第1章 集合与逻辑 章末检测试卷(一)（含答案）高中数学 湘教版 必修第一册

章末检测试卷(一)[时间:120分钟分值:150分]一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.若集合X＝{x|x>-1},下列关系式中成立的为()A.0⊆X B.{0}∈XC.∅∈X D.{0}⊆X2.已知集合M＝{x|-3<x<4},N＝x12x＋1>0,则M∩NA.(-3,3) B.(-3,6)C.(-2,4) D.(-3,2)3.已知命题p:∃n∈N,2n-2是素数,则綈p为()A.∀n∉N,2n-2不是素数B.∃n∈N,2n-2不是素数C.∃n∉N,2n-2不是素数D.∀n∈N,2n-2不是素数4.设集合A＝(1,2),B＝(-∞,a),若A⊆B,则a的取值范围是()A.(-∞,2] B.(-∞,1]C.(1,＋∞) D.[2,＋∞)5.已知集合A＝{1,a},B＝{1,2,3},则“a＝3”是“A⊆B”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分又不必要条件6.已知全集U⊆R,∁UA＝{1,2},∁UB＝{2,3}且A∪B＝{1,3,4,5},则集合A等于()A.{3,5} B.{4,5}C.{3,4} D.{3,4,5}7.满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要而不充分条件的电路图是()8.已知命题“∃x∈R,使4x2＋(a-2)x＋14≤0”是假命题,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0) B.[0,4]C.[4,＋∞) D.(0,4)二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.设集合S＝{x|-2≤x≤8},T＝{x|0<x<4},若集合P⊆(∁RT)∩S,则P可以是()A.{x|-2≤x≤0} B.{x|5≤x≤7}C.{x|-2≤x≤8} D.{x|1≤x≤5}10.若p:x2＋x-6＝0是q:ax＋1＝0的必要而不充分条件,则实数a的值为()A.2 B.-1C.1311.定义集合运算:AB＝{z|z＝(x＋y)×(x-y),x∈A,y∈B},设A＝{2,3},B＝{1,2},则()A.当x＝2,y＝2时,z＝1B.x可取两个值,y可取两个值,z＝(x＋y)×(x-y)对应4个式子C.AB中有4个元素D.AB的真子集有7个三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.命题“∀x∈R,都有x3≥0”的否定为.

13.设集合S＝{x|x<-1或x>5},T＝{x|a<x<a＋8},S∪T＝R,则a的取值范围是.

14.已知集合A＝{x|-1<x<2},B＝{x|-1<x<m＋1},若x∈A是x∈B成立的一个充分而不必要条件,则实数m的取值范围是.

四、解答题(本题共5小题,共77分)15.(13分)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},A＝{x|x2-3x＋2＝0},B＝{x∈Z|1≤x≤5},C＝{x∈Z|2<x<9}.求:(1)A∪(B∩C);(6分)(2)(∁UB)∪(∁UC).(7分)16.(15分)已知集合A＝{x|6≤x≤20},集合B＝{x|x≤2a},命题p:∃x∈A,x∈B,命题q:∀x∈R,x2＋2x-a>0.(1)若命题p为假命题,求实数a的取值范围;(7分)(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题,求实数a的取值范围.(8分)17.(15分)在①A∩B＝{1},②A＝B,③BA这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的集合存在,求实数a的值;若问题中的集合不存在,说明理由.问题:是否存在集合A,B,满足集合A＝{x|x2-3x＋2＝0},集合B＝{x|6x2＋6ax＋a2-a＝0}且B≠∅,使得成立?(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)

18.(17分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1},Q＝{x|-2≤x≤5}.(1)若a＝3,求(∁RP)∩Q;(7分)(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分而不必要条件,求实数a的取值范围.(10分)19.(17分)对于正整数集合A＝{a1,a2,…,an}(n∈N＋,n≥3),如果去掉其中任意一个元素ai(i＝1,2,…,n)之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A为“和谐集”.(1)判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”,并说明理由;(4分)(2)求证:若集合A是“和谐集”,则集合A中元素个数为奇数;(6分)(3)若集合A是“和谐集”,求集合A中元素个数的最小值.(7分)

答案精析1.D2.C3.D4.D5.B[∵a=3⇒A⊆B，而A⊆B⇒a=3或a=2，∴“a=3”是“A⊆B”的充分而不必要条件.]6.D[因为(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={2}，所以U={1，2，3，4，5}，则A={3，4，5}.]7.B[由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分而不必要条件；由题图B，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关K1必须闭合.因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要而不充分条件；由题图C，闭合开关K1可使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，开关K1一定是闭合的.因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件；由题图D，闭合开关K1但不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关K1，只要闭合开关K2即可.因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分又不必要条件.]8.D[∵命题“∃x∈R，使4x2+(a-2)x+14≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2+(a-2)x+14>0”是真命题，即判别式Δ=(a-2)2-4×4×14<0，即Δ=(a-2)则-2<a-2<2，即0<a<4.]9.AB[(∁RT)∩S={x|-2≤x≤0或4≤x≤8}.结合选项知A，B正确.]10.BC[由x2+x-6=0，可得x=2或x=-3.对于ax+1=0，当a=0时，方程无解；当a≠0时，x=-1a由题意知pq，q⇒p，则可得a≠0，此时应有-1a=2或-1a解得a=-12或a=1综上可得，a=-12或a=1311.BD[当x=2，y=2时，z=(2+2)×(2-2)=0，故A错误；x可取2，3，y可取1，2，则z可取(2+1)×(2-1)=1，(2+2)×(2-2)=0，(3+1)×(3-1)=2，(3+2)×(3-2)=1四个式子，选项B正确；AB={0，1，2}，共3个元素，选项C错误；AB的真子集有23-1=7(个)，选项D正确.]12.∃x∈R，使得x3<013.{a|-3<a<-1}解析借助数轴可知a∴-3<a<-1.14.{m|m>1}解析由x∈A是x∈B成立的一个充分而不必要条件，得AB，即m+1>-1,m+1>215.解(1)依题意知A={1，2}，B={1，2，3，4，5}，C={3，4，5，6，7，8}，∴B∩C={3，4，5}，故有A∪(B∩C)={1，2}∪{3，4，5}={1，2，3，4，5}.(2)由∁UB={6，7，8}，∁UC={1，2}，故有(∁UB)∪(∁UC)={6，7，8}∪{1，2}={1，2，6，7，8}.16.解(1)若命题p为真命题，则A∩B≠∅，所以2a≥6，所以a≥3，所以当命题p为假命题时，a的取值范围为{a|a<3}.(2)当命题q为假命题时，即“∃x∈R，x2+2x-a≤0”为真命题，所以Δ=4+4a≥0，解得a≥-1，所以a的取值范围为{a|a≥-1}，所以当命题p，q均为假命题时，a的取值范围为{a|a<3}∩{a|a≥-1}={a|-1≤a<3}，所以当命题p和命题q至少有一个为真命题时，a的取值范围为{a|a<-1或a≥3}.17.解由条件可得A={1，2}，选条件①，要使得A∩B={1}，则1∈B，2∉B，所以6+6a+a2-a=0，且6×4+6a×2+a2-a≠0，解得a=-2.选条件②，A=B={1，2}，即6x2+6ax+a2-a=0的两根为1，2，由根与系数的关系可得1+2=-解得a=-3.选条件③，由BA，得B={1}或B={2}.当B={1}时，1+1=-解得a=-2，当B={2}时，2+2=-即a=-4综上可得a=-2.18.解因为P是非空集合，所以2a+1≥a+1，即a≥0.(1)当a=3时，P={x|4≤x≤7}，∁RP={x|x<4或x>7}，Q={x|-2≤x≤5}，所以(∁RP)∩Q={x|-2≤x<4}.(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分而不必要条件，则P⫋Q，即a且a+1≥-2和2a+1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2，即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}.19.(1)解当集合{1，2，3，4，5}去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：{1，3}，{4，5}；{1，4}，{3，5}；{1，5}，{3，4}；{1}，{3，4，5}；{3}，{1，4，5}；{4}，{1，3，5}；{5}，{1，3，4}，经过计算可以发现，每两个集合的所有元素之和不相等，故集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”.(2)证明设和谐集A={a1，a2，…，an}(n∈N+，n≥3)的所有元素之和为M，由题意可知M-ai(i=1，2，…，n)均为偶数，因此任意一个元素ai(i=1，2，…，n)的奇偶性与M的奇偶性相同.若M是奇数，则ai(i=1，2，…，n)也都是奇数，由于M=a1+a2+…+an，显然n为奇数；若M是偶数，则ai(i=1，2，…，n)也都是偶数，此时设ai=2bi(i=1，2，…，n)，显然{b1，b2，…，bn}也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以得到各项都为奇数的“和谐集”，此时各项的和也是奇数，集合A中元素个数也是奇数，综上所述，若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数.(3)解由(2)知集合A中元素个数为奇数，显然当n=3时，集合A不是“和谐集”；当n=5时，不妨设a1<a2<a3<a4<a5，若A为“和谐集”，去掉a1后，得a2+a5=a3+a4，去掉a2后，得a1+a5=a3+a4，两式矛盾，故当