广东省汕头市2024年高考二模数学试卷

广东省汕头市2024年高考二模数学试卷

1.抛物线/=—16y的准线方程是（）

A.y=8B.y=4C.y――8D.y=-4

2.（3+2%产展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则〃的值为（）

A.8B.7C.6D.5

3.设％CR,则“%<0”是“ln（%+1）<0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若实数a,b满足0<a<b,且a+b=l.则下列四个数中最大的是（）

A.④B.a2+b2C.2abD.a

5.袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到

才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率用1,2,3,4分别代表红、黄、黑、白四

个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的

结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

341332341144221132243331112

342241244342142431233214344

由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（）

A1R1「2n5

A-69L-9U-18

6.已知两个等差数列2,6,10,…,202及2,8,14,200,将这两个等差数列的公共项按从小

到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（）

A.1678B.1666C.1472D.1460

7.已知三棱锥P—4BC的四个顶点都在球。的表面上，P41平面48C,AB1BC,且24=8,AC=6,

则球O的表面积为（）

A.10TTB.257TC.507rD.IOOTT

8.已知函数/（%）=aex-In%在区间（1,3）上单调递减，则实数a的最大值为（）

1111

e3e3e3e6

9.某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等

级分X的分数转换区间为[30,100],若等级分X〜N（80,25）,贝1）（）

1/9

参考数据：-0-<X</z+0-)=0.6827；P(〃-2(r<XW〃+2c)=0.9545；PQi-3ff<X<

〃+3cr)=0.9973

A.这次考试等级分的标准差为25

B.这次考试等级分超过80分的约有450人

C.这次考试等级分在［65,95］内的人数约为997

D.P(70<X<75)=0.1359

10.如图，函数/(%)=Btan(2久+0)(囱<*)的部分图象与坐标轴分别交于点。、E、F,且△DEF

的面积为辛贝1)()

1点的纵坐标为

A.D1

B.-工)在(一看，看)上单调递增

C.点(普,0)是/(%)图象的一个对称中心

D.f(x)的图象可由y=V^tanx的图象上各点的横坐标变为原来的■(纵坐标不变)，再将图象向左

平移看个单位得到

11.用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截

口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为2a时，若截面与轴所成的角为9则截口曲

线的离心率e=迎,例如，当a=6时，e=l,由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥SO中，M、N

cosa

分别为s。、S。的中点，AB、CD为底面的两条直径，且ABLCD、AB=4,SO=2,现用平面y截该

圆锥，贝1)()

A.若MNuy,则截口曲线为圆

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B.若y与SO所成的角为60。，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分

C.若M、4、BGy,则截口曲线为抛物线的一部分

D.若截口曲线是离心率为迎的双曲线的一部分，则。任y

12.写出一个满足(1+i)R,且|z|>2的复数z,z=.

13.已知直线久+y=a与圆/+y2=4交于/、3两点，^-\0A+0B\=\0A-0B\>其中O为坐标

原点，则实数a的值为.

14.已知数列Ci：0,2,0,2,0,现按规则力每个0都变为“2,0,2”,每个2都变为“0,2,0”对

该数列进行变换，得到一个新数列，记数列九+1=/(0)，keN*,则数列。的项数为,设

Q的所有项的和为立,则s2n=.

15.△4BC中，内角4、B、C的对边分别为a、b、c.

(1)若sin/sinB+sinBsinC+cos2B=1,C=竽，求g的值；

(2)求证：=sin("B)

c2sinC

16.设/是由满足下列条件的函数/(久)构成的集合：①方程/(久)-*=0有实根；②/(久)在定义域

区间D上可导，且「。)满足o</'(X)<1.

(1)判断g(x)=/—粤+3,X6(1,+8)是否是集合〃中的元素，并说明理由；

(2)设函数/(久)为集合/中的任意一个元素，证明：对其定义域区间D中的任意a、£,都有|/(a)-

♦9)1W|a-你

17.2023年，我国新能源汽车产销量占全球比重超过60%,中国成为世界第一大汽车出口国.某汽车

城统计新能源汽车从某天开始连续的营业天数X与销售总量y(单位：辆)，采集了一组共20对数据，

并计算得到回归方程y=0.67%+54.90,且这组数据中，连续的营业天数X的方差*=200,销售总

量y的方差sj=90.

(1)求样本相关系数外，并刻画y与x的相关程度；

(2)在这组数据中，若连续的营业天数x满足£*好=2.2x104,试推算销售总量了的平均数歹.

附：经验回归方程;_取+出其中6=鼻空生之，a-y-bx

y-UKici/i](%._X)，a-yu入.

£上l（x「x）（y「y）

样本相关系数V5x2.236.

r=J端1（々-9•=1（%-3）2

18.如图，矩形/BCD中，|AB|=4,\BC\=2.4、B】、①、B2分别是矩形四条边的中点，设丽=2码,

布=(1-4)砧(0<A<1).

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(1)证明：直线BiR与B27的交点M在椭圆K：子+产=1上；

(2)已知尸0为过椭圆K的右焦点厂的弦，直线X。与椭圆K的另一交点为N,若MN〃PQ,试

判断|PQ|、|MN|、|4〃21是否成等比数列，请说明理由.

19.日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，

通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图(4)、(B)所示，并配上花结.

(A)(B)

图(4)中，正四棱柱4BCD—4/也1%的底面48co是正方形，且4B=3,AA1=1.

(1)若AH=4E=BiEi=B/i=CF=CG==D1H1=1,记点H关于平面F/GGi的对称

点为Pi，点〃关于直线FiGi的对称点为P2.

(i)求线段HPi的长；

(ii)求直线P1P2与平面ABCD所成角的正弦值.

(2)据烘焙店的店员说，图(4)这样的捆扎不仅漂亮，而且比图(B)的十字捆扎更节省彩绳.你同意

这种说法吗？请给出你的理由.(注意，此时/〃、AE、BiEi、BE、CF、CG、D0、。用1这8条线

段可能长短不一)

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答案解析部分

L【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】C,D

10.【答案】A,B,C

U.【答案】B,C,D

12.【答案】3-3»

13.【答案】±2

14.【答案】5-3f5-3271T+1

15.【答案】(1)解：因为sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1,

所以sin/sinB+sinBsinf=1—cos2B=2sin2B,

由正弦定理知，ab+be=2b2,

即a+c—2b,

由余弦定理知,c2=a2+b2-2abcosC,

所以(2b—a)2=a2+b2-2abe0S7-,

整理得3b=(4+V2)a,

所以@_3_3(4")

所以厂4+g—14-

(2)证明.sin(<—8)_sinAcosB—cosZsinB

・sinC-sinf

由正弦定理矢口sinlcosB—cos/sinB_acosB—bcosZ

‘sinC-c

2+2_A2A2+2_2

ac7Ca22

由余弦定理知，acosB-bcosA_①2QC一、2bc_2a2-2板_a-b,

c-E-2c2--p-

所-sin(4—8)

m入.2-sinC,

16.【答案】(1)解：g(%)=*—粤+3,%£(1,+8)是集合乂中的元素，

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理由如下：

易知g，。)=号—(0])C(0,1),满足条件②；

令F(x)—g(久)—x——冷--^―+3(久>1),

贝(]F(e)=一^|■+趣>0,F(e2)=—^-+2<0»

又F(x)在区间[e,e2]上连续,所以FQ)在[e,e?]上存在零点久o,

即方程g(x)-x=0有实数根与G[e,e2],故g(%)满足条件①，

综上可知，g(x)eM.

(2)证明：不妨设aW/?,,；r(X)>0,f(x)单调递增,

­••f(«)<即/⑹-fa)20,

令h(x)=f(x)-x,则"(x)=f'(x)-1<0,故/i(x)是单调递减函数,

/(a)-a,即/(6)—/(a)46—a,•••0Wf⑹-f(a)W，-a,则有|/(a)—/⑹|<

17.【答案】(1)解：因为r=。厂元)(%一9)力211。1无)2,

心图(々一元*2-1(%-9)2月幽(久「为(y「力2

.Z-=i3—%)2『R

J》=i(yi-y)2\sy

12000.67x2店ccccr

=0M.67x-7^-=---5—0.9987，

\903

可以推断连续的营业天数%与销售总量y这两个变量正线性相关，且相关程度很强.

2

⑵解：•••s]=W&(3_*)2=42鲁-2xxt+%)

1

=20x22000-%2=1100-%2=200,

A%=30（负值已舍去），

而G=y—bx9从而歹=bx+a=0.67x30+54.90=75.

18.【答案】（1）证明：以公企所在直线为X轴，所在的直线为y轴，建立如图所示的直线平面

坐标系：

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依题意,R(22,0),7(2,1—4)Bi(0,-l),

则直线B]R的方程为y+1=古%，①

直线B2T的方程为y—1=—彳%,②

由①X②得：y2-1=-^x2,

即竽+y2=

故直线/A与B2T的交点M在椭圆K：竽+丫2=1上；

(2)解：|PQ|、|MN|、MM2I成等比数列，理由如下:

依题意，直线PQ、M0的斜率均不为零，

故设直线PQ的方程为久=my+V3,直线M0的方程为％=my,

（且+丫2=1

由，4,得（TH?+4）y2+2b771y—1=0,

%=my+V3

所以月+丫2=一箫,加2=一春，

所以|PQ|=2m2-|yi-y2|=4+加.J（一^^y—4.（一^；）=驾祟，

由忖7/得厂±3，

所以|MN|=J1+*.|y1—y2|=呼+1,

Vmz+4

又Hi&l=4,

所以|MN『=|PQ|.MM2I，

即|PQ|、|MN|、MM2I成等比数歹U・

19.【答案】⑴解:①如图,以。1原点,直线DMi，DiQ,DiD别为x、v、z轴，建立空间直角坐

标系，

7/9

A

y

X

则Gi(O」O),%(230)G(021),

・••布=(—2,2,0),序=(0」l),砧7=(220)，

设平面％FGGi的法向量为前={x,y,z）,

则有(&J=y+z=o,

iGi%•远=2%+2y=0

取％=1,得适=(1,-1,1),

・••点H到平面F/GGi的距离d=耳犁=4=W3；