2025年上海市数学高考一轮复习：立体几何（Ⅱ）（考点练+模拟练）含详解

专题12立体几何（II）（考点练+模拟练）

01上海考点练

一、填空题

1.（23-24高二上•上海•期末）已知长方体ABC。-44CQ],然=&,AD=1,则二面角R-AB-C的大为—.

2.（2022・上海金山•二模）若正方体ABC。-ABG2的棱长为2,则顶点A到平面的距离为

3.（21-22高二上•上海奉贤•阶段练习）互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定个平

面；

4.（21-22高三上•上海闵行・期中）已知圆心角为60。的扇形面积为6万，则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的

余弦值等于.

5.（21-22高三下•上海松江•开学考试）如图，在正方体42CZ）-A4CR中，过点A且与直线垂直的所有面对

6.（22-23高二上•上海黄浦・期末）过正方形ABC。之顶点A作尸A，平面ABCD,若上4=AB,则平面AB尸与平面

CDP所成的锐二面角的度数为.

7.（21-22高二上•上海•期末）已知三棱锥尸—ABC中，PA“PB,PB~PC,PC"PA,尸4=1,尸2=1,尸。=后，贝!|

点P到平面ABC的距离为.

8.（23-24高二上.上海普陀•期中）在空间四边形ABC。中，AB=CD=6,MN分别是对角线AC,的中点，若

异面直线AB,CD所成角的大小为60°,则MN的长为.

9.（23-24高二上.上海浦东新•阶段练习）如图，某人沿山坡PQ8的直行道向上行走，直行道A8与坡脚（直）

线PQ成60。角，山坡与地平面所成二面角的大小为30。.若此人沿直行道A8向上行走了200米，那么此

时离地平面的高度为米.

10.（21-22高二上•上海•期末）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：其中所有正确的结论

（1）与EO平行；（2）CN与BE是异面直线；

TT

（3）CN与3M成］；（4）。河与2N垂直；

11.（23-24高二上•上海黄浦•阶段练习）已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，上4,平面A8CD,则四棱锥的五

个表面中，与平面山。垂直的平面有个.

12.（23-24高二上•上海浦东新•阶段练习）如图，NAO3在平面a内，NAO3=90。，尸O是平面a的斜线，

ZPOA=ZPOB=a）°,点。是尸。上一点，且PQ=a,则线段PQ在平面a上的射影长为.

P

13.（23-24高二上•上海松江•阶段练习）如图，在长方体4BCD-A4CQ中，AB=AD=\,AAi=2,尸为。。的

中点，过网的平面1分别与棱AA-CQ交于点£,F,且AC〃夕，则截面四边形PEB尸的面积为.

14.（23-24高二上•上海浦东新•阶段练习）已知ABCD砂-44£。耳耳是单位正六棱柱（即所有的棱长都是1,如图

所示），黑、白两个蚂蚁同时从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.黑蚂蚁爬行的路线是

441fA片一…，白蚂蚁爬行的路线是43-B与-….它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第z•段所在的直

线必须是异面直线（其中，是正整数）.设黑、白两蚂蚁走完2023段后各停留在正六棱柱的某个顶点处，这时黑、

白两蚂蚁的距离是.

15.（23-24高二上•上海•阶段练习）已知直三棱柱ABC-A与G，底面三角形ABC是等腰直角三角形，其中B为直

角顶点，且AB=3，M=2百.若点O为棱A4的中点，点M为平面BCD的一动点，则忸M+QM的最小值是-

16.（22-23高三上•上海浦东新•期中）如图，三棱锥A-3CD的顶点A在平面a上，侧棱平面a,底面

是以B为直角的等腰直角三角形，且平面与平面a平行.AB^BC^l,E是CO中点，M是线段AE上的动

点，过点M作平面AC。的垂线交平面a于点N,则点N到点C的距离的取值范围为.

二、单选题

17.（23-24高三下.上海松江.阶段练习）已知a、/、/是三个不同的平面，/、机、”是三条不同的直线，则（）

A.若加//a,nila,贝!〃"B.若ay=m,。'y=n,a///3,则加〃〃

C.若mua,n-La,IVn,则/〃mD.若夕B=l,且相〃/,则根//a

18.（23-24高二上•上海・期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD一A耳储2中，点夕在截面上（含边界），

则线段”的最小值等于（）

AG

AB

A.-B.毡C.&D.在

333

19.（2023・上海长宁•三模）如图所示，在正方体A8C。-4旦GR中，”是棱上一点，若平面与棱CQ交

于点N,则下列说法中正确的是（）

A.存在平面MBAQ与直线8月垂直

B.四边形M3AQ可能是正方形

C.不存在平面MBND、与直线4G平行

D.任意平面MBNA与平面AC4垂直

20.（23-24高二上•上海.期末）在长方体ABC。-4瓦£2中，A\=AD,AB:AD=A,（2>0）,£是棱4耳的中点,

点尸是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论彳取何值，都存在点P,使得PCLBD；②无论彳取何值，

都不存在点P,使得直线AC1，平面尸3c.则（）.

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

三、解答题

21.（23-24高二上.上海.期末）如图，在几何体尸-ABC。中，己知P4平面ABC3,且四边形ABCD为直角梯形,

71

ZABC=ZBAD=~,AD=2,AB=BC=1.

2

P

（1）证明：CD,平面PAC；

77

（2）若PC与平面ABCD所成的角为:，求二面角A-PD-C的大小.

22.（22-23高三下•上海•阶段练习）已知四棱锥P-ABCD的底面ABC。为矩形，P4,底面A8CZ）,且

PA=AD=2AB=2,设E、F、G分别为PC、BC、C。的中点，X为EG的中点，如图.

⑴求证：四〃平面P8D；

（2）求直线切与平面P8C所成角的正弦值.

23.（21-22高三下•上海杨浦•阶段练习）如图，等腰RtAO3,04=03=2,点C是08的中点，VA0B绕80所

在的边逆时针旋转至，BOD,ZAOD=^.

⑴求VAOB旋转所得旋转体的体积V和表面积S；

（2）求直线AC与平面BOD所成角的大小.

24.（2024・全国•模拟预测）如图，在多面体ABCD跖中，已知四边形ABCZ）是菱形，ZABC=60°,平面ABCD,

EDLnABCD,AB=FA=2ED=2.

F

（1）在线段AF上是否存在一点G,使得平面3DG〃平面CEF?若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.

⑵求二面角B-CF-E的余弦值.

25.（19-20高二下.上海浦东新•期中）如图，已知正方体A8CO-4耳G2内接于球。，且球的半径为君，P,Q

分别是BC,3G上的动点.

（1）求正方体ABCD-A与GR的棱长;

（2）求尸。+。2的最小值；

（3）若平面尸的与平面ADC4所成二面角的大小为a,平面PZ）G与平面ADC的所成二面角的大小为夕，试求

a+夕的最小值，及此时尸点的位置.

02上海模拟练

一、填空题

1.（2024・上海•模拟预测）已知圆台的上底半径为1,下底半径为2,若圆台上、下底面的面积和等于圆台的侧面

面积，则圆台的母线与底面所成角的大小为（用反三角函数表示）.

2.（2024・上海崇明•二模）已知底面半径为1的圆柱，。是其上底面圆心，A、3是下底面圆周上两个不同的点，

8C是母线.若直线Q4与3C所成角的大小为m，则BC=.

3.（2020•上海长宁•二模）如图，已知正四棱柱ABC。-A瓦GR的侧棱长为四,底面边长为1,则直线和底

面ABCD所成的角的大小为.

4.（2023・上海静安•二模）如图，正方体ABCD-ABCQi中，E为A3的中点，f为正方形3CG4的中心，则直

线EF与侧面BBgC所成角的正切值是.

5.（2023•上海杨浦・一模）我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（bie）膈（nao）”的几何体，它指

的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖席”的个数

是.

6.（2024.上海虹口•二模）如图，在直四棱柱ABCD-A笈G，中，底面为菱形，且ZBAD=60.^AB=AA{=2,

点〃为棱CG的中点，点尸在48上，则线段PAPM的长度和的最小值为.

7.（2023・上海闵行•一模）已知点尸在正方体A3CD-A耳G2的表面上，P到三个平面ABC。、ADQA、ABBtAt

中的两个平面的距离相等，且尸到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点尸的个

数为.

8.（2023•上海嘉定•一模）设尸为多面体M的一个顶点，定义M在尸处的离散曲率为

1-^ZQ}PQ2+ZQ,PQ3++NQ-P以+NQ/QJ,其中Q«=l,2,，左次eN）为M的所有与P相邻的顶点，且平

271

面。尸Q、Q『Q3、L、QklPQk＞以尸。1为M以P为公共点的面.已知在直四棱柱A8CZ）-ABG2中，四边形ABCD

为菱形，AAl=AB,当AC1，平面A0D时，四面体AA8。在4处的离散曲率为.

二、单选题

9.（2024・上海长宁•二模）已知直线。涉和平面a,则下列判断中正确的是（）

A.若a//a,8〃a,则a//bB.若a〃b,blla,则a//a

C.若a//a,bLee,则；j_,D.若aJ_6,b//a,贝

10.（2023・上海闵行•三模）已知羽是空间的直线或平面，要使命题“若无，z,y，z,则x〃y”是真命题，x,y,z可

以是（）

A.羽y，z是三个不同的平面B.X，Z是两条不同的直线，y是平面

c.x，y，z是三条不同的直线D.x，y是两条不同的直线，z是平面

11.（2024・上海・三模）如图，点N为正方形ABC。的中心，为正三角形，平面EC。，平面ABC。，M是线

段班的中点，则（）

A.DM丰EN,且直线DM、EN是异面直线

B.DM=EN,且直线Z）M、EN是异面直线

C.DM手EN,且直线DM、EN是相交直线

D.DM=EN,且直线。M、EN是相交直线

12.（2023・上海金山•二模）如图，在矩形ABCD中，E、尸分别为边AD、3C上的点，且AD=3AE,BC=3BF,

设P、。分别为线段反、CE的中点，将四边形ABEE沿着直线所进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一

过程中，下列关系不能成立的是（）

A.直线AB〃直线COB.直线AB,直线PQ

C.直线PQ〃直线即D.直线PQ〃平面ADE

13.（2023・上海崇明•一模）已知点M为正方体ABCZ）-4瓦G2内部（不包含表面）的一点.给出下列两个命题:

%：过点/有且只有一个平面与AA和4c都平行；

%：过点M至少可以作两条直线与M和4G所在的直线都相交.

则以下说法正确的是（）

A.命题名是真命题，命题的是假命题B.命题小是假命题，命题%是真命题

C.命题41,%都是真命题D.命题%,%都是假命题

三、解答题

14.（2024.上海奉贤.三模）如图，四棱锥尸-ABCD的底面是梯形，AD//BC,ABYBC,AB=BC=1,24,平

面ABCD,CDYPC.

p

⑴求证：CD_L平面PAC

JT

(2)若二面角P-CD-A的大小为w，求尸£＞与平面PAC所成的角的大小.(结果用反三角函数值表示)

15.(2023・上海静安•二模)如图，在五面体ABCDEF中，41_L平面ABC。，AD//BC//FE,AB±AD,若

(1)求五面体ABCDEF的体积；

(2)若M为EC的中点，求证：平面CDEL平面AMD

16.(2024・上海奉贤•二模)如图1是由两个三角形组成的图形，其中NA尸C=90°,ZPAC=30°,AC=2AB,

ZBC4=30°.将三角形ABC沿AC折起，使得平面R4C，平面ABC,如图2.设。是AC的中点，D是钎的中点.

图1图2

(1)求直线BO与平面PAC所成角的大小；

(2)连接PB,设平面030与平面P8C的交线为直线/,判别/与PC的位置关系，并说明理由.

17.(2024・上海•模拟预测)如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥4-3。见与一个三棱锥尸-ADE拼接而成,

正四棱锥龙的所有棱长均为30，且AF〃CD.

⑴在棱DE上找一点G,使得平面ABC,平面AFG,并给出证明;

(2)若=求直线。尸与平面ABC所成角的正弦值.

18.(2023•上海长宁•二模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。为直角梯形，AD//BC,AB±BC,AB=AD,

BC=2AB,E,尸分别为棱3cBp中点.

(1)求证：平面〃平面DCP；

(2)若平面P3C，平面ABCD,直线”与平面PBC所成的角为45,且CPJ_P3,求二面角P-AB-C的大小.

19.(2022•上海奉贤•一模)如图，在正四棱锥P-ABC。中，PA=AB=2近,反/分别为的中点，平面AEF

与棱尸C的交点为G.

⑴求异面直线AE与尸尸所成角的大小；

(2)求平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的大小；

(3)求点G的位置.

专题12立体几何（II）（考点练+模拟练）

01上海考点练

一、填空题

1.（23-24高二上•上海•期末）已知长方体ABC。-然=&,AD=1,则二面角R-AB-C的大为

【答案】arccos在

3

【分析】根据二面角的定义即可找到/。小。为二面角AB-C的平面角，利用三角形的边角关系即可求解.

【详解】由于平面AO0A，且ARu平面所以

又。4，45所以ZD{AD即为二面角D.-AB-C的平面角,

由于A\-5/2,AD=1,可得AD[=y/3,

AD1R

则cosA。二五方二耳，所以ZD]AD=arccos]-,

故答案为：arccosA/3

3

2.（2022・上海金山•二模）若正方体48。-A4GR的棱长为2,则顶点A到平面BBQD的距离为

【答案】72

【分析】连接AC网》,设ACBD=O,进而可证明49,平面B8QD,再由已知棱长求得4。即为答案.

【详解】解：如图，在正方体A3。-中，由正方体的结构特征可知8百，平面AB。，

因为ACu平面ABCD,

所以BgLAC

连接AC,2£>,设ACBD=O,则AC1BD,

因为BDcBB]=B,BD,8与u平面BBRD,

所以，AC_L平面BBQQ,即AO_L平面BBQD,

所以，A。即为顶点A到平面网DQ的距离,

因为正方体A3。-AqGR的棱长为2,所以，AO=y/2.

故答案为：也.

3.（21-22高二上•上海奉贤•阶段练习）互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定个平

面；

【答案】6

【分析】当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，结合正方体，即可得出答案.

【详解】解：当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，

如图正方体的四条侧棱，

所以最多可确定6个面.

故答案为：6.

4.（21-22高三上•上海闵行•期中）已知圆心角为60。的扇形面积为6万，则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的

余弦值等于.

【答案】7

O

【分析】求得扇形的半径及弧长，由此求得圆锥的底面半径，从而求得正确结论.

I-rrjr

【详解】依题意=6万,厂=6,弧长为］X6=2万，

所以圆锥的底面半径为二=1,

所以扇形围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于2.

0

故答案为：

0

5.（21-22高三下•上海松江•开学考试）如图，在正方体ABCZ）-ABG2中，过点A且与直线垂直的所有面对

角线的条数为.

【答案】2

【分析】根据正方体的性质有2片，面4gG2，由线面垂直性质可得8瓦1AG，根据线面垂直的判定和性质有

AG±BD,,同理确定与5Q垂直的其它面对角线即可.

【详解】由正方体性质：8耳，面AMG2，A£u面4BC2,则8月，AG，又用BBCBR=B「

所以46_1_面842，又BRu面842，故即面44G2上的面对角线AG_LBQ；

同理，可得面对角线。A,OG,A综C昂AC都垂直于8Q.

所以一共6条面对角线与22垂直，其中过A点的有2条.

6.（22-23高二上•上海黄浦・期末）过正方形A3C。之顶点A作尸平面ABCD,若上4=AB,则平面AB尸与平面

CDP所成的锐二面角的度数为.

【答案】45°

【分析】将四棱锥补成正方体即可求解.

【详解】根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示：

pE

连接CE,则平面CZ）P和平面CPE为同一个平面，

由题可知PE±平面BCE,BE,CEu平面BCE,

PELBE,PELCE,又平面?IB尸c和平面=PE,BEu平面ABP,CEu平面COP,

NCE3为平面ABP和平面COP所成的锐二面角的平面角，大小为45。.

故答案为：45°.

7.（21-22高二上•上海•期末）已知三棱锥尸—ABC中，PA“PB,PB"PC,PC“PA,PA=1,尸3=1,尸。=应，贝l|

点P到平面ABC的距离为.

【答案】叵

5

【分析】根据题意，设点尸到平面A8C的距离为d,由线面垂直的性质可得进而求出的值，同时可得PC,面

进而求出/_ABC='xdxSABC=~d,利用等体积法计算可得答案.

根据题意，设点尸到平面ABC的距离为d,

如图：PA±PB,PBLPC,PCVPA,PA=\,PB=1,尸C=夜，

则有尸面RW,所求三棱锥P—A5c高为PC,故尸C=d,

V

^C-PAB=-xPCxSPAB=—,A8=^/m=&，AC=BC=V2+T=A/3,

36

则SABC—与=乎'

结合/C=d,可得Vp.ABC=gxdxSABC=器"，

又由%PM=VpA5C=Lx0X』xlxl=^^,即2^=2/1^.,解得

C-PABP-ABC326665

故点尸到平面ABC的距离为叵

5

故答案为：叵

5

8.（23-24高二上.上海普陀•期中）在空间四边形A3CD中，AB=CD^6,分别是对角线AC,的中点，若

异面直线AB,CD所成角的大小为60°,则MN的长为.

【答案】3或3百

【分析】取仞中点为E,连接根据已知得出ME=3,NE=3,ZMEN=60。或120。.然后在；MEN中,

根据余弦定理，即可得出答案.

【详解】取A。中点为E,连接NE,ME,

因为分别是ACQ'ZM的中点，

所以，ME//CD,NE//AB,且ME=，CO=3,NE=>AB=3.

22

又异面直线AB,CD所成角的大小为60。，

所以，/AffiN=60。或120。.

当NMEN=60°时，

在,MEN中，由余弦定理可得，

MN2=ME2+NE2-2XMEXNECOS600=32+32-2X3X3X-=9,

2

所以，MN=3；

当NMEN=120。时，

在中，由余弦定理可得，

MN-=ME1+A«2-2xMExA®cos120°=32+32+2x3x3xl=27,

2

所以，MN=3日

综上所述，MN=3或MN=3百.

故答案为：3或3

9.（23-24高二上•上海浦东新•阶段练习）如图，某人沿山坡PQ8的直行道向上行走，直行道A8与坡脚（直）

线PQ成60。角，山坡与地平面所成二面角B-PQ-M的大小为30。.若此人沿直行道向上行走了200米，那么此

【答案】5073

【分析】如图所示作辅助线，确定/3HG即为二面角B-PQ-M的平面角，得到3"=23G,根据直角三角形中边

角关系得到sin/BAG=—=，再根据h=200xsin/BAG，计算得到答案.

AB4

【详解】如图所示：过8作平面尸。脑V,交MN于点、G,GXLPQ于//,连接AG,3H,

3GL平面「QMN,PQu平面尸QVW,故PQLBG,GH±PQ,

又因为BGGH=G,3G,GHu平面BGH,

故尸。上平面BGH,即4％G即为二面角的平面角，NBHG=30°,

故BH=2BG,

在吊△&4H中，ZBAH=6O°,故AB=空BH=迫BG,

33

在MAAGB中，sinZBAG=-=^-,

AB4

3G_L平面PQWN,N54G即为AB与地平面PQMN所成的角，

贝!J离地平面的高度/z=200xsin/BAG=200x走=50^3.

4

故答案为：50y/3.

10.（21-22高二上•上海・期末）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：其中所有正确的结论

序号是.

（1）8M与皮）平行；（2）CN与BE是异面直线；

TT

（3）CN与即/成§；（4）DW■与垂直；

【答案】（3）（4）

【分析】将正方体的平面展开图还原为正方体，结合空间中直线与直线的位置关系判断计算即可.

【详解】将该正方体的平面展开图还原得到如图所示：

对于（1）：显然创公瓦＞是异面直线，故（1）不正确；

对于（2）：在正方体中，助〃月0〃3。,加=府=3。,所以四边形硒》。是平行四边形，所以3E〃NC,故（2）

不正确；

对于（3）：连接ME,结合（2）由3E〃NC,所以1为异面直线CN与8M所成的角，显然ME=BM=BE,

71

所以△MBE为等边三角形，所以=故（3）正确；

对于（4）：因为在正方体中，BC_L面。且DM在面OCMN内，

所以又因为四边形OCMN是正方形，所以NCLZW,

因为8cNC=C，且BC在面BNC内，NC在面BNC内，所以。0_1面胡《，

又因为BN在面3NC内，所以故（4）正确；

故答案为：（3）（4）.

11.（23-24高二上•上海黄浦•阶段练习）已知四棱锥尸-ABCD的底面为正方形，尸平面ABCZ）,则四棱锥的五

个表面中，与平面垂直的平面有个.

【答案】3

【分析】证明AB_L平面PAD,CD_L平面上4£）,得到平面B4D_L平面A8CD,平面平面R4B,平面PCD_L

平面上4B,得到答案.

【详解】上4_L平面ABC。，ABu平面ABCD,则F4_LAB,

又PAr}AD=A,PAADu平面PAD,故AB_L平面PAD,

ABu平面ABCD,故平面上4O_L平面舫8；

ABu平面R4B,故平面B4D_L平面R4B；

AB//CD,故CD_L平面尸AD,CDu平面PCD,故平面PCD_L平面E4B；

AB_L平面BAD,AS与平面尸3c相交，故平面PBC与平面上4。不垂直，

故答案为：3.

12.（23-24高二上•上海浦东新•阶段练习）如图，在平面夕内，ZAOB=90°,尸。是平面a的斜线,

NPQ4=NPO3=60。，点。是P。上一点，且加=。，则线段尸。在平面a上的射影长为.

【分析】根据给定条件，作图并求出直线0P与平面a所成的角，再利用直角三角形的边角关系求解即得.

【详解】过尸作尸C，a于C,在平面。内过C作CMLO3,CN1.OA,垂足分别为M,N,连接。C,尸M,尸N,如

图，

而PNu平面尸CV,因此PN_LON,同理尸A/_LOM,XZPOA=ZPOB=60°,

于是PM=PN力OP,而CN,CM分别为斜线段PN,PM在。内的射影，则GV=CW,

2

从而OC是，AOB的平分线，即NMOC=45。，显然0M=ON=；OP,则0C=60M=^OP,

22

因止匕cosZPOC=器=乎，线段PQ在平面a上的射影长为OPcosZPOC-OQcosZPOC=丰（。尸一OQ）=手〃.

故答案为：

2

13.（23-24高二上•上海松江•阶段练习）如图，在长方体ABC。-AACQI中，AB=AD=1,朋=2,尸为的

中点，过PB的平面a分别与棱A4，cq交于点£,F,且AC〃夕，则截面四边形尸座尸的面积为

【答案】为:灰

22

【分析】过点B作AC的平行线分别与ZM,0c的延长线交于G,H,连接PG,PH,并分别与A4,CQ交于区

F,利用线面平行的判定定理证得平面PG"即为平面1,从而得截面四边形FEB尸为菱形，然后根据菱形面积公式

求解即可.

【详解】如图：

过点8作AC的平行线分别与。A,DC的延长线交于G,H,连接PG,PH,并分别与44，CC1交于E,F,

因为AC〃G〃，且AC.平面尸G〃，GHt平面PGH,所以AC//平面尸GH,所以平面尸G8即为平面a,

又平面BCG用平面尸G/f=3P,平面AORAjC平面=平面BCC1瓦〃平面A£>AA，

所以BF7/PE,同理BE〃尸尸，所以四边形P£B尸为平行四边形，

又AB=BC=1,AE=BC=；,所以BE=BF,所以四边形尸E即为菱形，

因为EF=AC=V2，PB=g，所以S四边形PEBF=g*EFxPB=；义A/2x代=.

故答案为：好

2

14.（23-24高二上.上海浦东新•阶段练习）已知ABCDEF-A8GA4耳是单位正六棱柱（即所有的棱长都是1，如图

所示），黑、白两个蚂蚁同时从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.黑蚂蚁爬行的路线是

9“4月一…，白蚂蚁爬行的路线是45-四-….它们都遵循如下规则：所爬行的第7+2段与第i段所在的直

线必须是异面直线（其中i是正整数）.设黑、白两蚂蚁走完2023段后各停留在正六棱柱的某个顶点处，这时黑、

白两蚂蚁的距离是.

【答案】布

【分析】根据已知条件先分析出黑、白蚁路线的规律，然后考虑走完2023段相当于走了多少个周期，从而确定出

最终位置即可求解出黑、白两蚁的距离.

【详解】因为蚂蚁爬行的第，+2段与第i段所在直线必须是异面直线，

则黑蚂蚁爬行的路线是Af耳-EfDfCf4->A->A

fFfEfEi->D「C「CfBfA,因此每隔18段后回到点A,并重复按原来线路爬行，

而2023=112x18+7,于是黑蚂蚁走完2023段后停留在正六棱柱的点C1处，

白蚂蚁爬行的路线是AfBfB'fC'fD'TDTEfF一片―>用

fBTCTDiD\fEHfA,因此每隔18段后回到点A,并重复按原来线路爬行，

于是白蚂蚁走完2023段后停留在正六棱柱的点尸处，

显然CF是正六边形ABCDE户的外接圆直径，即CF=2,则£户=亚==君，

所以黑、白两蚂蚁的距离是右.

故答案为：A/5

【点睛】关键点睛：本题解析，熟悉正六棱柱的结构特征、异面直线的准确判断是关键.

15.（23-24高二上.上海.阶段练习）己知直三棱柱ABC-A4G，底面三角形ABC是等腰直角三角形，其中8为直

角顶点，且A5=3,A4,=2右.若点。为棱AA的中点，点M为平面BCD的一动点,则忸必+|£州的最小值是.

【答案】3亚

【分析】由3c_LAB,得到平面BCD，平面ABq4,从而达到点与关于平面BCD对称点E落在A4的延长线上,

然后由I4M+CM最小时，J,M,E三点共线求解.

【详解】解：如图所示：

由题意得又因为三棱柱ABC-A与G是直三棱柱，

所以平面ABC,平面ABBiA,且平面ABC平面43耳4=42,

BCu平面ABC,所以BC_L平面A3B|A，

又3Cu平面BCD,所以平面881,平面46与4,

所以点与关于平面8。对称点E落在AA的延长线上，

且|AE|=必，即同同=36，

若国M+IGM最小，则G，M,E三点共线，

所以忸IM+IGM=|EM+IGM|N|EG|，

=J|AC/+|AE「=J9+9+27=3A/5，

故答案为：3A/5

16.（22-23高三上•上海浦东新•期中）如图，三棱锥A-3co的顶点A在平面a上，侧棱AB，平面a,底面8C£>

是以8为直角的等腰直角三角形，且平面BC。与平面a平行.AB^BC^l,E是CO中点，M是线段AE上的动

点，过点M作平面AC。的垂线交平面a于点N,则点N到点C的距离的取值范围为.

【分析】由题设可证则△ABC,AA5D都为等腰直角三角形，结合△8C。是以B为直角的等腰直角三角形，将几

何体补全为正方体且一个底面在a上，进而确定AE与。所成角为/，并有期应用余弦定理、

勾股定理求CN的范围即可.

【详解】由平面a〃面BCD,则AB，面BCD,BC,BDu面BCD,

所以又Afi=BC=l且ABC。是以8为直角的等腰直角三角形,

i^AB=BC=BD=l,则4ABC,△ABD都为等腰直角三角形，

将A-BCD补全为正方体如下图示，其中一个面在a上且棱长为1,

所以AC=AD=CD=0，在等边△ACD中E是CD中点，故A£=*，

过M作面AC£＞垂线交面a于N,且的_1面48,AEu面ACD,则MN_LAE,

因为3GJLCD,筋_1面3。6。，CDu面3CGD,故AS_LCD,

又BGAB=B,8&42<=面4^6〃，故CD_L面ABG”,CDu面ACD,

所以，面ABGH±面ACD,面ABGH面ACD=AE,且MeAE,

易知：过M作面ACD垂线在面ABG"内，即MNu面ABG”,而面ABGHa=AH,

综上，点N必在对角线AH上，且AE与a所成角为ZEW,sinZEAN=旭=史,则cos㈤N=立,

AE33

在Rt_M42V中，4AM=X6[O,—],由AN=-=瓜,

2cosZEAN

故FN2=AF-+AN2-2AF-ANcos45°=1+3d-届，

所以CN?=FN2+FC2=3--#X+2=3(X-*)2+T，则CN?,

所以CNe[4,芈].

故答案为：[半，芈]

二、单选题

17.（23-24高三下•上海松江•阶段练习）已知a、夕、7是三个不同的平面，/、加、”是三条不同的直线，则（）

A.若加//a,nila,贝！J帆〃〃B.若ay=m,p'Y=n,alip,贝lj加/〃

C.若机ua,n-La,ILn,则〃/mD.若夕0=1,且相〃/,则根//a

【答案】B

【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.

【详解】对于A：若ml/a,nila,贝U或机与〃相交或机与〃异面，故A错误；

对于B：根据面面平行的性质定理可知，若且ar=m,0Cy=n,则〃〃/〃，故B正确;

对于C：若“_La,mua,则〃」机，又/则〃或机与/相交或机与/异面，故C错误；

对于D：若e0=1,旦mill,则〃或机ua,故D错误.

故选：B

18.（23-24高二上•上海•期末）如图，在棱长为2的正方体4BCZ）-44G2中，点尸在截面AQB上（含边界），

则线段AP的最小值等于（）

A.-B.毡C.&D."

333

【答案】B

【分析】利用等体积法求得正确答案.

【详解】设A到平面的距离为/?,

AD=BD=AB=2血，S^DB=gx2拒义2正义sin三=2由，

=

^At-ABD匕2x2^x2=—X2A/3X/；,

解得〃叵，所以线段”的最小值等于哀1.

33

故选：B

19.（2023・上海长宁•三模）如图所示，在正方体中，M是棱上一点，若平面与棱CQ交

于点N,则下列说法中正确的是（）

A.存在平面M&V2与直线8月垂直

B.四边形MBNR可能是正方形

C.不存在平面MBN2与直线AG平行

D.任意平面A/BNQ与平面AC4垂直

【答案】D

【分析】根据正方体的性质判断A,根据面面平行的性质得到四边形是平行四边形，再由即可

判断B,当M为AA的中点时N为CG的中点，即可判断C,建立空间直角坐标系，利用向量法说明D.

【详解】对于A：在正方体ABCD-4与02中BB、1平面,

显然平面MBND]与平面A4GR不平行，故直线BB｝不可能垂直平面MBND],故A错误；

对于B：在正方体中，M是棱AA上一点，平面地2与棱CG交于点N,

由平面3CG旦〃平面ADQA，并且3,M，N,R四点共面，

平面BCGB11平面BN2M=BN,平面ADRA平面,

C.MDJ/BN,同理可证N2//MB,故四边形MBN?是平行四边形，

在正方体ABC。-AAG2中，由几何知识得，42,平面

BMu平面ABBX\,AQ1±BM,

若MBNA是正方形，有

此时〃与A重合时，但显然四边形48C2不是正方形，故B错误；

对于c：当M为AA的中点时，N为CG的中点，所以AM〃GN且AM=GN,

所以AMVG为平行四边形，所以AG〃NM,

ACcZ平面MBNA，肱Vu平面MBNA，所以4G〃平面,故C错误；

对于D：设正方体边长为2,建立空间直角坐标系如下图所示，

由几何知识得,4（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,2,0）,舟（2,2,2）,。（0,0,2）,

*=（2,2,-2）,AC=（-2,2,O）,AB,=（0,2,2）,

,/印・46=口82=0,

DxBLAC,DlBVABX,

VACryAB{=A,ACu平面AC4,AB|U平面ACS一

DyBL平面ACBt,

:QBu平面MBN2,

；•任意平面MB©与平面ACB1垂直，故D正确.

故选：D

20.（23-24高二上.上海.期末）在长方体ABC。-4与£2中，A\=AD,AB:AD=A,（2>0）,E是棱44的中点,

点户是线段2月上的动点，给出以下两个命题：①无论九取何值，都存在点尸，使得PC,BD；②无论彳取何值，

都不存在点P,使得直线平面PBC.则（）.

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【答案】C

【分析】根据空间中线、面的垂直关系结合长方体的特征及特殊情况一一判定即可.

【详解】

如图所示，假设在长方形中必存在彳使得PG1BR,

又易知eq,平面AG，旦Ru平面4G，

所以

因为尸GcCG=G，PG、CGu平面尸GC,所以用2,平面PCC，

又BQJIBD,则平面PC。，

因为尸Cu平面PGC,所以BDLPC,即存在2使得BDLPC,

但若4=2,如下图所示，不妨设A〃=L5x,

过G作GP，BR交直线RE于p,过P作PN，RC|，

易得AE=A2，NAE2=NED1N=45,所以D〔N=NP,

又"BQ]=/PG瓦=/GPNn2C|N=PN,则C、N=x,D、N=NP=2x>RE=叵x,

则尸在RE延长线上，此时①不成立；

易知AC】与片G不垂直，B、CJ/BC,所以AG与BC不垂直,

又BCu平面尸8C,所以AC1不垂直于平面PBC,即②成立

故选：C

三、解答题

21.（23-24高二上.上海.期末）如图，在几何体尸-ABC。中，己知PAJ_平面ABC3,且四边形ABCD为直角梯形,

71

ZABC=ZBAD=-,AD=2,AB=BC=1.

2

P

（1）证明：CD,平