北师大版八年级数学下册压轴题期末考试点对点压轴题训练（一）（A卷18题）（原卷版+解析）

期末考试点对点压轴题训练(一)(A卷18题)

1.如图，在等边0ABC中，点。与点E分别在8C与AC上，且BO=CE,连接A。与BE于点尸，连接CF.

(2)延长3E到N,使AE=RV,连接AN,CN.

①判断CN与AD的位置关系并证明；

②当AB=2夜时，求2尸的长.

2.如图，己知0ABe是等边三角形，AB=8,M为AC中点，。为BC边上一动点，将绕点A逆时针旋

转60。得到AE,连接CE、DE、ME.

(1)求证：CD+CE=CA；

(2)求出点M到CE所在直线的距离；

7

(3)当一时，求CE的值.

2

3.如图1,在YABCD中，她的平分线交AO于点酎。。的平分线交于点H

图1

⑴求证：四边形8瓦不为平行四边形;

(2)如图2,连接ER若ER3BC,BF=8,EF=4,求YABCD的面积;

⑶如图3,连接EE,作右反钻关于直线跖对称的ECH,其中点A,3的对应点分别为点C,H,恰好有

HE0DF,垂足为G.若£尸=逝，求BE的长.

4.如图，在，ABCD,分别以AB，C。为底边在MBC。内侧作等腰她2尸和等腰回。CE,且0A尸2=回。石。

=120。，连接CF和AE并延长，分别交边AB,C£)于点M和点N.

⑴求证：0A£>E=0CBF；

(2)求证：四边形AMCN为平行四边形；

⑶连接若MN08C,AB=^BC,A3C。的面积为3,求C尸的长.

5.如图，AB=AC,AD=AE,NB4C=/D4E=90。，且点。在一ABC内部，连接瓦〉CE,3D的延

长交线段CE于点

⑴求证：运△ACE；

(2)判断BF与CF的位置关系并证明；

(3)连接Ab,若AF=C，求四边形ADEE的面积.

6.如图，在平面直角坐标系尤0y中，点A的坐标为(2,0),以线段。4为一边在x轴上方作等边I3OAB.C

是无轴上一点，连接2C,将线段BC绕点B逆时针旋转60。得到线段班)，连接AD,CD.

⑴当点C在线段的延长线上时.

①求证：OB8ABD-,

②若AD=2AC,求线段CO的的长；

(2)若点E的坐标为(0,百)，连接即，试问线段瓦)的长是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不

存在，请说明理由.

7.在平面直角坐标系中，已知点A仅，石)，点B(—3,0).

图1图3

⑴如图1,点C为点A关于无轴的对称点，连接8C,判断0ABe的形状，并证明你的结论；

(2)如图2,作0A8C关于点8的中心对称图形SEB。，△EB'D为回防。沿着x轴向右平移以后的图象，当

与a42c重叠部分的图形为正六边形时，求此时的平移距离；

⑶如图3,点M为x轴上一动点，连接AM,将AM绕点M顺时针旋转60。得到线段MW,若N点恰好在某

一条直线上运动，请求出该直线的函数表达式.

8.如图1,在YABCD中,/ABC的平分线交AD于点E,2ADC的平分线交BC于点尸.

H

⑴求证：四边形3的为平行四边形；

(2)如图2,连接跖，若EF，BC,BF=8,EF=4,求YABCD的面积；

⑶如图3,连接所，作关于直线E尸对称的ECH,其中点A,8的对应点分别为点C,,恰好有

HELDF,垂足为G.若政=夜，求BE的长.

9.如图L"CE与ABGE均为等腰直角三角形，且NAEC=N3EC=90。，连接8C、AG,延长AG与BC

交于点F.

图1图2

⑴求证：AF1BC-,

(2)当点G为CE的中点，AE=2时，求CF的长；

⑶如图2,过点C作CD〃AB,过点A作〃3C,AD,CD交于点D,在边AB上取一点H,使得AH=CG,

连接。H,探究CG、CD、。”三条线段之间的数量关系，并证明.

10.己知，在4ABe中，点”是BC的中点，点。是线段AM上一点(不与点A重合).过点。作A2的平

行线，过点。作4"的平行线，两线交于点E,连结AE.

⑴如图1,当点。与M重合时，求证：四边形A5DE是平行四边形；

(2)如图2,当点。不与M重合时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由;

⑶图3,延长8。交AC于点H,若8"，AC,且=求NQ4M的度数.

11.如图1,在等边三角形ABC中，于。,CELA3于瓦AD与CE相交于点。.

c

图1图2图3

⑴求证：OA^IDO-,

(2)如图2,若点G是线段AD上一点，CG平分NBCE,NBGb=60。，G/交CE所在直线于点F.求证：GB=GF.

(3)如图3,若点G是线段上一点(不与点。重合)，连接8G,在3G下方作4GF=60。，边GF交CE

所在直线于点E猜想：OGOROA三条线段之间的数量关系，并证明.

12.如图1,在ABC中，AB=AC,是ABC的一条角平分线，AN为.ABC的外角/BAM的平分线,

BELAN,垂足为E.已知AD=8,BD=6.

(1)求证：四边形AD3E是矩形；

(2)如图2,延长AD至点使=连接正，G为所的中点，连接EG,DG.求EG的长.

(3)如图3,在(2)间的条件下，尸为BE边上的一个动点，连接尸G并延长交AD延长线于点Q,连接CQ,

//为CQ的中点，求点尸从£点运动到8点时，点H所经过的路径长.

13.如图，AC为YABCD的对角线，/BAC=90。,CE平分ZAC3*为射线3C上一点.

①当G为。。中点时，求证：CF=BC；

②当CF=C4时，求CG长度；

（2）如图2,尸在线段BC上，连接AF与CE交点于H,若ND=3ZACE,FA=FC,试探究AD,AC,AH三

条线段之间的数量关系，并说明理由.

14.在R/0ABC中，E1BAC=9O。，设0ACB=6O。，将MBC绕着点C顺时针旋转，得至胞CDE（点。，E分别

与3,A对应），连接BD

（1）如图L当点。在线段CA的延长线上时，若AD=5,求2。的长；

（2）如图2,当点。在如图所示位置时，连接EA并延长交2。于R过点。作DG0AB交线段瓦1的延长

线于G,连接A。，BG.求证：四边形AOG8为平行四边形.

（3）在（2）的条件下，如图3,连接CT,若AC=5,CF=8,求EF的长.

15.已知点E是正方形ABC。的边C£＞上的动点，连接AE,过点A作A7WE,交CB的延长线于点足

（1）如图1,求证：FB=ED-,

（2）点G为正方形的对角线8。上一点，连接AG,GC,GF,且GC=GE

①如图2,求回G刚的度数；

②如图3,过点G作〃Z///AE,分别交ARAB,。。于点M,N,H.若48=3,BF=1,求MH的长.

图1图2图3

16.已知AM是0ABe的中线，。是线段AM上一点（不与点A重合）.过点。作A2的平行线，过点C作

AV的平行线，两线交于点E,连结AE.

（1）【模型研究】如图1,当点。与M重合时，求证：四边形A8DE是平行四边形；

（2）【模型推广】如图2,当点。不与M重合时，四边形A8OE还是平行四边形吗？如果是，请证明；如

果不是，请说明理由；

（3）【模型应用】若0ABe是边长为4的等边三角形，点。是AM的中点（如图3）,请直接写出CE的长.

图1图2

17.在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究.

图1图2图3

(1)问题梳理，问题呈现:如图1,点O在等边ABC的边BC上，过点C画的平行线/，在/上取CE=3£>,

连接AE,则在图1中会产生一对旋转图形.请结合问题中的条件，证明：△ABgAACE；

(2)初步尝试：如图2,在一ABC中，AB=AC,点。在BC边上，且将△ABD沿某条直线翻

折，使得A3与AC重合，点。与BC边上点厂重合，再将△ACF沿AC所在直线翻折，得到“小，则在

图2中会产生一对旋转图形.若NfiAC=30。，AD=6,连接DE,求VADE的面积；

(3)深入探究：如图3,在ABC中，ZACS=60°,NBAC=75。,AC=6,点。是边BC上的任意一点，

连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转75。，得到线段AE,连接CE,求线段CE长度的最小值.

期末考试点对点压轴题训练（一）（A卷18题）

1.如图，在等边0ABe中，点。与点E分别在8C与AC上，且BD=CE,连接与BE

于点尸，连接C?

⑵延长BE到N,使AF=FN,连接⑷V,CN.

①判断CN马AD的位置关系并证明；

②当SzACF=^,AB=2夜时，求BF的长.

【答案】（1）见解析

⑵①CM3AZ）；@75-1

【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明0X8。回SBCE,得回C2E=aa4D,再利用

三角形外角的性质可得答案；

（2）①由（1）可知0APN是等边三角形，再利用SAS证明EI54R13C4M得EIANC=0AB2,

利用同旁内角互补，两直线平行，可得结论；②作于H,利用平行线之间的距离处

处相等得则AF=2,再利用勾股定理求出的长，从而解决问题.

【解析】（1）回EABC是等边三角形，

^AB=BC,0ABD=0BC£=6O°,

在B48。和I3BCE中，

AB=BC

<NABD=ZBCE

BD=CE

EBABOB3BCE（SAS）,

^CBE^BAD,

SSAFE=^ABF+SBAF=^ABD=60°；

（2）

①CNBAD,理由如下：

^\AF=AN,SAFN=60a,

回她PN是等边三角形，

BHIRIN=团A4C=60°,

回团3AD二回CAN,

^AB=AC,AF=AN,

mBAF^CAN(SAS),

mANC=^\AFBf

0[71AFB=120°,

瓯ANO120°,

团团E4N+团4NC=180°,

团CNE4。；

②作AH0尸N于H,

MD0CN,

^\SAAFC=SAAFN=石,

[MF=2,

丽A/W是等边三角形，

^\FH=lfAH=73，

在火通45H中，由勾股定理得，

BH=ylAB2-AH2=4^3=百，

©BF=BH-FH=B1.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判

定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

2.如图，已知她5C是等边三角形，AB=8,M为AC中点，。为边上一动点，将AZ)

绕点A逆时针旋转60。得到AE,连接CE、DE、ME.

(1)求证：CD+CE=G4；

(2)求出点M到CE所在直线的距离；

7

(3)当—时，求CE的值.

2

A

【答案】（1）见解析；（2）273;（3）；或三:

【分析】（1）依据&4s可证明A/WDMAACE,可得BD=CE,即可；

（2）过点M作由（1）知NASD=NACE=60。，利用直角三角形的性质，即可

求解MH；

（3）过点M作讨论点H,在线段CE上还是CE的延长线上，通过直角三角形

的性质，即可求解CE；

【详解】（1）由题知，AABC为等边三角形，SAB=AC=BC-,

又A£）,逆时针旋转60。；由旋转的性质可知：AD=AE-,ZB=ZACE=60°,

BZBAD=ZCAE；

在AABD和AACE中，

AB=AC

<ABAD=ZCAE,

AD=AE

0\ABD=\ACE,^BD=CE

SAC=BC=BD+CD=CD+CE

13CD+CE=AC；

（2）过点“作MH_LCE,

由（1）知AABD三AACE,SZABD=ZACE=60°,

又“为AC的中点，0AM=CM=-AC=4；

2

在必ACAfff中，NACE=60°,0ZCMH=30°；

ECH=-CM=2■

2

回MH=4cM--CH1=2A/3：

回M到CE所在直线的距离为2石;

(3)过点Af作MH_LCE,

由(2)知，MH=2也,CH=2；

7

在加AMHE中，/MHE=90°,ME=--

2

0EH=4EM--MH-=-；

2

当H点落在线段CE上时，

CE=CH+HE=2+-=-；

22

当H点落在线段CE的延长线时，

13

CE=CH-HE=2——=-；

22

回CE的值为|3■或：5；

【点睛】本题主要考查全等三角形证明、等边三角形和直角三角形的性质，关键在寻找相关

条件作辅助线；

3.如图1,在YABCD中，0A8C的平分线交A。于点E,0Aoe的平分线交于点R

图1

(1)求证：四边形3E。尸为平行四边形;

(2)如图2,连接EF,若ER38C,BF=8,EF=4,求YABCD的面积;

(3)如图3,连接EF,作关于直线对称的ECH,其中点A,B的对应点分别为点

C,H,恰好有垂足为G.若EF=6，求BE的长.

【答案】(1)见解析

(2)52

⑶2+五

【分析】(1)根据角平分线的性质可推出NEBC=ZEDF,再根据ZAEB=NEBC得BE//DF,

即可得出结论；

(2)构造直角三角形，设==根据勾股定理可列有关尤的一元二次方程，即可求

得结果；

(3)根据对称性可得两个三角形全等，构造直角三角形，利用勾股定理可求得结果.

【详解】(1)证明：在YABCD中，ZABC=ZADC,AD//BC,

又西£、分别为0ABC、0Aoe的平分线，

QZEBC=ZEDF,

又回AD〃3C,

BiZAEB^ZEBC,

BiZAEB=ZEDF,

©BE〃DF,

又回4£>〃3。，

回四边形BEDF为平行四边形；

(2)解:©BE为EABC的平分线，

^ZABE=ZEBC,

又1aAD〃3C,

BZAEB=ZEBC,

^ZABE^ZAEB,

设AB=AE=x,

过点A作AAfBBC于点如图所示，

国EFE1BC,AD//BC,

^\AM=EF=4,AE=MF=x,

0BM=8-x,

在..ABM中，ZAMB=90°,

BM1+AM2=AB1

0（8-x）2+42=x2,

解得尤=5,

由（1）在cBEDF中,DE=BF=8,

团AD=AE+DE=5+8=13,

团SABCD=A。xAM=13x4=52；

(3)分别过点A、/作AMU3C于点尸NMO于N,如图所示，

^AM=FN=a,AN=MF,

由(1)(2)知：AB=AE=CD=CF,ZABE=ZAEB=ZFDC

团一E45关于直线E尸对称的图形为小石C"

团CE=AE,ZAEB=ZCEH,

0CE=CD,^CEH=^\FDC

又用NEKG=/DKC,

团ZEGK=ZDCK=90°,

团一ECD为等腰直角三角形

0ZEDC=45°,ZABM=45°

^AM=BM=a,AB=y/2a=AE=CD=CE=CF

0DE=2a=BF,

^\MF=AN=a,

0NE=AE-AN=8-a，

在RtNEF中,NE2+FN2=EF2,

+°2=(忘)，心=2+心,

过点。作“A8c延长线于点J,如上图所示，

在RtADJF中，DJ2+FJ2=DF2,

DF2=a2+^y/2a+aj=6+4^/2,

0BE=DF=^22+2-2-V2+(V2)2=2+6-

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质以及勾股定理解三角形，解题的关

键在于作出辅助线，构造出直角三角形.

4.如图，在，A8CZ)中，分别以A8,CD为底边在0ABe。内侧作等腰0ABp和等腰MCE,

且0AFB=EI£)EC=12O。，连接C尸和AE并延长，分别交边AB,CD于点M和点N.

(1)求证：BADE=SCBF；

(2)求证：四边形AMCN为平行四边形；

(3)连接MN,若MN3BC,AB=y[2BC,ABC。的面积为3,求的长.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】(1)利用等腰三角形的性质得NCDE=ZABF=30。，再利用平行四边形的对角

相等得到/ADC=/4BC,即可证明结论；

(2)先由ASA证明△ABBMAOCE,得至[]•=£>£1=AF=CE,再利用SAS证明

^CBF=_ADE,得CF=AE,继而证明四边形AFCE是平行四边形，据此解答；

(3)利用平行四边形的性质得到创介AM,则设BM=x，则AB=2x,BC=-Jix，

则CM=x,根据YA3co的面积为3,解出的长，再利用含30。角的直角三角形的性质

解答即可.

(1)

解：ZAFB=ZDEC=120°,CE=DE,AF=BF

:.NCDE=ZABF=30。

四边形ABCD是平行四边形

:.ZADC^ZABC

:.ZADE=NCBF

(2)

证明：,四边形ABC。是平行四边形

:.AB=CD

ZAFB=ZDEC=120°,CE=DE,BF=AF

ZABF=ZBAF=ZECD=ZEDC=30°

ABF=^DCE(ASA)

：.BF=DE=AF=CE

■-ZCBF=ZADE,BC=AD

CBF=.ADELAS)

CF=AE

四边形APCE是平行四边形

;.AE//CF

AB//CN

.,.四边形AMCN是平行四边形

(3)

解：MN//BC,AB//CD

，四边形3MNC是平行四边形

:.BM=CN

四边形AMCN是平行四边形

:.AM=CN

.\FM.LAB

AB=42BC

设BM=XfAB=2xfBC=y/2x，CM=x

ABCD的面积为3,

.\ABCM=3,.•.2/=3

:.x=^-(负值舍去)，二5W=逅

22

ZABF=30°,-.MF=—

2

CF=CM-MF=屈一屈.

2

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、

含30。角的直角三角形性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

5.如图，AB=AC,AD=AE,^BAC=^DAE=90°,且点。在，ABC内部，连接2D,

CE,的延长交线段CE于点尸.

(1)求证：AAB睁AACE；

(2)判断BF与CF的位置关系并证明；

⑶连接4尸，若A尸=血,求四边形ADEE的面积.

【答案】①见解析

(2)BF±CF,见解析

(3)1

【分析】⑴证出=根据SAS证明三ACE；

(2)M和AC交于点0,由全等三角形的性质得出NABD=/ACE,则可得出结论；

⑶过点人作出小于点M,4VLCE,交CE的延长线于点N,证明.AMB=^ANC(AAS),

由全等三角形的性质得出AM=AN,证出四边形⑷为正方形，证明-AMD

三4VE(A4S),得出S3。=SME，则可得出答案.

【详解】(1)证明：ZBAC=ZDAE=90°,

ZBAC-ZDAC=/DAE-ZDAC=90°,

:.ZDAB=ZCAE.

在和"。石中，

AB=AC

<NDAB=NCAE,

AD=AE

:._ABD=ACE-

(2)解：BFLCF,

证明：如图1,B尸和AC交于点O,

B

E

图1

ABDACE,

.\ZABD=ZACE,

NAOB=NCOF,NABD+NBAO=NAOB=NACE+NCFO+NCOF,

:,ZBAC=ZCFO=9G0,

:.BF±CF；

(3)解：过点A作AM,砥于点M,ANICE,交CE的延长线于点N,

B

BFVCF,

，四边形为矩形,

NABM=NACN,AB=AC,NAMB=NANC,

:._AMB=..ANC,

,\AM=ANf

，四边形4VFM为正方形,

又AF=^,

，AN=NF=\,

一S正方形4VFM=1

^DAE=^MAF=90°,

:.ZDAM=ZEAN,

NAMD=NANE=90。，

.AAMD=_ANE,

q—Q

,uAMD_0,ANE，

1"S四边形DAEF=SDAM+AEF=.ANE+$四边形MAEF=S正方形⑷VFM=•

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三

角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

6.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，点A的坐标为（2,0）,以线段。4为一边在x轴上方

作等边回O4B.C是x轴上一点，连接BC,将线段BC绕点B逆时针旋转60。得到线段8。,

连接ADCD.

（1）当点C在线段OA的延长线上时.

①求证：OBC*ABD；

②若AO=2AC,求线段CD的的长；

⑵若点E的坐标为（0,后），连接E。，试问线段即的长是否存在最小值？若存在，请求出

该最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）①见解析；②CD=2也

⑵存在,当

【分析】（1）①由旋转的性质可得BC=BD,回C8O=60。，SBC。是等边三角形，结合胡。8

是等边三角形由"SAS'可证EIOBCH0ABZ）；

②根据回。2030/12£）,AD^2AC,OA=AC=AB=2,BACB=^ABC=30°,E<9BC=90°,再由

直角三角形的性质可求解；

（2）由全等三角形的性质可得点。在过点A且于y轴成30。的直线上运动，由直角三角形

的性质可求解.

【解析】（1）解：①证明：团将线段BC绕点8逆时针旋转60。得到线段BD,

SBC^BD,ECBZ)=60°,

回SBC。是等边三角形,

0BC-CD=BD,

瓯A05是等边三角形，

回。3=A5,^\ABO=60°=[?]BAO,

^\ABO=^\CBD=60°,

配103C=[?L4BZ),

在团03C和妫瓦)中,

OB=AB

<ZOBC=ZABD,

BC=BD

团团O3CWL43。（SAS）；

②团点A的坐标为（2,0）,

团04=2,

加05cmA3。

^AD=0C,

^\AD=2AC,

团OC=2ACf

^\OA=AC=AB-2,

^\ACB=BABC=30°,

^\OBC=90°,

0BC=6OB=2A/3,

回cr>=2折

(2)

解：如图，延长D4交y轴于N,过点E作成迥AO于尸,

^OBC^ABD,

SSBAD^BOC=60°

03OAN=6O°,

03AON=9O°,

03ANO=3O°,

回点。在过点A且于y轴成30。的直线上运动，

团当Z>£0A£>时，即点。与点尸重合时，OE有最小值为的长,

回04=2,0A/VO=3O°,

EION=gOA=2粗,

回EN=3百，

03ANO=3O°,EFSAD,

向17c,136

^\EF=-EN=------,

22

aDE的最小值为述.

2

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判

定和性质等知识，确定点。的运动轨迹是解题的关键.

7.在平面直角坐标系中，已知点A仅指)，点8(—3,0).

(1)如图1,点C为点A关于x轴的对称点，连接BC,判断的形状，并证明你的结论；

⑵如图2,作0ABe关于点B的中心对称图形BEBD,△E3'。'为回班。沿着无轴向右平移以

后的图象，当△E'B'D与她BC重叠部分的图形为正六边形时，求此时的平移距离；

(3)如图3,点M为x轴上一动点，连接AM,将AM绕点M顺时针旋转60。得到线段NM,

若N点恰好在某一条直线上运动，请求出该直线的函数表达式.

【答案】(l)AABC是等边三角形

(2)4

(3)y='j3x-y/3

【分析】(1)求出C点坐标，再分别求出"=AC=2C=2括，即可判断三角形的形状；

(2)设向右平移f个单位，由题意可知2HJK,都是正三角形，则BF=FH=HK,

再由AAHK为正三角形，可得AH=FH=BF,能求出平移距离为4；

(3)当M点与B点重合时，N点与C点重合，可得点N坐标，当N点在x轴上时，N(1,

0),再利用待定系数法求求出直线解析式即可.

【详解】(1)解：回点C为点A关于无轴的对称点，A(0,耳),

0C(0,-73),

S\OA=OC=S]3,

0AC=2A/3,

0B(-3,0),

团02=3,

BAB=2y/3,BC=2布,

^\AB=AC=BCf

回HABC是等边三角形；

(2)解：如图1,设向右平移/个单位，

酿£577与△ABC重叠部分的图形为正六边形,

团团五H/,△H7K,△/G7都是正三角形，

国FJ=GJ,^1GFJ=^\FGJ=60°,

"(刘x轴，

团团E75=30°,

的450=30°,

⑦BF二FJ,

⑦BF二FH=HK,

瓯AHK为正三角形，

^AH=FH=BF,

国U4,

国平移距离为4；

(3)解：如图2,当M点与5点重合时,

EHAMN=60°,0ABC=6O°,

团N点与C点重合，

EW(0,-石)，

当N点在x轴上时，

EAMN=60°,0ABO=3O°,

fflBAM=30°,

EHAMO=30°,

0MO=1,AM=2,

EWO=L

02V(1,0),

设N所在的直线解析式为y=kx+b,

k+b=0k=

0,r-,解得，

b=73[%=-y/3r

团直线解析式为：y=6c-#).

【点睛】本题是一次函数的综合应用题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等边三角形的性

质，会用待定系数法求函数的解析式是解题的关键.

8.如图1,在YABCD中，NABC的平分线交AD于点E,—ADC的平分线交BC于点尸.

H

(1)求证：四边形3EZ印为平行四边形；

(2)如图2,连接所，若EFJ.BC,BF=8,EF=4,求YABCD的面积；

⑶如图3,连接政，作，,石4B关于直线E尸对称的一ES,其中点A,B的对应点分别为点

C,H,恰好有HE_L。尸，垂足为G.若斯=收，求班的长.

【答案】(1)见解析

⑵52

⑶2+0

【分析】(1)根据平行四边形性质得出：AD=BC,AB=CD,AD//BC,利用角平分线

定义及平行线性质即可证得结论；

(2)如图2,过点A作AG,3c于点G,则NAG3=NAGF=90。，再证明四边形A£FG是

矩形，推出AB=AE=RG,设AB=x,则bG=x,利用勾股定理求得AE=5,再运用平行

四边形面积公式即可求得答案；

(3)如图3,过点E作交于点过点歹作C3E于点T,连接2H交的

延长线于点N,运用轴对称性质可得出：AE=EM=BM=EC,BE=HE,

ZAEB=ZCEH=ZMEB,推出MEC、是等腰直角三角形，再证得_EFT是等腰直

角三角形，得出£T=FT=1,运用角平分线性质可得FT=RV=1,进而得出EN=>/^+l，

再利用等腰三角形性质可得出答案.

【解析】(1)证明：四边形ABCQ是平行四边形，

图1

AD=BC,AB=CD,AD//BC,

:.ZAEB=ZCBE,

BE平分,ABC,

:.ZABE=NCBE,

:.ZABE^ZAEB,

/.AE=AB,

同理可得：CF=CD,

：.AE=CF,

:.AD-AE=BC-CF,

即ED=BF,

，四边形BE"为平行四边形；

(2)

如图2,过点A作AG,5c于点G,

图2

则NAG3=NAG/=90。，

AD//BC,

,\ZEAG=ZAGB=90°,

EFtBC,

:./BFE=9伊,

四边形AEFG是矩形，

:.FG=AE,AG=EF=4f

由(1)得：AE=AB,ED=BF=8,

：.AB=AE=FG,

^AB=x,则尸G=x,

:.BG=BF-FG=8-x,

在RtZkABG中，AG2+BG2=AB2,

\42+(8-x)2=x2,

解得：x=5,

/.AE=5,

AT)=AE+E»=5+8=13,

口ABCD的面积为ADx£F=13x4=52；

(3)

如图3,过点£作石M〃筋交于点M,过点尸作CBE于点T,连接交所的延长线

于点N,

AED

2

B、、、

图3

由（1）知AZ）〃8C,

四边形ABME是平行四边形，

由（1）知AE=AB,

，四边形是菱形，

：.AE=EM=BM,ZAEB=ZMEB,

又，E4B关于直线E/对称的_ES,其中点A,8的对应点分别为点C,H,

:.AE=EM=BM=EC,BE=HE,ZAEB=NCEH=ZMEB,

由（1）知四边形3皮甲为平行四边形，

:.BE//DF,

又1HE±DF,

:.ZBEH=ZEGD=ZEGF=90°,

.■.ZMEC=ZMEH+ACEH=ZMEH+ZMEB=ZBEH=90°,

:.AMEC、△BE”是等腰直角三角形，

.•.EF垂直平分9/,

即WV_L3”,

又：BE=HE,ZBEH=ZETF=ABNE=90°,

ZBEF=ZHEF=Z.EBH=ZEFT=45°,

ZEFG=45°=ZHEF,

即&EFT是等腰直角三角形，

EF=>/2,

由勾股定理得£7=4=1,

NCEM=NCEH+NHEM=ZBEM+ZNEM=ZBEH=90°,

'CEM是等腰直角三角形，

:.NEMC=45°,

.-.ZABM=45°,

ZABE=NEBC=22.5°,

ZEBC=ZNBC=22.5°,

又：FTLBE,FNLBH,

：.FT=FN=1,

:.EN=6+L

又：阳V是等腰直角三角形，

:.BE=yf2EN=y/2x(y/2+l^=2+-/2,

故BE的长为2+及.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定

和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，平行四边形面积，轴对

称性质等知识点，综合性较强，难度较大，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键.

9.如图1,加支与ABGE均为等腰直角三角形，且NAEC=/BEC=90。，连接8C、AG,

延长AG与BC交于点H

图1图2

(1)求证：AFJ.BC-,

(2)当点G为CE的中点，AE=2时，求CT的长；

(3)如图2,过点C作CD〃AB,过点4作4。〃3。，AD,交于点。，在边48上取一

点”，使得AH=CG,连接。"，探究CG、CD、。“三条线段之间的数量关系，并证明.

【答案】⑴见解析；(2)半；⑶CD+CG=及DH，证明见解析

【分析】(1)证明△BECffiGEA(SAS),根据全等三角形的性质得SBCEWGAE,由

回BCE+13cBe=90°得EIG4E+EICBE=90°,可得0A尸8=90°,即可得AfBBC；

(2)当点G为CE的中点，AE=2时，可得班=EG=CG=LAE=2,利用面积法求出8尸的值，

根据勾股定理求出BC,即可得CF的长；

(3)过点。作。由48,交的延长线于连接OG,HG,延长HG、DC交于N,证

明△O/W为等腰直角三角形，可得2。孑=(CD+CN)2,再证四边形ACNH是平行四边形,

则AH=CN=CG,即可得2。杯=(CD+CN>2=(CD+CG)2.

【解析】(1)解：证明：MACE与A3GE均为等腰直角三角形，

MB=EG,CE=AE,

0EL4£C=EBEC=9OO,

00B£C00GEA(SAS),

00BC£=0GA£,

03BCE+回CBE=90°,

^EGAE+^\CBE=90°,

E0AFB=9O°,

EL4/H3BC；

(2)

当点G为CE的中点，AE=2时，

MACE与ABGE均为等腰直角三角形，

MB=EG=CG=1,AE=CE=2,

SAB=EB+AE^3,AG=4EG。+AE。=小，BC=4EG。+AE2=5

由(1)知AR32C,

05AABG=；AB»EG=^AG*BF,

03x1=75BF,

0BF=—,

5

®CF=BC-BF=*~；

(3)

CD+CG=6DH,

证明：如图：过点。作。M0A8,交3A的延长线于M,连接。G,HG,延长XG、0c交于

0CD0AB,ADSiBC,

国四边形ABCD是平行四边形,

S1AB=CD,

00A£C=0B£C=9OO,

BHEC£>=90°,

团四边形CEMO是矩形，

BIEM^CD,CE=DM,

^EM=AB,

^1BE=AM,

^AH=CGfCE=AE,

©EG=EH.

⑦EB=EG,

⑦EB=EGE二H=AM,

加EHG=45°,AE=HM,

^AE=CE=DMf

团团DHM=45°,

^DHG=180°-^EHG-^DHM=90°,

团CZM45,

^CDH=^DHM=45°f

幽DHN为等腰直角三角形,

回2。〃2=(CD+CN)2,

团团CAE=45°,SEHG=45°,

[3ACWH,

团CD胤45,

团四边形ACNH是平行四边形，

^AH=CN,

0AH=CG,

团CN=CG,

团2DH2=(CD+ON)?=(CD+CG)2

CD+CG=yflDH.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，

勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的相关知

识.

10.已知，在中，点”是5c的中点，点。是线段AM上一点(不与点A重合).过

点。作A3的平行线，过点。作AM的平行线，两线交于点E,连结AE.

⑴如图1,当点。与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；

(2)如图2,当点。不与M重合时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立,

请说明理由；

(3)图3,延长3D交AC于点H,若BHLAC,且=求NC4M的度数.

【答案】⑴见解析

⑵成立，证明见解析

(3)30°

【分析】(1)利用平行线的性质可得同位角相等，再利用ASA证明AABD三AEDC,得

AB=ED,从而证明结论；

(2)过点M作MG〃上交EC于点G,则四边形。"GE为平行四边形，得ED=GM且

ED//GM,由(1)可得=且AB〃GM,从而得出结论；

(3)取线段HC的中点/,连接Aff,由三角形中位线定理得政〃5〃，=,则

,MILAC,即可解决问题.

2

(1)

解：证明：DE//AB,

:.ZEDC=ZABM,

CE//AM,

:.ZECD=ZADB,

AM是AABC的中线，且。与M重合，

BD=DC,

.\\ABD=NEDC{ASA),

/.AB=ED，

AB//ED,

，四边形MDE是平行四边形；

(2)

成立，理由如下：

过点〃作MG〃DE交EC于点、G,

CE//AM,

，四边形DMGE为平行四边形，

:.ED=GM且ED〃GM,

由(1)可得=且AB〃GN,

，钙=£0且/16〃40,

四边形ABDE为平行四边形；

(3)

取线段"C的中点/,连接Aff,

E

图3

二A/Z是\BHC的中位线,

2

:.MI=-AM,MILAC,

2

NC4M=30°.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理,

全等三角形的判定与性质等知识，遇中点取中点构造中位线是解决问题（3）的关键.

11.如图1,在等边三角形ABC中，AD1BC于RCE_LAB于瓦AD与CE相交于点。

图1图2

(1)求证：OA=2DO；

（2）如图2,若点G是线段AD上一点，CG平分NBCE,/3GF=60。，GP交CE1所在直线

于点?求证：GB=GF.

⑶如图3,若点G是线段上一点（不与点。重合），连接3G,在3G下方作NBGF=60°,

边GF交CE所在直线于点?猜想：OG,O£OA三条线段之间的数量关系，并证明.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶Ob=OG+Q4,理由见解析

【分析】（1）由等边三角形的可求得/Q4C=/Q4S=/OC4=/OCB=30。，理由含30。角

的直角三角形的性质可得OC=2OD,进而可证明结论；

(2)利用ASA证明.CG3空CG尸即可证明结论；

(3)连接03,在纱上截取QM=OG,连接GM,可证得QMG是等边三角形，进而可

利用ASA证明4GMF四式外瓦得到==由。尸=OM+MF可说明猜想的正确性.

【详解】(1)证明：回一地。为等边三角形，

^\AB=BC=AC,ZBAC=ZACB=60°,

6ADJ.BC,CE1AB,

团AD平分/BAC,CE平分NAC5,

团ZOAC=ZOAB=ZOCA=ZOCB=30°,

回。4=OC,

在RtZkOCD中，ZODC=90°,Z0CD=30°,

⑦OC=2OD,

^OA=2OD；

(2)证明：^1AB=AC=BC,AD1BC,

国BD=CD,

团3G=CG,

国NGCB=NGBC,

团CG平分NBCE1,

0ZFCG=NBCG=-ZBCF=15°,

2

团ZBGC=180。-2x15。=150°,

团NBG方=60。，

0ZFGC=360°-ZBGC-/BGF=150。，

⑦/BGC=/FGC,

NGCB=ZGCF

在△CG3和△CG/中，,CG=CG,

/BGC=NFGC

团CGB"CG*ASA),

^\GB=GF；

(3)解：OF=OG+OA.理由如下：连接03,在■上截取OM=OG,连接GM,

c

团C4=CB,CE1AB,

^\AE=BE,

回OA=OB,

^\ZOAB=ZOBA=30°,

0ZAOB=120°,ZAOM=ZBOM=60°,

国OM=OG,

团OMG是等边三角形，

团GM=GO=OM,ZMGO=ZOMG=60°,

^ZGMF=120°,/GMF=/GOB,

团NBG方=60。，

⑦NBGF=/MGO,

⑦ZMGF=NOGB,

NMGF=ZOGB

在△GMF和△GO5中，(GM=GO,

NGMF=/GOB

0GMF^.GOB(ASA),

团MF=OB,

^\MF=OA,

^\OF=OM+MF,

团OF=OG+OA.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30。角

的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形

全等是解题的关键.

12.如图1,在中，AB=AC,A。是的一条角平分线，AN为的外角

的平分线，BELAN,垂足为£,已知AD=8,BD=6.

（1）求证：四边形AD3E是矩形；

（2）如图2,延长AD至点尸，使AF=AB,连接即，G为跖的中点，连接EG,DG.求

EG的长.

（3）如图3,在（2）间的条件下，尸为班边上的一个动点，连接PG并延长交AD延长线

于点Q,连接CQ,H为CQ的中点，求点尸从E点运动到8点时，点//所经过的路径长.

【答案】（1）见解析；（2）3A/W;（3）4

【分析】（1）先证明aDAE=90。，然后可证四边形AD3E是矩形；

（2）连接AG,由勾股定理求出的长，进而求出DP、AG的长，然后证明EAGDmBGE

即可；

（3）由题意知H运动的轨迹是的中位线，求出。户即可求出“运动的轨迹H/H2的

长.

【详解】解：（BAZ）是ABC的一条角平分线，AN为4ABe的外角/54M的平分线，

033=134,01=02.

003+04+01+02=180°,

032+133=90°,即团。4£；=90°.

SAB=AC,AD是.ABC的一条角平分线，

EL4DEIBC.

0BE±TW,

回四边形4汨£是矩形；

（2）连接AG,

回四边形ADBE是矩形，

SBE^AD,^DBE^ADB^BDF^0°,

IBG为哥'的中点，

W)G=BG,

WDG=SDBG,

00AZ)G=EEBG.

在胤4DG和团班G中

AD=EB

<ZADG=NEBG,

DG=BG

回0Aoem£BG,

团EG=AG.

团AD=8,BD=6,

^AF=AB=^AD2+BD2=10^

aDF=10-8=2,

团3尸二^BEP+DF2=2屈，

0BG=GF=5/10,

^\EG=AG=^AF2-GF2=3回；

(3)由题意知点H运动的轨迹是一条线段，当尸与E重合时，。的位置在。，当尸与5

重合时，。的位置在尸，此时“分别在",比的位置.

0BE”AD,

^BEG=^\DQiG.

在回E5G和团Q