河北省衡中2024-2025学年高三模拟考试（一）数学试题（含解析）

河北省衡中2024-2025学年高三模拟考试（一）数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取

一，余米一斗五升（注：一斗为十升）.问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15（单

位：升），则输入的k的值为（）

毕

/输L/

1ys=%

口/特/

/1=!1+11

［结束)

—__s=ns--

A.45B.60C.75D.100

2.函数〃x)=sin(%+。)在［0,句上为增函数，则。的值可以是()

713〃

A.0B.—C.兀D.—

22

22

3.若双曲线E：二-乙=1(m〃>0)绕其对称中心旋转g后可得某一函数的图象，则E的离心率等于（）

mn3

A.B.6C.2或空■D.2或6

33

4.已知y=log2(%2—2%+17)的值=域根时为，则当7a正+4数Z?的”最，小〜满值为足------+------

\'3a+ba+2b

()

A.-B.5C.§+2五D9

44

5.已知随机变量X服从正态分布N（l,4）,P（X>2）=0.3,P（X<0）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

6.设机，〃为直线，。、4为平面,则加_L。的一个充分条件可以是（）

A.a】B,a[y/3=n,mLnB.aII)3,m±0

C.a】f3，mil。D.〃ua,mLn

7.设mGR,命题“存在相>0,使方程f+x—有实根”的否定是（）

A.任意m>0.使方程X2+x—m=0无实根

任意加VO,使方程x2+x-m=0有实根

C.存在m>0,使方程x2+x—m=0无实根

D.存在m<0,使方程x2+%-根=0有实根

8.在复平面内,复数，（2+，）对应的点的坐标为（）

A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,2)D.(2,-1)

9.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A=[294),3={3,4},则（根）n（*）=（）

A.{3,5,6}B.{1,5,6}C.{2,3,4}D.{1,2,3,5,6)

10.已知抛物线丁=4x的焦点为尸，准线与x轴的交点为K,点P为抛物线上任意一点ZKPF的平分线与x轴交于

（m,0）,则加的最大值为（）

A.3-2A/2B.2百-3C.2-6D.2-亚

11.某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计

如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（）

4Q

35

3O

25

2O

15

1O

5

储蓄衣食住旅行就医储蓄衣食住旅行就医

A.21250元B.28000元C.29750元D.85000元

___2__________________________i___

12.如图，在AABC中，AN=-NC,P是BN上一点，^AP=tAB+-AC,则实数f的值为（）

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，贝！1“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为.

14.函数y=ln(3'_2、)的定义域为.

TT

15.已知函数/(尤)=2sin(ox+e)(o>0),曲线y=/(x)与直线y=l相交，若存在相邻两个交点间的距离为2,

则但可取到的最大值为.

16.已知数列｛%｝满足q=2,考_组=2,若勿=2师，则数列他“｝的前”项和S“=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

f.后

X—2H------1

2

17.(12分)在平面直角坐标系“Oy中，直线/的参数方程为；。为参数)，以坐标原点。为极点，X轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为夕2-42cos夕=3.

(1)求直线I的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)直线/与圆C交于A,B两点,点尸(2,1),求|P用的值.

18.(12分)在等比数列｛4｝中，已知q=l,。4=1•设数列也｝的前"项和为%且白=T,an+bn=-\sn_x

82

(〃22,neN*).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

'b

(2)证明：数列J是等差数列；

(3)是否存在等差数列｛%｝,使得对任意〃cN*，都有S"<q<4?若存在，求出所有符合题意的等差数列｛1｝；

若不存在，请说明理由.

20

19.（12分）已知矩阵加=]],求矩阵M的特征值及其相应的特征向量.

20.（12分）在平面直角坐标系中，点尸是直线/:x=-1上的动点，/。,0）为定点，点Q为PF的中点，动点〃

满足诙•丽=0,且砺=4赤（4eR）,设点"的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点尸的直线交曲线C于A，B两点,T为曲线C上异于A，3的任意一点，直线7X,TB分别交直线/于。，

E两点.问NDEE是否为定值？若是，求NDEE的值；若不是，请说明理由.

x=cosa

2L（12分）在平面直角坐标系九0y中，曲线4的参数方程为.（戊为参数），将曲线G上每一点的横坐标

y=sma

变为原来的叵倍,纵坐标不变,得到曲线C2,以坐标原点。为极点，工轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线/：夕=。

与曲线。2交于点P，将射线/绕极点逆时针方向旋转]交曲线。2于点Q.

（1）求曲线的参数方程；

（2）求AP。。面积的最大值.

22.（10分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为夕=r（r>0）,直线/的方程为夕cos[，+?）=J5.设直线/与

曲线C相交于A,3两点，且AB=2币,求r的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算.

【详解】

123

由题意Sx—x—义一=15,S=60.

234

故选：B.

本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键.

2.D

【解析】

依次将选项中的。代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.

【详解】

当。=0时，〃司=5g在［0,句上不单调，故A不正确；

当。=T时，/(%)=85%在［0,句上单调递减，故B不正确；

当。=7?■时，/(%)=—sinx在［0,句上不单调，故C不正确；

当。=5时，/(x)=-cosx在［0,句上单调递增，故D正确.

故选：D

本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.

3.C

【解析】

由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60°，所以2=6或且，由离心率公式

a3

I刀丫

e=Jl+-即可算出结果.

【详解】

由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60°，又双曲线的焦点既可在x轴，又可在y

轴上，所以或g,，e==2或与.

故选：C

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.

4.A

【解析】

利用丁=嗔卜2—2%+17）的值域为求出加再变形，利用1的代换，即可求出7a+46的最小值.

【详解】

2

解：：y=log2（x-2x+17）=log2—+161的值域为［m,+co）,

m=4,

.41）

/--------1------=4,

6a+2ba+2b

/.7〃+4b=牙（6〃+2/7）+（〃+2/7）］］——-----1------|

4LV）'+a+lb）

6〃+26+4（〃+2b）

5+>—x（5+4）=—,

4a+2b6a+2b4174

当且仅当6a+2b=%"+2'）时取等号，

a+2b6a+2b

9

・•・7a+4b的最小值为一.

4

故选：A.

本题主要考查了对数复合函数的值域运用，同时也考查了基本不等式中“1的运用”，属于中档题.

5.B

【解析】

利用正态分布密度曲线的对称性可得出P（x<0）=P（X>2）,进而可得出结果.

【详解】

••,X〜N（l,4）,所以，P（X<0）=P（X>2）=0.3.

故选：B.

本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.

6.B

【解析】

根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】

对于A选项，当。_!_/?,和_1_〃时，由于加不在平面夕内，故无法得出m_La.

对于B选项，由于。//月，mV13,所以加_La.故B选项正确.

对于C选项，当。，万，m//，时，相可能含于平面a,故无法得出加_La.

对于D选项，当"ua,加J_〃时，无法得出

综上所述，的一个充分条件是“a//〃，m±/3-

故选：B

本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.

7.A

【解析】

只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.

【详解】

由特称命题的否定是全称命题，知“存在机＞0,使方程X?+X-=0有实根”的否定是

“任意机＞0,使方程x?+x-〃2=0无实根

故选：A

本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.

8.C

【解析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出.

【详解】

解：复数i(2+i)=2i-1对应的点的坐标为(-1,2),

故选：C

本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

9.B

【解析】

按补集、交集定义，即可求解.

【详解】

%A={1,3,5,6},许6={1,2,5,6),

所以(枷)n(*)={i,5,6).

故选：B.

本题考查集合间的运算，属于基础题.

10.A

【解析】

%+11—m

求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，-7=—T—=7—

J(X+1)2+4X1+相

求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解.

【详解】

解:由题意可得，焦点尸(1,0),准线方程为x=T,

过点P作尸M垂直于准线，M为垂足，

由抛物线的定义可得|PP=\PM\=x+1,

记/KPF的平分线与x轴交于H(m,0),(-1<m<l)

|PF\\PM|\FH\

根据角平分线定理可得扁=j后

\KH\

x+11-m

'\I(X+V)2+4X1+M

当x=0时，m=0.

x+1

当XW0时，J(x+l)?+4x

.♦*"三＜1=°＜小3-2应，

综上：0<m<3—2后.

故选：A.

本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键.考查学

生的计算能力，属于中档题.

11.A

【解析】

根据2018年的家庭总收入为80000元，且就医费用占10%得到就医费用80000x10%=8000,再根据2019年的

就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，得到2019年的就医费用，然后由2019年的就医费用占总收人15%,

得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人25%求解.

【详解】

因为2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10%

所以就医费用80000x10%=8000

因为2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，

所以2019年的就医费用12750元，

而2019年的就医费用占总收人15%

所以2019年的家庭总收入为12750+15%=85000

而储畜费用占总收人25%

所以储畜费用：85000x25%=21250

故选：A

本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.

12.C

【解析】

—.2—■

由题意，可根据向量运算法则得到=（1-加）AB，从而由向量分解的唯一性得出关于f的方程，求出

f的值.

【详解】

由题意及图，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+m^AN-AB^=mAN+,

又，AN=-NC,所以丽机恁+（1-机）AB，

l—m=t

—»1—►51

又—AC,所以＜21，解得加=一,t=—,

3—m=—66

[53

故选C.

本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.—

3

【解析】

求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式.

【详解】

解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有管=6种，甲乙在同一个公司有两种可能,

故概率为尸===：,

63

故答案为一.

3

本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题

14.(0,+oo)

【解析】

对数函数的定义域需满足真数大于0,再由指数型不等式求解出解集即可.

【详解】

对函数y=ln(3“—2)有意义，

即V—2工>0-3工>2'=*=(|)=nx>L

故答案为：(0,+s)

本题考查求对数函数的定义域，还考查了指数型不等式求解，属于基础题.

15.4

【解析】

°

由于曲线y=/(x)与直线y=i相交，存在相邻两个交点间的距离为5,所以函数的周期7=一工〉工，可得到。的

3co3

取值范围，再由sin(ox+9)=；解出x的两类不同的值，然后列方程求出。=|6(攵2—匕)+2],再结合。的取值范围

可得。的最大值.

【详解】

27r7u15TC

T=——>—,可得0<G<6,由sin(G%+0)=—，则@%+0=24——或口九+0=242"+——(^,GZ),即

co3266

2&乃+工一夕2k7r+--<p

x=S「或.上由题意得2

।6-6y,所以0=|6(左2_匕)+2.

coco

CDCD

则＜9=2或＜9=4,所以0可取到的最大值为4.

故答案为：4

此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解，熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键，考查了推

理能力和计算能力，属于中档题.

“4"i—4

16.---------

3

【解析】

冬比-匕=2,求得匕的通项，进而求得a0=2i?,得二通项公式，利用等比数列求和即可.

n+1nn

【详解】

由题彳建］为等差数列，，匕=冬+n—1义2=2n,a”=2/,b"=2?n,s=W')=甲+―，故答案为

【nJn1n1-43

4n+1-4

3

本题考查求等差数列数列通项，等比数列求和，熟记等差等比性质，熟练运算是关键，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.(1)直线/的普通方程x+y—3=。，圆。的直角坐标方程：x+y-4x-3=0.(2)6

【解析】

(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.

(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系式即可求解.

【详解】

1X—一2。H--亚---1

2

(1)直线/的参数方程为｛；(，为参数)，转换为直角坐标方程为x+y-3=0.

圆C的极坐标方程为p2-4pcos0=3,转换为直角坐标方程为x2+y2-4x-3=0.

fc0

X=2H---1

2

（2）把直线/的参数方程为<；。为参数），代入圆的直角坐标方程x2+y2-4x-3=0,

12

V=1----1

[-2

得到产—万—6=0，

所以照||P8|=|⑴21=6.

本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运

算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

18.（1）（2）见解析（3）存在唯一的等差数列｛%｝,其通项公式为g=0,〃eN*满足题设

【解析】

11Z?

⑴由6=1,%=—可得公比夕，即得；⑵由⑴和4+2=——S“T可得数列也｝的递推公式，即可知二巴一

a

82n+ian

结果为常数，即得证；⑶由⑵可得数列出｝的通项公式，S,,=—2（4+1+勿+1）,设出等差数列｛g｝,再根据不

等关系S„<%<an来算出｛cn｝的首项和公差即可.

【详解】

（1）设等比数列｛4｝的公比为q,因为的=1,所以/=：,解得q=4.

882

所以数列｛4｝的通项公式为:

（2）由（1）得，当“22,〃eN*时，可得+%=—…①,

3+)=」S…②

②—①得，bn+l-^bn，

""+i________=1bb

则有门丫flY-1,即4一.=1,n>2,〃eN*.

bb

因为伪=T，由①得，4=。，所以上一一L=0-(-l)=l,

hb

所以a—j=l,〃eN*.

a

n+ia”

b'

所以数列是以-1为首项，1为公差的等差数列.

(3)由(2)吟=〃-2,所以优=崇，S“=_2(%M+2+J=_2］?+三］=一/

假设存在等差数列｛%｝,其通项cn=dn+c,

使得对任意aeN*，都有S”<q<an,

fl1

即对任意“eN*，都有一1W赤+cVcw1.③

22

首先证明满足③的d=0.若不然，d/0,则d>0,或d<0.

1-c1

(i)若d>0,则当〃〉----，“eN*时，c=dn+c>1>--=a,

d2"T

这与c“<c”矛盾•

］+c

(ii)若d<0,则当〃〉-----，〃wN*时，c=dn+c<-\.

dn

77+1rjH—1

而S,+「s〃=—罗+舟=甘对，风=凡<邑<……,所以s“2>=—1.

故g=d〃+c<—l<S"，这与S"<g矛盾.所以1=0.

其次证明：当x»7时，/(x)=(x-l)ln2-21nx>0.

因为r(x)=ln2—工>ln2—工>0,所以/(%)在［7,+8)上单调递增,

x7

64

所以，当转7时，/(%)>/(7)=61n2-21n7=ln^>0.

所以当〃之7,“eN*时，2"T>"2.

再次证明c=0.

1Yl1

(iii)若c<0时，则当〃之7,n>---,及eN*，S=---->--->c,这与③矛盾.

c2"Tn

(iv)若c>0时，同(i)可得矛盾.所以c=0.

当c"=°时,因为S“=F7W0,4=(；］>0，

所以对任意aeN*，都有S“<c“.所以q,=0,neN*.

综上，存在唯一的等差数列｛cj,其通项公式为g=0,〃eN*满足题设.

本题考查求等比数列通项公式，证明等差数列，以及数列中的探索性问题，是一道数列综合题，考查学生的分析，推

理能力.

-01「「

19.矩阵〃属于特征值1的一个特征向量为］,矩阵〃属于特征值2的一个特征向量为］

【解析】

先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令/“)=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特

征向量.

【详解】

/、彳—20,

由题意，矩阵”的特征多项式为了(%)=,=22-32+2,

—1A—1

令/“)=0，解得4=1，4=2,

(2-2)-x+0-y=0

将4=1代入二元一次方程组＜解得x=0,

-x+(2-l)y=0

所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为

1

同理，矩阵〃属于特征值2的一个特征向量为］v

本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键,

着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

20.(1)y2=4x；(2)是定值，ZDFE=—.

2

【解析】

(1)设出M的坐标为(％y),采用直接法求曲线。的方程；

(2)设A3的方程为x=/y+l,B(^,y2),T(^-,y0),求出AT方程，联立直线/方程得。点的坐标,

同理可得E点的坐标，最后利用向量数量积算功.而即可.

【详解】

(1)设动点M的坐标为(x,y),由丽^=4加(4eR)知神〃历又p在直线/：x=—1上，

所以P点坐标为(―l,y),又尸(1,0),点Q为P厂的中点，所以Q(0《)，PF=(2,-y),MQ={-x-^),

2

由弦•而二0得-2%+]=0,BPy2=4x；

D

(2)-------

E

设直线他的方程为…+1,代入户以得户吁4=。,设吟，力5）,

«k=%一%=4

则%+%=4/，％%=—4,设T（乎,%），则AT才常力+为，

4------

44

所以AT的直线方程为y—%=」一（x—咚）即y=^^x+»二，令x=—1,贝ij

%+%4%+%

y=y'y°~4,所以丁点的坐标为（T，同理石点的坐标为（-1,乂二一4）,于是彷=（-2,%为—4）,

…々安"所以……小、心…正高？UF

~4丁；-16%+16_-16+16%+4y；-4y：—16%+16

=4+=0,从而用Rg,

-4+4ty0+y；-4+4佻+y；

TT

所以NDEE=一是定值.

2

本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数

的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.

21.（1）\（a为参数）；（2）注.

y=sina2

【解析】

（1）根据伸缩变换结合曲线G的参数方程可得出曲线C2的参数方程；

（2）将曲线G的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点P的极坐标为（8,0），点。的极坐标为02，。+叁

将这两点的极坐标代入椭圆C的极坐标方程，得出A2和P1关于。的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出

APOQ面积的最大值.

【详解】