浙江省宁波市某中学2024-2025学年高一年级上册分班考试数学试卷（含答案解析）

浙江省宁波市奉化中学2024-2025学年高一上学期分班考试数

乙、上、口

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

一尤2—2ax—a,x<0

1.已知函数〃x）=工，八八在R上单调递增，则。的取值范围是（）

[e"+ln（x+l）,尤20

A.（-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D,[0,+8）

2.“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函数〃同=炉+6+6,若不等式/（无心2在无目1,5]上恒成立，则满足要求的有序

数对（“M有（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

4.已知。>0,6>0,且。+6=1,则下列不等式中恒成立的是（）

A.a2+b2<-B.2->!

22

C.log,a+log,b>-2D.4a+4b>41

5.已知集合4={(%,刈X2+、2<鼻,"2},B={(x,y^x\<2,\y\<2,x,yeZ}f定义集合

4e>3={（%+%2，乂+%）1（%，必）£4（%2，%）£3},则A㊉3中元素的个数为

A.77B.49C.45D.30

二、多选题

6.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名

flx为于甲卷^

的函数/（无）=；»工工中拈成为狄利克雷函数，则关于“X）,下列说法正确的是（）

0,尤为无理数

A.VxeR,/(/(x))=l

B.函数/'(x)是偶函数

C.任意一个非零有理数T,/(x+T)=/(x)对任意xeR恒成立

D.存在三个点4(%"(尤1)),3>2"(工2))，。(了3，/(工3))，使得ZMBC为等边三角形

7.已知函数〃无)的定义域为R,且了《卜°，若〃x+y)+〃x)/(y)=4孙，则(

)

C.函数/卜-:是偶函数D.函数/卜+；)是减函数

三、填空题

8.lx1+xy+y2=\,贝!+孙+2y?的最小值为.

9.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价

格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促

销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李

明会得到支付款的80%.

①当下10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大

值为.

四、解答题

x—4

10.已知集合4={%|---->0},集合5=-24无£2。+1}.

x+3

(1)当a=3时，求A和隔A)u5；

(2)若xeA是的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

试卷第2页，共2页

参考答案:

题号1234567

答案BBBBCABCDABD

1.B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为了⑺在R上单调递增，且xNO时，〃x)=e'+ln(x+l)单调递增，

------------>0

则需满足2x(-1)解得一lVa40,

-a<e°+In1

即a的范围是[TO].

故选：B.

2.B

【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解.

【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平

行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件.

故选：B.

3.B

-2<l+a+Z?<2,(l)

【分析】由题意有-2W9+3a+6W2,(2),通过分析得到a=-6,匕=7是满足题意的唯一

-2<25+5a+&<2,(3)

解，注意检验.

【详解】由题意若不等式(x)|V2在xe[1,5]上恒成立，

-2</(1)<2-2<l+a+b<2,(l)

则必须满足-2V"3)42,即(-2V9+3a+bV2,⑵，

-2445)42-2425+5a+642,(3)

-2<-1-6Z-/?<2,(1)

rHJ')，两式相力口得-448+2aW4n—2,(4),

[-2<9+3a+b<2,(2)

-2<-9-3a-Z?<2,(2)

再由，，两式相力口得Y416+2a44=—104a4—6,(5),

-2<25+5a+/?<2,(3)

答案第1页，共6页

-2<-5+Z?<2,（l）

结合（4）,（5）两式可知a=-6,代入不等式组得<-2V-9+b«2,（2）,

-24-5+642,（3）

解得6=7,

经检验，当a=-6,6=7时，/（x）=x2-6x+7=（x-3）2-2,

有"（x）L="1）="5）=2,"（ML"⑶=-2,满足|小）|42在xe[1,5]上恒成立，

综上所述：满足要求的有序数对（。，切为：（-6,7）,共一个.

故选：B.

-2</（1）<2

【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到-2V/（3）V2,进一步由不等式的性质通过

-24〃5）W2

分析即可求解.

4.B

【解析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果.

【详解】解：①已知a>0,b>0,且。+6=1,所以（°+4,,24+2加，则片+尻.；，故人错

误.

②利用分析法：要证只需证明。一>>一1即可，即a>b-l,由于a>0,b>0,且

a+b=l,所以：a>0,Z?-l<0,故与正确.

2

③log2。+log2匕=log2ab„log2（-^y^）=-2,故。错误.

④由于〃〉0,b>0,且a+Z?=l,

利用分析法：要证近成立，只需对关系式进行平方，整理得〃+A+2j蕨,2,即

2疝,,1,故界，=等，当且仅当。=6=；时，等号成立.故。错误.

故选：B.

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，

则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这

答案第2页，共6页

个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

5.C

【详解】因为集合A={（.r,y）l-v2+y2«l,x,yeZ},所以集合4中有5个元素（即5个点），

即图中圆中的整点，集合A{（.v.r）l|.v|<2.|y|^2,.v,r<Z）中有25个元素（即25个点）：

即图中正方形中的整点，集合/I98={（8+X2,乂+刈）|（8,乂）W4（X2,必）£8}

的元素可看作正方形，寓曼裤;F%中的整点（除去四个顶点），即77-4=45个.

6.ABCD

【分析】依次判断每个选项：/（x）e{O,l},故〃=判断=为偶函数;

判断了（x+7）=/（》）；取/当,01,8（0,1）,。［一当,。］为等边三角形，得到答案.

\7IJJ

【详解】VxG/?,/（x）e{O,l}.-./（/（x））=l,A正确；

为有理数/l,x为有理数一

"）-［o,T为无理数-］o,x为无理数一小）‘偶函数‘正确’

［1,尤+T为有理数1,尤为有理数

/（无+T）［。，尤+T为无理数C正确;

0,尤为无理数

易知4$018（0,1）,《与o］三点构成等边三角形，O正确;

故选：ABCD

答案第3页，共6页

【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数性质的应用能力.

7.ABD

【分析】对抽象函数采用赋值法，令苫=；、＞=0,结合题意可得〃0）=T,对A：令x=；、

y=0,代入计算即可得；对B、C、D：令、=-；，可得/卜-3］=-2苫，即可得函数/1x

及函数+g

函数的性质，代入x=l,即可得了1

【详解】令x=：、＞=。，则有了心

又/#0,故1+/(。)=0,即/(0)=-1,

令、1

x=gy=一-

-2

由〃0）=-1,可得了0,

又故/［一；］=。，故A正确；

令丁=一：，贝U有/1_）+/（司/］一切=4”（一切，

即/卜-J=-2x,故函数是奇函数，

有/［x+l-gj=-2（x+l）=-2x-2,gp/L+1j=-2x-2,

即函数是减函数，

令x=l，有/，］=-2xl=-2,

故B正确、C错误、D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛:本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法,得到/（0）=-1,

再重新赋值，得到再得到了［-J=-2x.

。-472+9

O.------------

7

2cos0cos3

【解析】根据条件等式可设》=飞=，丫=sin6-丁，代入所求式子，利用二倍角公式和

辅助角公式化简，根据三角函数的性质可求出最值.

【详解】2/+盯+丁=1,则生+工+孙+/=1,即（叵］+［-+y］=1,

答案第4页，共6页

%-2cos。.八cos。

=cos。,一+y=sin6,x=,y=sl

2^^/FW

2cos。

」.x2+xy+2y2=

4cos202sincos0八.2八

-------------------------------T=----+2sin/9

7币

4f1+cos2%sin20

n-2-J~^7F+l-cos26

_159

sin26——cos28+—

一7777

二4fsin（28+（）+[,其中。是辅助角，且tane=（^,

当sin（26+0）=-l时，原式取得最小值为-40+9.

-4加+9

故答案为:

7

2cos0cos0

【点睛】本题考查条件等式求最值，解题的关键是设了=^^，丫=sin。-一七-，利用三角

恒等变换化简可求出.

9.130.15.

【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的

问题可得x的最大值.

【详解】⑴x=10,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.

（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为'元，

y<120元时，李明得到的金额为yx80%,符合要求.

”120元时，有（y-x）x80%2yx70%恒成立，即8（y-x）Z7y,xU，即彳4点]=15元.

827min

所以X的最大值为15.

【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力,

以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.

10.（1）A={x|x<-3或x>4},（^A）^B={x|-3<x<7}；（2）a<-2或a>6.

【解析】（1）当。=3时，得出集合B,解分式不等式即可得集合A,再根据补集和并集的

运算，从而可求出@