数学建模 建立函数模型解决实际问题：探究茶水温度与时间的关系 教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

数学建模建立函数模型解决实际问题：探究茶水温度与时间的关系教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析本章节内容选自人教A版（2019）必修第一册，以“数学建模”为主题，通过探究茶水温度与时间的关系，引导学生学习如何建立函数模型解决实际问题。这与教材中关于函数应用的内容紧密相连，让学生在实际情境中理解函数的概念，掌握函数建模的方法。本节课将结合高一上学期的知识深度，指导学生运用所学数学知识，对现实生活中的问题进行定量分析，提高学生解决实际问题的能力。核心素养目标本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：通过实际问题引入，提高学生运用数学语言描述现实世界的能力，强化数学抽象思维；在建立茶水温度与时间关系函数模型的过程中，发展学生的逻辑推理和数学建模素养，使其能够运用数学知识对现实问题进行合理的量化分析；同时，通过小组合作与讨论，提升学生的数学交流与合作能力，加深对数学概念和建模过程的理解，培养学生解决实际问题的创新意识和应用能力。重点难点及解决办法重点：建立茶水温度与时间关系的函数模型，运用数学知识解决实际问题。

难点：如何从现实问题中抽象出数学模型，理解并应用函数概念进行建模。

解决办法与突破策略：

1.引入阶段，通过实际情境展示，引导学生观察茶水温度变化，激发学生兴趣，为抽象出数学模型打下基础。

2.探究阶段，组织学生分组讨论，引导学生运用已学函数知识，尝试描述茶水温度与时间的关系，教师适时给予指导，帮助学生理解建模过程。

3.指导阶段，针对学生在建模过程中遇到的困难，教师进行针对性讲解，强调函数模型的选择和应用，提供多种建模方法，以便学生理解和掌握。

4.实践阶段，让学生独立或合作完成建模任务，通过实际操作，加深对函数建模的理解，提高解决实际问题的能力。

5.总结阶段，组织学生分享建模成果，互相交流学习心得，教师点评并强调重点难点，巩固所学知识。教学资源准备1.教材：确保每位学生都备有人教A版（2019）必修第一册数学教材，以便查阅相关函数建模内容。

2.辅助材料：准备茶水温度随时间变化的相关图片、图表和视频资料，以便在课堂上直观展示，帮助学生理解抽象概念。

3.实验器材：提前准备好温度计、计时器等实验器材，以及实验用茶水和热水壶，确保实验的顺利进行。

4.教室布置：将教室分为小组讨论区、实验操作台和展示区，为学生提供充分的活动空间，便于开展合作学习和实验探究。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过学校在线平台，上传关于函数建模预习的PPT和文档，明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“茶水温度与时间的关系”，设计问题，如“温度如何随时间变化？”、“你能想到哪些函数可以描述这种变化？”

-监控预习进度：通过平台数据，跟踪学生的预习情况，及时给予反馈。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生阅读教材和预习材料，初步理解函数建模的概念。

-思考预习问题：学生尝试回答预习问题，记录疑问。

-提交预习成果：学生将笔记和问题通过平台提交。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：培养学生自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台，提高预习效率。

作用与目的：

-为课堂学习茶水温度与时间关系的函数建模打下基础。

-培养学生的独立思考能力和预习习惯。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过展示茶水冷却的视频，引出本节课的主题。

-讲解知识点：详细讲解如何从实际问题中抽象出函数模型，结合茶水温度变化的实例。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生共同建立茶水温度与时间的函数模型。

-解答疑问：针对学生在建模过程中遇到的问题，提供指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生专注听讲，对讲解的知识点进行思考。

-参与课堂活动：在小组内积极讨论，共同完成茶水温度函数模型的建立。

-提问与讨论：针对不懂的问题，勇于提问并与同学讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过讲解，使学生理解函数建模的理论知识。

-实践活动法：通过小组讨论，加强学生对函数模型的理解和应用。

-合作学习法：培养学生的团队合作和沟通能力。

作用与目的：

-加深对函数建模的理解，解决本节课的重难点。

-通过实践活动，提高学生解决实际问题的能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据课堂内容，布置相关的作业，如建立其他日常生活中的函数模型。

-提供拓展资源：推荐相关的数学建模书籍和在线资源，供有兴趣的学生深入学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈。

学生活动：

-完成作业：认真完成作业，巩固所学知识。

-拓展学习：利用提供的资源，进行更深入的探索。

-反思总结：对学习过程进行反思，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：帮助学生形成自我评价和改进的习惯。

作用与目的：

-巩固课堂所学，提升学生的实际应用能力。

-通过反思，促进学生的自我提升和终身学习的能力。拓展与延伸1.拓展阅读材料

-《数学建模与生活》一书中的相关章节，探讨如何将数学建模应用于日常生活。

-《函数的应用》一文，介绍函数在各个领域中的应用实例，特别是环境科学、经济学和工程学等领域的应用。

-《数学实验》一书中关于实验设计和数据分析的内容，帮助学生了解如何通过实验来验证数学模型。

2.课后自主学习和探究

-研究不同的温度变化规律，如物体加热或冷却时温度随时间的变化，尝试建立不同的函数模型。

-探索其他物理量的变化规律，如气压、体积等，并尝试运用函数建模的方法进行分析。

-结合实际生活中的问题，如人口增长、资源消耗等，运用所学的函数建模知识进行定量分析。

-调查研究身边的现象，如城市交通流量、学校食堂用餐人数等，收集数据并尝试建立相应的数学模型。

知识点拓展：

-函数模型的选择：介绍不同类型的函数模型（线性、指数、对数等），并探讨它们在描述不同现象时的优缺点。

-数据分析：讲解如何处理实验或调查得到的数据，包括数据清洗、图形绘制和统计分析等。

-模型的评估与优化：讨论如何评估数学模型的准确性，以及如何通过调整参数来优化模型。

-实际应用案例：分享数学建模在现实世界中的成功案例，如天气预报、股票市场预测等。典型例题讲解例题1：

已知物体在冷却过程中，其温度T（单位：摄氏度）与时间t（单位：分钟）之间的关系可以近似表示为T(t)=80-2t。求物体在冷却10分钟后，15分钟后的温度。

解答：

T(10)=80-2×10=60℃

T(15)=80-2×15=50℃

例题2：

某城市每天的用水量y（单位：万吨）与时间t（单位：小时）之间的关系可以近似表示为y(t)=10+2t（0≤t≤24）。求该城市一天的用水总量。

解答：

y(24)=10+2×24=58万吨

例题3：

一辆汽车以每小时20公里的速度行驶，其燃油消耗量x（单位：升/小时）与行驶时间t（单位：小时）之间的关系可以表示为x(t)=0.5t+2。求汽车行驶5小时后的燃油消耗量。

解答：

x(5)=0.5×5+2=4.5升

例题4：

某商品的价格p（单位：元）与销售量q（单位：件）之间的关系可以近似表示为p(q)=100-0.5q。求该商品销售量为200件时的价格。

解答：

p(200)=100-0.5×200=0元

例题5：

某学生进行一项实验，观察某种植物的高度h（单位：厘米）与生长时间t（单位：天）之间的关系，发现其生长速度近似为每天2厘米。求植物生长10天后的高度。

解答：

h(10)=2×10=20厘米

补充和说明：

1.例题1展示了如何运用线性函数模型描述物体冷却过程中温度随时间的变化。

2.例题2通过线性函数模型，分析了城市用水量与时间的关系，并计算了一天的总用水量。

3.例题3利用线性函数模型描述了汽车行驶过程中燃油消耗量与行驶时间的关系。

4.例题4通过线性函数模型，展示了商品价格与销售量之间的负相关关系。

5.例题5以线性函数模型为例，说明了植物生长高度与生长时间的关系。

这些例题均与课本中所学的函数建模知识点相关，通过具体的实例，使学生更好地理解函数模型在实际问题中的应用，以及如何求解相应的函数模型。同时，这些题型覆盖了不同领域的应用，有助于学生拓展知识视野，提高解决实际问题的能力。作业布置与反馈-设计作业1：建立一个新的实际问题，要求学生使用函数建模的方法，描述两个变量之间的关系。要求学生提供问题背景、变量定义、函数模型以及相关的分析和解释。

-设计作业2：选择一个日常生活中的现象，如人口增长、产品销售量等，收集相关数据，并尝试建立数学模型来描述这一现象。要求学生展示数据收集过程、模型建立过程以及模型结果的分析。

-设计作业3：让学生回顾本节课的学习内容，总结函数建模的步骤和方法，并用自己的话解释函数建模在实际问题中的应用。

2.作业反馈：

-及时批改作业：对学生的作业进行及时的批改，给出分数或评价。

-指出问题并提供改进建议：在作业批改中，指出学生存在的问题，如模型选择不当、数据分析不准确等，并提供具体的改进建议。

-鼓励学生进行反思和改进：鼓励学生对作业中的问题进行反思，并提出改进的方法，以促进学生的学习进步。

-提供反馈和指导：在作业批改后，与学生进行一对一的交流，提供反馈和指导，帮助学生更好地理解函数建模的概念和方法。

-鼓励学生间的交流和合作：鼓励学生在课堂上分享作业成果，并进行交流和合作，以促进共同学习和提高。板书设计①条理清楚、重点突出：

-知识点：函数模型、温度与时间关系、数学建模步骤。

-关键词：线性函数、数据收集、模型建立、模型分析。

-重要句：茶水温度随时间变化的函数模型如何建立？

-步骤：1.确定变量关系；2.收集数据；3.建立函数模型；4.分析与验证。

②简洁明了：

-公式：T(t)=80-2t（茶水温度模型）。

-图表：温度-时间图表，展示函数模型的图像。

③艺术性和趣味性：

-使用不同颜色的粉笔，突出重点和关键信息。

-设计有趣的图表或图形，如茶杯形状的图表来展示温度变化。

-创意排版，如在板书边缘添加与数学建模相关的趣味图案或简笔画。

-引用生活实例，如在板书中加入学生熟悉的场景，如手机充电量的变化等，增加互动性和趣味性。

板书设计旨在通过清晰的结构、简洁的表达和富有创意的艺术形式，帮助学生更好地理解和记忆函数建模的知识点，同时激发学生的学习兴趣和主动性。教学反思与改进本节课结束后，我进行了深入的反思，发现了一些需要改进的地方。

首先，我发现部分学生在建立函数模型时，对函数概念的理解还不够深入。他们能够按照步骤建立模型，但在解释模型的合理性时，往往缺乏理论依据。这提示我，在未来的教学中，需要加强对函数概念和性质的讲解，让学生不仅会建模，还能理解模型的原理。

其次，课堂讨论环节中，部分学生参与度不高，这可能是由于讨论话题的设置不够贴近学生的生活，或者讨论难度过高。我计划在今后的教学中，更加关注学生的兴趣和生活经验，设计更加生动有趣的讨论话题，并适当降低讨论的难度，提高学生的参与度。

此外，我还注意到，部分学生在作业完成过程中，对数据的处理不够准确，这可能是由于他们对数据分析的方法掌握不够。因此，我计划在后续的教学中，增加数据分析方法