模拟检测卷02（文科）（解析版）2025年高考数学二轮复习（解析版）

2025年高考数学模拟考试卷2

高三数学（文科）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1,本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3,回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：高中全部知识点。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合

题目要求的.

1.已知集合/={x|3-x<l},B==,则/口8=（）

A.0B.[4,+a））C.（2,+8）D.[0,2）

【答案】C

【分析】根据一元一次不等式可解得集合A,再根据函数值域求法可求得集合3,由交集运算即可得出结

果.

【详解】由题意可得/=门卜>2},

由函数值域可得8=3*0},

所以Nc2={x|x>2}.

故选：C

2.已知2（z+z）—（z—z）=8—2i,则|z+i|=（）

A.2V2B.2A/3C.V2D.百

【答案】A

【分析】设2=。+历（",6eR）,化简式子，利用复数相等求出复数，然后求复数的模即可

[详解]设z=a+6i（q,6wR）,则2（z+亍）一（z—亍）=z+3亍=4〃_2bi=8_2i,贝[）Q=2,b=l,故

|z+i[=|2+2i|=J4+4=2&.

故选：A

3.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）

1

相关系数为勺

35:-------------------------------7^35

30-.30

25-.•・・•.25

20-・・・・・•20

15-.,15

io-.•10

55

051015202530355101520253035

相关系数为厂3相关系数为Q

A.2<i<0</<qB.r4<r2<0<r1<r3

C.q<4<0<g<外D.r2<r,<0<r,<r3

【答案】A

【分析】利用正负相关与线性相关的强弱进行求解即可

【详解】小4都是正线性相关，

所以〃>0,4>0,

并且相关性4最强，

所以4;

马笛都是负线性相关并，

所以々<0,z4<0,

且々相关性强，

所以上|>|〃|,

所以马<4;

所以々<r4<0<r3<rl；

故选：A

4.如图，在AJBC中，AB=6,AC=3,ZBAC=^,BD=2DC,则益.而=()

【答案】D

【分析】由丽=2次可得而=:方+］就，则益.通=益・［砺+：%］=；益2+：方•%,代入

化简即可得出答案.

【详解】由丽=25d可得：DC=jBC,

,1•*1—►1/1*—►\"*1*2'》

所以/C—4Q=—BC=—ZC—45,所以4。=—+—,

33'/33

—>->->(1--2-1--22—1•

ABAD=ABA-AB+-AC\=-AB+—AB,AC,

(33J33

2

■JT

因为/5=6,4。=3,/"。=—,

2

所以商.25」书+2超工=、36=]2.

333

故选：D.

5.已知。，be（0,+oo）,则“a<6”是“logz2>!一-成立的（）

3ab3a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先化简1。823>1-上，然后判断其充分性与必要性即可.

3ab3a

【详解】先化简nlogzb-bg,3a---=>log,6-y>log3a---,构造函数

3ab5ab5ab25a

/（x）=log2x--^-,

所以有〃6）>〃3a）,显然/（x）在（0,+动单调递增，所以6>3a；

又因为。，6e（0,+oo）,所以由“a<b”不能得出“6>3a”，由“6>3a”可得出“a<6"，故"a<6”是

“logzq〉]-：”成立的必要不充分条件.

3ab3a

故选：B

6.执行如图的程序框图，输出的S值是（）

A.0B.~C.—D.—1

22

【答案】B

【分析】列举出循环的每一步，结合余弦函数的周期性可求得输出结果.

【详解】因为对任意的女wN*，

（左一）兀（左一）兀（左一）兀（左一）兀（左一）兀

6564636261（）

COS-------------——FCOS--------------——FCOS-------------——FCOS-------------——FCOS----------------+COS2^71

33333

11

1--+-+1=0,

2~2~22

7T

执行第一次循环，S=cos§,n=1+1=2,〃〉2023不成立；

,Jr27r

执行第二次循环，S=cosy+cos—,〃=2+1=3,〃〉2023不成立;

3

jr/jr-sjr

执行第三次循环，S=cos—+cos一+cos一,77=3+1=4,〃〉2023不成立;

333

__TT2兀3jr2023TT

以此类推，执行最后一次循环，S=COS^+COSy+COSy+--+COS^y^,

“=2013+1=2024,">2023成立，跳出循环体，

jr1

因为2023=6x337+1,因此，输出结果为S=337x0+cos—=—.

32

故选：B.

7.若直线2%—>一2=0与直线2x—>一1二0被圆。：一十/一2%一6>—加=0（次〉一10）截得的弓玄长之比为

1:亚,则圆。的面积为（）

c14-16

A.2兀B.—兀C.3兀D.—71

55

【答案】B

【分析】求出圆心分别到两条直线的距离，根据勾股定理求出两条直线被圆截得的弦长，根据弦长之比为

1:亚列式求出机，可得圆的半径，从而可得圆的面积.

【详解】圆C的标准方程为（x-l）2+（y-3）2=10+Mm>-10）,

12-3-213

所以圆心C（L3）到直线2x-尸2=0的距离为J~1=-7

2

到直线2x-y-1=0的距离分别为忑'

所以直线2%一》一2=0被圆。：12+^2一2工一6>一冽=Q（m>一10）截得的弦长为

直线2%—歹一1二0被圆C:x2+y2-2x-6y-m=0（m>一10）截得的弦长为2J1O+加一（义］

2

=专，解得冽二一£，满足加>一10,

由题意可得-

2

所以圆c的半径为^^7藐=/10-1=后,面积为?兀.

故选：B.

8.如图，在四棱锥尸-4BCD中，平面P4DL平面48c。，四边形A8CD是矩形，PA=PD=®AB，E,F

分别是棱的中点，则异面直线E尸与43所成角的余弦值是（）

3366

【答案】B

【分析】作辅助线，作出异面直线E尸与所成角或补角，解直角三角形，即可求得答案.

【详解】如图，取棱加的中点，，连接PH,EH,HF,则即〃

4

p

BE----------E-----------'C

则N/ffi尸是异面直线EF与所成的角(或补角).

又因为PA=PD=6AB，故PHLAD,

平面尸40_L平面/BCD,平面尸40c平面/BCD=40,尸〃u平面尸40,

故尸〃_L平面48c。，£〃匚平面/38,故PH1EH,

由四边形/BCD是矩形，EH//AB,ABYAD,则

PHCAD=H,PH,u平面PAD，故EH_L平面PAD,

HFu平面P4D,故EH上HF,

设N3=2,则即=2,HF=；PD=①.

__________HFOR

在中，则EF=JE/V+HF?=痛，故cos/HEF=下=—,

EFV63

即异面直线EF与所成角范围为(0,g],故所求角的余弦值是逅，

23

故选：B

9.设函数〃x)的定义域为R,且满足〃x)=〃2-x),〃x)=-〃x+2),当xe(O,l]时，〃x)=xlnx,

则()

A./(x)是周期为2的函数

B.42022)=1

C.〃x)的值域是[-e,e]

D.方程U(x)|=l在区间0,等内恰有1011个实数解

【答案】D-一

【分析】根据抽象函数关系式可推导得到/(x+4)=/(x),并确定了(x)为R上的奇函数，由此可确定AB

错误；利用导数可求得了(x)在(05上的值域，结合对称性和周期性可求得了(x)在R上的值域，知C错误;

将问题转化为y=|/(x)|与＞=:的交点个数问题，采用数形结合的方式可确定D正确.

【详解】对于A,由〃x)=-〃x+2)得:/(x+2)=-/(x),

/(X+4)=_/(X+2)=/(X),是周期为4的周期函数，A错误;

对于B,•■■/(x)=/(2-x),.'./(-x)=/(2+x),

又“x)=-〃x+2),=为定义在R上的奇函数,

"(0)=0,又〃x+2)=-/(x),.・.〃2)=-/(0)=0,

.•./(2022)=/(4x505+2)=/(2)=0,B错误;

对于C,当xe(0,l］时，/(x)=xlnx,则/［x)=lnx+1,

.•.当xe(0,寸，f'(x)<0；当时,

/'(x)>0;

.•./(x)在(0,£|上单调递减，在g,l上的单调递增,

又〃0)=0，/(l)=o,.•.当xe(O,l］时，/(x)e-1,0

5

・•,/(X)为奇函数，，当xe[-l,o)时，/(x)e0,1,

则当时，/(x)e-1,j；

由〃x)=〃2-x)得：“X)关于直线x=l对称，

.•.当xe[l,3]时，/(x)e-|,1；

又〃无)的周期为4，.•・当尤eR时，/(x)e[--,-LC错误;

ee

对于D,方程U(x)|=1解的个数等价于y=|/(x)|与了=：的交点个数,

作出y=|/(x)|与了=：的部分图象如下图所示,

1

尸E

----＞

0X

••・y=|/(x)|的周期为2,且当xe[0,2]时，y=|/(无)|与了=:有两个交点,

二当xe[0,1010]时，y=|/(x)与了=：有1010个交点，

.,.当xe]o，T时，y=与了=：有且仅有一个交点，

.•.当x€1010,等时，y=|/(x)卜与了=：有且仅有一个交点；

综上所述：当xe0,等时，y=|/(x)与y=:有1011个交点，即方程|炉")|=1恰有1011个实数解，D

正确.

故选：D.

【点睛】方法点睛：本题D选项考查了方程根的个数的求解，解决此类问题的常用方法有：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，从而确定根的个数；

(2)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

10.记函数/(x)=sin[Ox+；](o>0)的最小正周期为7.若7!<7<2兀，且y=/(x)的图象的一条对称轴

JT

为xj,关于该函数有下列四个说法:

6

①2＜。＜3；

③/(尤)在-K上单调递增;

OO

④为了得到g(x)=sins的图象，只需将“X)的图象向右平移;个单位长度.

以上四个说法中，正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用周期公式求出。的范围可判断①；由x为一条对称轴得2。+^=三+桁％eZ),结合。的

6642

6

范围可求得0,从而得出了(x)的解析式，求值可判断②；利用正弦函数的单调性可判断③；利用三

角函数图象平移的规律可判断④.

【详解】由7=——且兀<T<2兀，故故①错误；

CD

因为％=2为一条对称轴，故2。+：=g+E(左£Z),G=6(左+!].由于1<@<2,故G=则

6642I4J2

/(x)=sin^|x+^,所以/(l]=sin]Txg+：)=sin7i=0,故②正确；

当~~时，-x+-G0,—,则/⑴在-n上单调递增，故③正确；

将“X)的图象向右平移:个单位长度得y=sin=si"$-春的图象，而g(x)=sinm，故

④错误.一

所以，正确的有②③，共2个.

故选：B.

11.如图，在四面体/BCD中，AB=BC=AD=CD=4,ZC=2,/BCD=/BAD=120°,则四面体/BCD

外接球的表面积为()

【答案】A

【分析】根据题意分析可知AD/平面NCE,根据外接球的性质以及四面体/3CD的结构特征确定四面体

ABCD的外接球的球心所在位置，进而可求半径和面积.

【详解】如图1,取8。的中点E,由ZBCD=ZBAD=120°,可得/E=C£=2,

又AC=2,所以为等边三角形.

由AB=AD=BC=CD,BE=DE,可得/£1.8。，CEA.BD,

AEC\CE=E,/E,CEu平面/CE

则平面NCE,

如图2,延长至0,使得/E=0E,延长C£至P,使得CE=PE,

cCD

2丫—--------——4—xo

：△BCD的外接圆的直径-sinZD5C-j--，即r=4,

2

故易知产为△BCD的外心，。为△力血的外心，过点尸作平面BCD的垂线，过点。作平面/AD的垂线,

两垂线的交点。就是四面体N8CD外接球的球心.

7

A

图2

24

OE=-

由理=他=2,ZOEP=30°,可得V36

在△OZE中，OA2=AE2+OE1-2AExOEcosZAEO=22J-2x2。xco^120°+30y年，

故四面体/8C。外接球的表面积为47tx0/2=型包.

3

故选：A.

【点睛】结论点睛：

（1）球的任何截面均为圆面；

（2）球心和截面圆心的连线垂直于该截面，故外接球的球心位于过底面的外空勺垂里1.

12.如图，片,心为双曲线的左右焦点，过玛的直线交双曲线于民。两点，且耳5=3及方，E为线段班的

中点，若对于线段必上的任意点P,都有西・丽2硒.丽成立，则双曲线的离心率是（）

【分析】取耳B中点。，根据向量数量积的运算律和向量线性运算可将已知数量积不等式化为而2士说2,

由此可确定大，由三角形中位线性质知班设忸闾=/，结合双曲线定义可表示出口凰，忸凰,

在口680£和口14。/与中，利用勾股定理可求得离心率.

【详解】取片8中点。，连接尸0,£0,。。，

8

...百历寸画+阿_（两_阿卜：（4『宿\而2宿，

瓯•丽［囱+砺）2_®_珂］=；卜丽2_晴）=丽2T宿，

.'.PQ-^BF^>EQ-^BF",则而°z匝）.•.园2园恒成立，

:.EQVDFX,又EQUBD,:.BDLDFX,

设忸叫=加，由月万=3质得：忸必=2〃?，

根据双曲线定义可知：片|=|〃闾-2〃=3加-2。，\BF{|=\BF2\+2a=m+2a,

222

■：\BD^+\DF^=\BFtf,BP4m+（3m-2a）=（m+2a）,.•.机=：a,

.■.\DF^=2a,\DF2\=4a,又+|。用?=闺乙「，...206="，

2

:.e2=—=5,则离心率e=遥.

a

故选：D.

第II卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x-y+l<0

13.设实数x,y满足<x+y+120,则/+/+口-1）〉+（丁-1）》的取值范围是

x-2y+4>0

【答案】［-y,20

4

2_]_

【分析】设2="九有不等式组作出可行域，得出Z的范围.化简V+r+a-Dy+Q-Dx

4

然后根据Z的范围，即可求出答案.

x-j^+1<0

【详解】设z=x+九根据约束条件X+V+120作出可行域如图所示,

x-2y+4>0

x—2〉+4=0；二所以c(23・

解可得,

x-y+1=0

由图知当目标函数z=X+y经过点A或点B时取得最小值zmin=-l,当目标函数z=x+N经过点C时取得最

9

大值z1Mx=2+3=5,即ze「L5].

2

*21

又工2+y2+(%_l)y+(>_l)x=(x+y)2-(x+y)=z-z=-,

4

又ZE[-1,5],

所以，当z=:时，该式有最小值为工；当z=5时，有最大值为20.

24

故答案为：-!，20.

4

：+2x,x3,«>0）有2个零点，且过点31）,则常数/的一个取值为

14.已知函数〃x）=

]nx,x>t

【答案】2（不唯一）.

【分析】由条件求出，的范围，然后取一个值即可.

【详解】由x2+2x=0可得x=0或x=-2

由Inx=0可得x=1

I+2无匿%>o）有2个零点，且过点恁,1）,所以e>/21

因为函数〃x）=

Inx,x>t

故答案为：2（不唯一）

15.如图，矩形A8CD中，/C是对角线，设/3/C=a,已知正方形S和正方形S2分别内接于RtZX/CD

和RtZX/BC,则去要吃”的取值范围为

正万形S2的周长------

【分析】设两个正方形边长分别为。，b,用。，6表示NC建立方程，将两个三角形的周长比表示为a的

三角函数，求取值范围.

【详解】设两个正方形耳，S?边长分别为。，b,

贝lj在中，有ZC="-+a+atana,

tana

在放中，有4C=b+---,所以a+q+atana="+—-—

sinacosatanasinacosa

11

.--------1--------•

_.t,._..4。qinaccqaSIHCC+COSOC

S1的周长与邑的周长比t为r弁=Sinacosa=_-------------,

4btan«+—+11+smccosa

tan<7

设％=sina+cosa=V2sin(a+—),

4

因为所以％=&sin(a+：)£(l,V^],

sin。+cosa_t2t2

则l+sinacosa〔t2-1t2+1,.1,

2t

10

sina+cosa2

因为y=在（1,行］上单调递增，所以/+；©L3灰::-------二fe

'1+smacosa

所以周长比为三一,1.

7

故答案为：平,1、.

->

【点睛】注意到（sina+cosa?=i+2sinacosa的关系,换元用/=sina+cosc表示sincrcose，注意换元

后新未知数的取值范围.

16.已知产是抛物线C：J/=28：（p>（））的焦点，C的准线与x轴交于点T,P,0是C上的两点，直线中

与C相切，TP=AFQ（A>0）,则2=.

【答案】V2-l##-l+V2

【分析】根据题意求得尸,7的坐标，根据导数的几何意义，求得点P的坐标，再设出点。的坐标，根据向

量关系，即可求得参数.

【详解】由题意得7对于了2=2pr,

-f'°PF

不妨设y>o,则y=心，求导得了=M，

V2x

设尸（%,%）,且%>0,则直线ZP的方程为V-

因为点75,0在直线ZP上，所以-，得

贝U%=0，所以尸,TP=（P,P）・

设0（西,弘），则尸0=1画一/乂J,因为方=4而,

（/l+2）p

X'-2）：xi=

所以3。）=4（再-多,所以,A=P22

P

儿为=P

代入/=2px,得；1?+2；1-1=0,得;1=-行-1（舍）或;1=收-1.

故答案为：V2-1.

【点睛】本题考查抛物线中坐标的求解，解决问题的关键是利用导数的几何意义，以及点在曲线上，则点

的坐标满足曲线方程，属综合困难题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（12分）在数列｛%｝中，%=1,4立一%=2".

n+\n

⑴设4=2,求数列仍,｝的通项公式；

naq—伍+\\a,、62

（2）设%=一^一巨，且数列,”的前”项和为若〃=工，求正整数上的值.

【答案】（1）2=2"-1

⑵左=5

11

【分析】（1）依题意可得62=2",利用累加法求出数列｛"｝的通项公式；

（2）由（1）可得巴=〃・（2"-1）,即可得至一二利用裂项相消法求出7；,即可得到方程,

2—12—1

解得即可.

【详解】(1)解：因为q=1,也一组=2",且

77+1n〃

所以*「。=2”,

当〃=1时4=%=1,

当“22时”+…+(&-6j+b|

I

=2"一+…+2+1=-------=2"-1,

1-2

又〃=1时也符合上式，

所以a=2"-i.

(2)解：由(1)可知6“=&=2"-1,所以a“=/・(2”-1),

n

所以—Jnn+\_11

,,+1

所以月=i---!—+—!------_!_+..，+□_1,1~1-----2-------2-----------

”22-122-123-12"_]2"+1-12W+1-12W+I-1

o上+in

则

k*—,解得人=5.

18.（12分）随着互联网的迅速发展，越来越多的消费者开始选择网络购物，某营销部门统计了2021年某

月某地区的部分特产的网络销售情况，得到网民对不同特产的满意度*（%）和对应的销售额丫（万元）的

数据如下表：

特产种类甲乙丙T戊

满意度X/%2234252019

销售额丫/万元7890867675

⑴求销售额y关于满意度X的相关系数r;

（2）约定：销量额y关于满意度X的相关系数『的绝对值在0.95及以上表示线性相关性较强；否则，线性相

关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即销售额最少的特产退出销售），求剔除“末

位淘汰”的特产后的销量额y关于满意度X的线性回归方程.（结果精确到0.1）

__5_2

参考数据：记X,y的5组样本数据分别为（国,%）,（马,%）,…，（%,%）,已24,y=81,£X；-5/=146,

Z=1

5_25______________

5y=176,-5xy=151,V146«12.08»7176-13.27.

Z=1Z=1

【答案】⑴0.942

⑵y=1.0X+57.3

【分析】（1）利用公式直接计算即可；

（2）剔除“末位淘汰”的特产的数据，重新计算出平均数以及各个数据，代入公式，求出线性回归直线方程.

（1）

由题意，可得"/⑸_X————’0.942.

V146xl7612.08x13.27

（2）

因为0.94<0.95,所以线性相关性较弱，淘汰销售额为75万元的特产.

剔除“末位淘汰”的特产的数据后，>=25.25，丁=82.5.

12

4

Er

xtyt=22x78+34x90+25x86+20x76=8446,4x'-y=4x25.25x82.5=8332.5,

f=4l

£

x,2=222+342+252+202=2665,4P=4x25.25x25.25=2550.25，

Z

=1

所以i=坐一会?“0,a=7-^«82.5-1.0x25.25«57.3,所以所求线性回归方程为

2665-2550.25"

11.0X+57.3.

19.（12分）如图①，在梯形48co中，AD//BC,AD±AB,AD=2AB=2BC,£为中点，现沿BE将

折起，如图②，其中尸，G分别是的中点.

①②

(1)求证：FGJ.平面/CD；

(2)若AB=AC=血，求点8到平面ZCE的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)毡

3

【分析】(1)连接尸4尸GCE,证明4尸，8后，。尸J.8E,可得平面/CF,再根据线面垂直的性质可

得BE上FG,在证明FGL/C,再根据线面垂直的判定定理即可得证；

(2)先利用勾股定理可得4F_LCF,从而可得/尸_1面5€7乃，再根据线面垂直的性质可得/尸_LCE,

设〃是CE中点，连接证明CEL/F,再在三棱锥3-/CE中，利用等体积法即可得解.

【详解】(1)连接E4ICCE,

在图①中，因为AD/启C,AD工AB,AD=2AB=2BC,E为/D中点，

所以/£/M且4E=BC,

所以四边形/BCD为正方形，

则4BE和ABCE都是等腰直角三角形，

在图②中，由。BMCE.NBMZE且尸是8E的中点，

则4F_LBE,CF_L3E,

又/尸，

所以平面/CV,

又尸Gu平面所以尸G,

又因为BE/Z7D,所以CDLbG,

因为/尸=。尸，且G是/C的中点，所以尸GJ.ZC,

又因为/Cfl。=C,/C,CDu平面ACD,

所以尸G_L平面/CD；

(2)在图②中，因为48=血，所以AF=BF=CF=EF=1,CE=6,

又因为/C=®,

所以4^+“2=/。2,所以NFLCF,

又由(1)^FLBE,CFCBE=F,CF,BE^BCDE,

所以“尸，面8cDE,

又CEu面BCDE,所以/尸_LC£,

设〃是CE中点，连接FH,AH,

因为尸C=FE,

所以Fff_LCE,又AFcFH=F,4F,FHu平面AFH,

13

所以CE_L平面4ra,

又/尸u平面”尸4,所以CE_L/尸，

由题易得C£=48=3C=挺,尸8=-8C==

22

AH=y/AF2+FH2=—

2

所以ABCE的面积为S/=^BC-CE=\,

AACE的面积为S^ACE=^CE-AF=；xV2x^-=?，

设点B到平面ACE的距离为d,

由^B-ACE~^A-BCE有§CE.d=飞SMCE.，F,

gp—x^--(Z=-xlx1,所以

3233

所以点8到平面ACE的距离为空.

20.(12分)已知函数g(x)=ox-xlnxj(x)=xg(x),且g(x)N0.

(1)求实数。的值；

(2)证明:存在%,/'(尤o)=O且0<尤o<1时，/(x)</(x0).

【答案】(1)1

(2)证明见解析

【分析】(1)要使g(x)N0,即g(x)m-0,对g(x)求导，得到g(无)的单调性和最值，即可求出实数.

的值；

(2)对“X)求导，则尸(x)=2x-2-ln无，设〃(x)=2x-2-lnx,再对〃(x)求导，利用导数性质推导出尤=%

是“X)在(0,1)的唯一极大值点，即可证明.

【详解】(1)显然g(x)的定义域为(0,+司，且g'(x)="：,x>0.

因为g(x)W0,且g⑴=0,故只需g'⑴=0.

又g'⑴=。-1,贝1=0,a=1.

若a=l,贝Ug，(x)=l-1.显然当0<x<l时，g'(x)<0,此时g(x)在(0,1)上单调递减；

当x>l,g'(x)〉0,此时g(x)在(1,+oo)上单调递增.

所以x=l是g(x)的唯一极小值点，

故g(x)2g⑴=0.综上，所求。的值为1.

(2)由(1)知/(x)=x2—x—xlnx,/1x)=2x—2—Inx.

设//(x)=2x—2—lnx,则Ar(x)=2--

14

当xe（0,£|时，〃（x）＜0；

当口寸，/z'（x）＞0,

所以在"，上单调递减，

在上单调递增.

又〃（e＞0,〃出＜0,〃⑴=0,

所以力打）在（0,；有唯一零点%,在；,+j上有唯一零点1,

且当xe（O,x（））时,A（x）＞0；当xe（xo，l）时〃（x）＜0；

因为r（x）=〃（x）,所以x=x°是/（尤）的唯一极大值点.

即尤=X。是“X）在（0,1）的最大值点,所以〃x）4"X。）成立.

22

XV

21.（12分）已知椭圆「:=1(。＞6〉0)，/、尸分别为r的左顶点和右焦点，。为坐标原点，以。4

（1）求椭圆r的离心率e；

（2）若b=2,直线1//AM,/交「于尸、0两点，直线。尸，。。的斜率分别为勺，k2.

（i）若/过尸，求匕•质的值;

（ii）若/不过原点，求的最大值.

【答案】⑴孚

⑵（i）（ii）2V5

【分析】（1）根据所给条件求得点M坐标，带入椭圆方程结合离心率的定义，进行求解即可；

（2）设P,Q,坐标分别为（外,乙），（巧，z），

（i）根据题意求得直线/的方程为好正（x-4）,联立椭圆方程利用韦达定理直接求"2=之生即可；

3再入2

（ii）设直线/的方程为y=［（xT），（垓0）与椭圆方程联立得8/+26）+/-20=0,利用韦达定理

得M+%=弘％由叉.。2=；＞恒-词即可得解・

4oL

【详解】（1）由已知点〃是以N。为直径的圆上的点，

AZAMO=^,乂•.•|CM|=a,|OM|=j,：.\AM\=^-a,ZAOM=^,

15

（a粗、/吟整理叫T

:.Ma,又：点朋■在椭圆「上，；.一公

I44J+4

ab

（2）设尸（再,必）,Q（x2,y2）,

_22

（i）由6=2,°=26，，椭圆「的方程为：土+匕=1,

204

在RtA4（W中NO4W=4,.•.直线/的斜率为后=",

63

...直线/的方程为y=［（x-4）,与椭圆方程联立得70;4

>=—（龙-4）

2

整理得：2x-10x+5=0,**•x2=59xxx2=—,

■■1,

Kk\kK2~一

XxX2XxX25

酷0与椭圆方程联立得

消去x整理得：旷+2岛+d_20=0,当A>0得04/<32,

.f2-20

,,,1+>2=—/=-Q-

4o

S&POQ=g1恒-力|=g/+%『一4乂%=J/（32"）

.•.当且仅当7=16时,S4POQ有最大值，此时最大值是2石

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

（1）设直线方程，设交点坐标为（国,%）,（%%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或V）的一元二次方程，必要时计算A；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为网+马、玉%（或M+力、M为）的形式