0时,有z=，也就是说，任一实数的共轭复数仍是它本身;当b≠0时，a+bi与a-bi叫做共轭虚数.案例计算下列各题（1);(2）；（3).探究：(1)原式=［(1+i)2］3+［（1-i)2]3·-=（2i）3·i+（—2i）3·（—i）—=8+8—16—16i=-16i.(2）=—i·（)5·[(1+i）2］2·(1+i）+(—1+i)——i=i。（3）(i)12+=（—i）12·—=+（)=。【规律总结】复数的除法与实数的除法有所不同,实数的除法可以直接地约简，得出结论，但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约分化简,复数的除法一般作法是，由于两个共轭复数的积是一个实数，因此，两个复数相除，可以先把它们的商写成分式形式，然后分子分母都乘上分母的共轭复数（注意是分母的共轭复数），并把结果化简即可。对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要知道其结果,这样起点就高,计算过程就可以简化,达到快速简捷出错少的效果.比如下列结果，要记住：①=-i；②=i；③=—i;④a+bi=i（b-ai）；⑤=1；⑥=-1.活学活用1.计算:（6+6i)+（3-i）-（2—4i）。解析:（6+6i)+(3—i)-（2—4i)=（6+3-2）+（6—1+4)i=7+9i.2。计算：（7+5i)—3i+（-5+6i）解析：（7+5i）—3i+（—5+6i）=（7+0—5)+（5—3+6）i=2+9i。3。已知x、y∈R,且，求x、y的值.解析：可写成，5x（1—i)+2y（1-2i)=5-15i，(5x+2y）-(5x+4y）i=5-15i。∴4.计算：解析:====i-i=0。5。计算i+2i2+3i3+…+50i50解析：设s=i+2i2+3i3+…+50i50则is=i2+2i3+3i4+…+50i51∴s—is=i+i2+i3+…+i50—50i51即（1-i)s=+50i=-1+51i∴s==—26+25i。6.已知f（z）=2z+—3i，f（+i)=6—3i，求f（—z）。分析：需先求出z，再代入函数中求值.解：∵f(z）=2z+—3i，∴f（+i)=2(+i)+-3i=2+2i+z—i—3i=2+z-2i.又知f(+i）=6—3i，∴2+z—2i=6—3i。设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi，∴2（a-bi)+（a+bi)=6-i，即3a—bi=6-i，由复数相等定义解得a=2，b=1。z=2+i，故f(-z)=f（—2—i)=2（-2-i）+（—2+i)—3i=—6-4i.7。计算.解析：原式==[（1+i)2］3·（1+i)·=［（1+i)2］3·（1+i)·(—i）7·=(—8i）(1+i)·i·=4（1+i）（）=()+(）i.8.计算：(1)；（2)。分析：这是两道含幂运算的问题，运算比较复杂,应尽量使用代数式运算技巧。解法一:原式==i6+=—1+i。解法二(技巧解法):原式=(=-1+i(2）解法一：原式=［（+i)2]2=(+i—)2=（+i)2=——i=i.解法二（技巧解法):原式=[—(）]4=（-ω2）4(令ω=）=ω8=ω2（∵ω6=1）=(∴ω2=)=.9.f(n)=in+i-n(n∈N＊)的值域中的元素个数是()A.2B。3C。4解析：根据i的周期性，当n=4k（k∈N*）时f(n)=i4k+i-4k=1+1