《线性代数》课件 第13章特征值与特征向量

第十三章特征值与特征向量第十三章

主要学习内容方阵的特征值与特征向量相似矩阵及其性质矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论的重要组成部分.数学中的矩阵对角化、微分方程的求解、动力系统问题及工程技术中的震动问题、图像处理、稳定性问题等都可以归结为方阵的特征值与特征向量问题.本章主要讨论矩阵的特征向量、特征值和及特征值和特征向量的应用.

第一节方阵的特征值与特征向量图13-1向量的位置变换

对于空间中向量的同一个位置变换，在不同的基底下，用于表示的矩阵也是不相同的.这些表示位置变换的矩阵之间如何进行相互转化？如何在这些矩阵中获取表示空间转换的最佳矩阵？解决这些问题的落脚点就是特征值与特征向量.第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量特征值与特征向量其几何意义如图13-2所示：第一节方阵的特征值与特征向量

图13-2矩阵描述的线性变换

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量定义13.1.1

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量图13-3所有的特征向量和零向量

第一节方阵的特征值与特征向量特征方程第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的性质

第一节方阵的特征值与特征向量定理13.1.1

第一节方阵的特征值与特征向量推论13.1.1

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量定理13.1.2三角矩阵的主对角线的元素是其特征值.

第一节方阵的特征值与特征向量定理13.1.3

第一节方阵的特征值与特征向量定理13.1.4

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量该定理的证明可以用数学归纳法，在此不予证明.第一节方阵的特征值与特征向量定理13.1.5

第一节方阵的特征值与特征向量推论8.1.5-1

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量对于空间中向量的同一个位置变换，在不同的基底下，用于表示的矩阵也是不相同的，而这些不同的矩阵，彼此之间就是相似矩阵.相信读者都听过一句诗:“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.站在不同的角度去看庐山，人们看到的景象是不同的.那么，对于一个表示向量空间变换的矩阵而言，是否应该选择一个合适的基底，使我们可以用一个最佳矩阵来表示某一个向量空间变换呢？这个最佳的矩阵就是本节要讨论的对角矩阵.第二节相似矩阵及其性质

相似矩阵的概念及性质第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质图13-4用不同的基描述同一个向量图13-5不同基底描述下的线性变换通过引例可知，对于同一个线性变换，由于我们选择的基底不同，因此表征其线性变换的矩阵就不同.为了更好地说明不同基底下表征线性变换的矩阵之间的关系，我们引入如下定义：第二节相似矩阵及其性质

定义13.2.1

第二节相似矩阵及其性质上述过程如图13-6所示：第二节相似矩阵及其性质图13-6相似矩阵间的转换关系

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质定理13.2.1

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质定理13.2.2

第二节相似矩阵及其性质定理13.2.3

若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值也相同.

第二节相似矩阵及其性质推论13.2.1

由上面的分析可知，两个相似矩阵是空间中向量的同一个位置变换在两组基下对应的矩阵.那么，对于一个描述线性变换的矩阵而言，是否应该选择一个合适的基底，使我们可以用一个最佳矩阵矩阵来描述一个线性变换呢？这个最佳矩阵就是对角矩阵，因为利用对角矩阵描述线性变换具有一些优势第二节相似矩阵及其性质方阵的相似对角化

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质定义13.2.2

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质定理13.2.4

推论13.2.2

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质

第二节相似矩阵及其性质1.方阵的