2021年中考数学一轮复习：四边形综合之动点与相似 专项练习题汇编（含答案）

2021年中考数学一轮复习：四边形综合之动点与相似

专项练习题汇编

1.如图，在RtA力比中，NC=90°,AC=10,NZ=60°.点夕从点8出发沿必方向以

每秒2个单位长度的速度向点Z匀速运动，同时点Q从点Z出发沿ZC方向以每秒1

个单位长度的速度向点。匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运

动.设点P、Q运动的时间是t秒.过点。作PMLBC于氤M,连接PQ、QM.

(1)请用含有f的式子填空：AQ=,AP=,PM=；

(2)是否存在某一时刻使四边形力Q/U7。为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不

存在,说明理由；

(3)当f为何值时,APQ"为直角三角形？请说明理由.

(备用图)

2.如图，已知正方形ABCD的边长为a,正方形83G的边长为b(b<a)，点G在边

8c上,点£在边的延长线上，DE交边8c于点”，联结％、DF.

(1)用a,6表示△OH厂的面积，并化简；

(2)如果点例是线段力£的中点，联结例CMF、CF.

①用a,b表示△欣下的面积，并化简；

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②比较△例上的面积和A。射的面积的大小.

3.已知：如图，在四边形中，"8C=90°,CD1.AD.

(1)若8c=,求出2。，。，48之间的数量关系；

(2)若8c=46,当BELAD于£时，试证明：BE=AE+CD;

(3)若mBC=AB.^A=60。，8c=2,直接写出AD的长度(用含m的代数式表示).

4.如图1,已知四边形Z6C。是矩Jf"点f在m的延长线上，/£=AD.EC与8。相交

于点G,与/。相交于点F.AF=AB.

(1)求证：BDLEC;

(2)若/8=1,求力£的长；

(3)如图2,连接AG,求证：EG-DG=®AG.

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DD

图2

5.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=10,AD=BC=6.动点P从点/出发，每秒1

个单位长度的速度沿匀速运动，到8点停止运动；同时点Q从点C出发，以每秒

2个单位长度的速度沿C-B-A匀速运动，到/点停止运动.设户点运动的时间为f秒

”>0).

(1)点。在Z8上运动时，PA=,PB=,点Q在上运动时，BQ

,QA=(用含？的代数式表示)；

(2)求当t为何值时，ZP=BQ-

(3)当P,Q两点在运动路线上相距3个单位长度时，请直接写出f的值.

6.在矩形/8C。中，£为边。上一点，把沿翻折，使点。恰好落在边BC±

的点尸处.

(1)求证：4ABF~XFCE;

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（2）若AD=10,CD=6,贝!]tan/。尸的值为

3）若/。=6则Z8的长为

7.已知：如图，在菱形Z8C。中，/C=2,N8=60°.点F为边8c上的一个动点(与点

B、C不重合)，/EAF=60°,/尸与边。相交于点尸，联结)交对角线/C于点G.设

CE=x,EG=y.

(1)求证：A，)是等边三角形；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(3)点。是线段/IC的中点，联结f。，当£G=时，求x的值.

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8.解答下列各题

B

(1)已知：如图1，直线AB、。被直线4C所截，点£在/C上，且N2=NO+NCE。,

求证：AB\\CD\

(2)如图2,在正方形28。中，48=8,BE=6,。尸=4.

①试判断△/£下的形状，并说明理由；

②求△/斤的面积•

9.在正方形46。中，£是。边上一点(CE>DE),AE,6。交于点F.

(1)如图1,过点尸作GH1.AE,分别交边AD,跋于点G,H.

求证：乙EAB=LGHC;

(2)女的垂直平分线分别与2。，AE,8D交于点P,M,N,谯接CN.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段力£与6/之间的数量关系，并证明.

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10.在长方形纸片。中，48=6,AD=10,点£是边。上一点，将沿/IF所

在直线折叠，使点。落在点尸处.

(1)如图1,当点尸落在对角线/C上时，求6的长；

(2)如图2,当点尸落在边8c上时，求CE的长;

(3)如图3,当点£为C。的中点，且好的延长线交8c于点G时，求CG的长.

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参考答案

1.解：(1)•.点Q从点4出发沿/C方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动,

:.AQ=t,

."=90。，AC=10,〃=60°,

・28=30°,

:.AB=2AC=2Q,

:.AP=AB-BP=2G-2t,

•:PMlBC,

"PMB=90：

:.PM-yPB=/■.

故答案为:t.20-2?,t;

(2)存在，理由如下：

由(1)知：/Q=W,

-：ACVBC,PMA.BC,

：.AQ\\PM,

二四边形/QMQ是平行四边形，

当AP=/Q时，平行四边形ZQA花是菱形，

即20-2f=f,

解得t=学,

则存在t=学,使得平行四边形/Q/V加成为菱形.

(3)当APQ例为直角三角形时，有三种可能：

①当N/V7&=90°时,此时四边形C7V泸Q为矩形，

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在Rt△以Q中，N/=60。，

..N/PQ=90°-z>4=30°,

：.AP=2AQ,即20-2t=2t,

解得：f=5;

②当N/V7QQ=9O°时，由(2)知MQWAP,

：.AAPQ=AMQP=90°,

[22=60°,

:.^AQP=90°-z/4=30°,

：.AQ=2AP,

即即2(20-2打，

解得：t=8.

③当乙PMQ=90°时,止附情况不存在.

综上所述：当f为5或8时，△PQ例为直角三角形.

2.解：(1)延长DC交用延长线于Q,如图1所示：

则四边形/四边形CGFQ都为长方形，

•.正方形的边长为a,正方形6F%的边长为b,

:.EF=BE-b,DQ=a+b,

•••SXDHF=S^DEF。S4HEF=%EF*DQ-三EF・BE=(a+b)-2b*b=/

乙乙乙乙乙乙

-《枕=4孙

22

(2)①延长DC交用延长线于Q,如图2所示：

则四边形力&2。、四边形CG/。、四边形8CQE都为长方形，

•.正方形的边长为a,正方形6f■尸G的边长为b,

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:.AD=CD=a,EF=BE=CQ=b,

:.AE=a+b,QF=QE-EF=BC-EF=a-b.

♦..点例是线段/£的中点，

：.AM=EM=—AE=—,

22

,•,四边形/8C。是正方形，

..四边形/①是直角梯形，

：&MCF=S长方形4段0-S.CQF-SGMEF-S梯形/。*/£一三CQQF-^EM*EF

--(AM+CD)*AD-3*(3+b)­—b*[3-b)~—x———•/?-—(―——+)•3

222222

=a2ab--ab+—t^--ab--—a^--ab=-a^+—[a^+b^);

+224444444

②•$MFC=~(国+&)/S^DHF=,

42

:&MFC-S^DHF="7(薜+a)■J(X-2ab+a)=(a-b)2,

4244

，：b<a,

.•・[(a-6)2>0,

4

"△MFC-S"HF>0/

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证明：连接/c.

：.A^+B(^=AC7.

■：BC=AB,

:.A/BG=2A在,

:.AC?^2A&-,

■：CDrAD,

:.A1>+C[^=AC.

.♦3+6=2/62；

(2)过C作于尸.

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B

，N%O=NC%=NO=90°,

，四边形。小是矩形.

:.CD=EF.

：z.ABE+z.BAE=9G°,4ABE+乙CBF=9b0,

:zBAE=^CBF,

:在△BAE与△CBF中,

，ZAEB=ZBFC

<ZBAE=ZCBF,

AB=BC

:.^BA^CBF{AAS),

:.AE=BF.

:.BE=BF+EF=AE+CD.

(3)m+M.

延长DC,48交于点£,

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图(3)

-.z/?=90°,"=60°,

.-.z£=30°,

：^ABC=90°5C=2,

.-.z^£=90°,

:.CE=A,

■■BE=VCE2-CB2=742-22=2«，

mBC,

：.AB=2m,

：.AE=AB+BE=2m+2M,

-AD-^AE=m+«.

4.(1)证明：••・四边形/6C。是矩形，点£在加的延长线上,

;/EAF=zDAB=90°,

^：AE=AD,AF=AB,

:.^AE^ADB{SAS),

：.z.AEF-乙ADB,

:.乙GEB+乙GBE=乙ADB+乙ABD=90°,

即N£G6=90°,

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WBD1.EC，

(2)解：•.四边形是矩形，

:.AE\\CD,

:.z.AEF=^DCF,乙EAF=^CDF,

.-.^AEF-^DCF,

.AE_AF

"DC'DF(

即AE*DF=AF*DC,

设ZF=/O=a（a>0），则有小（a-1）=1,化简得#-a-1=0,

解得aq|底或与（舍去），

:.AE=上度.

2

（3）证明：如图，在线段FG上取点P,使得EP=DG,

在与A/OG中，AE=AD,/.AEP=Z.ADG,EP=DG,

走"。G(SAS'),

：.AP=AG,^EAP=^DAG,

：zPAG=4PAD+乙DAG=乙PAD+乙EAP=LDAE=90°,

.“以G为等腰直角三角形，

：.EG-DG=EG-EP=PG=®AG.

5.解：（1）点户在上运动时，PA=t,%=107.点Q在28上运动时，BQ=2t

-6,Q/=16-2f.

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故答案是：t,10-f,2t-6,16-2f;

(2)若Q在6c上运动，则t=6-2t,

解得t=2,

若Q在上运动，则f=2f-6,

解得t=6,

.•.当£=25或上6$时，〃=约;

(3)若尺Q两点还未相遇，则a2a3=16,

解得t=学,

若P、Q两点已经相遇，则f+2f-3=16,

解得t=尊,

O

，当t=苧s或t=与s时，尺Q两点相距的路程为3.

OO

6.(1)证明：•.四边形力8。是矩形，

.•.z5=zC=z/?=90°,

由翻折可知，NZ?=N/%=90°,

：.AAFB+^EFC=90°,乙EFC+4CEF=9G：

：./.AFB-Z.FEC,

:AABF-AFCE.

(2)解：•.把沿作翻折，使点。恰好落在边8c上的点尸处，

：.AD=AF=10,DE=EF,AEAF=^DAE,

••四边形是矩形，

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:.AB=CD=6.

：BF=VAF2-AB2=V102-62=8，

设DE=x,则EF=x,CE=6-x,

"ABiFCE,

.AF_BF

"EF"CE'

.10_8

x6-x'

解得X=岑.

T，

迎1

:X3V\/.EAF=X.3K\ADAE-,DE—3—=—q,

AD-10

故答案为：得；

o

(3)解：设贝UCD=AB=y+3,

由折叠知，2。=4尸=6,DE=EF=3,

“FCEjABF,

,EF_CECF31

"AF"BF"AB"?"?1

.■.BF=2y,CF二*,

，2y+号=6，

解得y-,

b

Q24

：.AB=CD=O£+&=3+$告，

55

故答案为：善.

b

7.(1)证明：•.四边形A8CD为菱形,

.-.AB=BC,

..28=60°,

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・•・△/8C为等边三角形,

:.^BAC=60°,AC=AB,

r.N班F+=£4C=60°,

：AB\\CD,

:.z.BAC=^ACF=60°,

•.z£4f=60°,即/E4C+NC4尸=60°,

:.z.BAE=Z.CAF,

在“总和中，

,ZBAE=ZCAF

<AB=AC,

ZB=ZACD

：.^AE^AFC{ASA),

：.AE=AF,

为等边三角形；

(2)解：过点/作AHLBC于点、H,

“/）为等边三角形，

22

-AE-EF=7AH+EH，LAEF=60°,

.zABH=60°,

：.EH=\x-HC\=\x-1|,

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•••EF=7(V3)2+(X-D2=VX2-2X+4,

•.•z/4£f=z5=60°,

:.^CEG+^AEB=AAEB+ABAE=120°,

:.ACEG=ABAE,

,:乙B:乙ACE=60°,

:4BAE—4CEG.

,EGEC

"AE'AB(

EG二x

VX2-2X+42'

-y=EG=却X?-2X+4(0<x<2),

(3)解：•〃8=2,“8C是等边三角形，

：.AC=2,

:.OA=OC=1,

■：EG=EO,

./.EOG-Z.EGO,

•.zEGO=zECG+z.CEG=60°+NC£G,

zC£4=zCEG+/AEF=60°+zCEG,

：.z.EGO=Z.CEA,

:.乙EOG=^CEA,

：^ECA=^OCE,

：aCOEs&CEA,

.CECA

"CO"CE'

：.CP=COCA,

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「,冢=1x2,

.，.x=x=-去）＜

即x=亚.

8.解：（1）延长/右至尸，如图1,

:.Z.FCD=ZLA,

:.AB\\CD;

（2）①如图2,延长AF交6c的延长线于点G,

1,正方形/8C。中,48=8。=4,

:,DF=CF=4,

[NO=NFCG=90。，4AFD=^CFG,

；."D&AGCF(ASA),

:.AF=FG,

-：AB=8,5£=6,

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■■AE=VAB2+BE2=VS2+62=10，

：EG=CE+CG=2+2)=1Q,

:.AE=EG,

.,.EFA.AG,

.•・△力斤是直角三角形；

②SAAEF=S正方形SGABE-S、ADF-S、CEF

=64-yX8X6-yX8X4-yX4X2,

=20.

9.(1)证明：在正方形Z8。中，ADWBC,N纵10=90°,

:zAGH=zGHC.

■：GH1.AE,

:.AEAB=^AGH.

:.^EAB=z.GHC.

(2)①补全图形，如图所示.

②证明：连接AN,连接£7V并延长，交Z6边于点Q.

••四边形是