常用逻辑用语归类 -2025年高考数学一轮复习

专题02常用逻辑用语综合归类

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录

题型一：命题概念及命题真假......................................................................1

题型二：充分不必要条件..........................................................................2

题型三：充分条件求参............................................................................3

题型四：必要不充分条件.........................................................................4

题型五：必要条件求参...........................................................................4

题型六：充要条件................................................................................5

题型七：充要条件求参型..........................................................................6

题型八：“地图型”条件的判定....................................................................7

题型九：充要条件综合应用........................................................................8

题型十：命题的否定..............................................................................8

题型十一：全称与特称命题真假求参................................................................9

题型十二：新定义型简易逻辑压轴题...............................................................10

^突围・檐谁蝗分

题型一：命题概念及命题真假

指I点I迷I津

判断命题的真假：

1.直接法：应用所学过的基本事实和定理进行判断

2.反例法：举出命题所涉及到的知识中的反例即可。

1.（23-24高三•上海•模拟）已知命题："非空集合"的元素都是集合尸的元素”是假命题，给出下列命题,

其中真命题的个数是（）一

①M中的元素都不是尸的元素；②M中有不属于尸的元素；

⑥M中有P的元素；④M中的元素不都是尸的元素.

A.1B.2C.3D.4

2.（2022•安徽蚌埠•模拟预测）下列四个命题中，是假命题的是（）

A.\7XGR,且工。0,兄+工22

X

2

B.3XGR,使得x+l<2x

C.若x>0,y>0,则—

D.若无党，则」-4x+5的最小值为］

22x-4

3.（23-24高三•上海闵行•阶段练习）已知A是非空数集，如果对任意x,ylA,都有x+yeA,xyeA,

则称A是封闭集.给出两个命题：命题P：若非空集合A，4是封闭集，则是封闭集；命题心若非

空集合A，4是封闭集，且AC&W0,则Ac4是封闭集.则（）

A.命题〃真命题q真B.命题p真命题q假

c.命题。假命题q真D.命题p假命题q假

4.（22-23高三•上海浦东新•模拟）十七世纪法国数学家费马提出猜想："当整数”>2时，关于x,V,z的

方程x"+y"=z0没有正整数解经历百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了

费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（）

（1）存在至少一组正整数组（x,y,z）是关于x,y,z的方程尤>3=z3的解；

（2）关于x,y的方程,3=1有正有理数解；

（3）关于x,>的方程/+>3=1没有正有理数解；

（4）当整数”>3时关于尤，V,z的方程x"+y，=z”有正实数解

A.0B.1C.2D.3

5.（21-22高三•上海•模拟）给出以下命题：①若a,6eR,且.>>，则a+i>b+i；@zrz2eC,Z1-z2>0

是4>z?的必要条件；③a,beR,则。=6是（。-》+（。+协•为纯虚数的充要条件；④z”z?eC,若4•z2=0,

贝I]4=0或Z2=0.

其中正确的命题有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2024年新高考2）已知命题/?：X/xeR,|x+l|>l；命题q：Hx>0,x3=x,则（）

A.p和q都是真命题B.r?和q都是真命题

c.p和r都是真命题D.r?和r都是真命题

题型二：充分不必要条件

指I点I迷I津

充分条件的判断方法

（1）判定p是q的充分条件要先分清什么是）,什么是q,即转化成p=q问题.

（2）除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A,q构成的集合为B,

AQB,则p是q的充分条件

1.（2023•江苏苏州•模拟）记方程①：x2+ar+1=0,方程②：x2+bx+2—0>方程③：x2+cx+4=0,

其中。,瓦。是正实数.若a,b,c成等比数列，贝〃方程③无实根"的一个充分条件是（）

A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根

C.方程①无实根，且总有实根D.方程①无实根，且口无实根

2.（2023•上海普陀•二模）设a,b为实数，则"a>b>0"的一个充分非必要条件是（）

A.Ja-1>db-1B.a2>b~

C.—>—D.a—b>b—a

ba

3.（2023•江西,二模）记全集为U,7为p的否定，彳为q的否定，且力的必要条件是q的必要条件，则（）

A.存在q的必要条件是q的充分条件B.0Uq=U

C.任意q的必要条件是万的必要条件D.存在0的充分条件是P的必要条件

4.（23-24高三•湖南长沙•阶段练习）已知集合人={3,叫，8={1,3,5},则根=5是4=8的（）

A.充分条件B.必要条件

C.既不是充分条件也不是必要条件D.充分必要条件

5.（23-24高三・湖北襄阳•阶段练习）若集合A={x|2<x<3},B-{x\x>b,6eR},则的一个充分

不必要条件是（）

A.b>3B.2<b<3

C.b<2D.b<2

题型三：充分条件求参

;指I点I迷I津

!用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值（范围）的一般步骤

：（1）根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.

（2）根据集合间的关系构建关于参数的方程（组）或不等式（组）求解.

（3）充分必要条件与集合包含之间的关系.

命题。对应集合命题夕对应集合是N,则P是q的充分条件=。是q的必要条件oAfqN,

P是4的充要条件=M=N,p是4的充分不必要条件=MI3N,P是4的必要不充分条件0M回N.

1.（23-24高三•江苏连云港•开学考试）若不等式打|<。的一个充分条件为0<x<l,则实数。的取值范围是

（）

A.（0,1]B.（0,1）

C.[1,+co）D.（1,+co）

2.（21-22高三•全国•课后作业）已知不等式机+1成立的充分条件是,则实数加的取值

范围是（）

1-4]m<一；或mN

A-m根<一]或机ml11

141[1'

c.4m——<m<—>D.m——<m<—>

123]I23]

22

3.（19-20高下・北京•开学考试）“根<8"是"方程------匚=1表示双曲线”的（）

m-10m-8

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（20-21高三•浙江绍兴•模拟）AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,贝广a修+c）"是"A为

锐角”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

5.（2023高三・全国•专题练习）若关于x的不等式|x-l|<a成立的充分条件是0<x<4,则实数。的取值范

围是（）

A.a<\B.a<\

C.a>3D.a>3

题型四：必要不充分条件

;指I点I迷I津

充分不必要条件判断

（1）判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若g成立时，能否推出p

成立；若p=q为真，则p是q的充分条件，若q=p为真，则p是q的必要条件.

（2）也可利用集合的关系判断，如条件甲“xGA”，条件乙，若则甲是乙的必要条件.

i7-（22-23<="mri^w'^i^^市刘喑逐於法豆码藤号「万真〃缸宓萋家祚豆看7口一不一

①若无，》是偶数，则x+>是偶数

②若。<2,则方程三-2》+4=0有实根

③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形

④若"=。，贝ija=O

A.0B.1C.2D.3

2.（2022■黑龙江■一模）已知a,6eR,贝！|"必工0"的一个必要条件是（）

A.a+b^0B.a2+b2^0C.a3+b3^0D.—+y^0

ab

3.（2021•江西•模拟预测）设a,b,ceR,则“a6c=0"是"/+/+/=0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条

件

4.（20-21高三•全国,单元测试）已知“，b为任意实数,则a+6>2c的必要不充分条件是（）

A.且6>cB.a>c或6>c

C.aVc且64cD.a<c^b<c

[6Z>-3f67+Z?>—6

5.（20-21高三•浦东新•阶段练习）已知,4：7c，则”是4的（）

也>-3[ab>9

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

题型五：必要条件求参

指I点I迷I津

若p=q,则〃是9的充分条件，9是7的必要条件

O是q的充分不必要条件且qKp

p是q的必要不充分条件〃声9且qnp

p是q的充要条件poq

P是q的必要条件pNq且qKp

22

1.（22-23高三,湖南衡阳•阶段练习）"方程二一+^^=1的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（）

7-mm-5

A.“m=6"B.

C./z5<m<7,/D.“5vmv7〃且“ww6〃

2.（23-24高三•广西南宁•阶段练习）已知夕：-2<x<10,0：l-m<x<l+m（m>0）?若?是0的必要不

充分条件，则实数加的取值范围为（）

A.0<m<3B.0<m<3

C.m<3D.m<3

3.（2023•云南昆明•模拟预测）已知集合4={小2-4=0},3={x|办一2=0},若xeA是xe3的必要不充

分条件，则实数。的所有可能取值构成的集合为（）

A.{—1,0,1}B.{-1,1}C.{1}D.{—1}

4.（23-24高上•江苏南通•开学考试）设p:|x-d<3,g:2/+x-1W0,若P是q的必要不充分条件，则实

数。的取值范围是（）

5.（22-23高三・全国•模拟）若"x>2"是的必要不充分条件，则a的取值范围是（）

A.{a\a<2}B,{a\a<2\c.[a\a>2]D.{a\a>2\

题型六：充要条件

指I点I迷I津

充分条件与必要条件的应用技巧

（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.

（2）求解步骤：先把p,q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等

式（组）进行求解.

1.（2024•河南信阳•模拟预测）己知复数z=^—（aeR,i为虚数单位），则"。>0"是"z在复平面内对应的点

1

位于第四象限"的（）条件

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

2.（22-23高三•全国•模拟）以下选项中，p是q的充要条件的是（）

A.p：3x+2>5,q：-2x—3>—5

B.p-.a>2,b<2,q-a>b

C.p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形

D.p：OHO,q：关于x的方程ax=1有唯一解

3.（2023高三•全国•课后作业）关于x的方程OA：2+ZW+C=0（<7WO）,以下命题正确的个数为（）

（1）方程有二正根的充要条件是a;（2）方程有二异号实根的充要条件是£<0；（3）方程两根均大

ca

—>0n

A>0

b

于1的充要条件是一->2.

a

£>i

.a

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.（22-23高三・广东•阶段练习）已知数列｛4｝满足%n>2,/eN,则"%“一4=2d"是"加一〃=2"

的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.（2021高三•全国•专题练习）设U为全集，A、8是U的子集，贝〃存在集合/使得ABq2是

"4口2=0"的（）条件

A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要

题型七：充要条件求参型

指I点I迷I津

冲要条件：

命题P对应集合命题4对应集合是N,则P是4的充分条件=〃是4的必要条件=

P是4的充要条件o"=N,。是4的充分不必要条件="N,P是4的必要不充分条件0MN.

1.（21-22高二上•江苏常州•模拟）咱xe[1,2],诉2+14。"为真命题的充分必要条件是（）

A.a<-lB.aW-工C.a<-2D.tz<0

4

2.（23-24高三•贵州黔西•模拟）关于x的方程依+1=0有两个不相等的实数根的充要条件是（）

A.a>2或。<-2B.a>2^a<-2

C.<3<1D.a>2

3.（21-22高三•辽宁铁岭•阶段练习）设集合U=｛（x,y）|xeR,ye二｝,若集合A=｛（x,y）\2x-y+m>0,meR｝,

8=｛（x,y）|x+y—〃40,〃wR｝,则（2,3）eAc@3）的充要条件是（）

A.m>—l,n<5B.m<—1,n<5

C.m>-l,n>5D.m<-l,n>5

4.（2。-2]高三•上海崇明•阶段练习）函数八x）=占二为偶函数的充要条件是（）

A.a>2B.0<a<2C.a>0D.a>0

5.（22-23高二上•江苏连云港•模拟）已知数列｛。〃｝的通项公式为=（"。）2,若（制V*）”的充要条

件是"oVM〃，则M的值等于（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

题型八：“地图型”条件的判定

:指I点I迷I津

j多重复杂的充分必要条件之间传递变化判断，可以借助类似如下“地图”一样来判断。

判断方法是，根据箭头是否能“往返”或者“转圈”推导，以此判断冲分析与必要性

1A

VL

1.（22-23高三.三褊茶•而诵可：T口而万富;疏芬祗康某祥二重：同克石家祥；；莫；访苏妻蔡件，

q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②?是〃的充分不必要条件；③厂是q的必要不

充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（）

A.①④B.①②C.②③D.③④

2.（23-24高三•重庆沙坪坝•阶段练习）已知P是厂的充分条件，4是,的充分不必要条件，s是,的必要条件，

。是s的必要条件，现有下列命题：①厂是。的必要不充分条件；②—是,的充分不必要条件；③4是。的

充分不必要条件；④5是4的充要条件.正确的命题序号是（）

A.①B.②C.③D.④

3.（2021•江苏南京•模拟预测）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，

则甲是丁的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

4.（22-23高上•内蒙古呼和浩特•阶段练习）若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要

非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

5.（22-23高三•黑龙江牡丹江•课后作业）设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（）

A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C.丙是甲的充要条件

D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

题型九：充要条件综合应用

指I点I迷I津

充要条件：

命题P对应集合加，命题“对应集合是N,则P是《的充分条件="=N,。是"的必要条件=M=N,

。是"的充要条件o/=N,。是4的充分不必要条件o"N,。是"的必要不充分条件。/N.

22

1.(2023•河北•模拟预测)已知椭圆1r+}=l(a>6>0)的两焦点为尸-工，x轴上方两点A,2在椭圆上，

AK与巡平行，AF2交明于P.过P且倾斜角为a(a#0)的直线从上到下依次交椭圆于S,T.若忸帛=冽尸7|,

则"a为定值"是"夕为定值”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不必要也不充分条件

2.(21-22高二下•重庆•)已知函数“X)的定义域为R,则"/(x+l)+/(x)=0”是"〃力是周期为2的周期

函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分又不必要条件D.充要条件

3.(2022广东茂名•二模)设〃力=3+坨卜+77W),则对任意实数以6,“a+此0"是"〃a)+〃6)20"

的()条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

4.(22-23高三•上海浦东新•阶段练习)已知不等式a(x-%)(x-9)>。的解集为A,不等式

)(x-9仁。的解集为8,其中a、b是非零常数，贝IJ"/<0"是"Au3=R”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

5.(2022・广东,一模)己知。>0,b>0,则"a>b"是"e0+2a=/+36"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

题型十：命题的否定

指I点I迷I津

全称量词命题p：VxGM,p(x),它的否定㈱p:Bx^M,p(x),全称量词命题的否定是存在量词

命题.

对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题

的实际意义进行表述.

1.（22-23高三•浙江・模拟）命题"VxeR,^zeN*,使得“的否定形式是（）

A.V尤eR,引zeN*,使得">xB.VxeR,V”eN*,都有〃>x

C.3.xeR,BneN*,使得">龙D.Jx&R,VMeN,,者|3有">x

2.（22-23高二下•安徽•阶段练习）命题"Va,b>0,a+1乂和b+工22至少有一个成立”的否定为（）

ba

A.Va,b>0,a+,<2和b+,<2至少有一个成立

ba

B.Vo,b>0,o~\—22和b+—22都不成立

ba

C.3a,b>0,a+1<2和b+,<2至少有一个成立

ba

D.3ob>0,Q~\22和b+—22都不成立

9ba

3.（22-23高一•全国•课后作业）已知全集U,M,N是U的非空子集，若（CUM）?N,则必有（）

A.MQ（QUN）B.RUN）口M

C.（QUM）=（QUN）D.M=N

4.（21-22高•山西运城・模拟）已知/（x）=3sinx-ix,命题P：Vxe^O,^,/（x）<0,则（）.

A.P是真命题，刃：Vxjo,?,f（x）>0

B.P是真命题，-TP：丸/（x0）>0

C.〃是假命题，-P-.Vxe[o，m，/（x）>0

D.〃是假命题，W：叫/（x0）>0

5.（20-21高二下•四川凉山•模拟）命题：VXGR,%2+工_120的否定是（）

2

A.3x0GR,XQ+X0_1>0B.3x0GR,x0+x0-1<0

C.VXGR,x2+x-l<0D.VXGR,x2+%—1<0

题型十一：全称与特称命题真假求参

指I点I迷I津

求解含有量词的命题中参数范围的策略

对于全称（存在）量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立（能成立）问题，通常转化为求函数的最大值

（或最小值）.

1.（23-24高三•福建泉州•模拟）命题"Vxe[L2],d—a<0"为真命题的一个必要不充分条件是（）

A.a>3B.a>4C.a<3D.a>5

2.（23-24高三•广东茂名•模拟）已知命题JxeR,使2/+（a-l）x+gVO"是假命题，则实数。的取值范围

是（）

A.<-1}B.{Q|-1<Q<3}

C.^|-1<«<3}D.

3.（23-24高三•四川成者B•阶段练习）设函数〃司=如2—如—1,命题〃存在m+2〃是假

命题，则实数加的取值范围为（）

33

A.{m\m<—}B.{m|m<3}C.{m\m>—}D.{m|m>3}

4.（23-24高三•浙江•阶段练习）已知命题p:Hx£[0,l],x2一2%-2+a>0；命题q：VxwR,/—2%—。。0,若

命题夕国均为假命题，则实数〃的取值范围为（）

A.[-1,3]B.[-1,2]C.[0,2]D.（―*—1]

5.（22-23高三•河北唐山•阶段练习）0Vx4-2,1],——〃之。为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.（-oo,-l]B.（-oo,0]C.（-oo,l]D.（-oo,4]

题型十二：新定义型简易逻辑压轴题

指I点I迷I津

涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨

论，进行推理判断解决.

1.（2024・广东•模拟预测）设X,y为任意集合，映射/：X-y.定义：对任意占,％eX,若X产马，则

〃3）工/每），此时的/为单射.

⑴试在RfR上给出一个非单射的映射；

⑵证明：/是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合Z与映射g,〃：ZfX,若对任意zeZ,有

f（g（z））=W））”则g=阳

（3）证明：/是单射的充分必要条件是：存在映射。:F-X,使对任意xeX,有°（/（x））=x.

2.（23-24高三・北京・模拟）已知集合S“={1,2,3,…,2矶”eN*,〃24）,对于集合S“的非空子集A,若S,中存

在个互不相同的元素a1,c,使得a+瓦》+c,c+a均属于A,则称集合A是集合S”的“期待子集〃.

⑴试判断集合A={3,4,5},4={3,5,7}是否为集合54的“期待子集"；(直接写出答案，不必说明理由)

⑵如果一个集合中含有个元素x,y,z,同时满足①x<y<z,②x+y>z,③x+y+z为偶数.那么称该集合

具有性质P.对于集合S“的非空子集A，证明：集合A是集合S”的"期待子集”的充要条件是集合A具有性质

P.

3.(2024江苏南通•模拟)若数列{G}满足①"②存在常数河(“与〃无关)，使c.4”.则称

数列匕}是"和谐数列

(1)设S"为等比数列{%}的前"项和，且%=2,S,=30,求证：数列{S,,}是“和谐数列"；

(2)设{4}是各项为正数，公比为q的等比数列，工是{4}的前"项和，求证：数列{S,,}是"和谐数列"的

充要条件为0<q<L

4.(20-21高三・安徽合肥•阶段练习)对于有限个自然数组成的集合A,定义集合S(A)={a+b\a^A,b^A},

记集合S(A)的元素个数为d(S(A)).定义变换T,变换T将集合A变换为集合T(A)=AUS(A).

(1)若<={0,1,2},求S(A),T(A)；

(2)若集合人二值,当…五},。^/。<当)，〃€?^,证明："d(S(A))=2w-l"的充要条件是

"x2-xi=x3-x2=---=xn-xn_i".

5.(2024年北京高考)设集合M=1(z,j,5,?)|ze{l,2},je{3,4},se{5,6}Je{7,8},2收+/+s+/)}.对

于给定有穷数列A：{a”}(lW〃W8),及序列Q:四例，«>k=(ik,jk,sk,tk)&M,定义变换T：将

数列A的第彳",s"项加1,得到数列北(⑷；将数列4(A)的第4,h，%，，2列加1，得到数列(A)…；

重复上述操作，得到数列刀...(7；(4),记为O(A).

(1)给定数列A：L3,2,4,6,3,1,9和序列。:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出O(A)；

(2)是否存在序列Q,使得。(A)为q+2,a2+6,%+4%+2,%+8,4+2,%+4,%+4,若存在，写

出一个符合条件的Q；若不存在，请说明理由；

(3)若数列A的各项均为正整数，且4+/+%+%为偶数，证明：“存在序列Q，使得O(A)为常数列”

的充要条件为“4+。2=。3+。4=。5+“6=%+。8”•

参考答案与试题解析

专题02常用逻辑用语综合归类

更盘点•置击看考

目录

题型一：命题概念及命题真假......................................................................1

题型二：充分不必要条件..........................................................................2

题型三：充分条件求参............................................................................3

题型四：必要不充分条件.........................................................................4

题型五：必要条件求参...........................................................................4

题型六：充要条件................................................................................5

题型七：充要条件求参型..........................................................................6

题型八：“地图型”条件的判定....................................................................7

题型九：充要条件综合应用........................................................................8

题型十：命题的否定..............................................................................8

题型十一：全称与特称命题真假求参................................................................9

题型十二：新定义型简易逻辑压轴题...............................................................10

^突围・檐淮蝗分

题型一：命题概念及命题真假

指I点I迷I津

判断命题的真假：

2.直接法：应用所学过的基本事实和定理进行判断

2.反例法：举出命题所涉及到的知识中的反例即可。

1.（23-24高三・上海•模拟）已知命题："非空集合M的元素都是集合尸的元素"是假命题，给出下列命题，

其中真命题的个数是（）

①M中的元素都不是尸的元素；②M中有不属于P的元素；

③V中有P的元素；④M中的元素不都是P的元素.

A.1B.2C.3D.4

［答案］B

析】由题意可得集合M不是尸的子集.由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可.

【详解】根据命题"非空集合M的元素都是集合户的元素"是假命题，可得知不是尸的子集

对于①，集合/虽然不是所有元素都在P中，但有可能有属于尸的元素，因此①是假命题；

对于②，因为〃不是尸的子集，所以必定有不属于尸的元素，故②是真命题；同理不能确定/有没有尸的

元素，故③是假命题；

对于④，由子集的定义可得，既然M不是尸的子集，那么必定有一些不属于P的元素，因此M的元素不都

是P的元素，可得④是真命题.

故选：B.

2.（2022・安徽蚌埠•模拟预测）下列四个命题中，是假命题的是（）

A.VxeR,J=Lx7t0,x+->2

x

B.HxeR,使得/+iw2x

C.若x>0,y>0,则

D.若尤22,贝u一©+5的最小值为］

22x-4

【答案】A

【彳析】A举反例，B找一个满足条件的，C基本不等式的应用，D分离常数结合基本不等式.

【详解】解析：选A.对于A,VxeR,且无N0,x+，22对尤<0时不成立；

2

对于B,当％=1时，x+l=2f2x=2,公+142龙成立，正确；

对于C,若x>0,y>0,贝1］卜2+9八工+》）222孙-4町=8//,化为，三亡犬?,当且仅当犬=，>0时

取等号，C正确；

x2-4x+5_(x-2)2+1牛一+W，因为所以x-2>。，所以

对于D,

2x—42(x—2)

-（^-2）+—>-x2.（x-2）--=l,当且仅当尤-2=，，即x=3时取等号.故y的最小值为1,D

2_x—2_2Vx—2x—2

正确.

故选：A

3.（23-24高三•上海闵行•阶段练习）已知A是非空数集，如果对任意x,ylA,都有x+yeA,孙eA,

则称A是封闭集.给出两个命题：命题若非空集合A,4是封闭集，则A是封闭集；命题公若非

空集合A，4是封闭集，且AC&R0,则Ac4是封闭集.则（）

A.命题。真命题q真B.命题p真命题q假

c.命题。假命题4真D.命题〃假命题4假

【答案】C

【分析】对命题〃举反例4={尤|%=2匕1eZ}，4={x|x=3后,2eZ}说明即可;对于命题《：设a,be（Ac&）,

由A，4是封闭集，可得a+be（Ac&）,abe（4cXJ,从而判断为正确；

【详解】对命题。：令4={无次=24,左eZ},4={x|x=3忆％eZ},则集合4,4是封闭集，

故Au&={•■•,—3,—2,0,2,3,4,6,•••）,

但-2+3=leAU4,故不是封闭集，故命题。假；

对于命题乙设a,be（Ac4）,则有又因为集合A是封闭集，

所以a+,

同理可得a+）eA2,abe\,

所以a+be（4c4）,abe（4c4）,

所以ac4是封闭集，故命题〃真；

故选：c

4.（22-23高三•上海浦东新•模拟）十七世纪法国数学家费马提出猜想："当整数2时，关于x,儿z的

方程x"+y"=z”没有正整数解经历百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了

费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（）

（1）存在至少一组正整数组（元,y,z）是关于X,兀z的方程d+y3=z3的解；

（2）关于%y的方程/+丁=1有正有理数解；

（3）关于X,y的方程V+y3=i没有正有理数解；

（4）当整数〃>3时关于X,y,Z的方程x"+y"=z”有正实数解

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】当整数九>2时方程没有正整数解，（1）错误，+[]]=1,没有正有理数解，（2）错误，（3）

正确，当x=y=i,z=2：满足条件，（4）正确，得到答案.

【详解】当整数〃>2时，关于X,y,Z的方程x"+y"=z”没有正整数解，故方程d+y3=z3没有正整数解,

（1）错误；

/+/=23没有正整数解.即1）+]£|=1,（ZH0）,没有正有理数解，（2）错误，（3）正确；

方程x"+y"=z",当尤=y=l,z=2：满足条件，故有正实数解，（4）正确.

故选：C

5.（21-22iWi二・上海,模拟）给出以下命题：①若a,beR,且,则。+i>b+i；②Zj,z2eC,z；-z2>0

是Z|>z?的必要条件；③a,bwR,则a=6是（a-b）+（o+W为纯虚数的充要条件；④劣0eC,若yz?=。，

贝！IZ=。或Z?=。.

其中正确的命题有（）.

A.1个B.2个C.3个D