2025年高考数学一轮复习：阶段滚动检测（二）

阶段滚动检测（二）

120分钟150分

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（2024・郑州模拟）已知i为虚数单位复数z满足zi-i=z+l厕|z+l|=（）

A.^/2B.lC，V5D.2

【解析】选A.因为zi-i=z+1，则-2（l-i）=l+i,

故|z+l|=|l-i|=J12+（-］）2=$，故A正确

2.（2023•北京模拟）在八18。中，若a=2bcos。，则ZU5。一定是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰三角形

222

a+bc

【解析】选D.由a=2bcosC及余弦定理得:a=2Z?x—————=>a2=a2+d2-c2^d2=c2,

即b=c.

3.（2023・襄阳模拟）设z£C,则在复平面内3<|z|<5所表示的区域的面积是（）

A.5兀B.9TIC.16TID.25TI

【解析】选C.满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆

心,半径为3的圆，满足条件|z|=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点

为圆心，半径为5的圆,则在复平面内3<|z|<5所表示的区域为圆环，如图中阴影部

分区域所示：

所以，在复平面内3<|z|<5所表示的区域的面积是兀*（52-32）=16兀

4TC

4.(2024・江西模拟)已知向量a=(log23,sin—),Z>=(log38,m),^a_Lb，则m=()

A.-2GB.-73C.2PD.3也

【解析】选C.因为小"所以“力=0,

即Iog23xlog38+加sin1=0,

所以log28-g加=0,所以m=2聒

【加练备选】

(2024•咸阳模拟)已知向量”=(1广1)/=(加,2),若(“+/>)〃”,则2ab=()

A.-8B.-7C.7D.8

【解析】选A.由向量”=（1广1）/=（加,2｝得“+〃=（加+1,1）,由（“+〃）〃/得（加+1）+1=0,

解得加=-2,于是6=(-2,2),所以2a必=2x(22尸-8.

5.(2024・西安模拟)已知向量”=(1,0)/=(4,总若12adi不超过3,则m的取值范围

为()

A.[-A/3，A/3]B.[-V5，V5]

C.[-3,3]D.[-5,5]

【解析】选B.由题意知,2“岳(-2,-加)，

所以2“-臼=加工n7S3得4+m2<9,

即加2s5,解得-加

即实数m的取值范围为[-更，计].

6.将函数尸sin(2%M的图象沿x轴向右平图个单位后彳导到一个偶函数的图象,

则(P的取值可为()

IT_n/n_3ir

A--4B-4C-2DT

【解析】选B.将函数产sin(2%M的图象沿x轴向右平稼个单位后，

得到产sin[2(x-》夕]=sin(2%T-0),若此时函数为偶函数的图象，则；0=左兀+黑WZ,

得0=-E-[,左WZ,当仁-1时,0=71-乎J

7.已知向量”=(1,3),“+〃=(-1,7),则向量«在向量b方向上的投影向量为()

A.(4，|)B.(-l,2)

C.(-75,275)D.(|,-|)

【解析】选B.由题知，向量儿4=(-1,7)-(1,3尸(-2,4),所以“3-2+12=10.

又回=产门石=2&,所以向量a在向量b方向上的投影向量为(-1,2).

8.(2024・贵州联考)如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区，是该市的标志性建筑之

一.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面

的高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与。，现测得

Z5CD=23°,ZCD5=30°,CD=11.2m,在。点测得甲秀楼顶端/的仰角为72.4。,则

甲秀楼的高度约为(参考数据:tan72.4°^3.15,sin53%0.8)()

A.20mB.21mC.22mD.23m

【解析】选C由题意可知,/38=23。,/。m=30。,

所以NC3ZA127。,又因为CD=11.2m,

由正弦定^^而CB

sinag

可得W，解得CBFm,

又因为N405=72.4。,所以^5=5CtanZ^C5-7x3.15-22(m).

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.(2023•长沙模拟)已知复数z的共期复数为万,则下列说法正确的是()

A.z2=|z|2

B.z+万一定是实数

C.若复数Z1/2；两足匕1+Z2ImZ1-Z2I，贝[]Z1'Z2—0

D.若复数z的平方是纯虚数,则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数

【解析】选BD.当复数z=i时/2=-1,肝=1,故A错；

设z=a+bi(a,b£R)厕万=a-6i,

所以z+5=2a£R,故B对；

设zi=a]+bii(ai,bi£即/2=。2+的(。2,3GR),由|zi+z2|=|z「Z2|可得

222222\

必1+Z2)=(4+a2)+@1+上2)=IZ1-Z2\=(。1-a2)+(%-匕2)，所以的2+6也=0,

而Z1Z2=(41+61i)(a2+Z?2i)=«1«2-^1b2+{ai3+bia2)i=2aiz+S13+"奥瓦不一定为0,故

C错;

设z=a+bi(a,b£R),则z2=a2-b2+2abi为纯虚数.

所以卜I一ft。，则质夏玛故口对.

2abW0(twwU

10.(2024•潍坊模拟)已知向量a=(-l,3)/=(%,2),且(a-2Z>)±”,则下列选项正确的

是()

A.«,Z»能作为平面内所有向量的一组基底

B.m<3是“=(-1,3)与c=(加,1)夹角是锐角的充要条件

C.向量a与向量b的夹角是45°

D.向量b在向量a上的投影向量坐标是(-1,3)

【解析】选AC.因为4=(-1,3)力=(%,2),

所以a-2Z>=(-l-2x,-l),

则(«-2Z>)-a=1+2x-3=0,

解得％=1,所以Z>=(1,2),

可得a,b不共线，故A正确；

当a,c平行时，

1

可得-1x1-3x加=0,解得加=-?所以B错误；

.CL'b-1+65yf2

由COS<“,(>^=J(_回X在小

因为0。3<“力>480。,故向量a与向量b的夹角是45。,所以C正确；

向量b在向量”上的投影向量为鲁，彩(-肃),所以D错误•

11.(2024•大连模拟)在ZU5C中角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB+bsinA^c,

a^2.y/10,a2+b2-c2^absin。,则()

A.tanC=2B.Z、

C力=6裾D.ZU5C的面积为12^/2

【解析】选AC.由余弦定理可得a2+b2-c2^2abcosC^absinC,解得tan。=2,故A

正确;

由acosB+bsin4=c及正弦定理，可得sinAcosB+sinBsin4=sinC=sin(/+5),化简

可得sinBsin4=cosAsinB.

因为5£(0m),所以sin5>0,

所以sin/=cos4即tan4=1.

因为4£(0,兀),所以力4故B错误；

因为tanC=2,所以cosOO且sinC=2cosC代入sin2C+cos2C=l,

可得5cos2。=1,解得cosC=g,sin

因为a=2^/10sinC=-g-,

,-2A/5

QsinCx-r~

所以由正弦定理si可n/i得7v4=8,

T

2/g

由a2+b2-c2^absinC,可得(2^/IU)2+b2-82=2^/I^bx-^-,

化简可得按一4遂尻24=0,解得b=6j或42招(舍去)，故C正确；

11/2

Szu3c^6csinZ=^x6^/5x8x^^24,故D错误

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.若复数z满足团=1厕声(l-i)z|(i为虚数单位)的最小值为.

答案:"-1

【解析】因为|z|=l,

所以Z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆,

又因为匕㈤二㈤㈤,

所以声(1-i)z|=|z"z+1』=匕+11+i)|的几何意义为圆上的点到尸(-1,1)的距离,

如图，

所以z2+(l-i)zHz-(-l+i)|的最小值为|0尸卜1=7屋/彳

13.(2023・镇江模拟)在&43C中力8=34),点E是CD的中点.若存在实数2,

林使得AE=AAB+而3,则丸+〃=(请用数字作答).

1—1«•*T****3

【解析】因为E是。。的中点，

所以AE=AC+CE=AC+|CD

因为所以AD=|AB,

所以由"Ak+i无，所以花却，即"〃=|4=|.

O乙。乙O乙。

14.(2024・天津模拟)在AX8C中,/5/。=120。,|4引=|4。|=2,AB=2AE,AF=AAC

(/>0),EF=2前目画修，则A=;BF-五的值为.

尸尸一323

塔宗•一-一

1=1木，22

【解析】因为AB=2AE,AF=1AC(2>0),EF=2EM,

所以AM=|(AE+AF)=|(|AB+；AC)=|AB+j2AC,

/y

又I血I得，在ZU5c中,/"。=120。,依引=|4。|=2,

、I”»A►A]AAA»

所以AC-AB=|AC|-|AB|cosZ5^C=2x2x(--)=-2,1AMI2=(-AB)2+-AC-AB+(-AC)2

△%2上

4249

3

即2方43=0,解得丸与或丸=-1(舍去)，

故丸的值为1.

---A--->---►---►---►---►---A---A---►1---►

又BF=BA+AF=-AB+2AC,CE=CA+AE=-AC+-AB,

BF-CE=(-AB+^AC)-(-AC+|AB)

=(l+1)AB-AC-|(AB)24(西2=(i4(-2)24i=-4£=§，故痴.国勺值为彳

A

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.（13分）（2023・长春模拟）已知复数z=（加2-1）+（源加2）i,m£R.

⑴若z是纯虚数，求m的值；

【解析】（D若z是纯虚数,

则［y-l=°,

m-m-20

所以加=1,则m的值为1;

(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y+l=O上，求m的值；

【解析】(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y+l=O上，则m2-l-(m2-m-2)+l=0,

解得m=-2;

(3)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.

2

【解析】⑶若Z在复平面内对应的点在第四象限，则,了-1>°,

m-m-2<0

所以1<相<2,则m的取值范围为(1,2).

16.(15分)(2023・洛阳模拟)已知向量a=(l,2),b=(3,-2).

⑴求心臼；

【解析】⑴由题知所(1,2))=(3,-2),

所以a-b=(-2,4),

所以+16=2依

⑵已知|c|=g,且(2a+c)_Lc,求向量a与向量c的夹角.

【解析】(2)由题知,“=(1,2),\c\=y/10,(2a+c)±c,

所以同=G，(2“+C>C=0,

所以2ac+c2=0,

所以21aMeos<«,c>+|c|2=0,

所以Zx@x^/IUxcos<«,c>+10=0,

所以COS<«,c>=-^y,

因为<的>£[0,田,所以向量a与向量c的夹角为季

17.（15分）（2024・长沙模拟）在ZU5C中角4瓦。所对的边长分别为。也c,且满足

sinB+sinC=2sinAcosB.

（1）证明:以挟多。；

【解析】（D因为sin5+sinC=2sinAcosB,

由正弦定理可得b+c=2acosB,

22,2

再由余弦定理得计。=2。尸2：；，

整理得a2-b2^bc.

⑵如图，点。在线段的延长线上，且即|=3,|">|=1,当点。运动时，探究8卜

|C4|是否为定值.

【解析】（2）因为互补,

所以cosZABC+cosZCBD=G,

结合余弦定理可得

2,222,,2

a+c-bza+\BorD4\l-\CD\

-2ac12a-\BD\，

因为c=[4引=3,内。|=1,

2222

曰刈+9-ba+1-\CD\

则一§一^।——若匚°，

整理得4a2-Z72+12-3|CZ)|2=0,

又a2^b2+bc^b2+3b,

1

故|C7)HC4|=2为定值.

18.(17分)已知向量a=(cos(-6>),sin(-0),Z>=(cos(^-6>),sin(^-6>)).

(1)求证:Q_LZ>;

ITTT

【解析】(l)a=(cos(-9),sin(-6))/=(cos(2-6),sin(2-6)).

=a=(cos仇-sin0),b=(sin3,cosff)

=a・〃=cos夕sinasin6*cos0=0,

故aA-b.

Zz_Lt2

(2)若存在不为。的实数上和，，使x=“+(P+3)〃产■+色满足x_L■试求此时

的最小值.

【解析】(2)显然⑷=|〃=Jcos2。+sin2e=lMA=»=[a+(P+3M]・(-hz+/Z0=O,

故可得次同2+《产+3）网2+上次（产+3）W必=0,

即-上+(「+3)=0=仁/(尸+3),

2

Mfc+t、-/1、。11

所cr以l一丁=〃+什3=«+5)-+彳,

LL4,

k+t2.11

T,

19.（17分）（2024•衡阳模拟）在澳台。中,CD为AB边上的高，已知AC+BC^AB+CD.

⑴若/5=2CZ),求tan：的值;

【解析】⑴设a,b,c分别为A45C中角A,B,C所对的运CQ=/z,则a+b^c+h.

2,,22,।入、22,,,.22

a-¥b-c(a+b)-c-Q2abz(c+n)-ch2+2ch

在A45C中,由余弦定理得cosC=

2ab2ab2ab2ab,

由;absinojc"得ab一

乙乙o111

2

r-r-i\11+cosCh+2ch_h

所以1

si.nCr=2nchb=+▼2c-

因为43=28,所以c=2/z,于是一鲁=1*,

.cc

C2sin2C0S2sinC4

mJtan-------“二’—广m

202c14-cosC5

2cos2

⑵若AB=kCD,k>0,求tanC的最小值及tanC取最小值时k的值.

hI

【解析】（2）方法一:由⑴知

LC.G

tan2

如图，在八45。中过B作AB的垂线防，且使EB=2h,

贝UCE=C5=a,贝UAC+CE^a+b>AE^c2+4忧