甘肃省武威市某中学2024-2025学年第二学期高三期末考试数学试题（含解析）

甘肃省武威市第一中2024-2025学年第二学期高三期末考试数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知乙6满足同=2百，问=3,示石=—6,则乙在B上的投影为（）

A.-2B.-1C.-3D.2

2.设i是虚数单位，复数上口=（）

1

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

3.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距

离.已知平面a,£,彳两两互相垂直，点Aea,点A到/的距离都是3,点P是a上的动点，满足p到夕的

距离与P到点A的距离相等，则点P的轨迹上的点到£的距离的最小值是（）

A.3-73B.3C.IzJLD.-

22

4.集合A={x|x?-3尤WO},5={尤|y=lg（2-x）},则Ac5=（）

A.{x|0<x<2}B.{x|1<x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|0<x<2}

5.如图，在棱长为4的正方体ABC。—中，E,F9G分别为棱AB9BC9CG的中点，M为棱AD的中点,

设P,。为底面A5C。内的两个动点，满足。P//平面EEG,D】Q=后,则PM+尸。的最小值为（）

A.372-1B.3夜-2C.2A/5-1D.2^5-2

6.已知双曲线C：—-/=1,耳，居为其左、右焦点，直线/过右焦点工，与双曲线。的右支交于A，B两点,

4--

且点A在x轴上方，若|A阊=3忸阊，则直线/的斜率为（）

A.1B.-2c.-1D.2

7.已知i（l一切）=2+2Q为虚数单位,a,bGR),则向等于（）

11

A.2B.-2C.一D.——

22

(1\lnx

8.若X®(0,1),a=lnx,b=—,c=elnx,则a,b,c的大小关系为

[2

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

9.已知函数/（x）=4sin（2x-0,；兀，若函数尸（x）=/（%）-3的所有零点依次记为和马名,…,天,且

<%2<%3<...<xn,则X]+2%+2%+…+2X,T+x〃=()

D.42万

10.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1）,充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数

学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某

骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太

阳光线）的夹角等于黄赤交角.

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表:

黄赤交角23。4r23°57'24°13,24°28'24。"

正切值0.4390.4440.4500.4550.461

年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（）

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

x-y<0,

x+3

11.若x,y满足约束条件x+V«2,则z=—的取值范围为（）

y+2

x+l>0,

24242

A.B.[-,3]C.[-,2]D.[-,2]

53535

12.天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天

干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序

相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份

的天干或地支相同的概率为（）

29485

A.—B.—C.—D.—

19959519

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知关于x的不等式6-4）>0的解集为A,且A中共含有〃个整数，则当"最小时实数a的值

为

14.己知函数/（尤）=》（/-1）,若关于％的不等式/V-2x-2a）+/（依-3）,,0对任意的恒成立，则实数。的

取值范围是.

15.如图，6、工分别是双曲线二-4=1的左、右焦点，过心的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A、B两

ab

点,若豆=4豆，耶.可二0,则双曲线C的离心率是.

2x-y+2<0

16.若变量x,y满足：x+2y—420,且满足«++«—l）y+r+l=0,则参数t的取值范围为.

%-3y+11>0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）若不等式l+2'+41a>0在尤e（O,l]时恒成立，则。的取值范围是.

18.（12分）函数/（无）=ar-ln（尤+l）,g（x）=sinx,且/（九）..0恒成立.

（1）求实数。的集合"；

（2）当aeM时，判断了。）图象与g（x）图象的交点个数，并证明.

(参考数据：In2ao.69,1"77)

JQ—cos，

19.(12分)在直角坐标系中，曲线G的参数方程为",「以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

y=sin8.

7T

设点A在曲线C2：Qsin£=l上，点3在曲线G：8=—；(夕＞0)上，且AAOB为正三角形.

(1)求点A,3的极坐标；

(2)若点P为曲线G上的动点，M为线段AP的中点，求的最大值.

20.(12分)设函数/(x)=e'+2or-e,g(x)=-lnx+ov+a.

(1)求函数/(%)的极值；

(2)对任意都有/(x)Ng(x),求实数a的取值范围.

21.(12分)某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为0,现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前

每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立.若

每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每上个(左＜5)一组进行分组检验，如

果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件

产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1+左次.设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验

次数为X.

(1)求X的分布列及其期望；

(2)(i)试说明，当。越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；

(ii)当"=0」时，求使该方案最合理时上的值及1000件该产品的平均检验次数.

22.(10分)已知六面体ABCDEF如图所示，跖1平面ABC。，BE//AF,AD//BC,BC=1,CD＜,

FM1

AB=AF=AD=2,〃是棱ED上的点，且满足——=一.

MD2

(1)求证：直线8尸〃平面跖IC；

(2)求二面角A—MC—。的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据向量投影的定义，即可求解.

【详解】

f影为同…1三7

故选:A

本题考查向量的投影，属于基础题.

2.D

【解析】

利用复数的除法运算，化简复数上口=l-i，即可求解，得到答案.

1

【详解】

1+i+—i)

由题意，复数.=]—i,故选D.

1ix(-i)

本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，

属于基础题.

3.D

【解析】

建立平面直角坐标系，将问题转化为点尸的轨迹上的点到％轴的距离的最小值，利用尸到x轴的距离等于尸到点4的

距离得到P点轨迹方程，得到6y=(x—3)2+929,进而得到所求最小值.

如图，原题等价于在直角坐标系中，点4(3,3),P是第一象限内的动点，满足尸到x轴的距离等于点p到点A的

距离，求点P的轨迹上的点到x轴的距离的最小值.

设P（羽y）,则y=J（x_3）2+（y_31，化简得：（x—3『—6y+9=0,

,、,3

则6y=（九一3）'+929,解得：y>—,

3

即点P的轨迹上的点到0的距离的最小值是万.

故选：D.

本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得

最值.

4.A

【解析】

解一元二次不等式化简集合A,再根据对数的真数大于零化简集合B,求交集运算即可.

【详解】

由3x<0可得04尤<3,所以A={x[0<x<3},由2—%>0可得x<2,所以3={x|x<2},所以

AnB={x|0<x<2},故选A.

本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.

5.C

【解析】

把截面EFG画完整，可得P在AC上，由=J万知。在以D为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得

PM+PQ的最小值.

【详解】

如图，分别取GDI，A4，AA的中点连接易证及共面，即平面ERG为截面

EFGHIJ,连接A2，AC,AC,由中位线定理可得AC//所，平面ERG,EFu平面EFG,则AC//平

面EFG,同理可得A，//平面ERG,由ACIA。=A可得平面A。。//平面防G,又，P//平面E尸G,尸在

平面ABCD上，，PeAC.

7

正方体中DDt1平面ABCD,从而有DD]±DQ，二DQ=淳=5五=1,Q在以。为圆心1为半径的四分

之一圆（圆在正方形ABC。内的部分）上，

显然M关于直线AC的对称点为E，

PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=742+22-1=2逐—1，当且仅当E,P,Q,°共线时取等号，

所求最小值为2小-1.

故选：C.

本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q点

轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值.

6.D

【解析】

由|AF2|=3|BF2|,可得Ag=3凡3.设直线1的方程x=my+&',m>0,设4（石,%），,即yi=-3y2①，

联立直线1与曲线C,得yi+y2=-2”②，yiy2=」一③，求出m的值即可求出直线的斜率.

疗—4m-4

【详解】

2_

双曲线C：-y2=1,Fl,F2为左、右焦点，则F2（石，0）,设直线1的方程x=my+石，m>0,：双曲线的渐

4'

近线方程为x=±2y,・・.mW±2,

设A（xi,yi）,B（X2,y2）,且yi>0,由|AF2|=3|BF2|,AAF2=3F2B,・'・yi=-3y2①

由｛2“-Q+&,-4]y2+2y/5my+l=0

4y2_4=0\）

.*.△=（2^/5m）2-4（m2-4）>0,即m2+4>0恒成立，

・I2y台1自

・・yi+y2=-----------②，yiy2=r—

m2-4m-4

联立①②得—2%=一挛（>0,联立①③得—3货=<0,

y/5m1y/5m',m>Q,解得：m=L直线/的斜率为2,

—7----—rBP：

J乙y—ZA

2m-412-3TO212-3m2病—4,2

故选D.

本题考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题.

7.A

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求解.

【详解】

i(l-ai)=2+bi,

「.々+2=2+初，得〃=2,b=1.

:.ab=2.

故选：A.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题.

8.A

【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

【详解】

Vxe(0,1),

••a~~lux0,

b=(—)lnx>(—)°=1,

22

0<ic=elnjc<ie()=1,

b,c的大小关系为b>c>〃.

故选：A.

本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

9.C

【解析】

JTJT13

令2x-版•(keZ),求出在0,—7i的对称轴，由三角函数的对称性可得

623

JI5冗23兀

为+%2=—义2,羽+%=—X2,...,x_,+x=——X2,将式子相加并整理即可求得X1+2M+2%+...+2x_+x的

36nn63nxn

值.

【详解】

函数周期7=万，令一]左兀+二=[一3兀，可得左=8.则函数在xe0,]—3n上有8条对称轴.

2333

TT5TC237t

根据正弦函数的性质可知石+/=—X2,%2+X3=LX2,...，ZT+Z=U-X2,

366

2K5K8K23兀）兀（2+23）x8100兀

将以上各式相加得：玉+2%2+2%3+…+2%〃_]+II।...xZ=—x--------------

6666）323

故选:C.

本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为

%1+%2+x2+%3+x3+x4+...+Xn_x+xn的形式.

10.D

【解析】

先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤

交角，即可得到正确选项.

【详解】

解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为戊，春秋分日光与垂直线夹角为少，

则a-尸即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角,

将图3近似画出如下平面几何图形：

EI16f/八16—9.4//

贝Utana=—=1.6,tan/?=----------=0.66,

1010

/八、tana-tan61.6-0.66八

tan(a-/7)=----------------=----------------«0.457.

1+tancr«tanp1+1.6x0.66

•/0.455<0.457<0.461,

,估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年.

故选：D.

本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及

数学运算能力，属中档题.

11.D

【解析】

%+3

由题意作出可行域，转化目标函数z=［用为连接点£＞（-3,-2）和可行域内的点（尤,y）的直线斜率的倒数，数形结合

即可得解.

【详解】

由题意作出可行域，如图,

%+3

目标函数Z=［用可表示连接点D（-3,-2）和可行域内的点（尤,y）的直线斜率的倒数,

由图可知，直线。A的斜率最小，直线。6的斜率最大,

x-y=0/、x++y=L2可得比/L3、)，

由＜x+l=。可得A(T'T)’由

—1+21过2=3,所以

所以^DA=_]+3=~2，kDB~

-1+325

本题考查了非线性规划的应用，属于基础题.

12.B

【解析】

利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数，结合组合数的计算即可出求得概率.

【详解】

20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份,

10+89

则这2个年份的天干或地支相同的概率P=

C?o95•

故选:B.

本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查学生分析问题的能力，难度较易.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-1

【解析】

4

讨论a<0,a=O,a>0三种情况，a<0时,根据均值不等式得到a+-=

a

等号成立的条件得到答案.

【详解】

已知关于％的不等式(QX-QI-4)(x-4)>0,

44

①〃V0时，[x-(QH—)](x-4)<0,其中—<0,

aa

4

故解集为(〃+—,4),

a

4一

当且仅当-a-,即a=-1时取等号，

a

44

・・・〃+—的最大值为-4,当且仅当〃+—=-4时，A中共含有最少个整数，此时实数〃的值为-1；

aa

②〃=0时，-4(%-4)>0,解集为(-8,4),整数解有无穷多，故。=0不符合条件；

44

③〃>0时，[x~—)](%-4)>0,其中—24,

aa

4

・••故解集为(-8,4)U(〃+—,+8),整数解有无穷多，故。>0不符合条件；

a

综上所述，a=-1.

故答案为：-1.

本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

14.[TO]

【解析】

首先判断出函数人元)为定义在H上的奇函数，且在定义域上单调递增，由此不等式f(x2-2x-2a)+f(ax-3)„0对任

意的卜恒成立，可转化为丁+("2口-2”3,,0在九目1,3]上恒成立，进而建立不等式组，解出即可得到答案.

【详解】

解：函数Ax)的定义域为R,且/(-无)=-直27-1)=-》(/-1)=-/(尤),

••・函数/(尤)为奇函数,

当%>0时，函数/(x)=x(2，-l),显然此时函数f(x)为增函数,

函数“X)为定义在R上的增函数，

不等式/(无2-2x-2a)+/(tix-3),,。即为-2无一2“，3-ax,

1+tz—2—2a—3,,0

解得Y胸？0.

9+3（。—2）—2。—3„0

故答案为［T,。］.

本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目.

15.2

【解析】

___.___,b

根据三角形中位线证得4。〃3月，结合耶.可=0判断出AO垂直平分8乙，由此求得/的值，结合02=笛+6求

得上的值.

a

【详解】

,.•可=谡，为典中点，4。〃3耳，郎=0,AO垂直平分8区，

222

ZAOTs=ZAOB=ABOFX=60°,即々=tan60°=/，；.6=百。，c=3«+«=即6=f=2.

aa

故答案为：2

本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

【解析】

2x-y+2<0

根据变量无，y满足：(x+2y—420,画出可行域，由(f+l)x+(f—l)y+7+1=。，解得直线过定点A(—1,0),直

x-3y+ll>0

线绕定点旋转与可行域有交点即可，再结合图象利用斜率求解.

【详解】

2x-y+2<0

由变量x,y满足：［x+2y-4>Q,画出可行域如图所示阴影部分，

%-3y+11>0

由(r+l)x+(z—l)y+r+l=O,整理得(x+y+l)/+x—y+l=O,

x+y+l=0

由＜x-y+l=。’解得”=Ty=°'

所以直线«+l)x+(f—l)y+r+l=O过定点A(—1,0),

2x—y+2<0/、

由＜/一C，解得c(l,4),

[x-3y+ll>0、7

x+2y—4^0/、

由＜/「C，解得6(_2,3),

x-3y+ll>0'7

要使U+l)x+(f—l)y+r+l=O,则与可行域有交点,

当r=1时，满足条件,

当时，直线得斜率应该不小于AC,而不大于AB,

即⑴22或山V—3,

1-t1-t

解得—＜%W2,且，wl,

3

综上：参数/的取值范围为；,2.

故答案为：2

本题主要考查线性规划的应用，还考查了转化运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

17.a＞—

4

【解析】

原不等式等价于a〉-1(+g］在(0,司恒成立，令/=：,/(/)=/+/,求出在g,l］上的最小值后可得。

的取值范围.

【详解】

因为1+2*+4*-a>0在％e(。/］时恒成立，故a>+~在(0』恒成立.

令f=(,由xe(0,l］可得/e：/］.

令/(/)=r+/,.e),1］,则为g,1］上的增函数，故

小3

故a〉—.

4

3

故答案为：ci>—.

4

本题考查含参数的不等式的恒成立，对于此类问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最

值问题，本题属于基础题.

18.(1){1}；(2)2个，证明见解析

【解析】

(1)要，(九)-0恒成立，只要f(x)的最小值大于或等于零即可，所以只要讨论求解看了(尤)是否有最小值；

(2)将/(%)图像与g(x)图像的交点个数转化为方程/(x)=g(x)实数解的个数问题，然后构造函数

0>)=f(x)-g(x),再利用导数讨论此函数零点的个数.

【详解】

(1)Ax)的定义域为(—L+8),因为/''(%)=a———,

x+1

1°当4,0时，/'(x)<0"(x)在*e(0,+s)上单调递减，*€(0,+8)时，使得/(无)</(0)=0,与条件矛盾；

2。当a>0时，由尸(x)<0,得—l<x<L—l；由尸(x)>0,得x〉L—1,所以/(x)在1―1,工—1］上单调递减，

aa\aJ

在(工-1,+8］上单调递增，即有7mhi=—lj=l—4+ln。，由/(%)..。恒成立，所以1—a+lna.O恒成立，

J

11—Q

令h(a)=1一Q+Ina(a>0),h'(a)=-1+—=----,

aa

若0va(1,“(a))0,h(d)<h(X)-0；

若a>l,〃(a)<0,丸(a)<7z(l)=0；而a=l时，h(a)-Q,要使l-a+Ina..0恒成立,

故。€口｝.

(2)原问题转化为方程/(x)=g(x)实根个数问题，

当。=1时，/(无)图象与g(x)图象有且仅有2个交点，理由如下：

由J(尤)=g(x)，BPx-ln(x+l)-sinx=0,令。(％)=x—ln(x+l)—sinx,

因为9(0)=0,所以x=0是0(x)=。的一根；(p'(x)=1——-——cosx,

10当一l<x<0时，1------(0,cos

X+1

所以“(x)<0,°(x)在(-1,0)上单调递减，以》>°(0)=0,即e(x)=0在(-1,0)上无实根;

2。当0<%<3时，<p\x)=1+sinx>0,

(x+l『

2

则°(x)在(0,3)上单调递递增，又9'1------>0,^(0)=-1<0,

«1

所以0(x)=0在(0,3)上有唯一实根x0,x0e,且满足1------；=COSx0,

①当0c%,不时，9'(x),,0,9(x)在(0,%］上单调递减，此时0(%)<0(0)=0,0(%)=0在(0,%］上无实根;

②当天<x<3时，“(%)〉0,9(%)在Oo,3)上单调递增，9(%)<°仁卜^TTn《+lJ=ln

<lngjlnl=0M3)=3-sm3-21n2=2(l-ln2)+l-sin3)0,故以©=。在(/,3)上有唯一实根.

2

3。当为之3时，由(1)知，x—ln(l+x)—l在(0,+co)上单调递增,

故(p(x)=x-ln(l+尤)一sin尤=无一ln(l+x)-l+(l-sinx)>0,所以(p(x)=0在［3,+00)上无实根.

综合1。，2。，3。，故°(x)=0有两个实根，即/Xx)图象与g(x)图象有且仅有2个交点.

此题考查不等式恒成立问题、函数与方程的转化思想，考查导数的运用，属于较难题.

19.(1)A

【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；

(2)设点M的直角坐标为(x,y),则点P的直角坐标为(2x-G,2y-1).将此代入曲线G的方程，可得点"在以

为圆心，；为半径的圆上，所以IBMI的最大值为|3Q|+；,即得解.

【详解】

7T

(1)因为点5在曲线。3：。=——(夕>0)上，AAOB为正三角形，

6

兀

所以点A在曲线。=;(夕>0)上.

又因为点A在曲线。2：夕sin。=1上,

所以点A的极坐标是2,彳卜

从而，点3的极坐标是2,-彳

(2)由(1)可知，点A的直角坐标为(G,l),B的直角坐标为(6,-1)

设点M的直角坐标为(元,y),则点尸的直角坐标为(2x-6,2>-1).

X-——+—cos/

将此代入曲线G的方程，有122

>="sin&

(也1)1

即点M在以。为圆心，3为半径的圆上.

122yl2

3f我2+.=3

所以|BM|的最大值为|3Q|+g=g+G.

本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划

归，数学运算的能力，属于中档题.

20.(1)当时，/(X)无极值；当a<0时，/(九)极小值为一2。+2<7111(-20)—6门2)[-6-1,+»).

【解析】

(1)求导，对参数。进行分类讨论，即可容易求得函数的极值；

(2)构造函数M%)=/(%)-g(x),两次求导，根据函数单调性，由恒成立问题求参数范围即可.

【详解】

(1)依题/'(力=心+勿,

当时，/'(%)>0,函数/(%)在R上单调递增，此时函数/(九)无极值；

当°<0时，令/'(x)=，+2a>0,得x〉ln(-2a),

令/'(x)=e*+2a<0,得尤<ln(-2a)

所以函数/(%)在(ln(-2a),+8)上单调递增,

在(-00,In(—2〃))上单调递减.

此时函数/(%)有极小值，

且极小值为f(in(—2a))=—2Q+2aln(—2Q)-e.

综上：当时，函数/(x)无极值；

当QVO时，函数/(X)有极小值，

极小值为2a))=—2Q+2aln(—2Q)—e.

(2)令h(x)=/(x)-g(x)=e尤+ax+\nx-a-e［x>\)

易得力⑴=0且为⑺=/+—+«(x>l),

X

令(%)=〃(％)=ex+—+<2(%>1)

所以—(%)=ex—N1),

因为e"之e,0<——1,从而，(x)>0,

所以，［尤)在［Lw)上单调递增.

又/⑴=a+e+l

若—e-l,则r(x)=/z,(x)>r(l)=a+e+l>0

所以/2(x)在［1,+<»)上单调递增，从而/z(x)>/z(l)=0,

所以a2—e—1时满足题意.

右QV—e—1，

所以1(“而门=%(l)=Q+e+lvO,%(—Q)—€"+Q—,

在/(%)中，令。=—;，由(1)的单调性可知，

/(x)=e*—x—e有最小值/⑼=l—e,从而—>x+l-

所以《一〃)=，"+a-—>-a+l+a--=l-—>0

aaa

所以f(l)4(—a)<0,由零点存在性定理：

3x0e使*x0)=0且

/z(x)在(l,%o)上单调递减，在[%，+8)上单调递增.

所以当时,/z(x)<7z(l)=0.

故当a<-e-l,/(x)2g(x)不成立.

综上所述：。的取值范围为[―e—1,+。。).

本题考查利用导数研究含参函数的极值，涉及由恒成立问题求参数范围的问题，属压轴题.

21.(1)见解析，1-(1-(2)(i)见解析(ii)左=4时平均检验次数最少，约为594次.

k

【解析】

(1)由题意可得p[x,X的可能取值为和，

分别求出其概率即可求出分布列，进而可求出

V)