新高考数学一轮复习讲义：函数与方程（原卷版+解析）

专题12函数与方程

【命题方向目录】

命题方向一：求函数的零点或零点所在区间

命题方向二：利用函数的零点确定参数的取值范围

命题方向三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

命题方向四：嵌套函数的零点问题

命题方向五：函数的对称问题

命题方向六：函数的零点问题之分段分析法模型

命题方向七：唯一零点求值问题

命题方向八：分段函数的零点问题

命题方向九：零点嵌套问题

命题方向十：等高线问题

命题方向H^一：二分法

【2024年高考预测】

2024年高考仍将方程解得个数、函数零点个数、不等式整数解的问题、不等式恒成立与能成立为载体

考查函数的综合问题，考查数形结合与转化与化归思想.

【知识点总结】

1、函数的零点与方程的解

（1）函数零点的概念

对于一般函数y=F（x）,我们把使=0的实数尤叫做函数y="X）的零点.

（2）函数零点与方程实数解的关系

方程=0有实数解=函数y=/（x）有零点Q函数y=〃力的图象与x轴有公共点•

（3）函数零点存在定理

如果函数y=在区间团，切上的图象是一条连续不断的曲线，且有/'（alAbkO,那么，函数

y=在区间（a,b）内至少有一个零点，即存在ce3力），使得〃c）=0,这个c也就是方程/（可=0的解.

2、二分法

（1）对于在区间团，切上连续不断且/（砂/（加＜0的函数y=f（x）,通过不断把函数的零点所在

的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

（2）对于给定精确度£,利用二分法求函数/（X）零点近似值的步骤如下：

①确定区间［。，句，验证/（a）/S）＜0,给定精确度£;

②求区间3,6）的中点c;

③计算/（c）;

a.若f（c）=O,贝Uc就是函数的零点；

b.若/（a）/（c）＜0,则令6=c（此时零点尤°e（a,c））；

c.若f（6）f（c）＜0,则令a=c（此时零点七e（c,力）.

④判断是否达到精确度£,即：若则得到零点近似值a（或6）；否则重复②③④.

【方法技巧与总结】

1、若连续不断的函数/'（X）在定义域上是单调函数，则/（X）至多有一个零点.

2、连续不断的函数/（%）,其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

3、连续不断的函数/（X）通过零点时，函数值不一定变号.

4、连续不断的函数〃幻在闭区间［a,句上有零点，不一定能推出/■（a）/S）＜0.

【典例例题】

命题方向一：求函数的零点或零点所在区间

l,x＞0

例1.（2023•新疆乌鲁木齐•统考三模）定义符号函数sgm=，0,x=。,则方程dsgru=5x-6的解是（）

-1,x＜0

A.2或—6B.3或—6C.2或3D.2或3或—6

例2.（2023•北京•高三统考学业考试）函数/（无）=x-l的零点是（）

A.-2B.-1C.1D.2

例3.（2023・全国・高三专题练习）已知看是函数/口）=2£+二匚的一个零点，若不€（1,毛）,々武飞+8）,则

（）

A./（毛）＜0,/（x2）＜0B./区）＜0,/（x2）＞0

C.〃占）＞0,/（x2）＜0D./（^）＞0,/（%2）＞0

变式1.（2023•全国.模拟预测）设函数〃x）=e，-卜-4，奴儿则（）

A.若〃x）在区间（-2,-1）和（-1,0）都有零点，则在区间（0,1）也有零点

B.若/（X）在区间（-2,-1）和（-1,0）都有零点，则在区间（0,1）没有零点

C.若“X）在区间（-2,-1）和（-1,0）都没有零点，则在区间（0,1）有零点

D.若/(尤)在区间(-2,-1)和(-1,0)都没有零点，则在区间(0,1)也没有零点

变式2.(2023・甘肃金昌・永昌县第一高级中学统考模拟预测)已知为是函数〃尤)=\；-尤+4的一个零点,

若X]€(2,%),%«%+00),则()

A.%«2,4)B./(^)>/(x2)

C./(-^)<0,/(x2)<0D./(Xj)>0,/(x2)>0

变式3.(2023•北京•统考模拟预测)己知函数〃同=)「5"：一2若方程〃x)=l的实根在区间

[xlg(x+2),x>-2

氏后+l)#eZ上，则上的最大值是()

A.-3B.-2C.1D.2

变式4.(2023・全国•高三专题练习)函数/(x)=4+x-3的零点所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【方法技巧与总结】

求函数/(X)零点的方法：

(1)代数法，即求方程/(X)=0的实根,适合于宜因式分解的多项式；(2)几何法，即利用函数y=/(x)

的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

命题方向二：利用函数的零点确定参数的取值范围

例4.(2023・全国・高三专题练习)函数/(司=/一依+。_1有两个不同的零点的一个充分不必要条件是()

A.a=3B.〃=2C.a=lD.a=0

例5.(2023•辽宁大连•大连二十四中校考模拟预测)已知函数x若函数

[-2x,x<0

gG)=〃x)-忖2—甸,(人R)恰有4个零点，则上的取值范围()

A.(-8,-1)°(2石,+8)B.卜8,-75)U(O,2)

C.(-00,0)(0,2+272)D.(-00,0)(2+2君,+可

lnx+x,x>l

例6.(2023•黑龙江•高三校联考开学考试)已知函数〃》)=<m，若g(x)=f(x)-L有三个

2,x2-mx-\——,x<\

2

零点，则实数机的取值范围是（）

A.（1,：B.（1,2]C.D.[1,3]

变式5.（2023・全国•高三专题练习）若方程--1|=加有两个不同的实数根，则实数加的取值范围为（）

A.（0,+e）B.（0,1]C.（0,1）D.（1,+s）

/、of+lax+1,x<0

变式6.（2023.全国•校联考模拟预测）若函数/x=、八恰有2个零点，则实数〃的取值范

ln（x+l）+6r,x>0

围为（）

A.（-00,0）0（1,+oo）B.（0,1）C.（-oo,l）D.（0,+oo）

变式7.（2023.陕西商洛・统考二模）已知函数g（x）=2x-21nx,若函数/（x）=g（犬）-2加+3有2个零点，则

实数加的取值范围是（）

a-H'Hb-[r+c°）

C.（LD.

变式8.（2023・陕西汉中•统考一模）若函数〃司=|现2乂-3T的两个零点是〃/，贝|（）

A.mn=lB.m-n>\

C.0<m-n<lD.无法判断

【通性通解总结】

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不

等式，解不等式，从而获解.

命题方向三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

例7.（2023・全国•模拟预测）已知函数/（尤）满足（x+=/（工一"|）•当时，/（x）=2x3-llx2+14%,

则外力在[-120,120]上的零点个数为___________

例8.（2023・浙江•二模）己知函数/（力=及-乖\，则F（/（x））=。至多有______个实数解.

例9.（2023・四川・四川省金堂中学校校联考三模）函数/（x）=sinx-log2尤的零点个数为_________.

变式9.（2023•全国•高三专题练习）函数〃x）一："：：：",。，当了>0时的零点个数是—.

变式10.（2023・全国•模拟预测）已知〃x）=[吧:>°；八则函数y=4[〃x）于-8〃尤）+3的零点个数

\—x—2x+1,xW0,

是.

变式IL（2023・北京大兴•高三校考开学考试）已知函数则函数的零点个数为

2H,X<0

变式12.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃x）=<，则函数g（x）=5（x）-3〃x）+2零点的

|hix|,x>0

个数是__________

【通性通解总结】

方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点

的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果

不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.

命题方向四：嵌套函数的零点问题

例10.（2023・江苏•高三专题练习）设定义在卡上的函数/（幻=1％-1|，若关于％的方程产（x）+"（x）+c=0

1,%=1.

有3个不同的实数解石,马，工3，则%+々+%3=.

例1L（2023•江西赣州•高三校联考）已知函数是定义域为R的偶函数，当xNO时，

_2-|__10<x<2

/«=2'一一，若关于X的方程”"（必2+止/。）+1=0恰好有7个不同的实数根，那么

log4x,x>2

m-n的值为.

5k一"_山x>0

例12.（2023・全国•高三专题练习）设定义域为R的函数/（x）=",若关于无的方程

x2+4x+4?x<0

f2(x)-(2m+l)f(x)+m2=0有7个不同的实数解，则m=

e**x-x〉0

变式13.(2023・四川成都・高三石室中学校考)已知函数〃尤)=_一"，若关于龙的方程

产(x)=2研〃尤)-2］有8个不同的实数解，则整数机的值为.(其中e是自然对数的底数)

变式14.(2023•江苏扬州・高三扬州中学校考)已知函数/■(x)=gg2|x-1］,若关于x的方程

"(x)f+a-/(x)+b=0有6个不同的实数解，且最小实数解为-3,则a+b的值为.

川，若关于x的方程

变式15.(2023•山东枣庄•高三阶段练习)设定义域为R的函数/(》)=

2r(x)-(2a+3)/(x)+3a=0有五个不同的实数解，则a的取值范围是.

4sinTLX0<xK1

{e'1一，若关于X的方

程(2-m)/(x)+l-力2=0恰有5个不同的实数解，则实数小的取值集合为.

【通性通解总结】

1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围.

2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实.

命题方向五：函数的对称问题

例13.(2023•全国•高三专题练习)若不同两点尸、。均在函数y=/(x)的图象上，且点尸、。关于原点对

称，则称(AQ)是函数y=的一个“匹配点对’(点对(P,Q)与X=o视为同一个“匹配点对)已知

__Y〉C)

〃X)=e，’一恰有两个“匹配点对”，则。的取值范围是()

2ax2,x<0

例14.(2023•黑龙江哈尔滨・高一哈尔滨三中校考期中)若函数>=/(%)图象上存在不同的两点A,3关于>

轴对称，则称点对［A司是函数>=/(%)的一对“黄金点对”(注：点对［A为与［此为可看作同一对“黄金点

3。x<0

对”).已知函数/(%)=-V+4x,0JW4,则此函数的“黄金点对”有()

x2-10%+24,x>4

A.0对B.1对C.2对D.3对

例15.（2023・山东德州•高一德州市第一中学校考期末）若函数"X）图象上不同两点关于原点对称,

则称点对是函数f（x）的一对“姊妹点对”（点对与看作同一对“姊妹点对"），已知函数

ex—l,x<0

/(%)=则此函数的“姊妹点对”有（)

x2—2x,x>0

A.0对B.1对C.2对D.3对

变式17.（2023・全国•高三专题练习）若M,N为函数/（x）图象上的两个不同的点，且N两点关于原点

对称，则称点对（M,N）为函数FOO的一个“配合点对”（点对（M,N）与点对（N,M）为同一“配合点对”）.现

x~+2ex+zn-1,x,,0

给定函数/（x）=2（e为自然对数的底数），若函数Ax）的图象上恰有两个“配合点对”，

XH--e--,X＞0

.尤

则实数机的取值范围是（）

A.nz.e+1B.m＜（e-l）2C.m,,e2D.m..e2+1

变式18.（2023・陕西西安・西安中学校考模拟预测）已知函数“X）=/-办为自然对数的底数）

e

与g（x）="的图象上存在关于直线y=x对称的点，则实数。的取值范围是（）

A.l,e+-B.

e

变式19.（2023・全国•高三专题练习）已知函数g（x）=a-x3&WxWe],e为自然对数的底数）与/z（x）=31nx

的图象上存在关于无轴对称的点，则实数。的取值范围是（）

A.1,-+3B.[1,/—3]C.—+3,e3—3D.[/—3,+co）

【通性通解总结】

转化为零点问题

命题方向六：函数的零点问题之分段分析法模型

例16.（2023・全国・模拟预测）若函数/。）=01-丁田+湛11我（xeR,e是自然对数的底数，。＞0）存

在唯一的零点，则实数”的取值范围为.

例17.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=xe*-a（x+lnx）（e为自然对数的底数）有两个不同零点,

则实数。的取值范围是.

例18.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃x）=4elnx--匚+〃式存在4个零点，则实数优的取值范

x-dnx

围是•

变式20.（2023・全国•高三专题练习）设函数〃力=三—2或+虚—inx,记8⑺;勺，若函数g（x）至少存

在一个零点，则实数m的取值范围是.

命题方向七：唯一零点求值问题

例19.（2023•江西•校联考二模）已知函数g（x）,网力分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

g（%）+h{x）=2023^+log2023（x+A/177）,若函数/（均=2023+"网一通汉一2023）-23有唯一零点，则实数几

的值为（）

A.-1或;B.一1或一二C.-1D.；

222

例20.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/'（x）=k+2|+eA2+e-2T+a有唯一零点，则实数”=（）

A.1B.-1C.2D.-2

例21.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃%）=厂彳+jT-a（siiu+cosx）有唯一零点，贝U”（）

<兀c4兀-LC

A.—B.—C.y/2,D.1

ee

变式21.（2023•四川泸州•高三四川省泸县第四中学校考开学考试）已知关于尤的函数

/（%）=法2一次+,_1|+62+6—4有唯一零点x=a,贝！］a+/?=（）

A.-1B.3C.-1或3D.4

变式22.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（幻=--2工+。（01+/加）+<：05（天-1）-1有唯一零点，贝此=

（）

A.1B.—C.—D.—

332

变式23.（2023・全国•高三专题练习）已知函数g（x）,Mx）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

x

g(x)+h(x)=e+sinx-x,若函数/(尤)=3g2网一彳8(；1—2020)—2下有唯一零点，则实数4的值为

B.1或二

A.-1或;C.一1或2D.-2或1

2

变式24.(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃切=242-：4(21+227)一“2有唯一零点，则负实数〃=

1

A.-2B.C.—1D.—或—1

2

【通性通解总结】

利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：

U)利用零点存在性定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

命题方向八：分段函数的零点问题

\x-c,x>0,

例22.(2023・北京•高三专题练习)设ceR,函数〃幻="。八若〃月恰有一个零点，贝|c的取值

[2-2c,x<0.

范围是()

A.(0,1)B.{0}U[l,+8)

C.(0i)D.{0}U[g,+8)

2-x,x<0

例23.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=1,g(x)=/(x)-x-a.若g(x)有2个零点,

In—,x>0

则实数。的最小值是()

A.2B.0C.-1D.1

0,x<0

例24.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(无)=.八，则使函数g(x)=/(x)+x-w有零点的实数机

[e",尤>0

的取值范围是()

A.[0,1)B.(-*1)

C.(-02,0],(l,+oo)D.(f,l]U(2,y)

廿-3x+2|,xe(0,+8)

1V

变式25.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃尤)=।q,有且仅有两个零点，则实数。

-ex+0]

的取值范围是（）

A.a<QB.或Q>1C.Q<a<lD.或a>l

九2I无_2X<0

,‘一’一的零点个数为（）

（-1+Inx,x>0

A.3B.2C.1D.0

【通性通解总结】

已知函数零点个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解.

命题方向九：零点嵌套问题

例25.（2023•河北沧州•高三统考阶段练习）已知函数=+S-2）j+2-a有三个不同的零点

々，/，其中玉＜%＜三，贝.一々]的值为.

例26.（2023•江西宜春•高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数〃x）=（a+2）e"-（a+l）xe工+/有三

个不同的零点为，%,%，且芯＜%＜三，贝,1一^][1一白][1一々]的值为

例27.（2023•全国•高三专题练习）己知函数，（%）=2（4+2）/-（4+1）祀*+尤2有三个不同的零点占,尤2，%,

且&＜0＜/＜£，则（2—（2—91[2-烹）的值为.

变式27.（2023•河南信阳•高三信阳高中校考开学考试）已知函数f{x）=x（x-ex）+（^x+me、（x-）有三个

零点七，巧，马，且再＜0＜%＜尤③，其中机eR,e=2.718为自然对数的底数，则加一（宗一1：（^一1）（宗一“

的范围为.

变式28.（2023•江苏苏州•高二江苏省震泽中学校考阶段练习）已知函数/W=（ax+ln尤）（x-lnx）--有四个

不同的零点％1，和叼％4，且四个零点全部大于1，则-生玉）（1-也*"）（1-电么）的值为

*^2*^3*^4

变式29.（2023•江苏苏州•高二常熟中学校考期末）已知函数/⑴=（ln尤）2+（4+〃）jdnx+（2a+8）f存在三个

零点4、巧、工3，且满足阳＜%2＜%3，则—^-+2^，+2+的值为__________.

x

IX]jyx2）\3）

【通性通解总结】

解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.

命题方向十：等高线问题

无2+4Y+2

例28.（2023•湖北武汉•高一期末）己知函数/（x）=}og@_,尤；；，若关于彳的方程“可,有四个不

X

同的实数解毛，巧，鼻，4＞且为＜尤3＜匕，则（退+%）（括一%）+2无3+；无4的最小值为（）

7Q।

A.-B.8C.-D.J

222

|log2(x+l)|,-l<x<3

例29.（2023•河南郑州•高一新密市第一高级中学校考阶段练习）已知函数/（"=＜

-X2-5X+—,X>3

22

若关于X的方程f（X）=m有四个不同的实数解百，々,三，匕，且满足见＜%＜尤3＜Z,则下列结论正确的是（）

A.Xtx2=-1B.毛工4目21,25]

111

C.x3+x4=22D.一+—=T

+x＜0

例30.（2023•江西上饶•高一统考期末）已知函数〃x）=:,若方程/（x）=a有四个不同的实数

Jog2Mx＞0

解为，巧，七，&且玉＜工2＜兀3〈工4，则刀工3（工1+%）的取值范围是（）

%3%

A.（4,5）B.（4,5]C.（4,+oo）D.[4,+oo）

变式30.（2023•全国•高三校联考专题练习）已知函数/（x）=|x+L|+|a-x+—L|-6有五个不同的零点，且所

xa—x

有零点之和为3,则实数匕的值为（）

A.1B.3C.5D.7

【通性通解总结】

数形结合

命题方向H"一：二分法

例31.(2023•全国•高三专题练习)用二分法求函数〃x)=ln(x+l)+尤-1在区间［0,1］上的零点，要求精确度

为0.01时，所需二分区间的次数最少为()

A.6B.7C.8D.9

例32.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=ln(x+2)+2x-〃z(weR)的一个零点附近的函数值的参考数

据如下表：

X00.50.531250.56250.6250.751

於)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099

由二分法，方程ln(x+D+2x-根=。的近似解(精确度0.05)可能是()

A.0.625B.-0.009C.0.5625D.0.066

例33.(2023•陕西西安・西安中学校考模拟预测)某同学用二分法求函数/(x)=2'+3x-7的零点时，计算出

如下结果：/(1.5)=0.33,/(1.25)=-0.87,

/(1.375)=-0.26,/(1.4375)=0.02,/(1.4065)=-0.13,/(1.422)=-0.05,下列说法正确的有()

A.1.4065是满足精度为0.01的近似值.

B.1.375是满足精度为0.1的近似值

C.1.4375是满足精度为0.01的近似值

D.1.25是满足精度为0.1的近似值

变式31.(2023・全国•高三专题练习)用二分法研究函数/(x)=V+2x-l的零点时，第一次计算，得“0)<0,

/(0.5)>0,第二次应计算/&),则々等于()

A.1B.-IC.0.25D.0.75

变式32.(2023•全国•高三专题练习)若函数在区间口，1.5］内的一个零点附近函数值用二分

法逐次计算，列表如下：

X11.51.251.3751.3125

了（无）-10.875-0.29690.2246-0.05151

那么方程式_彳_1=0的一个近似根（精确度为0.1）可以为（）

A.1.3B.1.32C.1.4375D.1.25

变式33.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（尤）=苫--*的部分函数值如下表所示:

X10.50.750.6250.5625

fM0.6321-0.10650.27760.0897-0.007

那么函数f（x）的一个零点近似值（精确度为0.1）为（）

A.0.45B.0.57C.0.78D.0.89

【通性通解总结】

对于在区间［a,b］上连续不断且<0的函数y=/（x）,通过不断把函数/（%）的零点所在的区间

一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

【过关测试】

一、单选题

1.（2023•江西萍乡・统考二模）已知函数〃x）='无；0,则y=/（x）-（的所有零点之和为（）

|x+l|,x<02

A.B.C.2D.0

22

2.（2023•陕西西安・西安市第三十八中学校考一模）函数/5）=1。82x-1。84（尤+20）的零点为（）

A.4B.4或5C.5D.T或5

34

fr丫2023、

3.（2023・四川德阳・统考一模）已知函数/（司=1+工-5+r事一亍++餐,xeR,则f（x）在R上的零点个

数为（）

A.0B.1C.2D.2023

4.（2023・四川成都通都市第二十中学校校考一模）已知函数/（元）=1中2_2耳，函数8（制=尸（司+/（力-1,

则函数g（元）的零点个数为（）

A.4B.5C.6D.7

5.（2023・湖南.模拟预测）若函数〃x）=（lnx）2-ln1在（0,8）内有2个零点,则a的取值范围为（）

A.（T»,21n2）B.S，O）|J（O,21n2）C.（ro,31n2）D.（ro,0）_（0,31n2）

］2,叫x<2

6.（2023•四川泸州・统考一模）已知函数〃x）=心，若方程/（X）-a=0恰有三个不同的实数根,

一,x22

则实数a的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,3)

2

7.(2023•吉林长春・长春市实验中学校考二模)函数y=lnx—-的零点所在的大致区间是()

x

A.(-,1)B.(1,2)

e

C.(2,e)D.(e,+oo)

8.(2023・四川巴中•统考模拟预测)已知定义在R上的函数满足〃x+l)=2〃尤)，当x«0,l]时，

=若对任意xe(T»,m],都有/(x)2-咚，则机的取值范围是()

B.

D.(一吟

二、多选题

9.(2023・海南•校联考模拟预测)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()

A.y=cosxB.y=^+sinxC.J=ln|x|D.y=x2+l

10.(2023・吉林长春・长春吉大附中实验学校校考模拟预测)关于函数〃x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有

()

A.Ax)在区间(1,2)上单调递增B.>=/(尤)的图象关于直线x=2对称

C.若占#々，/(匕)=/(々)，则4+巧=4D.f(x)有且仅有两个零点

11.(2023・福建福州•统考模拟预测)设函数f(x)的定义域为RJ(x-1)为奇函数，/(x+1)为偶函数，当

xe(-L,l)时，/(x)=-x2+l,则下列结论正确的是()

A.f=—|B./(x+7)为奇函数

C.〃尤)在(6,8)上为减函数D.方程〃力+班=。仅有6个实数解

12.(2023•全国•深圳中学校联考模拟预测)已知函数/'(力=3卜1+2,对于任意的。，b,ceR,关于x的

方程a[y(x)了+纱(x)+c=0的解集可能的是()

A.{0,4}B.{0,2}C.{1,2,3}D.{-1,0,2,3}

三、填空题

13.(2023•河南南阳•南阳中学校考模拟预测)己知函数/(x)=2(a+2)e"-(4+1)超+/有三个不同的零点

Xt,x2,x3,且当<0<苫2<%，贝[2—2j[2—飞][2—的值为.

14.（2023•上海闵行•统考二模）已知〃x）=^/^的反函数y=尸（x）的零点为2,则实数。的值为

15.（2023•安徽合肥・合肥市第八中学校考模拟预测）已知定义在（0,+8）上的函数/（x）满足：

fxlnx,0<x<l.1、

〃X）=，，若方程“zX=依-;在（0,2］上恰有三个根，则实数上的取值范围是，

16.（2023・四川乐山•统考一模）函数/（对=向-1-cos口卜1,3］上所有零点之和为.

专题12函数与方程

【命题方向目录】

命题方向一：求函数的零点或零点所在区间

命题方向二：利用函数的零点确定参数的取值范围

命题方向三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

命题方向四：嵌套函数的零点问题

命题方向五：函数的对称问题

命题方向六：函数的零点问题之分段分析法模型

命题方向七：唯一零点求值问题

命题方向八：分段函数的零点问题

命题方向九：零点嵌套问题

命题方向十：等高线问题

命题方向十一：二分法

［2024年高考预测】

2024年高考仍将方程解得个数、函数零点个数、不等式整数解的问题、不等式恒成立

与能成立为载体考查函数的综合问题，考查数形结合与转化与化归思想.

【知识点总结】

1、函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于一般函数y=/(%),我们把使/(x)=0的实数x叫做函数y=的零点.

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程/(x)=0有实数解=函数y=/(x)有零点o函数y=的图象与x轴有公共点.

(3)函数零点存在定理

如果函数y=在区间伍，切上的图象是一条连续不断的曲线，且有

那么，函数y=/(x)在区间(a,6)内至少有一个零点，即存在ce(“,6),使得〃c)=0,这

个c也就是方程/(力=0的解.

2、二分法

(1)对于在区间［a,6］上连续不断且/(a)/S)<0的函数y=/(x),通过不断把函数

/（尤）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值

的方法叫做二分法.

（2）对于给定精确度£,利用二分法求函数/（尤）零点近似值的步骤如下：

①确定区间[a,6],验证/1（a）/（6）<0,给定精确度£;

②求区间（“，3的中点c;

③计算/（c）;

a.若/（c）=0,则c就是函数的零点；

b.若/（a）/（c）<0,则令6=c（此时零点与e（a,c））；

c.若_/W（c）<0,则令a=c（此时零点je（c,6））.

④判断是否达到精确度£,即：若|。-同<£,则得到零点近似值a（或b）；否则重复

②③④.

【方法技巧与总结】

1、若连续不断的函数/（X）在定义域上是单调函数，则/（X）至多有一个零点.

2、连续不断的函数/（无），其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

3、连续不断的函数/（尤）通过零点时，函数值不一定变号.

4、连续不断的函数/（元）在闭区间团，切上有零点，不一定能推出了（。"（6）<0.

【典例例题】

命题方向一：求函数的零点或零点所在区间

l,x>0

例1.（2023•新疆乌鲁木齐•统考三模）定义符号函数sgnx=<O,x=O,则方程Ysgn^=5x-6

-1,x<0

的解是（）

A.2或一6B.3或一6C.2或3D.2或3或一6

【答案】D

【解析】依题意，当％>0时，方程x2sgnx=5x—6为：x2=5x-6,解得％=2或x=3,因止匕

%=2或％=3,

当％=0时，方程x2sgm:=5x-6为：0=5x-6,解得x=|",于是无解，

当％v0时，方程x2sgiix=5x-6为：一%2=5%—6,解得x=-6或％=1,因止匕x=-6,

所以方程x2sgnx=5x—6的解是九=2或x=3或x=-6.

故选：D

例2.（2023・北京•高三统考学业考试）函数〃x）=x-1的零点是（）

A.12B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】令〃X）=X—1=0,贝壮=1

故选：C.

例3.（2。23・全国•高三专题练习）已知％是函数f（x）=2，占的一个零点’若

方41,与）,马€伉+00）,则（）

A./(网)<0,/(x2)<0B./(为)<0,/(x2)>0

C./(^)>0,/(%2)<0D.”占)>0,/(%2)>0

【答案】B

【解析】因为％是函数/（》）=2'+3的一个零点，则不是函数y=2”与y=工的交点的

1-xx-\

横坐标，画出函数图像，如图所示，

则当％时，＞=2＜在了=＜下方，即〃为）＜0；

当马时，