沪科版九年级数学上册试题 第22章 相似形 单元检测卷（含答案）

第22章《相似形》单元检测卷

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.若b、c、d是成比例线段，其中a=15,b=5,c=9则线段d的长为（)

A.2B.3C.6D.27

2.如图，有三个矩形，其中是相似矩形的是（）

D.以上都不对

3.若AABC的三边长分别为1,41,G,ADEF的三边长分别2,2也，2△，她VABC与VDEF

()

A.一定相似B.一定不相似

C.不一定相似D.无法判定是否相似

4.如图，在V/8C中，D、E分别是边NC、48上的点，下列命题中，假命题是（）

AnAr

A.<—,则V/DE与V/8C相似B-若庆=商，则V皿与V〃相似

TiCnC

JF）AJ7

C.若商=就,则V与V相似D.若NADE=/B,则VNDE与V/BC相似

5.在平行四边形ABCD中,E是皿上一点,帮,连接垢女相交于F,则土的值为

()

AED

F

B匕----------------7c

A.1B.\C.当D.1

2447

6.在平面直角坐标系中，已知点/（6,2）,5（6,-2）,以原点。为位似中心，相似比为，把V/2。

缩小，则点A的对应点H的坐标是（）

A.（12,4）B.（-3,-1）C.（3,1）或（-3,-1）D.（一12,4）或（12,4）

7.将三角形纸片V48C按如图所示的方式折叠，使点3落在边NC上，记为点夕，折痕为已

^1AB=AC=6,BC=8,若AFB'Cs^ABC,那么3F的长度是（）

2412

A.—B.4C.—D.2

8.如图，点D、E、F分别在V/8C的边AC.8C上，且DE〃BC,EF//AB,下列4个式子中,

不正确的是（）

A坦=生B处.也,处一见口

'ABAC'ADFC'ECFC'ABBC

9.如图，已知在矩形48C。中，AB=3,BC=5,作对角线/C,按以下步骤作图：①以点8为

圆心、适当长为半径作弧，分别交边A4,8C于点E,尸；②分别以点£,尸为圆心、大于;所

的长为半径作弧，两弧交于点”；③作射线由/交/C于点G,交/。于点/,交的延长线于

点J,则S'JID：SVJBC=Q）

10.如图，在平行四边形ABCD中，乙8=60。，4B=9,=6,点E为边上一动点，连接即

并延长至点F,使得。尸=；。后,以EC,E尸为邻边构造YEFGC,连接EG交DC于点0.当EG

的长最小时，4E的长为（）

C.2D.1+V3

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.如果两个相似三角形的周长比是2：行，那么它们的面积比是.

12.已知〃是线段上的黄金分割点•若若/8=2cm,则8"=cm.

13.已知：如下图，BC//DE,40=3,AE=4,AB=9,则CE=

14.如图，Z1=Z2,请你补充一个条件:

15.如图，已知，ZACB=AADC=90°,BC=3,AC=4,^^MABC^MACD,只要

CD=

BC

16.如图，E为NB的中点，ZADE=ZB,AB=12,AC=9,则CD的长为__________.

A

BC

17.如图，在正方形NBC。中，E为48中点，G、尸分别是、8C边上的点，若“G+3F=5,

/GET=90。，则G尸的长为____.

s：

E

18.如图，在VNBC中，E、F分别是/8,/C的中点,,BC=6,CE=5,动点P在射线川上，BP

交CE于D,/C5P的平分线交C£于Q,当£尸+3尸=18时,则。。的值为___________

A

A

DC

三、解答题(本大题共6小题，共58分)

19.(8分)如图，已知AB〃DC,点E、F在线段BD上,AB=2DC,BE=2DF.

(1)求证：△ABEs/MSDF.

(2)若BD=8,DF=2,求EF的长.

¥

D

20.（8分）如图广为平行四边形48CD的边4D延长线上一点，B尸分别交C。、ZC于G、E.

GEBE

（1）求证:

EBEF；

21.（10分）每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景

线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜

子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树（/S）8m的点E处，然后观测者沿着

直线BE后退到点。，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得。E=2m,观测者目高

C£»=1.75m,则树高48约是多少米？

22.（10分）观察与发现：如图：小明将一个边长为6c加的正方形纸片/BCD折叠，使得点D

落在48边上的点E处（不与A,B重合），折痕交工。于点F,交2c于点H,点C落在Q处,

EQ与BC交于点、G,

（1）小明认为VNEFSV8GE,你同意吗？请说明理由.

（2）实践与探究：在上图中，当/E=2ctn时，请你计算△BGE的周长.

23.（10分）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型:

如图1,ABAD=ZACB=ZAED=90°,由N1+N2+/BAD=180。，Z2+ZD+ZAED=180°,可得

N1=ND；又因为=成＞=90。，可得△/BCSAD/E,进而得到=.我们把这

2JL

个模型称为“一线三等角”模型.

应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2,在V/8C中，AB=AC=W,

2C=12,点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且

ZAPD=ZB.

①求证：AABPs^pcD；

②当点P为BC中点时，求CD的长；

拓展：（3）在（2）的条件下如图2,当为等腰三角形时，请直接写出BP的长.

图I图2

24.（12分）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB〃CD,ZB=90°，点P在BC边上，当

ZAPD=90°时，4ABP与APCD是否相似？—（填“是"或“否”）.

探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当NB=NC=NAPD时，求证4ABP

^△PCD.

拓展：如图③，在4ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上.若

ZB=ZC=ZDPE=45

BC=12及，CE=9,则DE的长为

答案

一、单选题

1.B

【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.根

据定义ad=cb,将a,b及c的值代入即可求得d.

解:已知a,b,c,d是成比例线段，

根据比例线段的定义得：ad=cb,

代入a=15,b=5,c=9,

解得：d=^=3.

故选：B.

2.B

【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等即可.

3

解：矩形甲长与宽比为

矩形乙长与宽比为（215=35,

矩形丙长与宽比为一1s=:3,

所以甲和丙的长与宽的比相等，故这两个矩形相似，

故选：B.

3.A

【分析】求出三组对应边的比，观察是否相等即可作出判断.

解.二=巫=巫

'2272273

「.△ABCS/\DEF.

故选：A.

4.A

【分析】三角形相似的判定方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的

两个三角形相似；两角对应相等的两个三角形相似；根据三角形相似的判定方法容易得出结论.

解：若A黑D=黑，不满足三角形相似的判定方法，不一定相似，，A是假命题;

AF）AJ7

若7^；==,则DE〃BC,••.△ADE~AACB，B正确；

DCEB

AriAT

<—=—NA=NA,AADE"AACB,正确；

ABAC

若NADE=NB,又,:ZA=ZA,

•••AADE"AABC,正确;

所以选A.

5.C

【分析】根据题目已知条件求证尸，再找到相似三角形的相似比即可表示出

其面积比.

解：•.•四边形/BCD是平行四边形，

/.AD//BC,AD=BC,

/.NEAF=NBCF,NAEF=NCBF,

,AAEFs^CBF,

.这二

人*DE3'

•••AE—_2.

BC5

6.C

【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案.

解：

以原点。为位似中心，相似比为g把V/2。缩小，N（6,2）,

则点A的对应点H的坐标为（6x；,2x1）或［-6xg,一2弓

即（3」）或（-3,-1）,

故选:C.

7.B

【分析】设=根据折叠的性质用x表示出史尸和尸C,最后根据两三角形相似对应边

成比例即可求解.

解：设BF=x,则由折叠的性质可知：B'F=x,FC=8-x,

B'FFC

当AFB'CS44BC时，有——=—,

£=8-x

166

解得：x=4；

故选：B.

8.B

【分析】证明可判断选项A；由平行线分线段成比例，可判断选项B和

C;证明推导出四边形是平行四边形，可判断选项D.

解：•：DE//BC,

：.AADE〜LABC,

=,故A正确，不符合题意；

ABAC

DE//BC,

.BD_CE

••茄一西‘

EF//AB,

.CF_CE

••花一两’

黑=惠，故B错误，符合题意；

ADFB

EF//AB,

..・彦=空，故C正确，不符合题意；

•/DE//BC,

：.LADE〜LABC,

.ADDE

,,下一嬴'

•；DE//BC,EF//AB,

・・・四边形瓦处F是平行四边形，

DE=BF,

・•・当=桨，故D正确，不符合题意.

AJJJDC

故选：B.

9.B

【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可.

解：二•四边形/BCD是矩形，

/.4D〃BC,AD=BC=5,/ABC=/BAD=90°,

由作图可知，BJ平分/ABC,

：.ZABJ=/CBJ=45°,

NABI=ZAIB=45°,

AB=AI=3,

DI=AD-AI=2,

•；AD〃BC,

：.VJDIs'JCB,

•4JID

*C

°VJBC

故选：B.

10.B

【分析】利用YEFGC证明VOO£:VCOG,根据已知条件求出EG与OE的线段比例关系，从

而得出OE的长最小时，EG的长最小，即可求出根据Y/8CD和推出四边形

4EMO的形状，进而证明=即可求出4E的长度.

解：过点A作/交。C于M,

ADF

G

B

C

：DF=-DE,

4

.DE_4

•~EF~~5・

.•EFGC为平行四边形，

\EF=CG,EF〃CG,

\/EDO=ZOCG,/DEO=ZOGC,

\MDOE:X/COG.

.DOOEDE_4

'CO-OG-CG-5'

4

\OE=—EG,

9

・.OE的长最小时，EG的长最小，

\OELAB,

•,在Y48CD中，ZB=ZADC=60°,AMLDC,

ADAM=180°-ZADC-ZAMD=180°-60°-90°=30°,

：AD=6,

\DM=-AD=3.

2

；OECD,AMLDC,

\AM//OE,

••在平行四边形ABCD中，ABPCD,

四边形ZEMO为平行四边形.

：AB=9,—

CO5

。。=4,

\AE=OM=DO-DM=1.

故选：B.

二、填空题

n.4：5

【分析】根据相似三角形的性质求解即可.

解：二•两个相似三角形的周长比是2:石，

,这两个三角形的相似比为2:石

这两个三角形的面积比是2?：（石『=4：5；

故答案为：4:5.

12.（V5-1）

【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则8"=旦代入数据即可得

2

出/〃的长.

解：:.点凶为线段的黄金分割点，且AB2cm,

故答案为：（石T）.

13.8

【分析】根据平行线分线段成比例求出/C,减去/E可得结果.

解：BC//DE,

.•.丝=丝,即建二

ABAC9AC

：.AC=12,

：.CE=AC-AE=n-4=S,

故答案为：8.

14.ZB=ZD（答案不唯一）

【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定.

解：添加条件NB=ND,理由如下：

*；Zl=Z2,

Zl+ACAD=Z2+ACAD,®PABAC=ADAE,

又ZB=ZD,

：.AABCs/\ADE,

故答案为：ZB=ZD(答案不唯一).

【分析】根据对应边成比例的两个三角形互为相似三角形可以求解.

解：ZACB=90°,AC=4,BC=3,

AB=A/32+42=5,

要使VABCsVACD，有爷=H

5

4嘉CD=g

故答案为：葭19

16.1

【分析】先求解/£=8石=6,再证明,可得不=其，再建立方程求解，从

ACAD

而可得答案.

解:'：AB=n,E为48的中点,

AE=BE=6,

'：ZADE=ZB,N4=N4,

：./\ADE-^ABC,

.AEADhoc

,•就二茄，而"二9，

.6AD

••5一五，

解得：AD=8,

：.CD=AC-AD=9-S=1,

故答案为：1

17.5

【分析】首先证明△/£Gs△瓦巴从而推出对应边成比例：黑=霁因为=可得

rDDr,

AE1=AGBF,再根据GF?=GE2+EF2=AG2+AE2+BE?+8尸进行化简可得GF2(AG+BF)2,进而得到

答案.

解：,•・四边形43co是正方形,

/A=/B=90°,

NAGE+/AEG=90°,/BFE+/FEB=90°,

NGEF=90°,

NGEA+/FEB=90。,

/AGE=/FEB,ZAEG=/EFB.

4AEGsABFE,

.AE_AG

一~FB~^E'

又YAE=BE,

AAE2=AGBF,

GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=AG2+BF2+AE2+BE2=AG2+BF2+2AE2=AG2+BF2+2AG^F=(AG+BF)2=25

••.G户的长为5.

【分析】延长8。，交E尸的延长线于点M,由三角形的中位线定理可得斯〃8C,继而可

证明=由等角对等边可得尸3=尸〃，再证明VEQWSVC03,利用相似三角形的性质

求解即可.

解：延长8。，交E尸的延长线于点M,

•:NCBP的平分线交CE于Q,

ZPBM=/CBM,

YE、F分别是/d/。的中点，

EF//BC9

：.ZM=NCBM,

「・ZPBM=AM,

「・PB=PM,

「・EM=PE+PM=PE+PB=189

,?ZEQM=ZCQB,

/.AEQM^ACQB,

.EMEQ

^~CB~~CQ'

・「BC=6,CE=5,

・•・*,

故答案为：I".

三、解答题

19.

解：(1)证明：；AB〃DC,

,ZB=ZD,

VAB=2DC,BE=2DF,

/.AB：DC=BE：DF=2,

二.AABE^ACDF；

(2)解：VBE=2DF,DF=2,

，BE=4,

VBD=8,

/.EF=BD-DF-BE=2.

20.

解：（1）证明：平行四边形48CZ）

：.DC//AB,BC//AD

.GECECEBE

••EB-AE'AE~EF

.GEBE

^~EB~~EF

GEBE

(2)：由(1)中证明得：

EB~EF

8

代入后得BE

EF=32,GE=8而~12

，BE=16

21.

解：根据题意，易得NCDE=NABE=9Q°,ZCED=ZAEB,

则NABE^\CDE,

则生=必即阻坐，

人」DECD'21.75(

解得:AB=7m,

答：树高AB约是7m.

22.

(1)解：同意.理由如下：

根据折叠的性质可得/FEQ=/£>=90°,EF=DF.

"：NAEF+NBEG=90°,NAEF+NAFE=90°,

/.ZAFE=ZBEG.

"：N4=NB=90°,

/.MAEF^MBGE；

(2)解：1^AF=x,则£»P=£F=6-x,

22+x2=(6-x)2,

._8

・・x——,

3

即/尸=|,即=].

YAEFsVBGE,

.AFAEEF

"BE~BG~GE'

810

即3=2二，

4BGGE

：.BG=3,GE=5,

：.ABGE的周长为3+4+5=12（cm）.

23.

解：感知：（1）VAABC^ADAE,

.BCAC

"14E~1）E，

.BC_AE

…就一砺’

故答案为：落；

应用：（2）①