陕西省2024-2025学年高三年级上册开学校际联考数学试题（含答案）

数学试题

注意事项：

1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟.

2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷(选择题共58分)

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的)

1.已知集合M={x卜2<x<2},集合N={—则()

A.{-1,0,1}B.{0,1,2}C.{x|-l<x„2}D.{x|-l„x„2}

2.若复数z=l—i,贝U历—z|=()

A.V2B.2iC.2D.4

jr

3.设xeR,则“cosx=0"是"x=—”的()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培

养航空后备人才.某省于2024年4月中旬举办了第8届全国青少年无人机大赛某校为下一届大赛做准备，在校

内进行选拔赛，10名学生成绩依次为：85,105,75,100,90,95,85,90,80,95.则这组数据的60%分位数为

()

A.90B.92.5C.85D.95

5.若函数/(x)的图象如图所示，则/(x)的解析式可能是()

“、八，八、sinx“、Zl,八、cosx

A.仆）=（1刈+1）B./（-）-C./（x）=（1x|+l）cosxD./（x）-

6.亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手

中接棒，则不同的传递方案共有()

A.360种B.288种C.504种D.480种

7.由直线y=x+l上的一点向圆―6x+8=0引切线，则切线段的最小值为()

A.3B.2A/2C.V7D.V6

8.已知函数/(x),若数列=/(〃)(〃eN*)为递增数列，则称函数/(x)为“数列保增函数”.若函数

/(x)=-ln(2x)+4x为“数列保增函数”，则实数4的取值范围为()

A.In—,+CXDB.(In2,+8)C.[1,+co)D.—,+oo^

二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.对于函数/(x)=sinx和g(x)=sin(2x),下列说法正确的有()

A.7(x)与g(x)有相同的零点B./(%)与g(x)有相同的最值

C./(%)与g(x)有相同的周期D.7(%)的图象与g(x)的图象有相同的对称轴

10.已知数列｛4｝满足2%+]=4+4+2,其中q=21,%=19,设S”为数列｛%｝的前〃项和，则下列选项

正确的有()

s

A.｛%｝为等差数列B.%=2〃+19C.j=20+〃D.当”=11时，S,,有最大值

11.已知圆+(y+2)2=4的圆心为E,抛物线C：/=8^的焦点为厂，准线为/,动点P满足

|PE|+|PF|=6,则（）

A.曲线E与C仅有一个公共点B.点P的轨迹为椭圆

C.的最小值为1D.当点P在/上时，|尸£|=2

第H卷(非选择题共92分)

三、填空题(本题共3小题,每小题5分，共15分)

12.已知向量己=(2,5),3=(机,2),若万，则实数〃i=

tan720-tan12°

13.

1+tan72°tan12°

14.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”

的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台48CD-上下底面的

中心分别为和。，若48=24g=4,N44s=60°,则正四棱台45CD—4与。4的体积为

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

在V48c中，角4B、C的对边分别为a、b、c,已知a=6,b=l,c=5.

(I)求角C的大小；

(II)求sin(N+C)的值.

16.(本小题满分15分)

X2

己知函数/(%)=—.

ex

(I)求函数/(x)的单调区间;

(II)求函数/(x)在［-1,2］上的值域.

17.(本小题满分15分)

如图，四棱锥尸—48C。中，尸/，底面488,四边形48CD是正方形，M,N分别是的中

点.

(I)求证：7W〃平面「48；

(H)若尸2=48=2,求直线与平面4SN所成角的大小.

18.(本小题满分17分)

己知双曲线C:二—==1(。〉0力〉0)的左焦点为尸，左顶点为E,虚轴的上端点为P,且|PR|=3,

ab

\PE\=^5.

(I)求双曲线C的标准方程；

(II)设/、N是双曲线C上不同的两点，。是线段VN的中点，。是原点，直线MN、O。的斜率分别为

左、k2,证明：左1•左2为定值•

19.(本小题满分17分)

如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中

每次移动1个单位的概率均为0,移动2个单位的概率均为1-2.

aaaa1111a

012345678

(I)记质点移动5次后位于8的位置的概率为/(p),求/(p)的最大值及最大值点Po；

(ID若p=L记质点从原点o运动到〃的位置的概率为勺.

2

(i)求8,号

(ii)证明：｛73-々｝是等比数列，并求

2025届高三第一次校际联考

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.A2.C3.B4.B5.D6.D7.C8.B

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个

得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分）

9.ABC10.AD11.ABC

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

u行28行

12.-513.V314.-----

3

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.解：（I）a—y[3,b=\,c-,

Q2+/_/V3

/.cosC=

2ab

5兀

（6分）

6

(II)表'

」.sin”卫=立

c14

•/4+5+c=兀,

.•.sin(Z+C)=sinB=*.……(13分)

Y2

16.解：（I）函数/（x）二—的定义域为R,

ex

2xex-x2exx(2-x)

/(x)

e2xe

由/WO<x<2；由/'(x)<0,得x<0或x>2,

故函数/（x）的递增区间为（0,2）,递减区间为（-8,0）和（2,+oo）.…（7分）

(II)由(D可得/(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增,

/0)在》=0处取得极小值即最小值，/(x)min=/(0)=0,

4

又/(—1)=e,/(2)=-<e,/./(x)max=/(-l)=e,

e

函数/(x)在[-1,2]上的值域为[0,e].……(15分)

17.解:(I)证明：:MN分别为PC,尸。的中点，

MN//CD,

•.•四边形4BCD为正方形，.

MN//AB,

•••ABu平面PAB,MNU平面PAB,

.•.MN〃平面P48.…(7分)

(ID•.•四边形45CD为正方形，

PA±平面ABCD,AB,ADu平面ABCD,

r.R4J.48,尸/48,4D,尸幺两两垂直，

故以/为原点，4B所在的直线为x轴，4。所在的直线为y轴，4P所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系

A-xyz,

则P(0,0,2),5(2,0,0),A(0,0,0),N(0,1,1),

RB=(2,0,-2),AB=(2,0,0),AN=(0,1,1),

设平面ABN的法向量为方=(%,a,z0),

,n-AB=0,[2x=0,fx=0,

则1一叫0。八得70°

n-AN=0,LPo+Zo=O,[yQ=-z0,

令％)=1,则z0=-1,.,.方=(0,1,—1),

设直线PB与平面ABN所成角为8,

..,说一।\PB-n\21

\PB\\ii\42

oEo,—»：.e=—,

L2j6

7T

，直线尸8与平面4SN所成角的大小为一.…（15分）

18.解：(I)不妨设双曲线C的半焦距为c(c〉O),

■.■\PF\=3,\PE\=45,

yjb2+c2=3,-\lb2+a~=c=V5,

解得b=2,c=6,

则标=c2-Z>2=5-4=1,

故双曲线C的方程为——2L=1.……（8分）

4

（II）证明：设V（X],必），N（/，%），西H》2，西+》2H°•则X]+-2+匕

•・•加,N为双曲线C上的两点，[

xgj

两式相减得（X1%）（王+々）=8—%）（%+%），整理得=g

4J1+J2石_/

%+为

则先色=区二=上匚匹=4,

x1-x2X]+-2x；-X2x1+x2

~2--

故占•上2为定值，定