2024-2025学年天津某中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津一中高三（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.集合4={x|-l<x<3},B=[-2,-1,0,2,4},则3）CB=（）

A.{-2,-1,4}B.{-1,2}C.{-2,4}D.0

2.设xeR,则“log2%<1”是“必+x-6<0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数y=（2久-sinx）,2一团的图象可能是（）

4.某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方

图如图所示，则下列说法正确的是（）

A.频率分布直方图中a的值为0.004

B.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75

C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80

D.估计总体中成绩落在[60,70）内的学生人数为150

5.已知根，为两条不同的直线，a,0为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

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A.THua,7iua,m“B，几〃S=>a〃£

B.n//m,n1a=>m1a

C.m1a,m1n=>n//a

D.a/",mca,nc^^>m//n

6.已知。。=仞2,b=lg(/n2),c=ln1,则a,b,c的大小关系是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

7.将函数f（x）=s讥2久图象上所有点的横坐标缩短为原来的右纵坐标不变，再将所得的图象向右平移告个

单位长度，得到函数久久）的图象，则（）

A.历（初的最小正周期为今B.g（x）的图象关于直线x=藉对称

C.9。）在（-合堤）上单调递增D.g（x）的图象关于点段,0）对称

8.抛物线%2=2py（p〉0）的焦点为尸，其准线与双曲线9=1的渐近线相交于4、8两点，若△回尸的

周长为4渥，贝叶=（）

A.2B.2衣C.8D.4

9.如图，过圆。外一点P'作圆的切线P'4P'B,切点分别为4B,现将△P'AB沿48折起到△P4B,使点

P在圆。所在平面上的射影为圆心。，若三棱锥P-40B的体积是圆锥P。体积的声.则器；=（）

47rop、）

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.已知i是虚数单位，化简4装的结果为.

11.二项式（好一|）5的展开式中含久的系数为_.

12.已知实数a>0,b>0,a+b=1,则2。+2b的最小值为

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13.袋子中装有几个白球，3个黑球，2个红球，已知若从袋中每次取出1球,

取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为

贝M的值为—，若从中任取3个球，用X表示取出3球中黑球的个数，则

随机变量X的数学期望E(X)=—.

14.如图，在边长1为正方形力BCD中，M,N分别是BC,CD的中点，则前•

AC=，若力C=XAM+fiBN,贝!U+“=.

15.已知函数/(久)=以52£1/°，则晨/(1))=；若/(X)在Xe(a,|)既有最大值又有最小值，则

实数a的取值范围为.

三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且避(a?+©2-抉)=2》cs讥A.

①求角B的大小；

(II)若cosZ=1,求sin(24-B)的值.

17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，底面2BCD为矩形，PD1平面4BCD,AB=4,PD=AD=2,点E在线段

AB上，S.AE=^AB.

(I)求证：CE1平面PBD；

(II)求直线PA与平面PCE所成角的正弦值；

(IH)求平面BCE与平面PCE的夹角的余弦值.

18.(本小题12分)

已知函数/(%)=ex+ax(a6R),g(x)=ln(x+1).

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(1)当a=1时，求函数/(x)在点(0,1)处的切线；

(2)若f(x)对任意的xe[0,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

19.(本小题12分)

已知椭圆C：g+l(a>b>0)的离心率为东右焦点为尸(2,0).

(1)求椭圆方程；

(2)过点F的直线1与椭圆交于4B两点,线段AB的垂直平分线与直线x=3交于点C,△48C为等边三角

形，求直线/的方程.

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参考答案

l.A

2.2

3.C

4.D

5.B

6.C

7.C

8.A

9.D

10.1+5i

11.-270

12.2"

13.2y

14二.且

*2'，5

15.-1；；[-3,-1]

16.解：(I)由余弦定理接=a2+c2-2accosB,则小+c2—b2=2accosB,

又小(层+02—炉)=2bcsi7i4所以2斓accosB=2bcsinAf即斓acosB=bsinA,

由正弦定理可得依sizh4cosB=sinBsinA,因为sizM>0,

所以避cosB=sinB,则tanB=4，又0<8<TT,所以8=p

(II)因为cosA=1,0<i4<-y,所以sin/=y/l-cos2A

所以sin2A=2sinAcosA=2xx=^^,cos2A=2cos2A—l=—

所以sin(2A-8)=sin2AcosB-cos2AsinB=x[+(x史=+7圾

9218

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17.(/)证明：PD1平面/BCD,CEu平面

3

ABCD,・•・PD1CE,•・•AB=4,AE=4

4

AB,

,D

••A•EAE=3,DzBrE=11,ABB—C=2,

ADBE

Rt△CBEsRtABAD,

BD1CE,PD_LCE,PDABD=D,

・•・CE1平面PBD,

(II)W：•••PD1,平面ABC。，ADU平面

ABCD,CDu平面/BCD,

・•・PD1AD,PD1CD,•••ABCO为矩形，AD1CD,

・•.AD,CD,PD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系yz,

贝lJC(0,4,0),尸(0,0,2),£*(2,3,0),4(2,0,0),

・•・~PC=(0,4-2),~CE=(2-1,0),

设平面PCE的一个法向量为五=

,(n-CE=2x—y=0人„.

则n6.瓦=4y-2z=0,令x=L则V=2,z=4,

平面PCE的一个法向量为元=(1,2,4),

又词=(2,0,—2),

设直线P力与平面PCE所成角为仇

.qI,石"7一|P/•九||2-8|J42

smd=\C0S<PA,«>1=^^=721x272=^

(III)VPD1平面ABC。，取平面BCE的法向量为访=(0,0,1),

则cos<n,m>=J2=~八：4+/,

\n\•\m\lxJI+4+1621

所以二平面BCE与平面PCE的夹角的余弦值为笔1

18.解：(1)当a=1时，/(%)=ex+%,/'(%)=/+1,

所以尸(0)=e°+l=2,故f(%)在点(0,1)处的切线为=-1=2x,即2%—y+1=0.

(2)/(%)>即e"+ax+In(%+1)-1>0在久G[0,+8)上恒成立,

设八(%)=ex+ax+ln(x+1)—1,注意到h(0)=0,

h'(x)=ex+a+久：],令W(%)=h'(x)=ex+a+久：

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则S'Q)=e'_(久；])2在xG[0,+8)为增函数，且尹'(。)=。，

1

所以租'(%)20恒成立，即0(%)="(%)=ex+a+OY单调递增，

其中9(0)=〃(0)=a+2,

若a>-2,则0(%)=H(x)NO恒成立，此时仅乃单调递增,又以0)=0,所以九(%)之0恒成立，

即e*+ax+In(%+1)-1>0在％G[0,+8)上恒成立，即结论成立；

若a<-2,则0(0)<0,

又。(ln(—a))=h'(ln(—a))=elnC-a)+a+皿二)+i=in(一：)+1>。)

故由零点存在性定理可知，在(0,ln(-砌)内存在右，使得9(%o)=O,

当工£(0,汽)时，<p(x)=无'(久)<0,所以h(x)单调递减，又%(0)=0,

所以当x6(0,孙)时，h(x)<0,即/(x)<l-g(x),不合题意，舍去；

综上：实数a取值范围是[-2,+8).

19.解：(1)由题意可得e=(=曰，c=2,解得a=通，

由抉=Q2_C2,...抉=2,则椭圆C的方程为"+"=1.

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(2)当直线4B为x轴时，易得线段48的垂直平分线与直线尤=3没有交点，故不满足题意；

当所在直线的斜率存在且不为x轴时，设该直线方程为了=做久-2)(卜H0),4(巧,％),B(x2,y2),

'y=/c(x—2)

联立巨+乃=1,消去y可得(3/+1)%2—12k2久+12k2-6=0,

A=144k4—4(3/+l)(12fc2-6)=24(fc2+1)>0,