海南省某中学2024-2025学年高三年级上册8月摸底考试 数学试题（含解析）

海南省农垦实验中学2025届高三8月摸底考试数学试卷

满分：150

单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）

1.集合&={xEN\-l<x<4}的子集个数为（）

A.2B.4C.8D.16

2.不等式“”>产成立,是不等式“因>IW”成立的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

x2+l,x<1

/（X）=2

3.设函数》比>1,则八3）等于（）

1213

A.5B.3C.3D.v

4.下列命题中正确的是（）

A.当*>1时，％+二2B.当刀<。时，x+x~~2

C.当0<%<1时，亚+耳1D.当％>2时，口+122M

5.已知定义在R上的奇函数TO）满足人>+2）=则/（8）的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

6.设函数/㈤=3MI）在区间（0；）上单调递减，则实数a的取值范围是（）

（。』艮+）

A.(一8,—1)B.[-3,0)C.D.8

7.若命题叼％6[-2,1],32+23+3£1>1”为假命题，贝ija的最大值为（）

1111

A.6B.3C.2D.4

8.已知奇函数/（X）在（一00,°）上为增函数，且/（—3）=0,则关于x的不等式（x—2）/Q）<0的解集是（

）

A.(—3,0)U(2,3)B(-3,0)U(0,3)

C.(—8,-3)U(2,3)D.(—8,—3)U(0,3)

二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。)

9.下列说法不正确的是()

A.函数/(%)=x+1与g(x)=(后闩丫是同一个函数

B.若函数/(%)的定义域为[0,3],则函数/(3幻的定义域为[。,1]

C.不等式(2久一1)(1一久)<0的解集为｛久《<“<1｝

D.当xeR时，不等式收2+日+1>0恒成立，贝肚的取值范围是(0,4)

10.已知函数/(%)是定义在R上的偶函数，当Xe(0,+8)时，f(x)^x2+x,则下列说法正确的是

()

A.八―1)=-2B./(%)在定义域R上为增函数.

2

C.当xe(-8,0)时，f(X)=x-xD.不等式/■(久一1)<2的解集为(0,2)

11.已知定义在R上的函数"x)满足/(x+y)=/(%)+〃>),当x〉0时，/(x)>0,/(2)=4,则

()

A./⑸=1。B."X)为奇函数

C.“X)在R上单调递减D.当欠<一1时，/■(XHZA/'Q久)

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.已知｛4｝是等比数列，且公比为q,S.为其前n项和，若%是卬、52的等差中项，54=15,则q=_

,.

13.函数f(W=声方一x的最小值为.

”久)=无，°<久W2

14.已知函数八JI2%-3,%>2,若f(a+1)-f(2a—1)20,则实数a的取值范围是.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15(13分)已知AABC内角4B,C的对边分别为a,b,c,设(sEB-sinC)2=siMa—s讥Bs讥C.

⑴求4

是

(2)若b+c=4,44BC的面积为2,求a的值.

16(15分).

(1)已知f(C+2)=x+4G,求函数/(久)的解析式；

(2)已知/(久)是二次函数，且满足八。)=1,/(X+1)=/(%)+2x,求函数外幻的解析式;

(3)已知/■(x)+2f(一久)=2久+3,求"久)的解析式.

17(15分).小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了24元，然后发给朋友4如果4猜中，4将

获得红包里的所有金额；如果力未猜中，力将当前的红包转发给朋友/如果B猜中，AB平分红包里

的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C,如果C猜中，4、8和C平分红包里的金额；如

111

果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设4、B、c猜中的概率分别为3,2,3,且4、B、C是否

猜中互不影响.

(1)求4恰好获得8元的概率；

⑵设4获得的金额为X元，求X的分布列及X的数学期望.

18（17分）.如图，棱柱"88-44GA的所有棱长都为2,4CCBD=°,侧棱人公与底面ABC。的

所成角为60°，401平面4BCDF为DQ的中点.

D>C,

B\/

（1）证明:BD’AA、

（2）求平面与平面C441夹角的余弦值.

19（17分）.

，y2_

已知焦点在X轴上的椭圆c：/+”=1（a>b>0\短轴长为2正，椭圆左顶点到左焦点的距离为1.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，已知点。0。），点4是椭圆的右顶点，直线/与椭圆。交于不同的两点瓦尸，民厂两点都

在x轴上方，且乙4PE=NOPF.证明直线1过定点，并求出该定点坐标.

参考答案:

1.D

【分析】先求出集合，再求出子集个数即可.

【详解】由题意，得4={0，1，2,3},故集合/子集个数为24=16个.

故选：D.

2.D

【分析】根据充分、必要条件的定义判断.

【详解】由1>一2,但1<|-2|=2,所以由“x>y”不能推出“因>切”；

又1一2|>|1|,{0-2<1,所以由“因>加”不能推出“x>y”，

即不等式“%>产成立，是不等式“因〉成立的既不充分也不必要条件.

故选：D

3.C

【分析】根据题中分段函数解析式运算求解.

2

【详解】因为3>1,所以八3)=工

故选：C.

4.B

【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.

1、。I~~1c

xH—N,——2_1_1

【详解】解:选项A-％>1,xNx，等号成立的条件是等号取

不到，所以故A错误；

选项B.当时，f>0,%+x=-卜")+」W-2J(-x).r=一2,当且仅当％=一1时

等号成立，故B正确；

选项C.O<x<l,—+Q2J.・应=2,等号成立的条件是％=1,等号取不到，即

口+\>2,故C错误；

选项D.当％>2时，口+622^后反=2/，等号成立的条件是即x=2时，

但条件%>2,所以等号取不到，故口+口>2遂，故D错误.

故选：B

5.B

【分析】根据f(x)为奇函数，得到/(0)=0,根据f(x+2)==/(%),得到f(x)的周期为4,

进而运用周期求解/(8).

【详解】由/(尤)为定义在R上的奇函数，得/(-0)=-△。),得f(0)=。,

由f(K+2)=-/⑶得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(久)的周期为4,

所以/(8)=/(。)=0.

故选：B.

6.D

【分析】根据复合函数的单调性法则，结合二次函数的单调性列式求解即可.

【详解】函数y=3"在R上单调递增，而函数/(X)=3穴~。)在区间(0a上单调递减，

则有函数、==卜―ip—1在区间(°。上单调递减，

a3

因此225,解得口23,所以实数a的取值范围是3,+8).

故选：D

7.A

【分析】由题意可得命题“Vxe[—2,1],口/+25+3口三1，，是真命题，贝|

1

a*(，+2工+3设讥在[―2,1]上恒成立,结合二次函数的性质即可求解.

【详解】由题意知命题“V%e[-2,1],ax2+2ax+3a<1”是真命题.

<1=1

因为汽2+2%+3=(%+I)2+2>0,所以"—%2+2%+3(X+1)2+2.

当汽=I时，函数y=(%+1)2+2的最大值为6,

1111

则。+1)2+2的最小值为%,所以。二%,即a的最大值为盛

故选：A.

8.A

【分析】结合函数的单调性及奇偶性，解不等式/。)<°和“X)>0,由。-2)f0)<0,

分尤-2<0和x-2>0进行讨论，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果.

【详解】奇函数/(X)在(一°°,0)上为增函数，且/(—3)=0,

则“X)在(0，+°°)上为增函数,且八3)=0,

/W<0,解得x<-3或。<%<3；〃x)>0,解得—3<x<0或x>3

(x-2>0(x—2<0

不等式Q—2)/(久)<0,等价于V(x)<。或V(x)>0,

解得2<%<3或-3<x<0,

故选：A

9.ACD

【分析】根据函数的定义可判断A；根据抽象函数的定义域求法判断B；解一元二次不等

式判断C；根据不等式恒成立，讨论左的取值，结合一元二次不等式恒成立，判断D.

【详解】对于A,函数〃x)=x+l的定义域为R,9(久)=(^^)2的定义域为［-1,+8),

故函数八久)=%+1与9(%)=6/%+1)2不是同一个函数,A不正确；

对于B,函数/(X)的定义域为［0,3］,即0WXW3,

则对于函数f(3x)有0-3,二0—W1,故其定义域为［0,1］,B正确;

1

对于C,不等式(2%-1)(1一%)<。即(2久一1)(%-1)>0,则久<2或X>1,

其解集为{M"C或")1},C不正确；

对于D,当久6R时，不等式依2+收+1>0恒成立，当k=0时，1>0恒成立，

(k>0

当上40时，则需满足(△=/一〃<0'二<<,

综合可得上的取值范围是［°，4),D不正确，

故选：ACD

10.CD

【分析】对于A,利用f(久)的奇偶性直接求得/(-1)；对于BC,利用fO)的奇偶性求得

/(%)的解析式，结合二次函数的性质即可判断；对于D,利用/'(%)的单调性与奇偶性解不

等式即可得解.

【详解】对于A：因为/(X)是定义域为R上的偶函数，所以八久)=/(一为，

又当久6(0,+8)时，/(%)=x2+x,所以⑴=2,故A错误；

对于B：由二次函数'="2+”=1+5)2—4可知，/'(%)在(0,+8)上单调递增，

又因为函数/(乃是定义在R上的偶函数，即/(幻的图象关于y轴对称，

所以八幻在(-8,0)上单调递减，故B错误；

对于C：当xe(—8,0)时，一万6(0,+8),贝炉(久)=/(一尤)=/一,故c正确；

对于D：由f。)的奇偶性与单调性可知，/0-1)<2可化为/(|%-1|)<〃1),

所以|x-1|<1,解得0<x<2,故D正确.

故选：CD.

11.ABD

【分析】A选项，赋值法得到f(1)=2,"4)=f(2)+〃2)=8,f(5)=10；B选项,先

赋值得到f(o)=o,令得f(x)+f(-x)=o,故B正确；c选项,令*=叼)=%2一%,

且叼>叼，当X>0时，/(x)>0；故/(%2)—/■(比1)="叼―"1)>°,从而/(X)在R上单调

递增；D选项，先变形得到/■。)-2=/(久)一/(1)又无<一1,故久一1>2%由函

数单调性得到D正确.

【详解】A选项，fO+y)=f(X)+〃>)中，令x=y=i得，f(2)=f(i)+y(i),

又"2)=4,故/•⑴=2,

令f(x+y)=/(X)+f(y)中，令尤=y=2得/'(4)=f(2)+f(2)=8,

畲久=4,y=l得/1(4+1)=/(4)+/(1)=8+2=10,即/⑸=10,A正确;

B选项,fQ+y)=/(久)+f(y)中，令％=y=o得/'(0)=/(。)+f(o),解得/(o)=o,

f(x+y)=f(x)+/(y)中，令y=r得/'(X)+/(f)=/(0)=0,

故〃x)为奇函数，B正确；

c选项，/Q+y)=/。)+/(y)中，令”=叼)=叼—叼，且叼>“1,

故/(久1+X2-X1)-/(X1)=f(久2-/),即/'(%2)一/(久1)=f(久2一万1),

当了>0时,〃X)>0,故/(久2)-/(%1)=/(、2一%1)>°,

即f(X2)>f(K1),故"X)在R上单调递增，c错误；

D选项，/(1)=2,/(x)-2=/(x)-/(l)=/(x-l),

又乂<一1,故久一1>2匕

又“X)在R上单调递增，所以/(幻―2>/(2x),D正确.

故选：ABD

12.21

【分析】利用已知条件可得出2a2=%+$2,化简可得q的值，再利用等比数列的求和公式

可求得％的值.

4Cj_—"一—z2.

【详解】由题意可得2a2=%+52=2%+&2,•--a2=2a1；则为,

%(1一勺4)

$4=^^=15%=15,解得%=1

故答案为：2；1.

1

13,-2/-0.5

【分析】运用函数单调性求最值即可.

【详解】/(幻="^—X的定义域满足1—2x20,即则函数定义域为(一8」.

y=声石在(-8,习内单调递减，y=—x在(-8,且也是单调递减，

则-2x-x在定义域(―、内单调递减，则f(“)(东啊

_1

故答案为：2.

14.I<a-2

【分析】先求解函数/(幻的单调性，接着根据已知条件结合函数定义域和单调性即可求解.

【详解】因为当xe(0,2］时，是单调递增函数，此时f(x)Wf(2)=l,

当工6(2,+8)时，〃X)=2x—3是单调递增函数，此时/(久)>/(2)=1,

0/12x

f(油=「°先居°<久W2

所以八1〔2X-3,X>2是定义在(0,+8)上的单调递增函数，

所以若/(。+l)-f(2a-l)>0即/(a+1)>/(2a-l),

则。+1之2。-1>0,<a-2,

.7T

15.(1)A=3

(2)a=M

【分析】(1)根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果;

(2)根据题意，由三角形的面积公式可得儿=6,结合余弦定理即可得到结果.

【详解】(1)原式化简可得：siv^B—2sinBsinC+sin^C=sin^A—sinBsinC9

整理得：sin^B+sin^C—sin^A=sinBsinCf

由正弦定理可得：M+c2—a2=bc,

.b2+c2—a21Ti

COSA==7因此三角形的内角A=3;

(2),：SAABC=lbcsinA=lbc-T=T,

•••be=2,

•••a2=h2+c2-2bccosA=(b+c)2—3bc=16—6=10,

•••a=y/10

2

16.(1)/(x)=%-4(X>2).⑵/㈤=/_尤+i；(3)/(x)=-2x+1.

【分析】

(1)用换元法，设t=G+2,解出x后代入可得，注意t的取值范围；

(2)设/(%)=a/+6*+或(1K0),代入已知条件解方程组可得；

(3)用一x替换门乃+2/(-%)=2久+3中的左两式组成方程组后解之可得；

【详解】⑴设1=6+2,则壮2,口=t—2,即久=(t—2)2,

所以f(t)=(t-2)2+4(t-2)=产—4,所以f(x)=%2-4(X>2).

(2)因为/'(W是二次函数，所以设/(x)=ax2+6x+c(aK。).由/(0)=1,得°=i.

由/(%+1)=/(%)+2%,得◎(%+I)2+b(x+1)+1=ax2+bX+1+2%,

整理得(2a—2)久+(a+b)=0,

(2a-2=0(a=1

所以［a+b=0,所以伍=—1,所以/■(>)=/-x+i.

(3)用一x替换/'(%)+2f(-幻=2x+3中的x,得f(-x)+2/(%)=-2x+3,

(f(x)+2/(—%)=2%+3

由l2f(x)+/(-x)=-2x+3,解得/'(%)=-2久+1.

1

17.(1)9

(2)分布列见解析，矶*)=芍

【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；

（2）由题意，X的可能取值为0,8,12,24,计算对应的概率值，写出X的分布列与数

学期望值.

【详解】（1）若4恰好获得8元红包，则结果为4未猜中，B未猜中，C猜中，

故/恰好获得8元的概率为5X2X3=9.

(2)X的可能取值为0,8,12,24,

则P(X=8)=",P(X=0)=|xgx|=|,

P(X=12)=fx|=i)P(X=24)=：

所以X的分布列为：

X081224

2111

p

9933

数学期望为E(X)=0X|+8X"12X2+24X3^

18.⑴见解析

⑵见解析

V5

⑶5

【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直即可；

（2）利用线面平行的判定定理即可；

（3）利用三垂线法求二面角即可.

【详解】（1）棱柱/8S-4且GA的所有棱长都为2,

所以底面4BCD为菱形，故4C1BD,

Ai°1平面c平面4BCD,

A1。_LBD且4］。nAC=04。,ZCu平面A1。。

•••BD1平面&℃,

且c平面&oc,

BD1AAX

（2）连接BO,

•，.OF〃BC\,且BC\u平面。尸0平面BCCi片,

」•。尸〃平面8"品

(3)4°