贵州省遵义2025届高三数学试题联合模拟考试试题（含解析）

贵州省遵义第二教育集团2025届高三数学试题联合模拟考试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.

例（左）视图

A.26■龟S，且B.2也史S，且26cs

C.2后eS，且2asD.2拒eS，且2百eS

2.在棱长为2的正方体中，尸为AiZ>i的中点，若三棱锥尸-48C的四个顶点都在球。的球面上，则

球。的表面积为（）

A.12兀B.—C.—D.lOn

24

3.设耳,E分别是双曲线£-4=1（“>0,6>0）的左右焦点若双曲线上存在点P,使4班=60。，且归耳|=2俨阊，

ab

则双曲线的离心率为（）

A.73D.76

4.已知抛物线C：9=2加（夕>0）,直线丁=中„〉0）与。分别相交于点A,4与C的准线相交于点N,

^\AM\=\MN\,贝!］左=（）

272

c.2V2

5.已知抛物线C：V=4x和点。（2,0）,直线尤="-2与抛物线C交于不同两点A,B,直线6D与抛物线。交于

另一点E.给出以下判断:

①以班为直径的圆与抛物线准线相离；

②直线0B与直线0E的斜率乘积为-2；

③设过点A,B,E的圆的圆心坐标为S,切，半径为r，则r=4.

其中，所有正确判断的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

6.3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.—

24510

7.设曲线y=a（x—1）—Inx在点（1,0）处的切线方程为y=3x—3,则。=（）

A.1B.2C.3D.4

8.如图所示，直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,

则球的体积为（）

9.公差不为零的等差数列{砺}中，”|+“2+。5=13,且41、。2、05成等比数列，则数列{丽}的公差等于（）

A.1B.2C.3D.4

10.复数满足z+|z|=4+8i,则复数z在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

11.已知集合A={y|y=|x|-1,x£R},B={x|x>2},则下列结论正确的是（）

A.-3WAB.3^BC.AAB=BD.AUB=B

22i

12.如图所示，在平面直角坐标系龙。丁中，b是椭圆鼻+方=i（a〉6〉o）的右焦点，直线与椭圆交于3,c

两点，且N5FC=90°,则该椭圆的离心率是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

'3x-2y+4>0,

13.设x,V满足约束条件x+4y+620,,则z=/+/的最大值为,

x-2<0,

14.已知半径为4的球面上有两点---=s、F球心为O,若球面上的动点C满足二面角的大小

为"，:，则四面体二二二二的外接球的半径为.

15.学校艺术节对同一类的A,B,C,。四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同

学对这四项参赛作品预测如下：

甲说：“。或。作品获得一等奖”；乙说：“3作品获得一等奖”；

丙说：“A,。两项作品未获得一等奖”；丁说：“C作品获得一等奖”.

若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是.

16.成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布X〜NQOO,b?),且P(86<X<100)=0.15,若

该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X大于114分的人数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远

镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年

代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)

是一定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉

冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.

(1)在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？

(2)根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.

18.(12分)已知函数/(x)=2|x—2]—7"(">0),若〃%+2)<0的解集为(—2,2).

(1)求加的值；

1119

(2)若正实数b,c满足a+2b+3c=加，求证：一+一+一之一.

a2b3c4

19.(12分)数列｛a“｝满足。，产0,q=1且。〃+1+3。“+4=0.

(1)证明：数列工是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛。屋4,+1｝的前几项和S..

1

20.(12分)已知函数/(%)=/+9,其中〃>一1.

(I)当，=1时，求函数/(%)的单调区间；

(II)设丸(尤)=/(x)+以一；12—In%,求证：h(x)>2；

(ni)若/(刈23/+%+6对于xeR恒成立，求b—。的最大值.

21.(12分)选修4—5；不等式选讲.

已知函数"x)=|x|-|X-II.

(1)若/(x)才m-11的解集非空，求实数机的取值范围；

⑵若正数X。满足/+，M为(1)中机可取到的最大值，求证：x+y>2xy.

22.(10分)设不等式一2<上一1|—|%+2|<。的解集为M,a,beM.

11,1

(1)证明:—a+—b<；

364

(2)比较|1—4/与2|a—4的大小，并说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.

【详解】

根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，

如图所示：

所以：AB=BC=CD=AD=DE=2,

AE=CE=26，BE=7（2A/2）2+22=2^.

故选：D.

本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

2.C

【解析】

取BiCi的中点Q,连接尸。，BQ,CQ,PD,则三棱柱BCQ-ADP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥Pi42c有相同的

外接球，求出等腰三角形Q2C的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径

【详解】

如图，取BiCi的中点。，连接尸。，BQ,CQ,PD,则三棱柱BCQ-A。尸为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都

在球。的球面上，AQBC的外接圆直径为2r=—1篇=],球。的半径R满足代=/+（空）2=上，所以球。的

smZQCB2216

41兀

2

表面积S=4兀R=---,

4

故选：C.

此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属

于中档题.

3.A

【解析】

由归国=2归闾及双曲线定义得归国和归耳|(用。表示)，然后由余弦定理得出a,c的齐次等式后可得离心率.

【详解】

由题意尸耳］=2|尸周，.•.由双曲线定义得|期|—|「国=2。,从而得归周=4a,|尸阊=2a,

在月中，由余弦定理得(2c)2=(4a)2+(2a)2—2x4ax2acos60。，化简得e=£=JL

a

故选：A.

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用。表示出P到两焦点的距离，再由余弦定理得出。的齐

次式.

4.C

【解析】

根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.

【详解】

显然直线y=小一。(左〉0)过抛物线的焦点/已。］

如图，过作准线的垂直，垂足分别为C,D,过M作AC的垂线，垂足为E

根据抛物线的定义可知AC=AF,又AM=MN,所以M为AN的中点，所以为三角形乂4c的中位线，故

1

MD=CE=EA=-AC

2

设则AF=AC=2t,所以AM=3f,在直角三角形中，ME=7AM2-A£2=^9t2-t2=

所以左=tan/MAE="£=冥2=2后

AEt

故选：c

本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.

5.D

【解析】

对于①，利用抛物线的定义，利用4=幺土旦也＞些=尺可判断；

222

对于②，设直线OE的方程为x=my+2,与抛物线联立，用坐标表示直线08与直线0E的斜率乘积，即可判断；

对于③，将尤="-2代入抛物线。的方程可得，力%=8,从而，以=-%，利用韦达定理可得

|BE|2=16m4+48m2+32,再由「=|小『+（与1],可用m表示产，线段助的中垂线与x轴的交点（即圆心

N）横坐标为2〃?2+4,可得a,即可判断.

【详解】

如图，设歹为抛物线C的焦点，以线段3E为直径的圆为M,则圆心〃为线段班的中点.

设6,E到准线的距离分别为4,d2,OM的半径为R,点〃到准线的距离为d,

显然3,E，尸三点不共线，

则六安生=”产＞中=心所以①正确.

222

由题意可设直线DE的方程为x=my+2,

代入抛物线C的方程，有丁―4切-8=0.

设点3,E的坐标分别为（国,%）,（尤2，%），

则%+%=4加，％%=-8.

所以王马=（冲1+2）（冲2+2）="%必+2m（％+%）+4=4.

则直线08与直线OE的斜率乘积为"=-2.所以②正确.

xtx2

将尤="-2代入抛物线C的方程可得，力为=8,从而，.根据抛物线的对称性可知，

A，E两点关于％轴对称，所以过点A,B,E的圆的圆心N在x轴上.

由上，有％+%=4加，%+/=4〃/+4,

242

则|BE|=（玉+%）一一4尤1%+（%+y2y—4%%=16m+48m+32.

所以，线段班的中垂线与x轴的交点（即圆心N）横坐标为2〃「+4，所以4=2m2+4.

242

于是，r=\MN\"=[2"+4_Xj]+["%]+4m+12m+8,

42

代入x,+x2=4m2+4,%+为=4根，得，=4m+16m+12，

所以4—/=Q疗+4）2-（4m4+16m2+12）=4.

所以③正确.

故选：D

本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.

6.D

【解析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.

【详解】

3本不同的语文书编号为A&C,2本不同的数学书编号为a]，从中任意取出2本，所有的可能为:

AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10个，恰好都是数学书的只有ah一种，.•.所求概率为尸=!.

10

故选：D.

本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率.

7.D

【解析】

利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解

【详解】

因为y'=a—工，且在点(1,0)处的切线的斜率为3,所以a—1=3,即a=4.

故选：D

本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题

8.A

【解析】

设球心为一，三棱柱的上底面-的内切圆的圆心为一,，该圆与边-.一切于点-，根据球的几何性质可得——

为直角三角形，然后根据题中数据求出圆-半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积.

J]

【详解】

如图，设三棱柱为二二二一二二；二/且二二=/二二二=5,二二=/3,高口口

所以底面为斜边是——的直角二角形，设该二角形的内切圆为圆—，圆-与边——切于点一，

一一1-1-1-7-J-1-1-1-

则圆一的半径为.

口)匚=­；—=/

设球心为一，则由球的几何知识得------为直角三角形，且--=

・ULJJL4UJ

所以

□□=JT+4,=26

即球二的半径为入5,

所以球「的体积为

X（孙9=

故选A.

本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：

(1)构造以球半径二、球心到小圆圆心的距离二和小圆半径二为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径,

这是解决与球有关的问题时常用的方法.

(2)若直角三角形的两直角边为-斜边为-，则该直角三角形内切圆的半径_____,合理利用中间结论可提

—+一——

高解题的效率.

9.B

【解析】

设数列的公差为d,d/O.由q+g+/=匕，卬,。2，%成等比数列，列关于4,d的方程组，即求公差d.

【详解】

设数列的公差为d,dw。，

,/勾+4+%=13,二3%+5d-13①.

：%,%,生成等比数列，+d)2=q(q+4d)②，

解①②可得d=2.

故选：B.

本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.

10.B

【解析】

设z=a+bi(a,人eR),则z+忖=a+bi+y/a2+b2=4+8i,可得一+‘/+/=’,即可得到工，进而找到对应的点所

b=8

在象限.

【详解】

设z=a+4(a,/?eH)，则z+\z\=a+bi+yjcr+b2=4+8z,

.a+^la2+b2=4[a=-6

•...Z——0+ol,

b=8b=8

II

所以复数z在复平面内所对应的点为(-6,8),在第二象限.

故选:B

本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模，考查运算能力.

11.C

【解析】

试题分析：集合A={y|y»-1}:.B^A:.Ar>B=B

考点：集合间的关系

12.A

【解析】

联立直线方程与椭圆方程，解得3和C的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得3c2=2储，由离心率定义可得结果.

【详解】

旦+

/廿一'所以51咚。，3

由<

b

y=2

由题意知尸(c,0),所以加=

因为ZBFC=90°,所以耐，CF,所以

而”/+且］［立］+£2_g2/一02¥

--a2=0.

I22J4442

所以3c2=2",所以e=£=4l,

a3

故选：A.

本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.29

【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代

入目标函数得答案.

【详解】

-3x-2y+4>0,

由约束条件（x+4y+6>0,作出可行域如图:

%-2<0,

3x-2y+4=0,

联立《，解得4(2,5),

x—2=0,

目标函数2=必+尸是以原点为圆心，以后为半径的圆，

由图可知，此圆经过点A时，半径、口最大，此时z也最大，

最大值为z=22+52=29-

所以本题答案为29.

线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何

意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最

值取法、值域范围.

【解析】

设上----所在截面圆的圆心为一,，—中点为—，连接——'-，

易知------，即为二面角------的平面角，可求出------，-及然后可判断出四面体------外接球的球心一在

直线--上，在----中，一厂一一;，结合I，可求出四

MAU/UL-；-十一】一___-n-/r-;nn_nnn-ir小i

口1口J口口一口口八口匚=口，口」匚=|口-、叫

N

面体一二二二的外接球的半径「

【详解】

设＞一所在截面圆的圆心为一，中点为一，连接---.一，

OA=OB,所以，ODLAB,同理OiDLAB,所以，------即为二面角-_一一一的平面角，

一二二一/—一」L一—

二二二二/=60"

因为--_所以.——是等腰直角三角形，.--_

LJLJ-LJU-U」一*T、N**UlUu•・！□□―/、'/

在Rt,,----中，由cos60°=_得一，二=\F由勾股定理，得：二二，=、彳，

因为Oi到A、B、C三的距禺相等，所以，四面体------外接球的球心—在直线，上，

设四面体二二二二外接球半径为二，

本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题.

15.B

【解析】

首先根据“学校艺术节对4B、C、O四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设A、B、C,。分别为一等奖，然后判

断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果.

【详解】

若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；

若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；

若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；

若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；

综上所述，故B获得一等奖.

本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设

4B、C、O为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确.

16.2800.

【解析】

根据正态分布密度曲线性质，结合P(86<X<100)=0.15求得>114)=1-0.15=0.35,即可得解.

【详解】

根据正态分布X〜NCIOO,。?)，且P(86<X《100)=0.15,

所以P(X>114)=；—0.15=0.35

故该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X大于H4分的人数为8000x0.35=2800.

故答案为：2800.

此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析，根据曲线的对称性求解概率，根据总人数求解成绩大于114的人数.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)79颗；(2)5.5秒.

【解析】

(1)利用各小矩形的面积和为1可得。，进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率，从而得到频数；

(2)平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到.

【详解】

(1)第一到第六组的频率依次为

0.1,0.2,03,0.2,2a,0.05,其和为1

所以2a=1-(0.1+0.2+0.3+0.2+0.05),a=0,075,

所以，自转周期在2至10秒的大约有93x(1—0.15)=79.05a79(颗).

(2)新发现的脉冲星自转周期平均值为

0.1x1+0.2x3+0.3x5+0.2x7+0.15x9+0.05x11=5.5（秒）.

故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒.

本题考查频率分布直方图的应用，涉及到平均数的估计值等知识，是一道容易题.

18.(1)m=4；(2)证明见详解.

【解析】

(1)将不等式/(尤+2)<0的解集用机表示出来，结合题中的解集，求出加的值;

(2)利用柯西不等式证明.

【详解】

rri

解:(1)f(x+2)=2\x\-m<Q,|.r|<—,

2

mm

--<x<—

22

因为〃x+2)<0的解集为(―2,2),所以£=2,

.\m=4；

(2)由⑴a+2b+3c=4

由柯西不等式d+L+，Xa+2A+3c)2(l+l+l)2=9,

a2b3c

1119

,——I1>—

"a2b3c-4

424

当且仅当。=—,b=—,c=—,等号成立.

339

本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.

[72

19.(1)证明见解析，a=-------；(2)--------

n3r1—23〃+1

【解析】

11。

(1)利用。〃+1-4+34+]%=0,推出--------=3,然后利用等差数列的通项公式，即可求解;

an+lan

(2)由(1)知/。“+1==(」二-彳1),利用裂项法，即可求解数列的前"项和.

33n—23〃+1

【详解】

(1)由题意，数列｛%｝满足。，产。且=0

可得-1------1-+3c=0c,即一1•—1一=c3,

a.4+14+1an

111,

所以数列4—是公差2=3,首项一=；=1的等差数歹！1,

故一=1+3(〃-1)=3〃-2,所以4=—i—.

«„3/7-2

1111、

⑵由⑴知-=(3〃-2)(3〃+1)^^一罚)'

所以数列｛%4+J的前〃项和：

s-1FO________O+O_________O+P_______

"3](3xl—23xl+lJ(3x2—23x2+lJ'\3n-23n+lJ]

本题主要考查了等差数列的通项公式，以及“裂项法”求解数列的前n项和，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公

式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

20.(I)函数Ax)的单调增区间为(0,+8),单调减区间为(—8,0)；(II)证明见解析；(III)1+-.

e

【解析】

(I)利用二次求导可得广(无)=e'+l>0,所以广(无)在R上为增函数，进而可得函数f(x)的单调增区间为(0,+8),

单调减区间为(-吗0)；(II)利用导数可得O(x)=〃'(x)=/-工在区间(0,+co)上存在唯一零点，所以函数h(x)在(0,x0)

X

递减，在(%,+8)递增，贝沙(©/(%)=*-/%='-/时,进而可证；(III)条件等价于/-依-尤.2对于xeR恒

玉)

成立，构造函数g(x)=e、-融-尤，利用导数可得g(x)的单调性，即可得到g(x)的最小值为

g(加(a+l))=o+l—(a+l)/〃(a+l),再次构造函数9(a)=1-(a+l)Zn(a+1),a>-l,利用导数得其单调区间，进而

求得最大值.

【详解】

1,

(I)当a=l时，f(x)=—x+—x,

则r(x)="-l+x,所以/''(0)=0,

又因为f"(x)=ex+l>0,所以f(%)在R上为增函数,

因为/'(0)=0,所以当x>0时，f(x)>Q,/Xx)为增函数,

当％<0时，r(x)<o,r(x)为减函数，

即函数/(X)的单调增区间为(0,+8),单调减区间为(f0)；

(II)h(x)=ex-ax-^—x2+ax--^-Inx-ex-Inx，

22

则令9(x)=〃(x)=e'-,，则9(1)=e—1>0,奴工)=血一2<0,

x2

所以°(x)在区间(0,+8)上存在唯一零点，

1x1

设零点为七，则与仅彳,1),且*=一，

2xo

当XW(O,Xo)时，〃(无)<0,当xe®,+co),h'(x)>0,

所以函数/z(x)在(0,小)递减，在(%,+S)递增，

h(x)..h(x0)=e%—lruc0=---lnx0,

%

玄11

由e°=一,得所以〃(毛)=无0+—..2,

/飞

由于/h(x0)>2,从而〃(x)>2；

(III)因为/'(x)…gx?+尤+匕对于XGR恒成立，即e*-ox-尤..6对于xeR恒成立,

不妨令g(x)="-ax-x,

因为g'(x)=e*—(a+1),a>—1>

所以g'(尤)=0的解为x=及(。+1),

则当x>加(a+1)时，gr(x)>0,g(x)为增函数，

当x</〃(a+l)时，g'(x)<0,g(x)为减函数，

所以g(x)的最小值为g(ln(a+l))=a+l-(a+l)Zn(a+1),

则b—62,,1—(a+1)历(a+1),

不妨令夕(。)=1-3+1)历3+1),a>—l,

贝(a)=—历(〃+1)—1=。，解得〃=一1+1,

e