分式方程【十大题型】（举一反三）（华东师大版）（原卷版） 八年级数学下册

专题16.3分式方程【十大题型】【华东师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1分式方程的定义】 ④作答【题型2分式方程的一般方法】【例2】（2023上·北京·八年级校考期末）解分式方程：①x②1【变式2-1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程：(1)2x−3(2)xx−1【变式2-2】（2023下·宁夏银川·八年级银川一中校考期中）阅读下列解题过程，回答所提出的问题：题目：解分式方程：3解：方程两边同时乘以(x+2)(x−2)⋯⋯A得：3去括号得：3x+6−2x+4=8⋯⋯C解得：x=−2⋯⋯D所以原分式方程的解是：x=−2⋯⋯E(1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：；(2)错误的原因是；(3)订正错误．【变式2-3】（2023上·河北秦皇岛·八年级统考期中）对于任意的实数a，b，规定新运算：a※(1)计算：1m−1(2)若1m−1※−【题型3换元法解分式方程】【例3】（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：x−1x解：设y=x−1x，则原方程化为y−4y=0解得y=±2．经检验：y=±2都是方程y−4当y=2时，x−1x=2，解得x=−1；当y经检验：x=−1所以原分式方程的解为x=−1上述这种解分式方程的方法称为换元法．用换元法解：x+12x−1【变式3-1】（2023下·上海杨浦·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）解分式方程x2−13x+5=6x+10x2【答案】y2-y-2=0【变式3-2】（2023上·河南三门峡·八年级统考期末）换元法解方程：x−1x+2－3【变式3-3】（2023下·山西晋城·八年级统考阶段练习）换元法解方程：x−1x+2【题型4裂项法解分式方程】【例4】（2023上·湖南娄底·八年级统考期中）观察下列各式：11×2=1−12；请利用你所得的结论，解答下列问题：(1)计算：11×2(2)解方程1x+10(3)若11×4+1【变式4-1】解方程：3【变式4-2】（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）解方程：1【变式4-3】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）解方程：13x【题型5由分式方程有解或无解求字母的值】【例5】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）若关于x的方程m(x+1)−52x+1=m−3无解，则m的值为（A．3 B．6或10 C．10 D．6【变式5-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）关于x的分式方程3x+6x−1−【变式5-2】（2023上·湖南邵阳·八年级统考期末）已知分式方程2x−1(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或0，试确定“■”表示的数．【变式5-3】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）对于实数x，y定义一种新运算“※”：x※y=yx2−y，例如：1※2=212【题型6由分式方程有增根求字母的值】【例6】（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的方程ax+bx−1=b，其中a，b均为整数且(1)若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？(2)若x=a是方程的解，求b的值．【变式6-1】（2023下·山东枣庄·八年级统考阶段练习）若关于x的方程ax+1x−1−1=0有增根，则a的值为【变式6-2】（2023上·湖北武汉·八年级校考期末）若分式方程1x−2+3=b−xA．1 B．0 C．−1 D．−2【变式6-3】（2023上·山东淄博·八年级山东省淄博第四中学校考期末）分式方程x+kx−1−1=4x2【题型7由分式方程有整数解求字母的值】【例7】（2023下·山东济南·八年级统考期中）若关于x的分式方程x+ax−2+2a2−x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1A．18 B．16 C．12 D．6【变式7-1】（2023上·北京·八年级清华附中校考期末）若关于x的分式方程1−axx−2+3=12−x【变式7-2】（2023下·江苏常州·八年级统考期末）若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数【变式7-3】（2023下·重庆·八年级重庆一中校考期中）已知关于x的不等式组x−66+2x+13≤724(x+a)+1<3(2x+1)无解，关于A．6 B．9 C．10 D．13【题型8由分式方程解的取值范围求字母的范围】【例8】（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程m−2x+1A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2【变式8-1】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）已知关于x的分式方程m+32x−1=1的解不大于2，则m的取值范围是【变式8-2】（2023下·山西晋城·八年级校考期中）已知关于x的分式方程1x−1(1)若分式方程的解为x=2，求k的值．(2)若分式方程有正数解，求k的取值范围．【变式8-3】（2023上·江苏南通·八年级启东市长江中学校考期末）若关于x的分式方程2x−3=1−m3−x的解为非负数，则【题型9分式方程的规律问题】【例9】（2023下·江苏常州·八年级校考期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13方程x+1x=4+14…(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+(2)解方程：y+2y+5y+2=(3)方程2x−3x+1+x+12x−3【变式9-1】（2023下·八年级课时练习）阅读下列材料：方程1x+1方程1x方程1x−1…(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜出这个方程的解；(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为－5的分式方程．【变式9-2】（2023上·山东淄博·八年级统考期末）已知：①x+2x=3可转化为x+②x+6x=5可转化为x+③x+12x=7可转化为x+⋯⋯根据以上规律，关于x的方程x+m2+4m−12x+5=2m−1【变式9-3】（2023·陕西·八年级统考期末）解方程：①1x+1=2②2x+1=4③3x+1=6④4x+1=8…（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．【题型10分式方程的新定义问题】【例10】（2023上·北京延庆·八年级统考期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程ax+1=b的解是x=1a+b成立，那么我们就把实数a，b称为关于x的分式方程ax+1=b的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：a=2，b=(1)判断数对①[3，−5]，②[−2，4]中是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”的是(2)若数对[n，3−n]是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，求(3)若数对[m−k，k]（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，用含【变式10-1】（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=2a−b,a>b2bb−a（1）直接写出F(a+1,a)=_______________；（2）若F(m,2)−F(2,m)=1，求出m的值．【变式10-2】（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．(1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程2x+12x−1(2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+