2025年高考数学一轮复习之幂函数、指数函数、对数函数

2025年高考数学一轮复习之塞函数、指数函数、对数函数

选择题（共9小题）

11

)

1.已知久=y=eefz=7T元，则％,y,z的大小关系为（

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

t

2.已知塞函数/（x）的图象经过点A（3,27）与点5口，64）,a=logo.itfb=Q.2,c=/°i,则(

A.c〈a〈bB.a〈b<cC.b<a<cD.c〈b〈a

3.设〃，gR,则“/g〃+妙=0"是“"=1”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.设〃=logo.i0.2,Z?=e°3,C=203,则〃,b,c的大小关系是()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

5.已知正数〃,b,。满足〃=力=/碇，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）

A.a+c<2bB.a+c>2bC.ac<b2D.ac>b2

6.已知集合/={%|y=/%-1},B={y\y=e1-x],则AG5=()

A.(0,1)B.(0,+8)C.[0,+8)D.[1,-|-OO

7.已知集合A={%|曾<0},B={y\y=ex],则AG5=()

A.(-1,+8)B.[-1,4-00)C.(0,3]D.[0,3)

8.已知集合M={x|2x-3>0},N={y|y="+1},则J()

33

A.MCN=(1,1)B.MUN=6,+00)

3

C.CNM=(1,|)D.MCN

9.已知函数/（%）=一五j）+b，若函数/（x）的图象关于点（1,0）对称，则10gab=（）

A.-3B.-2C.D.

二.填空题（共7小题）

10.计算：（》-2+/温一（百一1）0+旬4+匈0.25=

11

11.已知2"=3"=6,则一+-二.

ab

12.方程/g(-2x)=lg(3-x2)的解集为.

13.已知/ga+6=—2,$=10,贝！］a=.

14.若嘉函数y=/的图像经过点(遮，3),则此累函数的表达式为.

1

15.已知曲线Ci：y=^与曲线C2：y=logax(。>0且。力1)交于点尸(xo,yo),若xo>2,则。的取值范

围是.

16.已知实数xi、X2、yi、y2满足好+比=1,好+秃=3,xij2-%2ji=V2,贝！J|xix2+yi>2|=.

三.解答题(共4小题)

17.设a为常数，函数/(*)=/0处事.

(1)若。=0,求函数>=/(无)的反函数y=fi(无)；

(2)若aWO,根据a的不同取值，讨论函数y=/(x)的奇偶性，并说明理由.

18.已知函数/(x)=trx(1-x)(a>0,aWl)的最大值为1.

(1)求常数a的值；

(2)若三尤1WX2,f(XI)=/(X2),求证：Xl+X2<0.

19.已知指数函数/(无)=(3)-10a+4)〃在其定义域内单调递增.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)设函数g(x)=f(2x)-V(x)-3,当xe［0,2］时，求函数g(无)的值域.

20.若一个两位正整数机的个位数为4,则称相为“好数”.

(1)求证：对任意“好数”16一定为20的倍数；

(2)若〃z=p2->且夕，“为正整数，则称数对(p,q)为“友好数对"，规定："㈣=*例如24

=52-I2,称数对(5,1)为“友好数对”，贝阳(24)=求小于70的“好数”中，所有“友好数对”

的H(m)的最大值.

2025年高考数学一轮复习之塞函数、指数函数、对数函数

参考答案与试题解析

一.选择题(共9小题)

11一

1.已知久=奁，y=e~e,z=7T元，则x,y,z的大小关系为()

A.x'>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

【考点】对数值大小的比较.

【专题】函数思想；构造法；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】D

__111[[7?1Y

【分析】将x=V2,y=ee9z=7T元变为lnx=-^nl,lny=-Ine,biz=,n7i,构造函数/(%)=(x

>0),利用导数判断函数的单调性，再结合/wx=/"2=根据函数的单调性即可求出结果.

Z4,

11.111

【解答】解：Vx=V2,y=ee,z=兀元,lnx=-^ln2,lny=—Ine,lnz=-Inn,

•2'eTi

构造函数y(x)=—(x>o),则(吗=匕磬(%>o),

当OVxVe时，f(x)>0,当％>e时，f'(x)<0,

・•・函数/(%)在(0,e)上递增，在[e,+oo)上递减，

1I

*.*lnx=-^ln2=-Tln4,e〈3V4,且e,3,4E[e,+°°

."(e)>f(3)>f(4),lny>lnz>lnx,

.".y>z>x.

故选：D.

【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质、对数函数的单调性等基础知识，考查

运算求解能力，是基础题.

2.已知幕函数/(x)的图象经过点A(3,27)与点8。，64),a=logo.i/,6=0.2，，c=?01,贝！]()

A.c<a<bB.a〈b〈cC.b〈a〈cD.c〈b〈a

【考点】幕函数的概念.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】B

【分析】设幕函数的解析式为了(无)=犷，把点(3,27)代入函数的解析式求得a的值，即可得到函

数的解析式，求出才的值，从而比较。，6,c的大小.

【解答】解：设幕函数的解析式为于(x)=x%

把点尸(3,27)代入函数的解析式可得，

3a=27,解得a=3,

这个函数的解析式是f(x)=/,

.,.户=64,解得f=4,

.,.a=logo,i4<0,0<Z>=0.24<l,C=401>1,

故a<b<c,

故选：B.

【点评】本题考查了求事函数的解析式，幕函数，指数函数的性质，是中档题.

3.设a,bER,则“3+励=0”是“ab=l”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】对数的运算性质；充分条件与必要条件.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；逻辑推理；数学运算.

【答案】A

【分析】直接利用对数的运算和充分条件和必要条件的应用求出结果.

【解答】解：当/ga+/gb=O时，整理得ab=l；

当ab—1时,Iga和/gb不一定有意义，

故"lga+lgb=O”是“必=1”的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查的知识要点：对数的运算，充分条件和必要条件的应用，主要考查学生的运算能力和

数学思维能力，属于基础题.

4.设a=logo.i0.2,b—e03,c=203,则a,b,c的大小关系是()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【考点】对数值大小的比较.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】根据对数函数和幕函数、指数函数的单调性即可得出a<l,b>c>\,然后即可得出a,b,c

的大小关系.

【解答】解：Iogo.i0.2<logo,i0.1=l,e°-3>2°-3>2°=l,

:・b>c>a.

故选：C.

【点评】本题考查了对数函数、指数函数和幕函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.

5.已知正数a,b,c满足*=6=历第e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是()

A.a+c<2bB.a+c>2bC.ac<b2D.ac>b2

【考点】对数值大小的比较；利用导数研究函数的单调性；不等关系与不等式.

【专题】转化思想；构造法；导数的概念及应用；数学建模.

【答案】B

【分析】将a和c都用6表示，再利用求导即可比大小.

【解答】解：对于选项A和选项8,

由0°=6=欣。，可知c=eb,

则a+c=〃g+e"构造函数/(x)=/nx+/-2x,

则/(无)=；+"-2.

因为正数a、6满足e"=b,所以b>l.

1

当时，一+"-2>0恒成立，

x

所以/'(无)在xe[l,+8)上单调递增，

因为6>1,则/(b)>f(1),

HPlnb+eb-2b>0+e-2>0,

所以历b+J>26,即a+c>26.

故B选项正确：

对于选项C和选项D,

令6=孤，解得ajc=e«,此时故选项C和选项。都不正确.

故选：B.

【点评】本题主要考查构造函数比大小，通过求导即可判断，注意有时也可代特殊值来判断选项，属于

中等题.

6.已知集合2={x|y=/r—1},B={y\y—e1-x},则ACl2=()

A.(0,1)B.(0,+8)C.[0,+8)D.[1,+8)

【考点】指数函数的值域；交集及其运算.

【专题】函数思想；集合思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】D

【分析】先求出集合A,B,再利用集合的基本运算求解.

【解答】解：集合4={巾=7^二1}={中上1},B={y\y=e^'x}={y\y>0],

所以APlB=[l,+8).

故选：D.

【点评】本题主要考查了函数的定义域和值域，考查了集合的基本运算，属于基础题.

Y_Q

7.已知集合4={%|不|百30卜8={y|y=e*},则ACB=()

A.(-1,+8)B.[-1,+8)c.(0,3]D.[0,3)

【考点】指数函数的值域；交集及其运算；其他不等式的解法.

【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算.

【答案】C

【分析】先求出集合A,B,再根据交集的定义即可得解.

【解答】解：由七0<0,得华[3)(：+1)4°,解得_i<xW3,

x+1+1W0

所以A=(-1,3],B={y\y=ex}=(0,+0°),

所以AGB=(0,3].

故选：C.

【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

8.已知集合〃=口|2%-3>0},N={y|y="+1},贝1J()

33

A.MnTV=(1,1)B.MUN=G，+8)

3

C.QNM=(1,1)D.A/CN

【考点】指数函数的值域；集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算.

【专题】集合思想；综合法；函数的性质及应用；集合；数学运算.

【答案】D

【分析】先求解不等式和求函数的值域得到集合N的范围，再根据交并补和集合间的关系的定义分

别判断各选项即得.

【解答】解：；M={X|2X—3>0}=G，+8),N={y|y>l}=(1,+°°),

因MnN=G，+8),故A项错误；

由MUN=(1,+8),知8项错误；

由CNM=(L/，知C项错误；

因MUN,故。项正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查了指数函数的值域，考查了集合的基本运算，属于基础题.

1

9.已知函数/(%)=1。出(。一Kpj)+力，若函数/(x)的图象关于点(1,0)对称，则log〃/?=()

A.~3B.-2C.—2D.-1X

【考点】对数函数的图象；对数的运算性质.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

【答案】C

【分析】利用函数图象的对称性求出。、6的值，即可求解.

【解答】解：因为函数无)的图象关于点(1,0)对称，

所以/(尤)=0恒成立，

2

代入得/(%)+/(2—x)=2b+log2g—^y)(a—=2b+log2{a+石墨)+4；%；；))=°，

1i

所以a=4,b=2,所以/ogab=—)

故选：C.

【点评】本题考查了函数图象对称性的应用，考查了转化思想，属于中档题.

—.填空题(共7小题)

10.计算：(3-2+/3一(b―1)0+34+S0.25=18.

【考点】对数的运算性质；有理数指数惠及根式.

【专题】计算题；对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】18.

【分析】利用指数运算及对数运算化简即可.

【解答】解：(3-2+eln3_(V3-1)°+匈4+匈0.25

=16+3-1+lg(4X0.25)

18+0=18,

故答案为：18.

【点评】本题考查了对数运算及指数运算的应用，属于基础题.

11

11.己知2。=3、=6,则一+-=1.

ab

【考点】对数的运算性质.

【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】1.

【分析】先把指数式化为对数式求出a,b的值，再利用对数的运算性质进行求解.

【解答】解：,.,2。=3"=6,...a=log26,6=log36,

1111

.•#.―+―=--------+---------=log62+log63=log66=1,

ablog26log36

故答案为：1.

【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题.

12.方程lg(-2x)=lg(3-x2)的解集为3x=-1}.

【考点】对数方程求解.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】{尤|尤=-1}.

r—2x=3—%2

【分析】依题意得至苗―2刀>0，解得即可.

、3-久2>0

【解答】解：因为值(-2尤)=lg(3-7),

2x=3-x2

贝|，-2万>0，解得尤=-i,

、3-%2>0

所以方程/g(-2无)=lg(3-/)的解集为国尤=-1).

故答案为：{x|x=-l}.

【点评】本题主要考查了对数运算性质的简单应用，属于基础题.

1

13.已矢口/ga+/?=-2,〃"=10,贝U〃=一.

-IT)-

【考点】对数的运算性质.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】—.

10

【分析】根据指对数互化可得b=高，结合匈a+卷=-2求参数值即可.

11

【解答】解：由题设b—loga10—场则Zga+=—2且〃>0,

所以/g2a+2/g°+i=（Zg（z+1）2=0,BPIga--l,故。=片.

故答案为：二.

10

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.

14.若基函数y=Y的图像经过点（遮，3）,则此事函数的表达式为y=i.

【考点】幕函数的概念.

【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】y=d.

【分析】由题意，利用幕函数的定义和性质，求得a的值，从而得出结论.

【解答】解：；塞函数的图像经过点（遮，3）,

；.（褥）。=3,；.a=3,

则此幕函数的表达式为>=f.

故答案为：y=/.

【点评】本题主要考查累函数的定义和性质，属于基础题.

1

15.已知曲线Q：了二^与曲线。2：y=logax（〃>0且〃W1）交于点尸（xo,yo）,若xo>2,则〃的取值范

围是（4,+8）.

【考点】对数函数及对数型复合函数的图象.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算.

【答案】（4,+8）.

【分析】由已知结合对数函数及反比例函数的图象及性质即可求解.

【解答】解：①当OVqVl时，由曲线C1和曲线C2的图象可知，0<如<1,不合题意；

②当a>1时，有一=log%,可化为一=---有lna=xolnxo

a0f

XQx0Ina

令于（x）=xlnx（x>2）,则，（x）=济%+1>历2+l>0,

故函数/（%）单调递增，可得函数/（%）的值域为Q21n2,+8）,

故Inci>21Tl2=伉4,可得a>4.

故答案为：（4,+8）.

【点评】本题主要考查了对数函数性质的应用，属于中档题.

16.已知实数xi、12、yi、满足好+y）=L好+%=3,xiy2-X2yi=V2,贝6xix2+yiy2l=1.

【考点】有理数指数事及根式.

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算.

【答案】1.

【分析】由题意结合三角换元和三角恒等变换即可求解.

【解答】解：,实数xi、X2、＞1、"满足后+yl=1,%2+yi=3，

.,.可令xi=cosa,yi=sina,xi—V3cosP，y2—V3sinp,

则xiv2-x2yi=cosa*V3sinP-sina,V3cosP=V3sin(0-a)=V2,

可得sin(p-a)=萼，

贝1J|xix2+yiy2|=|cosa・V^cosB+sina・V^sin[3]=V3|cos(p-a)|=V3XJl-sin(0—a)2=V3XJl—1=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了三角换元的运用，三角恒等变换，是中档题.

三.解答题(共4小题)

17.设。为常数，函数/(*)=/0处事.

(1)若。=0,求函数＞=/(无)的反函数y=fi(无)；

(2)若aWO,根据a的不同取值，讨论函数y=/(x)的奇偶性，并说明理由.

【考点】反函数；函数的奇偶性.

【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】(1)fT(X)=当，久70；

(2)当。=-1时，函数y=f(x)是奇函数；当aWO且时，函数y=f(无)既不是奇函数，也

不是偶函数.

【分析】(1)利用y把尤表示出来即可求得结果；

(2)对。分情况讨论，利用函数奇偶性的定义判断即可得出结论.

【解答】解：(1)由y=/。比室，得2〃=亨，于是x=器，且yWO.

因此，所求反函数为fT(久)=/\,%*0.

(2)当。=-1时，/(%)=/。。2罟，定义域为(-8,-1)U(1,+8).

y(—x)=log2葺斗=log2台|=-log2/=一/(久)，故函数y=f(尤)是奇函数；

当且-1时，函数)=/(x)的定义域为(-8,-1)U(-＜2,+°°),函数(x)既不是

奇函数，也不是偶函数.

【点评】本题考查了反函数的求解以及函数奇偶性的判断，属于中档题.

18.已知函数/(%)=ax(1-x)(Q>0,的最大值为1.

(1)求常数〃的值；

(2)若f(XI)=f(X2),求证：Xl+X2<0.

【考点】指数函数综合题.

【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】⑴a=e；

(2)证明见解析.

【分析】(1)由题可得/(x)=6^[-xlna+lna-l]=ax(-Ina)9分类讨论可得。>1时，

f(x)max=f(―——)=a1na,即/几〃-l=ln(Ina),然后通过构造函数h(x)Inx-x+1可求；

JInaIna

(2)由题可得/(-X2)-f(xi)=e~X2(l+x2)—eX2(1-x2),构造函数m(x)=ex(1+x)-

(1-x)(0<x<l),利用导数可得机(x2)>m(0)=0,即得.

【解答】解：(1)由题意xER,/(x)=ax[-xlna+lna-1]=0^(-Ina)(%—

由于/>0,

所以若-lna>0,即

当xV华工时，f(x)<0；当x>华工时，f(x)>0；

InaJInaJ

lna—1lna—1

即/(X)在(-8,-----)上单调递减，在(1一,+8)上单调递增，不合题意；

InaIna

若Tna〈U,即a>l,

当x<隼]时，f(%)>0；当时，/(无)<0；

lna—1lna—1

即/(X)在(-8,-----)上单调递增，在(------,+8)上单调递减，

所以a阮。=lna,两边取自然对数得：Ina-1=In(Ina),

BPIn(Ina)-lna+l=0,

令h(x)=lnx-x+1?

则〃a)=3i=F

易知0<x<l时，h'(x)>0,h(x)单调递增；x>l时，h'(无)<0,h(x)单调递减，

•»h(X)max=h(1)=0，

BPlnx-x+l=0的根为1,

所以lna=l,

即a=e；

(2)由(1)知/(%)(1-x),且在(-8,o)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

f(1)=0,f(0)=1,

当-8时，f(x)f0；当+8时，f(x)f一8,

由/(XI)=f(X2)(X1WX2),不妨设XIV0Vx2〈l,

贝!]/(-X2)-f(XI)=f(-X2)-f(X2)=e~X2(1+X2)—ex2(1-X2),

令m(%)=ex(1+x)-/(1-x)(0<x<l),

于是加(x)=x-ex)>0,

所以机(x)在(0,1)上单调递增，

所以m(x2)>m(0)=0,

所以/(-%2)>f(XI),且XI,-X2G(-8,0),

从而XI<-X2,

即Xl+X2<0.

lna—1

【点评】本题考查了转化思想求函数的最值及极限思想,第一问利用导数通过分类讨论得到a俞=lna,

通过两边取对数，构造函数〃(无)=lwc-x+l,再利用导数求a的值；第二问关键是构造函数机(%)

=/£(1+无)-炉G-x)(0<%<1),然后利用导数与单调性的关系即证，属于难题.

19.已知指数函数/(无)=(3o2-10a+4)〃在其定义域内单调递增.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)设函数g(尤)=/(2x)-"(X)-3,当尤日0,2]时，求函数g(无)的值域.

【考点】由指数函数的单调性求解参数.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】(1)/(%)=3*；

(2)[-7,42].

【分析】(1)根据指数函数定义和单调性可解；

(2)令/=3工，利用二次函数的单调性求解可得.

【解答】解：⑴,•,/(X)是指数函数，

，3。2-]0。+4=1,解得。=3或a=*,

又•:f3在其定义域内单调递增，所以。=3,

：.f(x)=3"；

(2)g(尤)=32*-44-3=(3D2-4(3D-3,

VxG[O,2],

.•.3Ae[l,9],令f=3工,re[l,9],

：.g(/)=？-4r-3,tE[l,9],

g(E)min=g(2)=-7,

g(t)max=g(9)=92-4x9-3=42,

：.g(x)的值域为[-7,42].

【点评】本题主要考查函数的性质，属于基础题.

20.若一个两位正整数/"的个位数为4,则称他为“好数”.

(1)求证：对任意“好数"如16一定为20的倍数；

(2)若机=p2-/且0,彳为正整数，则称数对(p,q)为“友好数对”，规定：H(m)=3例如24

=52-P,称数对仃，1)为“友好数对”，则//(24)=得，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”

的H(m)的最大值.

【考点】有理数指数累及根式.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

【答案】(1)证明见解析

15

(2)——.

17

【分析】(1)设相=10什4,从而有16=(10/+4)2-16=100?+80/+16-16=20(5尸+书)即可证

明；

(2)根据题意可得10/+4=(p+q)(p-4),进而分类讨论即可求解.

【解答】解：(1)证明：设m=10f+4,1WW9且f为整数，

.\m2-16=(10/+4)2-16=100r+80r+16-16=20(5理+4力，

；lWfW9,且/为整数，，5P+书是正整数，

"2-16一定是20的倍数;

(2)'.'m—p2-q2,且。，g为正整数，10r+4=(p+q)(p-q),

当t=l时，107+4=14=1X14=2X7,没有满足条件的p,q,

当t=2时，10什4=24=1义24=2义12=3X8=4X6,

,满足条件的有忆屋;2或忆曙:,

解得仁国工；

q1

.•.”(*=学或m，

当f=3时，107+4=34=1X34=2X17,没有满足条件的p,q,

当t=4时，10r+4=44=lX44=2X22=4Xll,

•.・满足条件的有KI］：：，解得《二制，

=患=|，

当f=5时，10r+4=54=lX54=2X27=3X18=6><9,没有满足条件的p,q,

当t=6时，10什4=64=1X64=2X32=4X16=8X8,

••・满足条件的有｛黑箕或匕驾

解得忆&C”

=居或g，

小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值为三.

【点评】本题主要考查了新定义问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.

考点卡片

1.集合的包含关系判断及应用

【知识点的认识】

概念：

1.如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；Acs；如果集合A

是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于4那么集合A叫做集合B的真子集，即AuB；

2.如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那

么我们就说集合A等于集合8,即A=B.

【解题方法点拨】

1.按照子集包含元素个数从少到多排列.

2.注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.

4.有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义

域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题.

2.并集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与8的并集，记作AUB.

符号语言：4口8={小€4或止8}.

图形语言：

AU3实际理解为：①％仅是A中元素；②％仅是8中的元素；③x是A且是8中的元素.

运算形状：

②AU0=A.③ALM=A.(4)AUB2A,AUB2B.⑤⑥AUB=0,两个

集合都是空集.⑦AU(CuA)=U.⑧Cu(AUB)=(C，4)Cl(CUB).

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；注意并集中元素的互异性.不能重复.

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数

的定义域，值域联合命题.

3.交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合8的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作ACB.

符号语言：AnB={x|xeA,且在团.

AC2实际理解为：x是A且是2中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算形状：

①②AC0=0.③AnA=A.©AABGA,ACiBQB.⑤"B=A=AaB.⑥ACB=0,两个

集合没有相同元素.⑦an(CuA)=0.⑧Cu(AAB)=(CuA)U(CuB).

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联

合命题.

4.补集及其运算

【知识点的认识】

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作

U.(通常把给定的集合作为全集).

对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简

称为集合A的补集，记作CuA,CuA=[x\xeU,且通4}.其图形表示如图所示的Venn

C人

图.

【解题方法点拨】

常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法.

【命题方向】

通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、

值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现.

5.充分条件与必要条件

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若。则为真时，可表示为pnq,称p为q的充分条件，q是p的必要条件.事实上，

与“0今/等价的逆否命题是它的意义是：若q不成立，则p一定不成立.这就是说，q对

于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件.例如：p：x>2；q：x>0.显然xCp,则xCq.等价于x幽，

则x即一定成立.

2、充要条件：如果既有“p今又有“q=p”,则称条件p是g成立的充要条件，或称条件q是p成立的

充要条件，记作“p=4”.p与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一

不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学

生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若p=q为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p=q为真命题且q=p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若pnq为假命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内

容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

6.不等关系与不等式

【知识点的认识】

48

不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如：;与：就是相等关系.而

不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a-b

>0就是不等式.

不等式定理

①对任意的a,b,有a>b=a-/?>0；a=b=>a-b=0；-b<0,这三条性质是做差比较法的依据.

②如果那么匕<〃；如果那么

③如果a>b,且b>c,那么a>c；如果a>b,那么a+c>b+c.

推论：如果〃>6,且。>d,那么〃+c>Z?+d.

④如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果cVO,那么ac<bc.

【命题方向】

例1：解不等式：sinxN^.

解：Vsinx>-2,

・二2/r+N内i+二-（左EZ）,

oo

二・不等式sinx>2的解集为{x|2E+看<x^2^rr+ZEZ}.

这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这

个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解.

11

例2：当次?>0时，〃>5=一<一.

ab

1

证明：由加>0,知一7〉0.

ab

1I11

又'：a>b，•"前>b•访即尸了

1111

若一V一,贝卜•ab<—•ab

abab

:.a>b.

这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，

这种技巧在选择题上用的最广.

7.其他不等式的解法

【知识点的认识】

指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和

指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解.

【解题方法点拨】

例1：已知函数/(x)="一1建是自然对数的底数).证明：对任意的实数无，不等式/(%)》尤恒成立.

解：(/)设h(x)—f(x)-x—e^1-x

.".h'(x)=，1-1,

当x>l时，h'(x)>0,h(x)为增，

当x<l时，h(x)<0,h(x)为减，

当x=l时，h(x)取最小值〃(1)=0.

'.h(x)三〃(1)=0,即/(x)

这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其

实是大家的计算能力.

例2：已知函数/(x)=loga(X-1),g(无)=logo(3-尤)(。>0且aWl),利用对数函数的单调性，讨

论不等式/(x)2g(x)中x的取值范围.

解:「不等式尤)(尤)，即logo(X-1)桐loga(3-X),

(Y—1—X

・・・当〃>1时，有,解得2<x<3.

[1<%<3

(Y—[<73—x

当1>心0时，有，解得1<X<2.

[1<%<3

综上可得，当。>1时，不等式/(无)2g(%)中x的取值范围为(2,3)；

当l>a>0时，不等式/(%)(无)中x的取值范围为(1,2).

这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后

变成一个对数函数来求解也可以.

【命题方向】

本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，

希望大家好好学习.

8.函数的奇偶性

【知识点的认识】

①如果函数/（X）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都有/（-X）=-f（X）,那么函

数了（尤）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0,0）对称.②如果函数/（x）的定义域关于原点对称，且

定义域内任意一个x,都有-尤）=fG那么函数了（无）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称.

【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/（0）=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用无）=-/（-x）解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用/（%）=/（-%）这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反.

例题：函数y=4x|+px,xeR是（）

A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶D.与p有关

解:由题设知/（x）的定义域为R,关于原点对称.

因为/（-无）—-x\-x\-px--x\x\-px--f（x）,

所以了（无）是奇函数.

故选&

【命题方向】

函数奇偶性的应用.

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确

率.

9.嘉函数的概念

【知识点的认识】

累函数的定义：一般地，函数y=/叫做幕函数，其中尤是自变量，。是常数.

p

解析式：y=x°=久彳

定义域：当。为不同的数值时，塞函数的定义域的不同情况如下：

1.如果。为负数，则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据g的奇偶性来确定，即如果q为

偶数，则尤不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；

2.如果同时g为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数.

当x为不同的数值时，幕函数的值域的不同情况如下：

1.在X大于0时，函数的值域总是大于。的实数.

2.在x小于0时，则只有同时g为奇数，函数的值域为非零的实数.

而只有。为正数，0才进入函数的值域.

由于x大于。是对a的任意取值都有意义的.

10.有理数指数塞及根式

【知识点的认识】

根式与分数指数事

m__

规定：an=(〃>0,m,nGN,〃>1)

11*

Cln=-=——：(。>0，HljnGN，)

anJn/a

0的正分数指数哥等于0,0的负分数指数嘉没有意义

有理数指数幕

(1)新的有关概念：

m,__.

①正分数指数幕：an=(〃>0,m,nGN,且〃>1)；

mi1

②负分数指数累：a~n-^=7^=(a>0,m,nGN*,且〃>1)；

③0的正分数指数累等于0,0的负分数指数暴无意义.

(2)有理数指数塞的性质：

①屋"=。玉(a>0,r,seQ)；

②(czr)s—ars(a>0,r,seQ)；

③(ab)』aW(a>0,b>0,reQ).

【解题方法点拨】

例1：下列计算正确的是()

(-1)°=-1B,yfaVa=aC.V(-3)4=3-=\;“4{{x}A{2

-2}}$(a>0)

分析：直接由有理指数幕的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案.

解：：(-1)0=1,

；.A不正确；

*/$\sqrt{d\sqrt{a]]—\sqrt{a•{a}^[\frac{l}{2}}}=\sqrt{{a}A{\frac{3}{2}}}={〃}八{,ac{3}{4}}

\rao/{4}{{a}A{3}}$,

.'.B不正确；

'：$\root{4}{(-3)A{4}}=\rao?{4}{{3}A{4}}=3$,

AC正确；

\'$\frac{({a}A{x})A{2}}{{a}A{2}}=\^ac{{a}A{2x}}{{a}A{2}}={a}A{2x-2)$

/.D不正确.

故选：C.

点评：本题考查了根式与分数指数累的互化，考查了有理指数塞的运算性质，是基础的计算题.

例1：若a>0,且m,n为整数，则下列各式中正确的是()

A,${aAm}4-{aA/i}={a^{\frac[m}[n}}}$B,am-an=am'nCAamr=am+nD、

分析：先由有理数指数塞的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案.

解:A中，am-^-a