2024-2025学年北师大版九年级数学上册专项复习：菱形中的几何综合（压轴题）解析版

菱形中的几何综合

♦思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从

可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发

进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采

用间接证明。

分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每

一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并

非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：

1.不重（互斥性）不漏（完备性）；

2.按同一标准划分（同一性）；

3.逐级分类（逐级性）。

♦知识点总结

一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

二、菱形的性质

1.菱形具有平行四边形的一切性质；

2.菱形的四条边都相等；

3.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角；

4.菱形是轴对称图形，它有1条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

三、菱形的判定

1.一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2四条边都相等的四边形是菱形

3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）.

♦典例分析

【典例1】菱形ABC。中，对角线BD=6cm,乙4=60。，点P从4出发，沿a-D-B以2cm/秒的速度匀速运动,

到点B停止，过P作边4B的垂线交48于Q,以PQ为边向右作等边△PQE,设运动时间为t秒.

备用图

(1)菱形2BCD的边长为cm.

(2)当P在边4。上运动时，用含t的代数式表示PQ、BQ.

(3)连接BE,当aQEB是直角三角形时，求t的值.

(4)当菱形力BCD的对角线BD平分aPQE的边时，t的取值范围是

【思路点拨】

(1)根据菱形的边长相等以及等边三角形的性质即可；

(2)设运动t秒，则4P=2t,根据30。所对直角边是斜边的一半求出2Q,进一步即可表示PQ和BQ；

(3)分类讨论：点P在4D上时，①当“EB=90。时，表示出QE和QB,根据QE=乎QB列方程即可求得;

②当NEBQ=90。时，表示出QE和Q8,根据Q8=苧QE列方程即可求得；点P在上时，此时△QEB为钝

角三角形；

(4)分类讨论：当B。平分8E时，则£T=#E,表示出EH,QH,根据QH=学?3列方程即可；当BD平分QE

时，此时点P在B。上，即可得出取值范围.

【解题过程】

(1)解：••・四边形4BCD是菱形,

：.AD=AB,

•%=60。,对角线=6,

・•.△ABD是等边三角形，

.'.AD=BD=6(cm).

故答案为：6.

(2)设运动力秒，

・・•点P从/出发，沿以2cm/秒的速度匀速运动，到点8停止，过P作边的垂线交48于Q,

：.AP=23/-PQA=90°,

・・・〃=60°,

：.^LAPQ=90°-60°=30°,

・../Q=t,PQ=个AP2_AQ2=J(2t)2-2=V3t(cm),

・•.BQ=BA—AQ=(6—t)(cm).

:.PQ=V3t(cm),BQ=(jo—t)(cm).

(3)点P在4。上，当aQEB是直角三角形，设运动时间为t秒,

①NQEB=90。时，如图所示：

-PQ1AB,是等边三角形，

.'.^PQE=60°,"QB=30。，QE=PQ=V3t,

.•.QB=2BE,

-BQ2=QE2+BE2,

2

・・・(2BE)2=(怎)+BE2,

：.BE=t或BE=—t(不符合题意，舍去)

；.QB=23

*'•2t=6—tf

.•.t=2(秒)；

②当乙EBQ=90。时，如图所示：

MEQB=30°,QE=PQ=V3t,

■-BE==争，

:・BQ=VQE2—BE2=J(V3t)2—(苧)=§3

*',^t=6—t,

•.t=y(秒).

③点P在BD上运动时，设QE交BD于点”，如图所示,

■.-PQ1AB,△PQE是等边三角形，

“PQE=乙QPE=60°,4EQB=90°-60°=30°,PQ=PE,

•.•四边形4BCD是菱形，"=60。，

11

.,ZABD=^ABC=-(180°-Z.A)=60°,

"BPQ=90°-乙PBQ=90°-60°=30°,

.•ZBPE=(QPE-乙BPQ=60°-30°=30°,

"BPQ=乙BPE=30°,

在△8PQ和aBPE中，

(PQ=PE

]Z-BPQ=乙BPE,

(PB=PB

A5PE(SAS),

.•/PBE=乙PBQ=60°,

."QBE=4PBE+乙PBQ=60°+60°=120°,

・•.△QEB是钝角三角形，不可能是直角三角形.

•••综上所述，当aQEB是直角三角形时，t的值为2秒或装秒.

(4)当菱形2BCD的对角线BD平分△PQE的边时，

如图所示，当BD平分PE时，此时点P在4。上，

•.•四边形4BCD是菱形，乙4=60°,

；/ADB=240c=|（180°-乙4）=60°,

■.-PQLAB,△PQE是等边三角形，

.-.APQA=90°,乙QPE=乙PEQ=60°,QE=PQ=V3t

."APQ=90°-ZX=90°-60°=30°,

:.乙DPE=180°-乙4PQ-乙QPE=180°-30°-60°=90°,

.-./-EFH=乙DFP=90°-4PDF=90°-60°=30°,

:/EHF=180°-乙EFH-乙FEH=180°-30°-60°=90°,

••・HE=押=*E=*Q=争，

:.QH=QE-HE=每一争=苧3

■:/-EQB=30°,乙BHQ=4EHF=90°,

.-.BQ=2BH,

•:BQ2=QH2+BH2,

.-.（2BH）2=（竽）+BH2,

解得：8//=$或3//=—%（不符合题意，舍去）

3

••.BQ=2BH=-t,

■,■|t=6—t,

•.t=y（秒）;

②当8D平分QE时，此时点P在B。上，如图所示:

MPQB=90°,乙PBQ=60°,

."QPB=30°,

△PEQ是等边三角形，Z.BPQ=乙BPE=30°,

.•.PH是QE边上的中线，

.・•点H是QE的中点，

当P在。点时，2t=6,

At=3,

当P在点B时，2t=12,

;.t—6,

・・・P在80上运动时，t的取值范围是3<t<6,

综上所述，当菱形4BCD的对角线BD平分△PQE的边时，t=费或3Wt<6.

17

故答案为：t=彳或3Wt<6.

♦学霸必刷

1.（22-23八年级下•福建厦门•期中）在菱形4BCD中，zS=60°,AB=8,点E在BC上，CE=4V3,若点P

是菱形力BCD四条边上异于点E的一点，CE=CP,则以下长度中，不可能是DP的长度的是（）

E

B、C

A.8-4V3B.4C.4V7-8D.4V7

【思路点拨】

分点P位于边CD上、位于边4。上、位于边2B上三种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾

股定理求解即可.

【解题过程】

•••CD=8,CP=4V3,

•••DP=CD-CP=8-4V3；

.•.A4CD是等边三角形，

过点C作CH_L4D于点H,

■■.AH=HD=4,

由勾股定理得CH=4V3,

•••CE=4V3,

点P与点H重合，

•••DP=4；

:.乙BPC=90°

•••ABCP=30°,

•••乙PCD=乙BCD-乙BCP=90°,

由勾股定理得DP=7PC2+CD2=4A/7.

综上，DP的长为8-4VJ或4或4V7.

故选：C.

2.（23-24九年级上•宁夏银川・期中）如图，在菱形4BCD中，ZX=60°,AD=2,E,F分别是力B,4。的

中点，DE,BF相交于点G,连接BD,CG,有下列结论：①ABGD=120。；@BG+DG=CG；

③△BDF三ACGB；©S&ABD=®其中正确的结论有（）

【思路点拨】

根据菱形的性质和乙4=60。，可知△48。是等边三角形，△BDC是等边三角形，根据等边三角形的性质可

得4BFD=4DEB=90°,4GDB=乙GBD=30°,即可判断①；根据SSS可证△CDG三△CBG,根据全等三

角形的性质可得NDGC=NBGC=60。，再根据含30。角的直角三角形的性质可判断②；根据△GBC为直角

三角形，可知CG>BC,进一步可知CGHBD,即可判断③；根据勾股定理可得DE=亭48=遥，再根据

三角形面积的求法即可判断④.从而得出答案.

【解题过程】

解：在菱形2BCD中，AB=BC=CD=AD,

vzX=60°,

・♦・乙BCD=Z-A=60°,

是等边三角形，△BQC是等边三角形，

Z.ADB=乙ABD=60°,Z.CDB=乙CBD=60°,

,:E,F分别是4B,4。的中点,

・•・乙BFD=乙DEB=90°,

・•・乙GDB=Z.GBD=30°,

:•乙GDC=^GBC=90。,DG=BG,

••・乙BGD=180°-30°-30°=120°,

故①正确；

在△CDG和ACBG中，

(CD=CB

\CG=CG,

WG=BG

・•・△COGW2\CBG(SSS),

・••乙DGC=乙BGC=60°,

:,乙GCD=30°,

CG=2GD,

DG=BG,

**•CG=DG+BGf

故②正确；

・••△GBC为直角三角形，

CG)BCf

•••CGHBD,

"/与△CGB不全等,

故③错误；

•.•菱形力BCD,AD=2,

.'.AB=AD=2

VBE=^AB=1,BD=AB=2,^DEB=90°,

根据勾股定理，得DE=7BD2一BE2=，22-12=VJ,

•1•S^ABD=,AB-£>£=1x2x73=V3,

故④正确，

故正确的有①②④，共3个，

故选：C.

3.（23-24九年级上•湖北•周测）如图，在菱形2BCD中，AB=BD,点E、F分别在BC、CD上，且

BE=CF,连接BF、DE交于点M,延长ED到“使=BM,连接则以下四个结论:①△8。尸三△DCE；

@^BMD=120°；③△4M”是等边三角形；④S四边形=?用2.其中正确结论的个数是（）

A.IB.2C.3D.4

【思路点拨】

先证明△48。是等边三角形，再根据菱形的性质可得NBDF=NC=60。，再求出。尸=CE,然后利用“边角

边”即可证明△BDF三△DCE,从而判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得NDBF=NEDC,由三角

形的外角性质求出ACWF=乙BDC=60°,再求出NBMD=120°,从而判定②正确；根据三角形的外角性质

和平行线的性质求出乙4BM=/.ADH,由SAS证明八ABM三3。乩根据全等三角形的性质得出AH=AM,

ABAM=ADAH,然后求出NM4H=ABAD=60。，从而判定出△AMH是等边三角形，得出③正确；根据

全等三角形的面积相等可得△4M”的面积等于四边形力BMD的面积，然后判定出④正确.

【解题过程】

解：在菱形4BCD中，AB=BC=CDAD,AD\\BC,

'.'AB=BD,

.t.AB=BD=AD,

・・.△ZBD是等边三角形，

：.Z.BAD=Z.BDA=^ABD=60°,

同理，△BCD是等边三角形，

・・ZBDF=ZC=60°,

-BE=CF,

：,BC-BE=CD—CF,

BPCE=DF,

在△80尸和△OCE中，

(CE=DF

］乙BDF="=60°,

IBD=CD

・•.△BDF=△DCE(SAS),故①正确；

:.乙DBF=(EDC,

MDMF=乙DBF+乙BDE=乙EDC+乙BDE=乙BDC=60°,

.♦/BMD=180°-Z,DMF=180°-60°=120°,故②正确；

-Z-DEB=乙EDC+ZC=乙EDC+60。,AABM=4ABD+乙DBFZ7)BF+6O°,

"DEB=Z.ABM,

X-MDIIBC,

：.Z.ADH=乙DEB,

・・/ADH=/-ABM,

在△ZBM和△40”中，

(AB=AD

］乙ADH=/.ABM,

IDH=BM

・•.△ABM=△ADH(SAS).

：.AH=AM,^LBAM=^DAH,

：,Z-MAH=Z.MAD+匕DAH=AMAD+ABAM=Z-BAD=60°,

・・・△/MH是等边三角形，故③正确；

过点4作4G1MH于点G,贝此MAG=30。

11

・・・MG=-MH=-AM,

由勾股定理得，AG=7AM2—MG2=JAM2-QXM）2=争1”,

AABM=AADH,

△4MH的面积等于四边形ABMD的面积，

又•••△4MH的面积=|XM-争IM=^AM2,

四边形ABMD=,故④正确，

综上所述，正确的是①②③④.

故选：D.

4.（23-24九年级下•黑龙江绥化•阶段练习）如图，在一张菱形纸片4BCD中，AB=2,AABC=30°,点E

在BC边上（不与点2,C重合），将△ABE沿直线AE折叠得到△4FE,连接BF,EF,DF.有以下四个结

论：①AE=BE；②△力BE沿直线4E折叠过程中，ABFD是一个定值；③当4E1BC时，四边形4CFD的面

积为VI;④当FE平分42FB时，FD=2Vl.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】

①根据折叠的性质即可判断结论①；

②由折叠和菱形性质得：AB=AF=AD,再由三角形内角和定理和等腰三角形性质可得：.••乙4FB=

180丁4F,^FD=比丁吗得出/"FD=105°；

③根据折叠性质和菱形性质可证得三ADFC（SAS）,即可推出S四边形4CFD=SA4BF=^BF-AF-V3；

④由折叠和已知可得NB4E=N凡4E,根据三角形的角平分线交于一点，结合已知可得BE平分N4BF,从而

可证△力BF是等边三角形，再证△ADF是等腰直角三角形，即可判断结论④.

【解题过程】

解：①•••将△4BE沿直线4E折叠得到△AFE,

：.BE=EF,

只有=时，=才成立，

故结论①不正确；

②由折叠得：AF=AB,

•••四边形力BCD是菱形，

：.AB=AD,ADWBC,

：.^BAD=180°-ZB=180°-30°=150°,

・♦・AB=AF=AD,

180°-^BAF1800-AFAD

•••Z-AFB=/-AFD=

22

；.4BFD=Z.AFB+Z.AFD=180°-|(zB4F+AFAD)=180°-^BAD=105°,

故结论②正确；

③如图，-.-AE1BC,将aaBE沿直线4E折叠得到△2FE,

•••^AEB=^AEF=90°,AF=AB,^AFE=Z.B,

四边形力BCD是菱形，

■.AB=CD,乙B=4ADC,AD\\BC,

•••AF=CD,乙DCF=Z.ADC,/.AFE=/.ADC,

Z.AFE=乙DCF,

在△AC尸和△OFC中，

(AF=CD

\z-AFE=Z.DCF,

ICF=FC

.•.△XCF=APFC(SAS),

:S^DCF=尸，

又•••S/k/BC=S&ACD，

•••S四边形4CF0=^AACD+S^DCF=^AACF+^AABC=^AABFf

在RtZkABE中，/8=30。，

：.AE=^AB=1,

■■BE=7AB2-旃=V3,

:.BF=2BE=273,

,••S四边形4CFD=S&ABF=,BF-AF=V3,

故结论③正确；

④如图，由折叠得：FA=AB,Z.BAE=/.FAE,

F

图2

•••FE平分N4FB,

Z.BFE=Z.AFE,

AAE,E尸分另lj平分484尸、AAFB,

•・,三角形三条内角平分线交于一点，

・•・BE平分

v/-ABC=30°,

・•・乙ABF=2(ABF=60°,

/是等边三角形，

・••乙ABF=Z.BAF=Z-AFB=60°,

Z.DAF=匕BAD-Z.BAF=90°,

AD=AB=AF=2,

.•.△ZMF是等腰直角三角形，

...FD=\AD2+4尸2=<22+22=2小

故结论④不正确，

综上所述，正确的结论是：②③；

故选：B.

5.（23-24九年级下•江苏扬州•阶段练习）如图，在菱形纸片A8CD中，乙48c=60。，£是CD边的中点，将

菱形纸片沿过点/的直线折叠，使点8落在直线4E上的点G处，折痕为力?，FG与CD交于点H,,则

S/\ABF；S四边AFCD=--------------------

【思路点拨】

过点尸作尸于点连接2C,得到△aCD,aABC是等边三角形，根据三线合一的性质得到

AG1CD,得至UNDAE=90°-ZD=30°,/.BAG=90°,由折叠得48AF=/.GAF=45°,MF=43BM,设

BM=x,贝!|力"=MF=板刀，求出S&4BF，再得至IJ4D=CD=4B=（1+遍）%,根据S菱形ABCD—S^BF求

出四边形2FCD的面积，即可求解.

【解题过程】

解：过点尸作FM14B于点M,连接4C,

•••四边形4BCD是菱形，2LABC=60°,

•••乙BAD=180°-乙ABC=120°,

•••ABAC=Z.DAC=60°,NO=£.ABC=60°,

.,.AD=CD=AB,

・•.AACD,AABC是等边三角形，

・・名是CD边的中点，

.'.AG1CD,

・♦・404E=900—N0=30。，

：./-BAG=90°,

由折叠得NBZF=AGAF=45°,

・"FM=45°=^LBAF,

.'.AM=FM,

-£.BFM=90°一乙ABC=30°,

.-.MF=WBM,

设BM=%,贝==

-'-AB=(1+V3)x,SMBF=(1+V3)x-V3x=

•：AD=CD=XB=(1+V3)x,

'-AE=曰x(1+V3)x=号当

■■S菱形ZBC。=CD,AE=(1+V^)%,~^2~^=(3+2A/^)久2,

四边形/FCZ)的面积=s菱形43CD—S4ABF=(3+2A/^)%2—年电/=,

S四边形AFCD=^产=百：3,

故选：V3：3.

6.(23-24九年级上•广东深圳•期中)菱形/BCD中，^DAB=60°,E,尸分别在48,CO边上，将菱形沿EF

折叠，点力,。的对应点分别是4,D',且4。经过5点，若4E1ZB,则喋=.

【思路点拨】

延长4E交CO的延长线于点“，作/GJ.CO交C。的延长线于点G,由菱形的性质得CDII4B,则

/-ADG=Z.DAB=60°,所以4£MG=30°,由4E1AB,得N4E/=乙AEH=乙BEH=Z,A'EB=90°,则

乙EHG=LBEH=90°,所以四边形4EHG是矩形，由折叠得N4==60。，N4EF=乙4石F=135。，

所以/BEF=45。,/.A'BE=30°,则NHFE=NHEF=45。,设ZE=4E=m,则4B=2A

E=2m,GH=AE=m,可求得BE=y/A'B2—A'E2=V3m,所以4B=AD=CD=V3m+m=(V3+则

DG=^AD=AG=^DG=所以FH=EH=AG=可求得DF=2巾,则CF=(V3-1)

犯即可求得差=V3+1,于是得到问题的答案.

Cr

【解题过程】

解：延长4E交CD的延长线于点8,作4GleD交CD的延长线于点G,贝此G=90。，

GHPF

□--7-------------7T7Cr

•••四边形4BCD是菱形，ADAB=60°,

.-.CDWAB,

:./.ADG—/.DAB-60°,

.-.^DAG=30°,

•：A'ELAB,

：.Z.A'EA=Z.AEH=Z.BEH=/.A'EB=90°,

"EHG=乙BEH=90°,

・•・四边形ZEHG是矩形，

由折叠得乙4'=/-DAB=60°,Z,A'EF=Z,AEF=1x(360°一90°)=135°,

"BEF=/-A'EF-/.A'EB=45%乙ABE=30°,

・•・乙HEF=90°一乙BEF=45%乙HFE=(BEF=45°=CHEF,

・,・设/E=A'E=?n,则48=2A'E=2m,GH=AE=m,

•♦•BE=y/A'B2—A'E2=7(2m)2—m2=V3m,

.t.AB=AD=CD=V3m+m=(V3+l)m,

.-.DG=1AD=--m,

■,■AD=2DG,

■-AG=7AD2-DG2=J(2DG)2—DG2=回G=V3X号』=柠％,

：.FH=EH=AG=柠％，

：.DF=FH+GH-DG=亘竭n+m-^-m=2m,

22

：.CF—CD—DF—(V3+l)m—2m—(V3—l)m,

.变一一——e+i

""CF-(V3-l)m-V3±±,

故答案为：V3+1.

7.(23-24八年级上•黑龙江哈尔滨•期中)在等边△ABC中，点尸为C8延长线上一点，点。是AC的中点,

连接。尸交AB于点〃，以DF为边向下作等边△£)?£',连接C£\ME,若ME1DF,BM+BF=6,贝UCE的长

为.

【思路点拨】

如图，记4B、BC的中点为P、Q,连接DP、DQ,则DP、DQ是的中位线，DP=^BC=^AB=DQ,

DP||BC,DQ||AB,证明四边形BPDQ是菱形，△CDQ,△APD是等边三角形，证明△FOQ三△EDC

(SAS),贝UCE=FQ,证明aBFM三△PDM(AAS),则BF=DP=^B,BM=PM=^BP=^AB,由

BM+BF=6,^AB+^AB=6,可得AB=8,根据CE=FQ=BF+BQ,计算求解即可.

【解题过程】

解：•.•等边△4BC,

：.AB=BC=AC,ZX=/.ABC=/.ACB=60°,

如图，记AB、BC的中点为P、Q,连接L»P、DQ,

A

又•.•。是4C的中点，

.■.DP.DQ是△4BC的中位线，

.-.DP=^BC=^AB=DQ,DP||BC,DQ\\AB,

.•・四边形BPDQ是菱形，△CDQ,△力PD是等边三角形,

.-.DP=BQ=1BC=^AB,DQ=CD,"DC=60°,

•.•等边△DFE,

:.DF=DE,Z.EDF=60°,

：/EDF-乙QDE="DC-乙QDE,即NFDQ=乙EDC,

■：DF=DE,Z.FDQ=Z.EDC,DQ=CD,

△FDQ三△EDC(SAS),

：.CE=FQ,

•等边△DFE,ME1DF,

：.FM=DM,

■■DP||BC,

:ZFBM=乙DPM,乙BFM="DM,

又「FM=DM,

△BFM=△PDM(AAS),

：.BF=DP=^AB,BM=PM=湖=^AB,

,：BM+BF=6,

mAB+=6,

解得，AB=8,

.-.CE=FQ=BF+BQ=8,

故答案为：8.

8.（23-24八年级下•山东聊城•阶段练习）菱形4BCD中，AD=4,N&=45。，DELAB,垂足为E,点P在

菱形的边上，若DE=DP,贝UCP的长为.

EB

【思路点拨】

利用△?!£）£1为等腰直角三角形得到DE=2近，所以DP=2VL当P点在CD上，CP=DC—DP=4—2五,

当P点在BC上，过点P作PH1CD于H点，如图1,证明为等腰直角三角形，所以PH=CH,PC=立

CH,则DH=4—CH,在Rtz\DPH中利用勾股定理得到（4—CH）2+C"2=（2&）,然后解方程求出CH,

从而得到PC的长；当点P在上，过P点于H点，连接PC,如图2,由于NHDP=乙4=45。，

PD=PE=2®所以PH=DH=2,然后利用勾股定理计算出PC的长.

【解题过程】

解：在Rt△4QE中,Z.A=45°,

.•.△4DE为等腰直角三角形，

DE=当AD=辛x4=2V2,

DP=DE=2V2,

当P点在CD上，CP=DC-DP=4-2V2,

当P点在BC上，过点P作PH1CD于H点，如图1,

EB

图1

四边形4BCD是菱形,

zC=ZX=45°,CD=AD=4,

・•.△PC”为等腰直角三角形,

•••PH=CH,PC=V2CW,

■■.DH=4-CH,

在Rt△DPH中,■■DH2+PH2=DP2,

2

•••(4-CH)2+CH2=(2V2),

解得CH=2,

PC=2V2.

当点P在。2上，过P点PHICD于H点，连接PC,如图2,

图2

乙HDP=Z_A=45。，PD=PE=2VL

■■■PH=DH=2,

•••CH=CD+DH=6,

...pc=V22+62=2V10,

综上所述，PC的长为4—2四或2鱼或2V1U.

故答案为：4—2鱼或2鱼或2V1U.

9.（23-24九年级下•广东深圳•开学考试）如图，在菱形A8CD中，E、尸分别是AB,BC边上的中点，G为

DE上一点，若4B=4,ZF=AEGF=60°,则DG的长为

【思路点拨】

本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积,

学会添加常用辅助线，构造直角三角形；

连接力C、EF、DF、CE、AF,作先求出△DEF的面积，再求出高FH,利用勾股定理求出DE、

EH、HG,利用线段和差求出DG即可.

【解题过程】

四边形2BCD是菱形，AB=4,ZB=60°

•••AB=BC=CD=DA=4,/.BAD=乙BCD=120°,

△ABC为等边三角形，

连接4F,CE

•・・点E、尸分别是48、BC边上的中点,

：.AFLBC,BF=FC=2,

在RtZiAFB中

AF=NAB2-BF2=742-22=2V3,

同理在RtaBEC中

CE=2V3,4BCE=30°

Z.DCE=/.BCD-乙BCE=90°,

在Rt2XDCE中

DE=yjEC2+DC2=2V7

・••点£分别是48边上的中点，

BE=^AB=2,

△BEF为等边三角形，

,t•SABEF=5x2xV3=V3>

连接DF,

S^DCF=：xFCx4F=2V3,

•••AE=CF,LEAD=乙FCD,AD=DC,

△BEF=ADCF

SADAE=

•，SABCD=4FxBC=2V3x4=8V3

•••S^DEF=^ABCD—S^BEF—S^DCF~^ADAE=8V3—V3—2V3—2V3=3V3,

过F作FH1CE,

.-.|xZ)ExFH=3V3,

・•.FH=3V3义2+DE=亨，

在中

EH=VFF2-FH2=J22_(噜J]=冬

在RtzXFHG中，

♦:乙EGF=60°,

.­./.HFG=30°

•­•HG2=FG2-FH2=(2HG)2-FH2,

：.DG=DE—EH—HG=2--与—当=誓,

故答案为：警

10.（2023•江西抚州•三模）在菱形4BCD中，AB=4,48=2乙4,点E,尸分别是4D,48的中点，动点尸

从3出发，沿着顺时针方向运动到C点，当APEF为直角三角形时，BP的长度为.

【思路点拨】

分三种情况考虑：点尸在4B边上；点尸在4D边上；点尸在CD边上，利用等边三角形的判定与性质、勾股

定理即可求得.

【解题过程】

解：••・四边形4BCD为菱形，AB=4,

・•・菱形四边长为4,且40出C,

.•.乙4+=180°,

vzB=244

乙4+=180°,即乙4=60°,.

"E,尸分别是4。，48的中点.

.-.AE=AF=2；

①当点尸在AB边上时；如图，

当点尸是2F的中点时，aPEF为直角三角形，此时4P=，1F=1,

.-.BP=AB—ZP=4—1=3；

②当点尸在4。边上时，如图，连接PF,

当点P是4E的中点时，△PEF为直角三角形，此时AP=PE=/E=L

连接BD,BE,BP,

■：AB=AD,ABAD=60°,

.•.△ABD是等边三角形，

.■.BE1AD,由勾股定理得BE=<42-V=2遮，

由勾股定理得：PB=7BE2+PE2=V12+1=V13;

③当点P在CD边上时，连接8。，AC,PE,PF,PB,如图,

■.■AC^.BD,PE为△AC。的中位线，EF为△ABD的中位线，

.-.PEWAC,EF\\BD,

:.PE1EF,

.•.△PEF为直角三角形，

■：CD=BC,乙BCD=/.BAD=60°,

.•.△BCD是等边三角形，

.-.BPLCD,

由勾股定理得PB=\BC2—PC2=V16-4=2V3；

故答案为：3或旧或2g.

11.（22-23八年级下•浙江台州•期中）菱形4BCD中，乙4BC=60。，△BEF为等边三角形，将△BEF绕点

B顺时针旋转，G为线段DF的中点，连接4G、EG.

图1图2

（1）如图1,E为边4B上一点（点4、E不重合），则EG、4G的关系是_,请说明理由.

（2）将△BEF旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明

理由.

【思路点拨】

（1）延长EG,交4。于点N,结合菱形的性质以及等边三角形的性质证明aNDG三△EFG,由全等三角形

的性质可得DN=EF,EG=NG,易得DN=BE,进而证明ZN=4E,可知AG平分NE4D,EGLAG,可求

得NE4G=^BAD=60。，即可证明结论；

(2)延长4G至Q,使得GQ=AG,连接EG、EQ,连接FQ交于R,证明△4GDmzXQGF,进而证明

AQFE=AABE,进一步得出结论.

【解题过程】

(1)解：如下图，延长EG,交4。于点N,

・•・G为线段DF的中点，

：.DG=FG,

・・・△BEF为等边三角形，

.ZBEF=60°,EF=BE,

・•.乙4EF=180°-乙BEF=120°,

••・四边形为菱形，A.ABC=60°,

.-.ADWBC,AB=AD,

"AD=180°-/.ABC=120°,

：.Z.BAD=Z.AEF,

.-.ADWEF,

：/NDG=Z.EFG,

在aNOG和△EFG中，

(ANDG=(EFG

]DG=FG,

JNGD=(EGF

.•.△NOGwz\EFG(ASA),

；,DN=EF,EG=NG,

；.DN=BE,

'.'AD=AB,

：.AD-DN=AB-BE,

.-.AN=AE,

.•.AG平分ZEHD,EG1AG,

.-.^EAG=^BAD=60°,

:.EG=WAG.

故答案为：EGTAG；

(2)(i)中结论仍成立，证明如下：

如下图，延长4G至Q,使得GQ=4G,连接EG、EQ,连接FQ交48于R,

在△4G。和△QGF中，

(AG=QG

]/.AGD=乙QGF,

IDG=FG

•••△ZG022\QGF(SAS),

.-.FQ=DA,乙ADG=^QFG,

'.ADWFQ,

・・.NARQ=180°一乙BAD=60°,

,ZFRB=^ARQ=60°,

・•・△BEF为等边三角形，

：.EF=BE,乙BEF=60。,

"FRB=Z-BEF,

.\Z-QFE=Z-ABE,

•・•四边形/BCD为菱形，

：.AD—AB,

1.FQ=AB,

在△QFE和中,

FQ

QFE=AB

EF=Z.ABE,

=BE

AQFE=AABE（SAS）,

:.EQ=AE,Z-QEF=Z.AEB,

：.Z-QFE—Z.AEF=Z.AEB—Z-AEF,

：.^.AEQ=乙BEF=60°,

.•.△4EQ为等边三角形，

.-.EG1AQ,/.AEG=^AEQ=30°,

：.EG=遮AG.

12.（2023•江苏•模拟预测）如图，菱形力BCD中，乙4BC=60。，4B=4,点E是线段B。上一点（不含端

点），将△ABE沿2E翻折，4B的对应边4B'与8D相交于点F.

备用图

(1)当NB2E=15。时，求EF的长;

(2)若aaBF是等腰三角形，求力尸的长；

(3)若EF=k-BE,求k的取值范围.

【思路点拨】

(1)根据菱形的性质以及折叠的性质可得△48C是等边三角形，AC1BD,4。=2,B。=26，

ABAF=AFBA=30°,则BF=4F=2板一。尸，根据勾股定理求出。F=竽，根据等腰直角三角形的性质

可得。E=O4=2,即可得EF的长；

(2)分两种情况：①当4F=B尸时，②当48=时，根据等腰三角形的性质分别求解即可；

(3)过点E作EM14B于M,作ENLAF于N,根据三角形的面积公式可得差=薨，则EF=空，由

crZlrAD

EF=k•BE得/c=哀，由点F在BD上可得49的最大值为4,当月F1BD,即点尸与点。重合时，4F的值最小

AD

为。力=2,可得2W4FV4,即可得k的取值范围.

【解题过程】

(1)菱形ABCD中，4aBe=60°,AB=4

△ABC是等边三角形，AC1BD,4。=^AC,UBD=ABD=力IBC=30°

■■.AO=2,BO=2V3

由折叠得乙BAE=^FAE=15°

.-.ABAF=AFBA=30°

：.BF=AF=2V3-OF

在Rt△力。F中，OF2+O/12=AF2

2

.-.OF2+22=(2V3-OF)

.-.OF=—

3

^^.BAE=15°,Z.FBA=30°

：.Z-AEO=45°

・•.△ZE。是等腰直角三角形，

：.OE=OA=2

:,EF=OE—OF=2—浊

3

(2)若aaBF是等腰三角形，分三种情况：

①当4F=BF时

由(1)知，BF=AF=243-OF,。尸=竽

.-.AF=2V3--=—

33

②当4B=BF时，如图1,

：.BF=4

:.OF=BF—OB=4—2V3

■■.AF=VOX2+OF2=22+(4-2V3)2=2V6-2V2

综上，4F的长为竽或4或2e-2也

(3)过点E作EMJ.4B于M,作ENJ.4F于N

图2

由折叠得NB4E=AFAE

.-.EM=EN

.S-8E__AB

SzkAFE^xAFxENAF

▽S^BE_BE

•S&4FEEF

BE_AB

：'~EF~~AF

厂「AF-BE

・M=F

'：EF=k•BE

,AF

：.k=——AB

•・•点F在BO上

.必产的最大值为4,当AF1BD

即点F与点。重合时，4F的值最小为。4=2

.-.2<AF<4

・•.k的取值范围为T<k<l

13.(22-23八年级下•黑龙江哈尔滨•期末)在四边形2BCD中，BC=CD,对角线力C平分NBCD,点、H为CD

边上一点，连接8H交4C于点尸，^AFH=ABAC+^BHC.

DAD

图।图2图3

(1)如图1,求证：四边形4BCD是菱形；

(2)如图2,点£在BC上，BE=CF,AE交BH于点N,AL1BH于点L若N4BC=60。，求证：

AN=2NL.

(3)如图3,在(2)的条件下，X为CD的中点，点G在上，点〃在力E上，连接AG,CM,AG=5,

CM=2V5,若N4GB=2/EMC,求线段的长

【思路点拨】

(1)推出NB4C=NACD,从而4BIICD,可推出NACB=NB力C,从而4B=BC,进而推出4B=CD,进一

步得出结论；

(2)可证明△4BE三△8CF,乙BCF=4BAE,进而推出乙4NF=乙48。=60。，进一步得出结论；

(3)作CR14E,可证明aCRE三△/!〃，从而4L=CR,在上截取G7=4G=5,连接4T,可证得

2222

△CRM=△ALT,从而4L=CM=2V5,根据4/=AG-GL=AT一心产得出52_GL2=(2V5)-

(5-GL)2,从而求得GL=3,AL=4,连接Z”，可证得NBA"=90°,设C”=k,贝I|4B=CD=2k,

AH=母，表示出BH=5k,根据5448//=93"/乙=38-4/得出上=等，进而求得BH.

【解题过程】

(1)证明：•••AC平分NBCD,

•••乙ACB=Z.ACD,

vZ-AFH=^BAC+乙BHC,Z.AFH=乙ACD+乙BHC,

•••Z-BAC=Z-ACD,

/.ABWCD,/.ACB=/-BAC,

・•・AB=BC,

•・•BC=CD,

・•・AB=CD,

■■四边形4BCD是平行四边形,

・•・四边形是菱形；

(2)证明：vAB=BC,AABC=60°,

・・・△4BC是等边三角形，

・•・Z,ABC=乙ACB=60°,

•・•BE=CF,

A^CF(SAS),

•••乙BCF=乙BAE,

•••Z-BCF+Z.ABF=Z-BAE+乙ABF,

/.Z.ANF=/.ABC=60°,

・・•ALLBH,

CALN=90°,

・•・乙NAL=90°一"NF=30°,

AN=2NL；

(3)解：如图，作CR1/E,在上截取GT=ZG=5,连接47、AH,

AD

■：由(2)得AABEmABCF,

•••Z-AEB=Z-BFC,

/.Z-CER=Z.AFL,

•・•BC=AC,BE=CF,

：・CE=AF,

・•.△CRE=AALF(AAS^

・•・AL=CR,

Z-GAT=Z-ATG,

・•・^LAGB=Z.GAT+Z.ATG=2/.ATG,

V^AGB=2乙CME,

・•・乙ATG=乙CME,

•・•乙MRC=乙ALT=90°,

.*.△CRM=AALT(AAS)f

.・・AL=CM=2V5,

•・•AL2=AG2-GL2=AT2-LT2,

・•・52-GL2=(2V5)2-(5-GL)2,

•••GL=3,

AL=4,

是CD的中点，

：.AHLCD,

AB\\CD,

：.AHLAB,

：./.BAH=90°,

设CH=k,贝=CD=2k,AH=V3fc,

•••BH=7AB2+AH2=V7k,

•••S^ABH=-AL=^AB-AH,

V7fc-4—2/c-V3fc,

•/,-2V2T

2V2114V3

•••BH=V7X

14.（2024・贵州•一模）如图，在菱形ABCD中，NB=60。，E,尸分别是BC,4D的中点，点G,H分别在

AB,CD上，且BG=DH,分别沿EG,折叠菱形ABCD,点、B,。的对应点分别为点“，N,连接力M,CN

,EN,FM.

EE

②③

(1)问题解决：如图①，请判断线段力M,CN的数量关系和位置关系：_；

(2)问题探究：如图②，当点N分别落在力B,CD上时，请判断四边形ENFM的形状，并说明理由;

(3)拓展延伸：如图③，当点4M,E恰好在一条直线上时，求霁的值.

DU

【思路点拨】

(1)连接4C,由菱形的性质和线段中点的定义得到NB=4。=60。，BE=DF,进而证明

△BEG三△DFH(SAS)得至UNBGE=/.DHF,由折叠的性质可得BG=MG,DH=NH,乙BGE=乙MGE,

乙DHF=LNHF,再证明N4GM=NCHN,MG=NH,进而证明△4GM三△CHN(SAS),得到AM=CN,

/.GAM=Z.HCN,证明NC4M=Z.ACN,得到4M||CN,贝=CN,AM||CN；

(2)由菱形的性质得到ADIIBC,AB=BC=CD=AD,则乙4=180。-AB=120。，由折叠的性质可得

ME=BE,Z.EMB=ZB=60°,即可证明△BEM是等边三角形，得到=BE,证明AM=4F,得到

[ono_/A

AAMF=^AFM=­--=30°,贝IUEMF=9O。，同理可证明/MEN=NMFN=90。，即可证明四边形

ENFM是矩形；

(3)如图所示，过点M作MHLAB于连接4C,证明△力BC是等边三角形，由£为的中点，得到

乙BAE=30°.由折叠的性质可得BG=MG,乙EMG=NB=60°,则NAMG=120°,^AGM=30°,推出

AM=MG,贝lMG=2GH,在RtZkMGH中，GH=*M,则含=存

【解题过程】

(1)解：如图所示，连接2C,

AFD

四边形4BCD是菱形,

:.AB=BC=CD=AD,Z-B=Z-D=60°,

■:E,尸分别是BC,40的中点,

・・.OF=—O,BE=^BC,

.-.BE=DF,

又•