2022年人教版中考数学一轮复习：全等三角形与勾股定理 专项练习题（含答案）

2022年人教版中考数学一轮复习：全等三角形与勾股定理

专项练习题

一.选择题

1.如图，矩形48。的边力。沿折痕折叠，使点。落在8c边上的点尸处，已知AB

=3,8尸=4,则。的长等于（）

2.如图，矩形纸片ABCD，点。是。的中点，点£是28上的点，沿CE折叠后，点B

恰好与点。重合，若8c=3,则折痕"的长为（）

B,

3.如图，已知在矩形Z8Q?中，例是2。边中点，将矩形分别沿MN、折叠，AD

两点刚好落在点£处，已知4V=3,MN=5,设BN=x,则x的值为（）

M一

4.如图，£为矩形Z6Q9的边力8上一点，将矩形沿土折叠，使点8恰好落在房上的

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点尸处，若0=5,比'=3,则如的长为（）

5.有一张长方形纸片ABCD（如图①），80=6,将纸片折叠，使8c落在。边上，夕

为8的对应点，折痕为CE（如图②），再将长方形ADBEVX8£为折痕向右折叠，若点

。落在6c的三等分点上，则。的长为（）

A.8B.10C.8或10D.8或12

二.解答题

6.如图，在等腰RbZ跋中，AACB=90°,点。是26上一点，作等腰^DCE.^DCE

=90°,连接

(1)求证:4CEMCDB;

(2)求证：AR+Ad=DR.

7.已知：在T跋中，乙BAC=90°,48=AC,点。为a•边上一^点（与点6不重合），

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连接，。，以2。始边作/。4£=0((0°<0(<180°).

(1)如图1,当a=90。，且/£=2。时，试说明CF和8。的位置关系和数量关系；

(2)如图2,当a=45°,且点£在边比■上时，求证：Bd+CR=DR.

图1图2

8.如图，是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜边歌的中点，巳尸分别是AB,

/C边上的点，且DELDF.

(1)证明：DE=DF\

(2)证明：BR+CR=ER.

9.如图(1),在中，"8=90°,ZC=BC,延长28至点。，连接。，以。

为直角边作等腰三角形CDE,其中N。％=90°,连接BE.

(1)求证:AD=BE',

(2)在图(1)中以2。为直角边作等腰直角三角形ADF,如图(2)所示，其中N%尸

=90°,连接CF,若BE=6近,ZU=3,求小的长.

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10.如图，A/6C是直角三角形，NC48=90°,。是斜边8c上的中点，E、尸分别是力民

/C边上的点，且DELDF

(1)若AB=AC,BE=12,6=5,求△。炉的面积.

(2)求证:BR+CR=EM.

11.正方形中，例为射线。上一点(不与。重合)，以CM为边，在正方形ABCD

的异侧作正方形CFGM,连接BM,DF,直线BM与。尸交于点E.

(1)如图1,若用在。的延长线上，求证：DF=BM.DFLBM;

(2)如图2,若例移到边。上.

①在(1)中结论是否仍成立？(直接回答不需证明)

②连接BD,若BD=BF,且正方形U尸G例的边长为1，试求正方形力&7。的周长.

图1图2

12.正方形28。的对角线AQ6。交于点。，点£尸分别在OC、OB上,且OE=OF.

(1)如图1,若点£尸在线段OC、OB上,连接/并延长交8E于点〃，求证：AM

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>BE;

(2)如图2,若点£尸在线段OC、08的延长线上，连接£8并延长交4尸于点M.

①N/A花的度数为；

②若正方形力8。的边长为3近,且。《=3"时，求8例的长.

13.如图，在正方形力8。中，对角线4C6。相交于点O,E为OC上动点(不与Q

C重合)，作力心6£,垂足为G,分别交8cOB于F、〃，连接OG、CG.

(1)求证“AO心BOE;

(2)求N/GO的度数;

(3)若NOGC=90°,BG=4i,求AOGC的面积.

14.如图，点C是正方形28。对角线力。上一动点，点£在射线8c上，且PB=PE,连

接。D,。为/C中点.

(1)如图1,当点P在线段ZO上时，试猜想PE与。。的数量关系和位置关系，不用

说明理由；

(2)如图2,当点P在线段OC上时，(1)中的猜想还成立吗？请说明理由；

(3)如图3,当点P在力。的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形(尺规作图，

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保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论;

若不成立，请说明理由.

15.在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1,四边形Z8C。是正方形，点E

是边8c的中点，"炉=90。，且£尸交正方形外角平分线"于点尸.请你探究〃与

）存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确.

经过探究，小明得出的结论是AE=EF.而要证明结论AE=EF,就需要证明力£和EF所

在的两个三角形全等，但和尸显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三

角形），考虑到点£是边8c的中点，小明想到的方法是如图2,取的中点M,连接

EM,证明“£71念从而得到AE=EF.

请你参考小明的方法解决下列问题：

（1）如图3,若把条件"点E是边a7的中点"改为"点£是边6c上的任意一点"，

其余条件不变，证明结论AE=用仍然成立.

（2）如图4,若把条件"点F是边6c的中点"改为："点£是边8c延长线上的一点"，

其余条件仍不变,那么结论AE=炉是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，

请说明理由.

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参考答案

一.选择题

1.解：•.48=3,8尸=4,

-'-AF=VAB2+BF2=V9+16=5,

•.矩形26。的边2。沿折痕ZE折叠，

.-.AD=AF=5,DE=EF,

：.BC=AD=5,

:.CF=BC-BF=1,

:ER=EO+CR,

(3-C£)2=9+1,

-C£=4，

o

故选：A.

2.解：“G•。是△CFS翻折而成，

：.BC=OC,BE=OE,N8=NS£=90°,

：.EOA.AC,

是矩形力跋。的中心，

；.OE是4C的垂直平分线，AC^280=2x3=6,

：.AE=CE,

在Rb/BC中，=,

即62=/岳+32,

解得/8=3«,

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在RtA/OF中，设x，则AE=3«-x,

/£2=ZC+O£2，即(3加-x)2=32+*,

解得x=M,

:.AE=EC=3g«=2M，

故选：人

3.解：••・四边形28。是矩形,

二"=90°,AB=CD,AD=BC.

：AN=3,MN=5,

：AM=VMN2-AN2=V52-32=4-

•••例是力。边中点，

：.AM=DM=A,BC=8,

1•将矩形分别沿例M例C折叠，A。两点刚好落在点£处,

：.AN=NE=3,CE=CD,

,:B!\P^BU=CN^,

..*+82=(x+6)2,

解得x=9

故选：6.

4.解:设BE=x,贝!]AE=5-x,

由折叠得：CF=BC=3，4B=^CFE=90°,

.-.zCFZ?=90o,

22

：DF=7CD-CF=752-32=4，

.•四边形力8。是矩形，

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：.AD=BC=3,"=90°,

Rf/fT中，A4A〃=Ed,

r.(5-x)2+32=(x+4)2,

:.x=1,

：.BE=1,

故选：8.

5.解：6,将纸片折叠，使此落在C。边上，8为8的对应点，

.-.ffC=BC=6,

1•将长方形力。6£以8£为折痕向右折叠，若点。落在6c上的尸点处,

:.DB=BF,

■:F为6。的三等分点，

，"=2或4,

.•,。夕=2或4,

，。。=8或10.

故选：C.

二.解答题(共10小题)

6.证明：(1)和都是等腰直角三角形，

：.AC=BC,CD=EC,乙ACB=zDCE=9N,

:zACB-z.ACD=Z.DCE-Z.ACD,

:.AACE=ABCD,

在与ACE4中，

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'AC=BC

-ZACE=ZBCD,

EC=CD

：aCD蜂CEA(SAS);

(2)•.•△力8c是等腰直角三角形，

..N6=NWC=45°,

由(1)得△8隹△CEA,

.•.z£4C=z5=45°,

㈤C+N以C=45°+45°=90°,

:.AR+Ad=DR.

7.解：(1)CE与8。位置关系是CELBD,数量关系是CE=BD.

理由：•.N84C=N04£=9O°,

.2以。=90°-4DAC,^CAE=90°-乙DAC,

：.z.BAD=Z.CAE,

在A/8。和中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

:.^AB^ACE(SAS),

.2/公N8=45。且CE=BD.

：AACB=AB=45°,

.•."6=45。+45。=90。，即CF±BD;

(2)如图2,把绕点/顺时针旋转90。，得到“8G.连接DG,

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则

：.AG=AE,BG=CE,"6G=N/C£=45°.

：^BAC=90°,^GAE=90°.

：.^GAD=^DAE=A5°,

在“OG和"叱中,

AG=AE

<ZGAD=ZDAE,

AD=AD

:.^AD^ADE{SAS).

:.ED=GD.

又"G8D=90°,

:.BAB(?=D(?,

即BEEU=DR;

・••等腰直角三角形/8C,

.•ZC=N8=45°,

；D为8c的中点，

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：.ADA.BC,AD=BD=DC,力。平分NMC,

：.ADAC=^BAD=^S°=AB,AADC=90°,

,DEX.DF,

.・N£Z?尸=90°,

二"。尸+""=90°,z/7?C+z5P£=90°,

.Z.BDE-Z.ADF,

在△&?£和"A尸中

'NB=NDAF

■BD=AD,

ZBDE=ZADF

：ABDMADF(ASA),

：.DE=DF.

<2'"BDmADF,

：.BE=AF,

：AB=AC,

：.AB-BE=AC-AF,

：.CF=AE,

:.ER=AR+AR=BR+CR,

即BR+CR=ER.

9.证明：(1),.2"£=90°,

"ACD=乙BCE,且AC=BC,CD=CE,

：.^AC^BCE{SAS)

:.AD=BE;

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(2)如图，延长CB交。下于点H,

图（2）

-：BE=672，AC=3,且90°,AC=BC,

:.AB=扬IC=3&,BE=AD=6加,

:.DB=342，

■：^DAF=90°,AD=AF=6y]2.

：DF=^AD=12,NZ。尸=45°,

■：CHA.DF,N/OF=45°,

:.LADF=4DBH=A50,且

:.DH=BH=返。8=3,

2

:.HF=9,CH=6,

•.•在Rf/18c中，AB=AC,2。为6c边的中线，

.•.z£MC=zfi4Z7=zC=45°,AD^BC,AD=DC,

又：DElDF,ADrDC,

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:.^EDA+AADF=^CDF+^FDA=9G°,

:.乙EDA=ACDF‘

在"ED与&CFD中,

fZEDA=ZCDF

<AD=CD,

ZEAD=ZC

:QAE*CFD<ASA).

：.AE=CF,

同理△力&&A6£。，

：.AF=BE,

尸=90°,

:.ER=DR+DR,

:.BR»CR=ER;

■：BE=12,65,

-：EF=13,

"BDIADF,

：.DE=DF,4BDE=LADF,

：ADrBD,

：/ADB=90°.

：/EDF=4ADE+乙ADF=4BDE+乙ADE=乙ADB=90°,

二在RtAf。尸中，由勾股定理得：办+OR=132,

。£=。尸=型返，

2_

X

比的面积5=4DE^DF=4X=169

22224

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(2)证明：延长至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,如图2,

：DE=DG,DFLDE,

二。尸垂直平分DE.

:.EF=FG,

1.。是8c中点，

.'.BD=CD,

在和AOG中,

'BD=CD

<ZBDE=ZCDG,

DE=DG

:.ABDMCDGISAS),

：.BE=CG,乙DCG=KDBE,

:乙ACB+乙DBE=90°,

：.ZLACB+^DCG=90°,即N/TG=90°,

：C(?+CR=F(?,

:.BR+CR=ER.

11.B：(1)证明：..四边形力比■。与四边形CFG"都是正方形，

“BCM=乙FCD=90°,BC=CD,CM=CF.

在△比■例和AOCF中，

'BC=CD

"ZBCM=ZFCD,

CM=CF

:QBC*DCF〈SAS).

：.DF=BM,^CFD=ACMB.

■：ABMC+^CBM=2Q°,

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:.^CBM+^CFD=2Q°,

.♦.N8£F=90°,

:,DFlBM：

(2)①成立.

「四边形/8C。与四边形C5G例都是正方形，

"BCM=乙FCD=90°,BC=CD,CM=CF.

在A8C例和A。小中，

'BC=CD

-ZBCM=ZFCD,

CM=CF

：aBC*DCF〈SAS).

：.DF=BM,乙CFD=^CMB.

"BMC+4cBM=9。°,

:.乙CBM+4CFD=9N,

"BEF=9。；

:QELBM;

②设正方形48。的边长为x,则BC=CD=x,

••8。=JBC2五口2=行小，

..正方形C尸G用的边长为1,

：.BF=BC+CF=x+l.

■：BD=BF,

；.Mx=x+l,

-'-x=\[2+l.

.-.4%=4^2+4.

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•.正方形力8。的周长为4b+4.

12.证明：(1)•.四边形28。是正方形，

:.AO=BO=CO=DO,AC1.BD,

：AO=BO,乙AOF=4BOE=9G,OE=OF,

：4AOAGBOE(SAS),

:.Z.FAO-Z.OBE,

•.NO8F+NO£8=90°,

:.^OAF+^BEO=9G°

:.^AME=90°,

:.AMvBE;

(2)①1•四边形是正方形，

:.AO=BO=CO=DO,ACS.BD.

：AO=BO,N/O尸=N8O£=90°,OE=OF,

:AAO^BOE{SAS),

:.Z.FAO-Z.OBE,

•:zOBE+zOEB=90°,

;z弘O+NO8£=90°,

:zAME=90°,

故答案为：90°;

©-.AB=BC=3圾,4ABC=90°,

..AC-6,

:.OA=OB=OC=3,

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：OC=3CE,

:.CE=1,

:.OE=OC+CE=4,AE=AO+OE=7,

••5£=VOE2-K)B2=5，

-：AB^-BW=AW=AR-M心，

.-.18-8/"=49-(5+6AQ2,

3

5

13.(1)证明：•.四边形28。是正方形，

:.OA=OB,z.ABC=90°,ACrBD,

:.^AOB=^BOE=90°,

■：AFA.BE,

:.^GAE+^AEG=^OBE+^AEG=9Q°,

:.z.GAE=Z.OBE,

"ZA0H=ZB0E

在A/CW和ASOF中，,0A=0B,

Z0AH=Z0BE

：aAO修BOE〈ASA);

(2)解：•ZO〃=N8GA=90。，4AHO=^BHG,

“AOHSMBGH,

,OH_AH

"GH'BE(

.OHGH

"AH"BH'

"OHG=4AHB,

.“OHGSAAHB,

:.^AGO=^ABO=45°;

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(3)解：,"跋=90。，AFLBE,

...4BAG+zAFB=4FBG+zAFB=q。。，

.z.BAG=Z.FBG,

"OHGSGAHB,

:.乙GOH=4BAH,

:.z.GOB=Z.CBG,

•."GO=45°,NOGC=90°,

..N8GO=NCG8=135°,

:QBGO-△CGB,

,QGBG

"BG'CG(

:B(?=OG*CG-6,

,£.=却3跖=会6=3.

14.解：(1)当点。在线段力。上时，

'AB=AD

在"8『和"。户中，ZBAP=ZDAP=45°,

AP=AP

：aAB恪ADP,

：.BP=DP,

：PB=PE,

：.PE=PD,

过点。做PMVCD，于点例，作PN1.比■，于点/V,

:PB=PE,PNlBE,

:.BN=NE,

:BN=DM,

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:.DM=NE.

在RUPNE与RtAP/附中，

■：PD=PE,NE=DM,

二Rt△ZW些RtA，

:.Z.DPM=AEPN,

“MPN=90°,

"D