函数及其图象章末十五大题型总结（培优篇）（华东师大版）（解析版） 八年级数学下册

专题17.14函数及其图象章末十五大题型总结（培优篇）【华东师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平面坐标系中点的坐标特征】 1【题型2根据一次函数性质确定参数】 4【题型3确定一次函数经过的象限】 6【题型4根据一次函数的性质比较大小】 8【题型5根据一次函数的性质判断结论正误】 10【题型6一次函数的平移】 14【题型7确定一次函数解析式】 20【题型8一次函数中的新定义问题】 25【题型9一次函数的规律探究】 31【题型10反比例函数k的几何意义】 36【题型1反比例函数图象上点的坐标特征的运用】 42【题型12反比例函数的图像与性质的运用】 45【题型13反比例函数与一次函数图象的综合判断】 49【题型14反比例函数与一次函数图象的交点问题】 53【题型15反比例函数与一次函数图象的实际应用】 60【题型1平面坐标系中点的坐标特征】【例1】（2023春·广西贺州·八年级统考期中）若点(m+1,2n−m)在x轴上，且到原点的距离为1，那么mn的值为．【答案】0或2【分析】根据x轴上的点纵坐标为0，以及到原点的距离为1，列方程求解即可．【详解】解：由题意得，2n−m=0|m+1|=1解得，m=0n=0或m=−2∴mn=0或2．故答案为：0或2．【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中各坐标上点的特征以及各象限点的特征是解本题的关键．【变式1-1】（2023春·福建三明·八年级期末）如图，射线OA是第二象限的角平分线，若点B（k，2k＋1）在第二象限内且在射线OA的下方，则k的取值范围是（）A．k<−12 B．k<−1 C．−1【答案】C【分析】由已知条件得−k>2k+1k<0【详解】解：由题意得−k>2k+1k<0解得−1故选：C．【点睛】本题考查了图形与点的坐标、解一元一次不等式组等知识，根据题意得到关于k的不等式组是解题的关键．【变式1-2】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）平面直角坐标系中，点A(−5,6)，B(3,−4)，经过点A的直线a与x轴平行，如果点C是直线a上的一个动点，那么当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（

）A．(6,−3) B．(−4,−5)C．(3,6) D．(−5,−4)【答案】C【分析】根据经过点A的直线a//x轴，可知点C的纵坐标与点A的纵坐标相等，可设点C的坐标(x,3)，根据点到直线垂线段最短，当BC⊥a时，点C的横坐标与点B的横坐标相等，即可得出答案．【详解】解：如右图所示：∵a//x轴，点C是直线a上的一个动点，点A(−5,6)，∴设点C(x,6)，∵当BC⊥a时，BC的长度最短，点B(3,−4)，∴x=3，∴点C的坐标为(3,6)．故选：C．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的确定及垂线段最短，解题的关键是数形结合，掌握平面直角坐标系中确定点坐标的方法．【变式1-3】（2023春·河南南阳·八年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中有P、Q两点，其坐标分别为P（4，a）、Q（b，6）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（9﹣2b，a﹣6）落在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】利用Q，P的位置可得a＜6，b＜4，进而得出9﹣2b＞0，a﹣6＜0，进一步即得答案．【详解】解：由题意可得：a＜6，b＜4，则9﹣2b＞0，a﹣6＜0，故点（9﹣2b，a﹣6）落在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标符号特点和简单的不等关系的判断，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．【题型2根据一次函数性质确定参数】【例2】（2023春·重庆荣昌·八年级统考期末）数k使关于x的方程1x−2+kx−12−x=1的解是整数，且k使一次函数y=【答案】−2【分析】根据关于x的方程1x−2+kx−12−x=1解是整数，且一次函数y=【详解】解：由分式方程1x−2+kx−1∵分式方程程1x−2∴4k+1是整数且不等于∵一次函数y=k−3∴k−3<0解得：−2≤k<3，∵4k+1是整数且不等于∴k=−2，0，∵−2∴满足条件的所有整数k的值的和是−2，故答案为：−2．【点睛】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出满足条件的k的值，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．【变式2-1】（2023春·福建漳州·八年级统考期中）一次函数y=kx+3k+1的图象与x轴交于正半轴，则k的取值范围为（

）A．k>−13 B．−13<k<0 C．k<0或k>【答案】B【分析】先求得一次函数图象与x轴的交点横坐标，利用横坐标大于0得到不等式求解即可．【详解】解：令y=0，由kx+3k+1=0得x=−3−1∵一次函数y=kx+3k+1的图象与x轴交于正半轴，∴−3−1当k>0时，k<−1当k<0时，k>−1∴−1故选：B．【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、不等式的性质，正确求得图象与x轴的交点横坐标，并分类讨论求解是解答的关键．【变式2-2】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期末）直线y=kx+b经过点3,−2，当−1≤x≤5时，y的最大值为6，则k的值为．【答案】4或−2【分析】先根据直线y=kx+b经过点3,−2得到3k+b=−2①，再分k=0，k>0，k<0三种情况结合当−1≤x≤5时，y【详解】解：∵直线y=kx+b经过点3,−2，∴3k+b=−2①当k=0时，则b=−2，则直线y=kx+b即为直线y=−2，又∵当−1≤x≤5时，y的最大值为6，∴此种情况不成立；当k>0时，则y随x增大而增大，∴当x=5时，y=6，∴5k+b=6②联立①②得：k=4b=14当k<0时，则y随x增大而减小，∴当x=−1时，y=6，∴−k+b=6③联立①③得：k=−2b=4综上所述，k=4或k=−2，故答案为：4或−2．【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．【变式2-3】（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点0,m，2,n，p,1和3,−2，则下列判断正确的是(

)A．m<n B．m<−3 C．n<−2 D．p<−1.5【答案】D【分析】设直线l的解析式为y=kx+bk≠0，根据直线l过点(0，m)，(2，n)，p,1和(3【详解】解：如图，设直线l的解析式为y=kx+bk≠0∵直线l经过二、三、四象限，∴k<0，b<0，A选项，∵0<2，y随x的增大而减小，∴B选项，∵0<3，y随x的增大而减小，∴m>−2，故该选项不符合题意；C选项，∵2<3，y随x的增大而减小，∴n>−2，故该选项不符合题意；D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，依照题意画出图形，利用数形结合找出m，n的取值范围是解题的关键．【题型3确定一次函数经过的象限】【例3】（2023秋·浙江杭州·八年级杭州市安吉路实验学校校考期中）一次函数y=(m+1)x−2m+3的图象一定经过第象限．【答案】一【分析】由一次函数的定义可知m+1≠0，故可分类讨论：当m+1>0和m+1<0时，分别求出−2m+3的取值范围，结合一次函数的图象与性质即可解答．【详解】解：∵该函数为一次函数，∴m+1≠0，即m≠−1分类讨论：①当m+1>0，即m>−1时，∴−2m+3<5，∴此时该函数图象必经过第一、三象限．当0<−2m+3<5时，经过第二象限，当−2m+3<0时，经过第四象限；②当m+1<0，即m<−1时，∴−2m+3>7，∴此时该函数图象经过第一、二、四象限，综上可知，该函数图象必经过第一象限．故答案为：一．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．掌握一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0，b>0时，其图象经过第一、二、三象限；当k>0，b<0时，其图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，其图象经过第一、二、四象限；当k<0，b<0时，其图象经过第二、三、四象限是解题关键．【变式3-1】（2023秋·河南周口·八年级校考期中）已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线ybxk一定不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据直线y=kx+b经过第一，三，四象限，可以判断k、b的正负，根据一次函数图象的性质，从而可以判断直线y=bx+k经过哪几个象限，不经过哪个象限．【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一，三，四象限，∴k>0，b<0，∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．【点睛】本题考查一次函数的性质，明确题意，熟练掌握并灵活运用一次函数的性质是解题的关键．【变式3-2】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）已知一次函数y=kx+b(k≠0)经过(−1,−1)，(1,−3)两点，则其函数图象不经过第象限．【答案】一【分析】用待定系数法求出函数解析式，根据函数解析式确定经过的象限．【详解】将(−1,−1)，(1,−3)代入y=kx+b(k≠0)得，−1=−k+b−3=k+b解得k=−1b=−2故函数解析式为y=−x−2，函数经过二、三、四象限．故答案为：一．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，求出函数的解析式是解题的关键．【变式3-3】（2023春·全国·八年级期末）如果直线y=2m+1x−2+m经过第一、三、四象限，那么则m的取值范围是【答案】−【分析】根据该直线经过第一、三、四象限可得2m+1>0，−2+m<0，即可求解．【详解】解：∵直线y=2m+1∴2m+1>0，解得：m>−1∵直线y=2m+1∴−2+m<0，解得：m<2，综上：m的取值范围是−1故答案为：−1【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解一元一次不等式，解题的关键是掌握一次函数y=kx+b当k>0时，经过一、三象限，反之经过二、四象限．【题型4根据一次函数的性质比较大小】【例4】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知x1,y1，x2,y2，x3A．y1y2>0 B．y1y【答案】A【分析】根据一次函数的性质判断即可．【详解】解：∵直线y=−2x+3，∴y随x的增大而减小，当y=0时，x=1.5，∵x1,y1，x2,y2，∴x2<0，∴x1∴y1，y2同时为正，0<x<1.5时，y3为正，x>1.5∴y1y2>0，故选：A．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．【变式4-1】（2023春·安徽芜湖·八年级校联考期末）直线y=3x+b上有三个点−2.3，y1A．y1>y2>y3 B．y【答案】C【分析】由解析式y=3x+b可得y随x增大而增大，根据三个点的横坐标大小可判断函数值的大小关系．【详解】解：∵y=3x+b，∴y随x增大而增大，∵−2.3<−1.3<2.7，∴y1故选：C．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．【变式4-2】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）已知直线y=ax+b（其中a，b是常数，ab<0），点Am2，n2，BA．y1>y2 B．y1<y【答案】A【分析】由ab<0可知a<0，b>0或a>0，b<0，然后分情况讨论，根据点A，B的坐标得出a>0，b<0时符合题意，再根据一次函数的增减性得出答案．【详解】解：∵ab<0，∴a<0，b>0或a>0，b<0，①当a<0，b>0时，y随x增大而减小，∵点Am2，n2，B∴y随x增大而增大，与题意矛盾，此情况舍去；②当a>0，b<0时，y随x减小而减小，∵点Am2，n2，B∴符合题意，∴a>0，b<0，∴a>0>b，又∵点Pa，y∴y1故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数y=ax+b中，当a>0时，y随x增大而增大；当a<0时，y随x增大而减小是解题的关键．【变式4-3】（2023春·重庆开州·八年级统考期末）已知一次函数y=−2x+1的图象经过Ax1,−1，Bx2【答案】＞【分析】根据一次函数的解析式y=−2x+1得出y随x的增大而减小，即可得出答案．【详解】解：y=−2x+1，∵k=−2<0，∴y随x的增大而减小，∵−1<1，∴x1故答案为：＞．【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能理解一次函数的性质是解此题的关键．【题型5根据一次函数的性质判断结论正误】【例5】（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列说法：①k<0，b>0；②x=m是方程kx+b=0的解；③若点A(x1，y1)、B(x2，y2)是这个函数的图象上的点，且y1−y【答案】①②③④【分析】图象过第一，二，四象限，可得k<0，b>0，可判定①；根据增减性，可判断③④，由图象与x轴的交点可判定②．【详解】解：∵图象过第一，二，四象限，∴k<0，b>0；故①正确由图象知，该直线与x轴的交点坐标是(m,0)，则x=m是方程kx+b=0的解，故②正确；∴y随x增大而减小，∵y∴y∴x∴x当−3≤x≤1时，2≤y≤6，∴当x=−3时，y=6；x=1时，y=2，代入y=kx+b得−3k+b=6k+b=2解得b=3；故④正确故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象的性质，关键是灵活运用一次函数图象的性质．【变式5-1】（2023秋·江苏·八年级期末）在下列叙述中，正确的个数有（

）①正比例函数y=2x的图象经过二、四象限；②一次函数y=2x−3中，y随x的增大而增大；③函数y=3x+1中，当x=−1④一次函数y=x+1图象与x轴交点为−1,0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据y=2x中k=2＞0，可知函数图象经过第一、三象限；②根据y=2x−3中k=2＞0，可知y随x的增大而增大；③当x=−1时，y=3x+1=3×−1+1=−2；④y=x+1中，当x【详解】解：①∵正比例函数y=2x中，k=2＞∴有该函数图象经过第一、三象限，故错误；②∵一次函数y=2x−3中，k=2＞∴y随x的增大而增大，故正确；③∵x=∴y=3x+1中，y=3×−1故正确；④∵一次函数y=x+1中，x=y=0，∴一次函数y=x+1图象与x轴交点为−1,0，故正确．∴综上所述：正确的叙述是3个．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握由一次函数的图象特征判定函数性质，由解析式的系数特征判定函数图象特征，点和图象位置关系的判定，是解题的关键．【变式5-2】（2023秋·河南周口·八年级校考期中）关于自变量x的函数y＝（k－3）x＋2k，下列结论：①当k≠3时，此函数是一次函数；②无论k取什么值，函数图象必经过点（－2，6）；③若函数经过二、三、四象限，则k的取值范围是k＜0；④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是k＜3其中结论正确的序号是．【答案】①②③【分析】根据一次函数的定义，函数图像和系数的关系逐一判断选项即可.【详解】解：①当k≠3时，函数是一次函数；故①符合题意；②y＝（k﹣3）x+2k＝k（x+2）﹣3x，当x＝﹣2时，y＝6，过函数过点（﹣2，6），故②符合题意；③函数y＝（k﹣3）x+2k经过二，三，四象限，则k−3<02k<0，解得：k④当k﹣3＝0时，y＝6，与x轴无交点；当k≠3时，函数图象与x轴的交点始终在正半轴，即﹣2kk−3>0，解得：0＜故答案为：①②③．【点睛】本题考查根据一次函数的定义，一次函数图象的性质，一次函数与x轴交点问题，交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．【变式5-3】（2023春·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）一次函数y1=ax+b与y2①对于函数y=ax+b来说，y随x的增大而减小；②函数y=ax+d的图象不经过第一象限；③a−c=d−b④d<a+b−c

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据函数图像直接得到结论；②根据a、d的符号即可判断；③当x=3时，y1=y2；④当x=1和x=−1时，根据图像得不等式．【详解】解：由图像可得：对于函数y1=ax+b来说，y随由于a<0，d<0，所以函数y=ax+d的图像经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确；∵一次函数y1=ax+b与y2∴3a+b=3c+d，∴3a−3c=d−b，∴a−c=d−b当x=1时，y1当x=−1时，y2由图像可知y1∴a+b>−c+d，∴d<a+b+c，故④不正确；综上，①②③正确，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图像与性质，利用数形结合是解题的关键．【题型6一次函数的平移】【例6】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像由函数y=−x的图像平移得到，且经过点1,1．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1m≠0的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m【答案】(1)y=−x+2(2)−1≤m≤2且m≠0【分析】（1）根据一次函数图像平移时的k值相等求得k值，再将点1,1代入y=kx+b求解b值即可求解；（2）将1,1代入y=mx−1中，求得m=2，再结合一次函数的图像与性质求解即可．【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图像由函数y=−x的图像平移得到的，∴k=−1．将点1,1代入y=kx+b，得b=2，∴一次函数的表达式是y=−x+2；（2）解：将1,1代入y=mx−1中，解得m=2，如图，∵当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1m≠0的值小于一次函数y=−x+2∴−1≤m≤2且m≠0．【点睛】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键．【变式6-1】（2023春·北京海淀·八年级期末）已知直线l:y=kx+b(k≠0)，将直线l向上平移5个单位后经过点(3,7)，将直线l向下平移5个单位后经过点(7,7)，那么直线l向（填“左”或“右”）平移个单位后过点(1,7)．【答案】左4【分析】结合已知条件，根据一次函数的图象平移性质列得关于k,b的二元一次方程组，从而求得直线l的解析式，然后设它向左平移m个单位后过点(1,7)，列得关于【详解】已知直线l:y=kx+b则该直线向上平移5个单位后对应的解析式为y=kx+b+5∵它过点(∴3k+b+5=7原直线向下平移5个单位后对应的解析式为y=kx+b−5∵它过点(∴7k+b−5=7解方程组3k+b+5=77k+b−5=7得k=∴y=设它向左平移m个单位后过点(y=52即5解得：m=4即直线向左平移4个单位后过点(1,7故答案为：左，4．【点睛】本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．【变式6-2】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校联考期中）已知点A3，4，B−1，−2，将线段AB平移到线段CD，若点A的对应点C落在x轴上，点B的对应点D落在y轴上，则线段AB与【答案】1【分析】先求得直线AB的解析式，得到线段AB与y轴的交点P的坐标，再根据点A的对应点C在x轴上得出纵坐标变化的规律，根据点B对应点D在y轴上得出横坐标变化的规律，再根据平移规律解答即可．【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，且点A3，4则3k+b=4−k+b=−2，解得k=∴直线AB的解析式为y=3令x=0，则y=−1∴线段AB与y轴的交点P的坐标为0∵点A3，4，B−1，−2，将线段AB平移到线段CD，若点A的对应点C落在x轴上，点∴点A的纵坐标减4，点B的横坐标加1，∴点P的对应点的坐标是0+1，−1故答案为：1，【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【变式6-3】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）在平面直角坐标系中点A（m−3，3m+3），点B（m，m+4）和D（0，−5），且点B在第二象限．（1）点B向平移单位，再向下平移（用含m的式子表达）单位可以与点A重合；（2）若点B向下移动3个单位，则移动后的点B和点A的纵坐标相等，且有点C（m−2，0）．①则此时点A、B、C坐标分别为、、．②将线段AB沿y轴负方向平移n个单位，若平移后的线段AB与线段CD有公共点，求n的取值范围．③当m<−1式，连接AD，若线段AD沿直线AB方向平移得到线段BE，连接DE与直线y=−2交于点F，则点F坐标为．（用含m的式子表达）【答案】（1）左；3；(1-2m)；（2）①（-4，0）；（-1，0）（-3，0）；②当平移后的线段AB与线段CD有公共点时，1≤n≤193；③F【分析】(1)根据平面直角坐标系中点的平移计算方法即可得解(2)①根据B点向下平移后，点B和点A的纵坐标相等得到等量关系，可求出m的值，从而求出A、B、C三点坐标；②过C作CK垂直x轴交AB于K点过B做BM垂直x轴于M点，设出K点坐标，作KH⊥BM与H点，表示出H点坐标，然后利用面积关系SΔABM=SΔAKM+SΔBKM求出距离；当B'在线段CD上时，BB'交x轴于M点，过B'做B'E⊥OD，利用S△COD【详解】解：（1）根据平移规律可得：B向左平移；m－（m－1）=3，所以平移3个单位；m+4－（3m+3）=1－2m，所以再向下平移(1-2m)个单位；故答案为：左；3；(1-2m)（2）①点B向下移动3个单位得：B（m，m+1）∵移动后的点B和点A的纵坐标相等∴m+1=3m+3∴m=﹣1∴A（-4,0）；B（-1,0）；C（-3,0）；②如图1，过C作CK垂直x轴交AB于K点过B做BM垂直x轴于M点，设K点坐标为（-3，a）M点坐标为（-1,0）作KH⊥BM与H点，H点坐标为（-1，a）AM=3,BM=3,KC=a,KH=2∵S∴AM×BM∴3×3解得：a=1，∴当线段AB向下平移1个单位时，线段AB和CD开始有交点，∴n1，当B'在线段CD上时，如图2BB'交x轴于M点，过B'做B'E⊥OD,B'M=n-3,B'E=1,OD=5,OC=3∵S△CODS△OB'CS△OB'D∴CO×OD∴3×5解得：n=19综上所述，当平移后的线段AB与线段CD有公共点时，1≤n≤19③∵A（m−3，3m+3），B（m，m+4）D（0，−5）且AD沿直线AB方向平移得到线段BE，∴E点横坐标为：3E点纵坐标为：﹣5+m+4－（3m+3）=﹣4－2m∴E（3，﹣4－2m），设DE：y=kx+b，把D（0，﹣5），E（3，﹣4－2m）代入y=kx+b∴3k+b=﹣4－2m∴y=1－2m把y=﹣2代入解析式得：﹣2=1－2mx=91－2∴F(9【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的平移计算及一次函数解析式求法，解题关键在于理解掌握平面直角坐标系中点平移计算方法以及用待定系数法求函数解析式方法的应用．【题型7确定一次函数解析式】【例7】（2023春·福建福州·八年级统考期中）如图，一次函数y1=kx+bk≠0的图象分别与x轴和y轴相交于C、A0，

(1)求一次函数的解析式；(2)当y1>y(3)点D是一次函数y1图象上一点，若S△OCD=2【答案】(1)一次函数的解析式y=x+6(2)x>−2(3)D点的坐标为2，8【分析】（1）将x=−2代入y2=−2x，求出m为4，再将点A0，6（2）当x>−2时，直线y1=kx+bk≠0（3）根据S△OCD=2S△OCB，利用三角形面积公式即可求出|y【详解】（1）解：把B−2，m代入y=−2x∴B(−2，4)，把A0，6、B(−2，4)代入y=kx+b解得k=1b=6∴一次函数的解析式y=x+6；（2）解：观察图象可知，当y1>y（3）解：由S△OCD=1∵S∴|y∴y代入y=x+6得x=2或x=−14，∴D点的坐标为2，8或【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．【变式7-1】（2023春·福建漳州·八年级统考期中）已知一次函数y1(1)若点(2,−1)在y1的图象上，求k(2)当−5≤x≤3时，若函数的最大值3，求y1(3)对于一次函数y2=(a+3)(x−1)−4，若对一切实数x，y1>y2都成立，求【答案】(1)k=(2)当k>1时，y1=25(3)k=a+4，k>−23【分析】（1）直接将点代入函数表达式中求解即可；（2）根据一次函数的增减性，分k−1>0和k−1<0两种情况求解即可；（3）整理y2=a+3x−a−7，将对一切实数x，y1>y2都成立转化为y1【详解】（1）解：∵点(2,−1)在y1∴2k−1+2k−1=−1，解得（2）解：当k−1>0即k>1时，函数y随x的增大而增大，∴当x=3时，y有最大值为3，由3k−1+2k−1=3得∴y1当k−1<0即k<1时，函数y随x的增大而减小，∴当x=−5时，y有最大值为3，由−5k−1+2k−1=3得∴y1（3）解：整理y2得y∵对一切实数x，y1∴y1∥y2，且直线∴k−1=a+3，且2k−1>−a−7，∴k=a+4，且2k−1>−k+4−7，解得k>−23，又∴k的取值范围为k>−23且【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的性质，（2）注意分类讨论思想的运用，（3）得到y1∥y2，且直线【变式7-2】（2023秋·安徽·八年级期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l的解析式是.【答案】y=【分析】如图，利用正方形的性质得到B(0,3)，由于直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则SΔAOB=5，然后根据三角形面积公式计算出AB的长，从而可得A点坐标．再由待定系数法求出直线【详解】解：如图，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴S而OB=3，∴12∴AB=10∴A点坐标为(103，设直线l的解析式为y=kx，∴103k=3，解得∴直线l的解析式为y=故答案为y=9【点睛】本题考查了坐标与图形性质和待定系数法求函数解析式．由割补法得SΔAOB【变式7-3】（2023秋·广东深圳·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+bk≠0的图象与x轴交于点A5,0，与一次函数y(1)求一次函数y1=kx+b(2)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数y1=kx+bk≠0的图象交于点D，与一次函数y2=23x+2(3)直线y=kx−k经过定点1,0，当直线与线段AB（含端点）有交点时k的正整数值是.【答案】(1)y(2)DE=8(3)k=1或2【分析】（1）先求得点B的坐标，再运用待定系数法即可得到一次函数y1=kx+b（2）设点C的横坐标为m，点D、E分别在y1、y2上，则Dm,−2m+10，Em,23m+2），由（3）由图可知，将点B和点A代入直线y=kx−k，可确定k的范围，参考题意k取正整数值．【详解】（1）当x=3时，y2∴B点坐标为3,4，直线y1=kx+b经过A5,0则5k+b=03k+b=4解得：k=−2b=10∴一次函数y1=kx+bk≠0的解析式为（2）设点C的横坐标为m，则Dm,−2m+10，E∴CE=23m+2∵CE=3CD，∴23m+2=32m−10∴D6,−2，E∴DE=8．（3）∵3k−k≤45k−k≥0∴解得0≤k≤2，∵k取正整数值，∴k=1或2．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．【题型8一次函数中的新定义问题】【例8】（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−2,0)，B(−2,2)，C(2,0)，D(2,4)，给出定义：若直线l与线段AB，CD都有公共点，则称直线l是线段AB，CD的“友好直线”．若直线y=12x+b是线段AB，CD的“友好直线”，则b【答案】1≤b≤3【分析】分别作直线BD∥l，AE∥BD，求得yBD=1【详解】连接BD，∵直线y=12x+b设直线BD的解析式为：yBD将B(−2,2)代入上式可得：2=1解得：m=3，∴直线BD的解析式为：yBD又yBD=1∴当b≤3时，y=12x+b是线段AB作AE∥BD交CD于点E，可设yAE要使yAE=12x+n需要将点A(−2,0)代入上式可得：0=1解得：n=1，∴yAE∴b≥1时，y=12x+b是线段AB∴1≤b≤3，故答案为：1≤b≤3．【点睛】本题考查用待定系数法求解析式以及一次函数图象上的坐标特征，解题的关键是理解题意，作出符合题意的函数图象，利用数形结合的数学思想．【变式8-1】（2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，已知正方形OABC，其中点A(−4,0)，B(−4,4)，C(0,4)．给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到P′，点P′在正方形OABC的内部或边上，则称点P为正方形OABC的“和谐点”，若在直线y=kx+6上存在点Q，使得点Q是正方形OABC的“和谐点”，则k的取值范围是【答案】k≥4或k≤−【分析】由在直线y=kx+6上存在点Q，使得点Q是正方形OABC的“和谐点”，可知Q′在直线y=k(x+3)+8上，求得直线经过点B和C时的k的值，即可求得k【详解】解：直线y=kx+6向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到y=k(x+3)+8，把B(−4,4)代入得−k+8=4，解得k=4，把C(0,4)代入得3k+8=4，解得k=−4∴k≥4或k≤−4故答案为：k≥4或k≤−4【点睛】本题考查了一次函数图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化−平移，能够理解题意是解题的关键．【变式8-2】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）定义运算min{a，b}，当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{﹣3，﹣1}＝﹣3．根据该定义运算完成下列问题：(1)min{﹣3，2}＝，当x≤2时，min{x，2}＝；(2)如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣2相交于点P（﹣2，1），若min{x+m，kx﹣2）＝kx﹣2，结合图象，直接写出x的取值范围是．(3)在（2）的基础上，直线y1＝x+m交x轴于点C，交y轴于点A，直线y2＝kx﹣2交x轴于点B，求△ABP的面积．【答案】(1)－3，x(2)x≥−2(3)5【分析】（1）根据min{a，b}的定义，即可求解；（2）根据图象，结合min{a，b}的定义即可；（3）由P（-2，1）在函数y1=x+m图象上，可求出y1和y2的解析式，进而可得点A、B、C的坐标，由S△ABP=S△ABC－S△PBC即可求解.【详解】（1）解：根据定义，得min{−3，2}＝−3，当x≤2时，min{x，2}＝x，故答案为：−3，x；（2）解：∵{x+m，kx﹣2）＝kx﹣2，根据图象，可得x的取值范围：x≥−2，故答案为：x≥−2；（3）解：∵P（-2，1）在函数y1=x+m图象上，∴－2+m=1，解得m=3，∴y1=x+3，当x=0时，y=3，∴A（0，3），当y=0时，x=-3，∴C（-3，0），同理得y2=−32当y=0时，x=−4∴B（−4∴S△ABP=S△ABC－S△PBC=12BC⋅yA−【点睛】本题考查了一次函数与新定义的综合和待定系数法求一次函数解析式.理解新定义的含义，并灵活运用到一次函数中是解决本题的关键．【变式8-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1(1，2)，点P1(3，5)，因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．(1)已知点A(﹣12,0)，B为①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；(2)如图2，已知C是直线y=34x+3上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D【答案】(1)①(0,2))或(0,−2)；②1(2)87，【分析】(1)①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为(0,y)，由“非常距离”的定义可以确定|0−y|=2，据此可以求得y的值；②设点B的坐标为(0,y)，−12−0≥0−y(2)设点C的坐标为x0,34x0+3，根据材料：若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|知，C、D两点的“非常距离”的最小值为−x0【详解】（1）解：①∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为(0,y)，∵−1∴|0−y|=2，解得y=2或y=−2；∴点B的坐标是(0,2))或(0,−2)；②点A与点B的“非常距离”的最小值为12（2）解：如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，根据运算定义“若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|”知：|x1−x2|=|y1−y2|，即AC=AD，∵C是直线y=34x+3上的一个动点，点D∴设点C的坐标为x0∴−x0=34x0此时，x0=−87∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=87此时C−【点睛】本题考查了新定义的运算方法，求一次函数图象上点的坐标，对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件，理解本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．【题型9一次函数的规律探究】【例9】（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A11,1在直线y=x图象上，过A1点作y轴平行线，交直线y=−x于点B1，以线段A1B1为边在右侧作正方形A1B1C1D1，C1D1【答案】2×【分析】通过计算可得第一个正方形的边长为2，第二个正方形的边长为6，……，通过探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：由题意，A1(1,1)，∴A∴第一个正方形的边长为2，∴A∴A2(3,3)∴A∴第二个正方形的边长为6，∴A∴A3(9,9)，B3(9,−9)，即：∴A∴第三个正方形的边长为18，∴A4(27,27)，B4(27,−27)，即：∴…，可得An(3n−1，3n−1)第2020个正方形的边长为2×3故答案为：2×3【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．【变式9-1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1(3，3)，P2，P3，…均在直线y=−13x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2020【答案】9【分析】分别过点P1【详解】解：如图，分别过点P1∵P1（3，3），且△P1OA1∴OC=CA1=P1C=3，设A1D=a，则∴OD=6+a，∴点P2将点P2坐标代入y=−13解得：a=3∴A1A2同理求得P3E=3∴S1=12×6×3=9∴Sn因此S2020故答案为：92【点睛】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．【变式9-2】（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则B100的坐标为【答案】（299，2【分析】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2【详解】解：∵点A1∴OA过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知∵点A2与点O关于直线A1B1对称，∴OA1＝∴OA∴点A2的坐标为（2，0），B∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点依此类推便可求出点An的坐标为（2n−1，0），点Bn的坐标为（2n−1∴点B100的坐标为（299，故答案为：（299，2【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，解题关键在于掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式．【变式9-3】（2023春·北京西城·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A1(2,2)在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴，交直线y=12x于点B1，以A1为直角顶点，A1B1为直角边，在A1B1的右侧作等腰直角三角形A1B1C1；再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和y=12x【答案】392【分析】先根据点A1的坐标以及A1B1∥y轴，得到A1B1的长以及点C1的横坐标，再根据A2的坐标以及A2B2∥y轴，得到A2B2的长以及点C2的横坐标为，最后根据变换规律，求得AnBn的长，进而得出点∁n的横坐标．【详解】解：∵点A1（2，2），A1B1∥y轴交直线y=12x于点B∴B1（2，1）∴A1B1＝2﹣1＝1，即A1C1＝1，∵A1C1＝A1B1＝1，∴点C1的横坐标为3＝2×（32∴A2（3，3），又∵A2B2∥y轴，交直线y=12x于点B∴B2（3，32∴A2B2＝3−3∴A2C2=3∴点C2的横坐标为，92=2×（32以此类推，A3B3=94，即A3C3∴点C3的横坐标为274=2×（32A4B4=278，即A4C4点C4的横坐标为818=2×（32∴AnBn＝（32）n﹣1，即An∁n＝（32）n﹣∴点∁n的横坐标为2×（32）n故答案为：3，92，2×（32）【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律．【题型10反比例函数k的几何意义】【例10】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）如下图，过反比例函数y=2x（x>0）图像上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y=kx（x>0）于点B，连接OA、OB．若

A．4 B．−2 C．−4 D．−1【答案】C【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出S△AOC，再求出S△BOC，进而求出【详解】解：∵点A在反比例函数y=2x（x>0）的图像上，且∴S△AOC又∵S△AOB∴S△BOC∴12k=2∴k=−4．故选：C．

【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确计算的关键．【变式10-1】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中有一个6×2的矩形ABCD网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数y=−32xx<0的图像经过格点E（小正方形的顶点），反比例函数y=52xx>0的图像经过格点F，同时还经过矩形ABCD的边CD上的G点，连接

【答案】4【分析】根据题意可得xF−xE=4，

从而得到点E到y的距离为32，到x的距离为1，点F到y的距离为52，到x的距离为1，进而得到点G的横坐标为7【详解】解：根据题意得：xF∵反比例函数y=−32xx<0的图像经过格点E（小正方形的顶点），反比例函数y=∴点E到y的距离为32，到x的距离为1，点F到y的距离为52，到建立平面直角坐标系，如图所示，

∴点G的横坐标为72对于y=5当x=72时，∴点G到EF的距离为1−5∴△EFG的面积为12故答案为：4【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的图象和性质是解决问题的前提．【变式10-2】（2023秋·河南开封·八年级开封市第十三中学校考期末）如图，点A是反比例函数y=mx(x<0)图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y=nx(x<0)图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△OAB的面积为A．−4 B．−8 C．−10 D．−12【答案】B【分析】根据反比例函数的性质可知S△AOC=−1【详解】解：∵点A是反比例函数y=m∴设点Ax,∵AC⊥x轴于点C，∴点C∴S△AOC∵m<0，∴S△AOC∵AC＝3BC，∴AB=AC−BC=2BC，∴S∵点B在反比例函数y=nx(x<0)∴BC⋅OC=n∵△OAB的面积为2，∴BC⋅OC=−n=2，∴−n=2，即n=−2，∵S△BOC∴S△AOC∴−1∴m=−6，∴m+n=−6+−2故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的面积关系，掌握反比例函数的性质是解题的关键．【变式10-3】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，A、B是函数y=6x上两点，P为一动点，作PB∥①△AOP≌△BOP；②S△AOP=S△BOP；③若OA=OB，则OP平分∠

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】由点P是动点，可判断出①错误，设出点P的坐标，求出AP、BP的长，再利用三角形面积公式计算即可判断出②；利用角平分线定理的逆定理可判断③；先求出S矩形【详解】解：∵点P是动点，∴BP与AP不一定相等，∴△BOP与△AOP不一定全等，故①不正确；设P(m,n)，∵PB∥∴B(m,6∴AP=∴S同理：S∴S△AOP如图，过点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，

∴S∵S△AOP∴OB·PE=OA·PF∵OA=OB，∴PE=PF，∵PE⊥OB,PF⊥OA∴OP是∠AOB如图，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，

∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，∴四边形OMPN是矩形，∵点A，B在双曲线y=6∴S△AMO∵S△BOP∴S△PMO∴S矩形∴mn=2，∴m=∴BP=6m∴S△APB故选：B．【点睛】本题属于反比例函数与几何综合题，主要考查了反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线并灵活应用所学知识是解答本题的关键．【题型1反比例函数图象上点的坐标特征的运用】【例11】（2021春·江苏常州·八年级统考期末）已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，当y1﹣y2＝4时，则m＝．【答案】1【分析】先根据反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y＝12x，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1＝122m＝6m，y2＝126m＝2m，然后根据y1﹣y2＝4列出方程6【详解】解：设反比例函数的解析式为y＝kx∵反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4），∴k＝﹣3×（﹣4）＝12，∴反比例函数的解析式为y＝12x∵反比例函数的图象经过点（2m，y1），（6m，y2），∴y1＝122m＝6m，y2＝126m∵y1﹣y2＝4，∴6m﹣2∴m＝1，经检验，m＝1是原方程的解．故m的值是1，故答案为1．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．【变式11-1】（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）已知反比例函数y=kx(k≠0)，在每一个象限内，y随xA．(2,3) B．(−2,3) C．(0,3) D．(−2,0)【答案】B【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可．【详解】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)，且在各自象限内，y∴k=xy<0，A.∵2×3>0，∴点(2,3)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；B.∵−2×3<0，∴点(−2,3)可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；C.∵3×0=0，∴点(0,3)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；D.∵−2×0=0，∴点(−2,0)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【变式11-2】（2023秋·广西北海·八年级统考期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（

）A．(−1,−1) B．(1,−1) C．2,12 【答案】B【分析】先根据点A（-1，1）是反比例函数y=kxk≠0【详解】解：∵点A（-1，1）是反比例函数y=k∴k=−1×1=−1，A、−1×−1=1≠−1，点B、1×−1=−1，点C、2×12=1≠−1D、−2×1=−2≠−1，点(−2,1)不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查反比例函数图象上各点的坐标特征，即反比例函数图象上各点坐标符合k=xy，且k为定值．【变式11-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A−2，3，B3，2，A．1 B．-1 C．-6 D．6【答案】B【分析】根据已知条件得到点A−2,1在第二象限，求得点C−6,m一定在第三象限，由于反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过其中两点，于是得到反比例函数y=【详解】∵A−2,1在第二象限，B3,2在第一象限，且点A、B、又∵点C的横坐标为−6，∴C−6,m∵反比例函数y=k∴B3,2，C∴解得k=6故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点C在第三象限是解题的关键．【题型12反比例函数的图像与性质的运用】【例12】（2020春·浙江温州·八年级统考期末）已知反比例函数y=kx(k≠0)，当−2≤x≤−1时，y的最大值是4，则当x≥2时，yA．最小值−4 B．最小值−2 C．最大值−4 D．最大值−2【答案】B【分析】由函数经过第二象限，可确定k＜0，则在−2≤x≤−1上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式为y＝−4x【详解】解：∵当−2≤x≤−1时，y的最大值是4，∴反比例函数经过第二象限，∴k＜0，∴在−2≤x≤−1上，y值随x值的增大而增大，∴当x＝−1时，y有最大值−k，∵y的最大值是4，∴−k＝4，∴k＝−4，∴y＝−4x当x≥2时，y＝−4x故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k＜0是解题的关键．【变式12-1】（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）已知反比例函数y=3x，下列结论中不正确的是（A．其图象经过点−1,−3 B．其图象分别位于第一、第三象限C．当x>1时，0<y<3 D．当x<0时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】根据反比例函数的性质直接解答即可．【详解】解：将−1,−3代入解析式，得−3=−3，故A正确，不符合题意；由于k=3>0，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、D错误，符合题意；∵x=1时，y=3，且当x>0时，y随x的增大而减小∴当x>1时，0<y<3，故C正确，不符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．【变式12-2】（2023秋·河南平顶山·八年级统考期末）点A−3,y1、B−1,y2、C2,y3都在反比例函数y=A．y1<y2<y3 B．【答案】D【分析】根据反比例函数y=−6x的图像与性质，当−6<0时，在每一个象限内y随x的增大而增大，由于A−3,y1、B−1,y2在第二象限，−3<−1，则【详解】解：∵点A−3,y1、B−1,y∴当−6<0时，在每一个象限内y随x的增大而增大，∵A−3,y1、B∴0<y∵C2,y3∴y3故选：D．【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数增减性判定自变量或函数值大小的方法是解决问题的关键．【变式12-3】（2023秋·辽宁阜新·八年级阜新实验中学校考期末）小明根据学习函数的经验，对函数y=1x…−−1−0132537…y…3m10−1n2537…(1)函数y=1x−1+1(2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=______，n=______；(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．(4)结合函数的图象，解决问题：①方程1x−1②当函数值1x−1+1>3【答案】(1)x≠1(2)12(3)见解析(4)①x1=0【分析】（1）根据分式有意义的条件进行求解即可；（2）分别把x=−1，x=3（3）先描点，再连线即可；（4）画出对应的函数图象，然后利用图象法求解即可．【详解】（1）解：∵y=1∴x−1≠0，∴x≠1，故答案为：x≠1；（2）解：当x=−1时，y=1∴m=1当x=32时，∴n=3，故答案为：12（3）解：如图所示，即为所求；（4）解：①由下图函数图象可知，直线y=x与函数y=1x−1+1交于点0∴方程1x−1+1=x的解为故答案为：x1②由下图函数图象可知当1<x<3时，函数y=1x−1+1∴当1<x<3时，1x−1故答案为：1<x<3．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确理解题意并掌握一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键．【题型13反比例函数与一次函数图象的综合判断】【例13】（2023春·广东中山·八年级广东省中山市中港英文学校校考期中）已知一次函数y=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图像如图所示，则正比例函数y=−kx和反比例函数y=mA． B．C． D．【答案】D【分析】根据一次函数y=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图像判定k＞【详解】根据一次函数y=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图像判定k＞∴y=−kx的图像分布在二四象限，反比例函数y=m故选D．【点睛】本题考查了一次函数图像分布，反比例函数图像的分布，熟练掌握图像分布与k，m的关系是解题的关键．【变式13-1】（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）若反比例函数y=kxx>0，y随xA．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据反比例函数y=kx(x>0)，y随x增大而增大，得出k<0，则y=kx−2中，y随x的增大而减小，结合−2<0得出y=kx−2【详解】解：∵反比例函数y=kx(x>0)，y∴k<0，∴y=kx−2中，y随x的增大而减小，∵−2<0，∴y=kx−2与y轴交于负半轴，故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的增减性．【变式13-2】（2023秋·湖南怀化·八年级统考期中）函数y=mx与y=mx−1A．

B．

C． D．

【答案】C【分析】先将一次函数表达式化为一般式，再分别根据反比例函数及一次函数的图象在坐标系中的位置，对四个选项逐一分析，即可得到答案．【详解】解：根据投影可得，一次函数表达式为y=mx−1A、由反比例函数的图象在可一、三象限知m>0，则−m<0，∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意；B、反比例函数的图象在二、四象限可知当m<0，则−m>0，∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故B不符合题意；C、由反比例函数的图象在可一、三象限知m>0，则−m<0，∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象相符，故C符合题意；D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当m<0，则−m>0，∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象比例系数的关系，掌握反比例函数和一次函数的比例系数的几何意义，是解题的关键．反比例函数y=kx，当k>0时，图象分布在第一、三象限，当【变式13-3】（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图所示，满足函数y=kx−k和y=kxk≠0A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】B【分析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出k的符号，然后再根据k符号、一次函数的性质判断出一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案．【详解】解：一次函数y=kx−k．∵反比例函数y=k∴k<0，∴−k>0，∴一次函数y=kx−k位于第一、二、四象限；故图①错误，图②正确；∵反比例函数的图象经过第一、三象限，∴k>0；∴−k<0，∴一次函数y=kx−k位于第一、三、四象限；故图③正确，图④错误，故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．【题型14反比例函数与一次函数图象的交点问题】【例14】（2023春·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+bk1≠0的图象与反比例函数y=k2x

(1)求k1、k2及(2)△AOB的面积为______．【答案】(1)k1的值为1，k2的值为2，(2)3【分析】（1）将点B分别代入反比例函数解析式中算出k2的值，点A分别代入反比例函数解析式中算出m的值，再将然后根据待定系数法求k1、（2）将△AOB分成△AOC和△COB，然后计算面积．【详解】（1）解：∵点B−2,−1在反比例函数y=∴−1=k解得：k2∴反比例函数函数解析式为：y=2又∵点Am,2在反比例函数y=∴2=k解得：m=1，∴A1,2将A1,2，B−2,−1分别代入得到−1=−2k解得k∴该一次函数解析式为：y=x+1，综上所述：k1的值为1，k2的值为2，（2）令y=x+1中x=0，得y=1,∴C(0,1)S===故答案为：32【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的结合，待定系数法式求表达式的方法，计算三角形面积需注意分割计算，掌握待定系数法是解题的关键．【变式14-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，A、B两点在函数y1

(1)求m的值及直线AB的解析式y2(2)当kx+b≥mxx>0(3)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点为格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．(4)请在右图中画出函数y3=mx的图象并写出当x=12时y1【答案】(1)m=6，y=−x+7(2)1≤x≤6(3)3个(4)画图见解析，y【分析】（1）把点1,6代谢反比例函数的解析，即可求得m的值，把6,1，1,6分别代入表达式y=kx+b，即可求得直线AB的解析式；（2）由图象即可求得；（3）根据图象及解析式即可求得．（4）根据题意，画出函数y=6x的图象，进而根据函数图象，即可求解．【详解】（1）解：由图可知反比例函数过点1,6，将1,6代入y=mx，得∴反比例函数的表达式为y=将点6,1，1,6分别代入表达式y=kx+b得：k+b=66x+b=1解得k=−1∴直线AB的表达式为y=−x+7（2）解：由图象可知：当1≤x≤6时，kx+b≥故答案为：1≤x≤6（3）解：格点的横坐标x的取值范围为2≤x≤5且x为整数当x=2时，y=62=3，当x=3时，y=63=2，当x=4时，y=64=3当x=5时，y=65，综上，所含格点的坐标为2,4，3,3，4,2，共3个，（4）解：如图所示，

∴y【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式，利用图象求不等式的解集，格点问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．【变式14-2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将反比例函数y=5x(x>0)的图象绕坐标原点0，0顺时针旋转45°，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线y=12

【答案】5【分析】反比例函数y=5x(x>0)的图象上点E绕点O顺时针方向旋转45°得点A，过点E作EF⊥x轴于F，得出OA=OE=10，作BC⊥x轴于C，设Bx，12x，并且△OBC是由△OKH绕点O顺时针旋转45°得到的，则OH=OC=x，从而H2【详解】解：设反比例函数y=5x(x>0)的图象上点E绕点O顺时针方向旋转45°得点A，过点E作EF⊥x设Ea∵∠EOF=45°，∴EF=OF，∴a=5∵a>0，∴a=5∴OA=OE=10作BC⊥x轴于C，△OBC是由△OKH绕点O顺时针旋转45°∴点K在原反比例函数图象上．设Bx∴OH=OC=x，∴H2∴过点H作GH⊥x轴于H，KG∥

∴△KGH是等腰直角三角形，∵KH=BC=1∴KG=GH=2∴K22x−∴24解得x=2303或x=−∴12∴BC=30∴S故答案为：53【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得B点的坐标是解题的关键．【变式14-3】（2023春·湖南株洲·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+bk≠0的图象与反比例函数y2=mxm≠0的图象相交于第一，三象限内的

(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；(2)在y轴上找一点P使PB−PC最大，求PB−PC的最大值．【答案】(1)反比例函数的解析式为y2=15(2)3【分析】（1）依据题意，分析已知条件，利用待定系数法即可解决问题；（2）求得直线y1与y轴的交点即为P点，此时，PB−PC=BC【详解】（1）解：把A3，5得m3∴m=15，∴反比例函数的解析式为y2把点Ba，−3得15a解得：a=−5，∴B−5把A3，5，B得3k+b=5−5k+b=−3∴k=1∴一次函数的解析式为y1（2）解：一次函数的解析式为y1=x+2，令x=0，则∴一次函数与y轴的交点为P0此时，PB−PC=BC最大，P即为所求，令y=0，则x=−2，∴C−2如图，过B点向x轴作垂线，

，则D−5∴BD=3，CD=−2−−5由勾股定理可得：BC=C故所求PB−PC的最大值为32【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据点的坐标求线段长，熟练数形结合是解题的关键．【题型15反比例函数与一次函数图象的实际应用】【例15】（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图像是线段；当20≤x≤45时，图像是反比例函数图像的一部分．

(1)求图中点A的坐标；(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．【答案】(1)20(2)能，理由见解析【分析】（1）设反比例函数的解析式为y=kx，由C(20,45)求出k，可得D坐标，从而求出（2）求出AB解析式，得到y≥36时