数学互动课堂：正弦函数、余弦函数的性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1。周期性(1)周期函数：一般地，对于函数f（x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f（x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2）正弦函数的周期从正弦线的变化规律可以看出,正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0)是它的周期,最小正周期是2π.正弦函数的周期也可由诱导公式sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z)得到。由sin(x+2kπ）=sinx(k∈Z)可知当自变量x的值每增加或减少2π的整数倍时，正弦函数值重复出现，即正弦函数具有周期性，且周期为2kπ（k∈Z),最小正周期为2π.类似地，可以探索余弦函数的周期为2kπ，最小正周期为2π.2.奇偶性（1)正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数,①由诱导公式sin（-x)=—sinx可知上述结论成立.②反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称。③正弦曲线是中心对称图形,其所有对称中心为（kπ,0)；正弦曲线也是轴对称图形，其所有对称轴方程为x=kπ+，k∈Z.（2）余弦函数的奇偶性与对称性①奇偶性:由诱导公式知cos（-x)=cosx，可知余弦函数是偶函数，它的图象关于y轴对称。②对称性：余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是(kπ+,0)(k∈Z）;余弦曲线是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x=kπ（k∈Z).3.单调性（1)正弦函数的单调性在正弦函数的一个周期中,由正弦曲线可以看出,当x由-增加到时,sinx由—1增加到1；当x由增大到时,sinx由1减小到-1,情况如下表：x-0πsinx-1010—1由正弦函数的周期性可知：正弦函数y=sinx在每一个闭区间［—+2kπ，+2kπ]（k∈Z）上,都从-1增大到1，是增函数；在每一个闭区间[+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上，都从1减小到-1,是减函数.(2)余弦函数的单调性通过观察余弦函数的图象，可得余弦函数的单调性。余弦函数在每一个闭区间［2kπ，（2k+1）π］(k∈Z)上都是减函数，它的值由1减小到—1;在每一个闭区间［（2k+1）π，2（k+1）π］(k∈Z）上都是增函数,它的值由—1增大到1。4.最值从正弦函数、余弦函数的图象可以看出，它们的值域都为［-1，1］。对正弦函数来说,当x=2kπ+（k∈Z)时，取得最大值1;当x=2kπ-（k∈Z）时,取得最小值-1。对余弦函数来说,当x=2kπ(k∈Z）时,取得最大值1；当x=2kπ+π(k∈Z)时，取得最小值—1。活学巧用1。求下列函数的周期：(1）y=sinx；（2）y=2sin（-）.解析：（1)如果令m=x,则sinx=sinm是周期函数且周期为2π。∴sin（x+2π）=sinx，即sin［（x+4π)］=sinx.∴y=sinx的周期是4π.(2)∵2sin(-+2π)=2sin（—）,即2sin［(x+6π)—］=2sin（—)，∴2sin(—)的周期是6π.答案：(1)4π;(2）6π。2.若函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f(x）=x2-sinx,当x＜0时,求f(x）的解析式。解析:设x＜0,则-x＞0。∵x＞0时,f(x)=x2—sinx，∴f（-x)=x2—sin（—x)=x2+sinx。又∵f(x）为奇函数,∴f(-x)=-f（x）.∴-f（x）=x2+sinx。∴f(x）=—x2-sinx。答案:f(x）=—x2—sinx（x＜0).3。写出函数y=sin（2x+）图象的对称轴方程及对称中心坐标。解析：令2x+=kπ+(k∈Z）得x=+(k∈Z)，令2x+=kπ（k∈Z）得x=-(k∈Z).∴函数y=sin（2x+)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z）,对称中心坐标为(—，0)(k∈Z)。答案:对称轴方程x=+（k∈Z）,对称中心(—,0)（k∈Z）.4.求y=cos（-x)的单调递增区间。解析：函数y=cos(—x)=cos（x—），∴y=cos（—x)的单调递增区间就是y=cos（x-）的单调递增区间,由下式确定:2kπ-π≤x-≤2kπ，k∈Z.∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,即函数y=cos（—x)的单调递增区间是［2kπ—,2kπ+］，k∈Z。5.若sinx=a—1有意义，则a的取值范围是____________________。解析:∵|sinx｜≤1，∴｜a-1|≤1.∴—1≤a-1≤1。∴0≤a≤2。答案：0≤a≤26.y=4cos2x,x∈R有最值吗?若有，