高考数学一轮复习：等差数列讲义

高考数学一轮复习讲义数列之等差数列

一'知识点讲解及规律方法结论总结

1.等差数列的概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的①差都等于②同一个常

数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d

表水.

(2)等差中项

如果a,A,。成等差数列，那么A叫做。与6的③等差中项，目々⑷也.

2

(3)等差数列的通项公式及其变形

通项公式：⑤a“=ai+(〃—1)d,其中ai是首项，I是公差.

通项公式的变形：an—am+(w—tn)d(m,.

由斯=曲+(ai—(Z)可知，当dHO时，斯可看作关于〃的一次函数.

规律总结

等差数列的单调性

当d>0时，数列｛斯｝为递增数列；当时，数列｛aj为递减数列；当1=0时，数列

UJ为常数列.

2,等差数列的前"项和

(1)等差数列的前〃项和公式：Xg+而〉=⑥=.

(2)由S,=M+上与(ai—”可知，当dWO时，S”可看作关于〃的二次

函数，故可借助二次函数的图象和性质来研究S,的最值问题.

3.等差数列的性质

(1)等差数列项的性质

设数列｛为｝,彷”｝均为等差数列.

a.若左+/=m+〃(匕I,m,7i^N*),则诙+的=。,"+。0,特别地，若p+g=2?”,则⑦_

ap+a。2am•反不"定成-AA.

b.若｛斯｝公差为d,贝h〃2〃｝也是等差数列，公差为⑧2d.

c.｛pan-\-qbn｝(p,q为常数)也是等差数列.

d.若｛«„)与仍“｝有公共项，则｛斯｝与｛bn｝的公共项从小到大排成的新数列也是等差数列，首

项是第一个相同的公共项，公差是lan｝与仍.｝的公差的⑨最小公倍数.

e.若｛斯｝公差为则延，ak+,n>%2"”…(笈，〃zGN*)组成公差为⑩md的等差数

列，即下标成等差数列，则相应的项也成等差数列.

£若c是非零常数，贝|匕颔｝是等比数列.

(2)等差数列前〃项和的性质

设S“为等差数列｛%｝的前n项和.

a.｛包｝是等差数列，其首项等于⑪ai，公差是｛斯｝的公差的;.

b.S加，S2m~Sm,必L82〃，…(根£N*)是等差数列.

s

C.两个等差数列｛飙｝，仍.｝的前n项和Sn,T”之间的关系为了二二⑫詈.

T2n-1-―

二'基础题练习

1.［教材改编］如果三角形的三个内角成等差数列，则中间角的大小为60。.

解析由题意可设三个内角分别为x—d,x,x~\~d,则有(x—d)+%+(%+d)=180°,

可得x=60。.

2.若等差数列｛斯｝满足〃7+〃8+〃9>0，〃7+。10<0，则当n=8时,｛斯｝的前〃项和最

大.

解析由〃7+〃8+〃9>0可得。8>0,由乃+的。V。可得〃8+。9<0,所以〃9<0,所以当〃

=8时，｛〃〃｝的前〃项和最大.

3.［教材改编］已知｛斯｝为等差数列，且〃20=30,430=20,则。50=0.

解析由题意可得，公差.=2。3。=一］,所以a5o=〃2o+3Od=3O—3O=O.

30—20

4.［教材改编］某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，每经

过一年，其价值减少20万元.当设备价值低于购进价值的5%时，设备将报废，则该机器最

多使用10年.

解析设使用〃年后，该设备的价值为诙万元，则易知｛为｝是以(220-20)为首项，一20

为公差的等差数列，所以斯=(220-20)+(/2-1)X(-20)=220—20”.令220—

20〃2220X5%,得"W10.45,所以该设备最多使用10年.

5.已知等差数列｛如｝的项数为奇数，其中所有奇数项和为290,所有偶数项和为261,则该

数列的项数为19.

解析设等差数列｛诙｝的前〃项和为乱,项数为殊一1,则当=一匕=迎，解得上=10,则

S偶k~l261

项数为2X10—1=19.

6.［易错题］已知数列｛斯｝满足防=1,an+an+i=n,则〃20=9.

解析因为斯+斯+1=〃，所以〃1+〃2=1,。2+的=2,…，419+。20=19.因为41=1,所以

可得。1=1,。3=2,。5=3,。7=4,…，和。2=0,"4=1,<26—2,。8=3,…，奇数项、偶

数项分别构成等差数列，所以〃2左=%一1(%£N*),所以"20=1。-1=9.

三'知识点例题讲解及方法技巧总结

命题点1等差数列的基本运算

例1［2023全国卷甲］记S〃为等差数列｛斯｝的前〃项和.若。2+〃6=10，a4a8=45,则85=

(C)

A.25B.22C.20D.15

解析解法一由。2+。6=10,可得2〃4=10,所以〃4=5,又〃4。8=45,所以〃8=9.设等

差数列｛〃〃｝的公差为"，则d=/°4=2_q=］又44=5,所以。1=2,所以§5=541+

8—44

—Xd^20,故选C.

2

解法二设等差数列｛斯｝的公差为d,则由42+%=10,可得“i+3d=5①，由。4〃8=

45,可得(m+3d)(ai+7d)=45②，由①②可得刃=2,d=l,所以$5=5。1+芋Xd

=20,故选C.

例2［2023新高考卷I］设等差数列｛斯｝的公差为d,且1>1.令儿="，记S“，G分别为

an

数列｛斯｝，彷〃｝的前〃项和.

(1)若3。2=3防+的，513+73=21,求｛斯｝的通项公式；

(2)若瓦｝为等差数列，且S99一n9=99,求d.

解析(1)因为3〃2=34I+〃3,所以3=〃i+2d,

所以3d=〃i+2d,所以〃i=d,所以斯=zzd.

因为儿=叫2,所以为=亡业=竺1,所以羽=3=3(d+3d>=6第73="+'+优

annda22

2.3.49

dddd

因为S3+T3=21,所以6d+2=21,解得d=3或

d2

因为d>l,所以d=3.所以｛诙｝的通项公式为an=3n.

（2）因为劣=吧U,且比,｝为等差数列，

an

所以2岳="+%,即2X巨=马+工，

a2ala3

所以」一一三=一一，所以谥一3aid+2/=0,

解得ai=d或=2".

①当〃i=d时，an=nd9所以劣=吐匕=上；=早，

ClfiTLCLa

$99=99'七+。99）=99（d+99d）=99乂5Qrf

22

7_99（%+"9）_99弓+*）_99X51

因为S99—n9=99,所以99X501—吆2=99,即50心一4-51=0,解得或1=-1

a50

（舍去）.

②当〃i=2d时，an=（〃+1）d,所以吐&==3,

an（n+1）dd

c99（。1+的9）99（2d+100d）八八/八,

S99=------^―=---------------=99X5Id,

_99（%+仍9）_99弓+茶_99x50

199------------------------------------.

22d

因为S99—兀9=99,所以99X514—吆色=99,即514—d—50=0,解得1=一史（舍去）

d51

或d=l（舍去）.

综上，d=­.

方法技巧

1.等差数列基本运算中常用的数学思想

方程等差数列中有五个量的，an,d,n,Sn,一般可“知三求二”，通过列方程

思想（组）求解.

整体

将已知和所求都用m和d表示，寻求两者之间的联系，整体代换求解.

思想

2.等差数列基本运算中常用的设元技巧

若三个数成等差数列，可将三个数设为a—d,a,a+d；若四个数成等差数列，可将四个

数设为a—3d,a—d,a-\~d,〃+3d.

训练1(1)[2021北京高考]已知｛斯｝和以｝是两个等差数列，且詈(1WZW5)是常值，

bk

若为=288,«5=96,d=192,则%的值为(C)

A.64B.100C.128D.132

解析因为｛斯｝和｛勿｝是两个等差数列，所以2〃3=。1+〃5=288+96=384,所以的=192,

又当1WZW5时，”是常值，所以血=也，即强=驷，从而加=128.故选C.

bkb3%b3192

(2)[2022全国卷乙]记S”为等差数列｛斯｝的前〃项和.若2s3=38+6,则公差d=2.

解析因为2s3=3&+6,所以2(3ai+3d)=3(2s+d)+6,化简得3d=6,解得d=2.

命题点2等差数列的判定与证明

例3[2021全国卷甲]已知数列｛斯｝的各项均为正数，记S.为｛斯｝的前〃项和，从下面

①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛斯｝是等差数列；②数歹收离｝是等差数列；③02=30.

解析①③今②.

已知数列｛斯｝是等差数列,a2=3ai，

设数列U的公差为d,则。2=3的=。1+4,故d=2ai,所以S"=〃ai+""d=w2al.

因为数列｛斯｝的各项均为正数，所以，3=〃梃7，

=

所以个Sn+、一&l=(w+1)«Va7Vai(常数)，所以数列是等差数列.

①②今③.

已知数列｛斯｝是等差数列，｛图｝是等差数列.

设数列｛a,｝的公差为d,

则Sn—nai+n(n^1)d—^dn2+(m—g)n.

因为数列｛仄｝是等差数列，所以数列｛户｝的通项是关于力的一次函数，则的一1=0,即

d=2〃i,所以〃2=〃i+d=3〃i.

②③n①.

已知数列｛£3是等差数列，〃2=3〃1,

所以S2=〃l+。2=4。1.

设数列的公差为d,则d>0,y[S^—y[s[=j4a1—y/a^=df得〃1="，所以&l=

yfs[+(H—1)d=nd,所以&=〃2d2,

所以斯=S〃一S〃-1=层/一(n—1)2d2=2d2n—d2(〃22),〃i="也满足上式，所以

lefn—d2.

=221

因为斯一an-i2dn—d—[2d(九一1)—法]=2法(常数)(〃22),所以数列｛斯｝是等

差数列.

方法技巧

等差数列的判定与证明的方法

定义法an-an-\(n>2,〃£N*)为同一常数=｛斯｝是等差数列

=

等差中项法2an-ian~\~(2n-2(〃》3,z?£N*)成立=｛〃〃｝是等差数列

通项公式法an=pn+qCp,4为常数)对任意的正整数〃都成立=UJ是等差数列

前n项和

2

Sn=An+Bn(A,2为常数)对任意的正整数〃都成立=｛斯｝是等差数列

公式法

训练2(1)[2023新高考卷I]设另为数列｛斯｝的前〃项和，设甲：｛斯｝为等差数列;乙:

｛闻为等差数列.则(C)

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析若｛诙｝为等差数列，设其公差为d,则诙=〃i+(n—1)d,所以S〃=〃〃i+

空^—―6?,所以昆=。1+(〃-1)所以且H——=ai~\-(n+1-1)---[〃i+(n-1)

2n2'n+1n22

=-,为常数，所以｛闻为等差数列，即甲n乙；若｛包｝为等差数列，设其公差为/,则包=

2nnn

—

y+(n1)(n—1)t,所以(n—1)t,所以当几22时，an=Sn—Sn-\

=nai~\~n(几—1)t—[(n—1)〃i+(n—1)(n—2)%]=〃i+2(n—1)t,当〃=1时，Si

=〃i也满gt式，所以诙=〃i+2(n—1)t(〃£N*),所以即+i—a〃=〃i+2(n+1—1)t

—[的+2(n-1)t\=2t,为常数，所以｛斯｝为等差数列，即甲u乙.所以甲是乙的充要条

件，故选C.

(2)［多选Z2023福建莆田九中质检］已知数列｛诙｝的前”项和为S“，则下列结论正确的是

(BCD)

A.若数列｛&｝为等差数列,则数列｛斯｝为等差数列

B.若数列｛包｝为等差数列，则数列｛a｝为等差数列

nn

2

C.若数列｛«„｝和｛里n｝均为等差数列，则S=2«3

n3

D.若数列｛a„｝和k列均为等差数列，则数列｛a„｝是常数列

解析对于A,若数列｛SJ为等差数列，设公差为d,可得a〃=S"—S,-i=d(a22),但

是首项ai的值不确定，所以数列｛诙｝不一定为等差数列，故选项A错误；对于B,若数列

｛闻为等差数列，设公差为优，则包=Si+(«-1)d',可得S”="Si+"(H-1)d',当〃=

nn

=

1时，=当〃22时，anSn—Sn-i=nS\-\~n(〃一1)d'~(n—1)Si—(〃一1)(〃一

2)d'=Si+(2〃-2)d',则cin—斯-i=2d'(〃23),由〃2=Si+2d',得。2—〃i=

2d',所以析一斯.i=2d'(〃22),故数列｛斯｝为等差数列，故选项B正确；对于C,由数

2

列｛斯｝为等差数列，可设恁=切+。，k,Z?为常数，则成=标/+2的〃+庐，所以攀=总?+

2

2kb+-,因为数列｛岐｝为等差数列，所以“22时，^-―=^+--—(--

nnnn-lnn-ln

二一)为常数，则〃=0,所以Z?=0,故a=kn,所以S3=QI+〃2+〃3=6Z,又。3=3%,所

n—1n

以$3=2的，故选项C正确；对于D,由数列｛诙｝为等差数列，可设斯=川+&p,q为常

数,则成=p2/+2pg〃+q2,因为｛碌｝为等差数列，所以底一彳_］=(2/1—1)p2+2pq为

常数，则0=0,所以诙=4，则数列｛斯｝是常数列，故选项D正确.故选BCD.

命题点3等差数列的性质

例4(1)［新高考卷I］将数歹!j｛2w—1｝与｛3w—2｝的公共项从小到大排列得到数列｛诙｝,则

｛a„｝的前”项和为3川一2〃.

解析｛2〃-1｝与｛3〃-2｝的第一个公共项为1,则易知｛斯｝是以1为首项，2义3=6为公差

的等差数列，则5"="+"''1'-义6=3〃2—2加

(2)已知另为等差数列｛斯｝的前〃项和，且|；=3,则段

解析设S3=〃z(根W0),则S6=3九因为｛呢｝为等差数列，所以S3,S6-S3,S9-S6,Sn

一S9,…成等差数列，公差为相，所以可推出$9=6:%Si2—10m,故辿=§.

Sg3

训练3（1）数列｛诙｝,仍“｝均为等差数列，且。1=—5,加=-15,02025+^2025=100,则

数列｛为+6“｝的前2025项和为81000.

解析易得数列｛斯+6.｝为等差数列，首项为。1+加=-20,；.｛斯+小｝的前2025项和为

2025X-20+100=81000.

2

（2）等差数列｛诙｝,仍"｝的前”项和分别为S“，Tn，若金=二，则詈=2，詈=

Tn3n+ldu—32b11一

19

32—•

解析由题音可得也1—2ali_。1+。21­（。1+。21）X21+2_S21_2X21__21由昆=2?1_2足

2

2bli匕1+。21（匕1+匕21）X214-27213x21+132Tn3n+l3n+n

_

及等差数列前〃项和性质可设S〃=A2层，Tn=A（3/+几）（AW0）,.*.^io=Sio59=

2222

A（2X10-2X9）=38A,bn=Tu-Tw=A[（3X11+11）—（3X10+10）]=64A,

•a】。_384__19

**i?n64A32"

命题点4等差数列前n项和的最值

例5[2022全国卷甲]记S,为数列｛。〃｝的前n项和•己知也+〃=2斯+1.

n

（1）证明：｛斯｝是等差数列.

（2）若〃4，〃7，〃9成等比数列，求S〃的最小值.

解析（1）由号1+〃=2斯+1,得2S〃+九2=2。/+〃①，

所以2S〃+i+（及+1）2=2斯+i（〃+1）+（〃+1）②，

②一①，得2。〃+1+2几+1=2。〃+1（几+1）—2ann+1,

化简得斯+1—斯=1,所以数列｛〃〃｝是公差为1的等差数列.

（2）由（1）知数列｛斯｝的公差为1.

2

由账=。4〃9,得（。1+6）=（〃1+3）（〃1+8）,解得〃1=一12.

所以a=—12〃+巴勺产-=三包=3（M-y）2一等，所以当W=12或”=13时，5“取得

最小值，最小值为一78.

方法技巧

求等差数列前〃项和S”的最值的方法

（1）通项法：①若。1>0,d<0,则S“必有最大值，/可用不等式组an20,来确定;

&+1<0

②若ai<0,d>Q,则当必有最小值，"可用不等式组即W°，来确定.

(an+i>0

(2)二次函数法：由于S“=#+(5一g)n,故可用二次函数求最值的方法求S.的最

值，结合〃GN*及二次函数图象的对称性来确定n的值.

(3)不等式组法：一般情况下，S"最大时，有(〃>2,〃GN*),解得”的

St>Sn+i

范围，进而确定〃的值和对应的的值(即S,的最值).

训练4等差数列｛斯｝的前”项和为S“，若VwGN*,S"WS7,则数列｛斯｝的通项公式可能是

(B)

A.a”=16—3"B.O"=15—2n

==

C.an2n—14D.a„2n—15

解析因为数列｛斯｝是等差数列，且VwGN*,S.WS7,所以该数列从第8项起为非正数，

即。7》0,<28^0.

对于A,访=16—3><7=—5<0,故A不正确；对于B,。7=15—2X7=l>0,制=15—

2X8=-l<0,故B正确；对于C,劭=2义7—14=0,痣=2乂8—14=2>0,故C不正

确；对于D,«7=2X7-15=-l<0,故D不正确.故选B.

四'命题点习题讲解

1.［命题点14021新高考卷H］记&是公差不为0的等差数列｛呢｝的前"项和，若的=8，

〃2〃4=S4.

(1)求数列｛诙｝的通项公式；

(2)求使*>斯成立的〃的最小值.

解析(1)设等差数列｛〃〃｝的公差为d(dWO),

则由题意，得｛解得｛

I++3d)=4al+6d,(d=2,

所以斯="i+(n—1)d=2n—6.

n(aian)n(210)2

(2)解法一Sn=+=7=»-5W,

则由〃2—5〃>2〃一6,整理得/—7〃+6>0,解得〃VI或〃>6.

因为〃£N*,所以使S〃>斯成立的n的最小值为7.

(ai+ani)(九一1)

解法二由与>斯得当一1>0(〃22),即>0,

2

所以ai+a“—1=2〃-12>0,解得”>6,所以”的最小值为7.

2.［命题点2/多选］两个等差数列｛斯｝和仍“｝,其公差分别为Ji和d2,其前〃项和分别为Sn

和〃，则下列说法正确的是(AB)

A.若｛用为等差数列，则di=2ai

B.若｛S"+T,J为等差数列，则4+刈=0

C.若血瓦｝为等差数列，则&=』2=。

D.若6"GN*,贝!1｛a%｝也为等差数列，且公差为小+办

解析由题意得S"=9/+n,G=g/+加若数列｛店｝为等差数

列，则由等差数列通项公式的特征，可得/一9=0,即4=2ai,所以选项A正确；Sn+

。=空为2+(的+d—?_?)”,由等差数列通项公式的特征，可得幺署=0,即4+

“2=0,所以选项B正确；当a=0或必=0时，数列｛斯小｝为等差数列，所以选项C错

误；因为a“=ai+(71—1)d\,bn^bi+(n—1)血所以⑺一］)42=。1

+［61+(〃-1)di—l］di=(ai+6Ml—di)+(n—1)didZ,可知数列｛a%｝是等差数列，

且公差为di(h,所以选项D错误.故选AB.

3.［命题点2Z202i全国卷乙］记S”为数列｛词的前〃项和,3为数列⑸｝的前任项积,已知

-+-^=2.

S/ibn

(1)证明：数列仍“｝是等差数列.

(2)求｛斯｝的通项公式.

解析(1)因为"是数列｛SJ的前〃项积，所以当时，S“=F，

n—1

代入：十三=2可得，一整理可得2儿一1+1=2/?〃，即匕〃—(〃22).

5nDnDnDn2

。2।13。心、？73

又一+—=-=2,所以"=一，

故｛为｝是以|为首项，l为公差的等差数列.

(2)由(1)可知，儿=手，则白+推=2,

当n=\时，a\=S\=~,

__n+2n+11

当G2时,斯-3cM品c—1~

n+1nn(n+1)

当〃=1时，a尸O产一启11

2’

3

n=1,

2

故dn1

n>2.

n(n+1)

4.［命题点4］在等差数列｛aj中，若也＜—1,且它的前〃项和S,有最大值，则使S〃＞0成

立的正整数〃的最大值是（C）

A.15B.16C.17D.14

解析因为等差数列｛斯｝的前〃项和有最大值,

所以等差数列｛。〃｝为递减数列,

又为V—1,所以砌>0,aioVO,

所以ag+aio<Of

所以阮=11^1=95+初）＜0,且阮=^^=17硒＞。.

故使得S〃＞0成立的正整数"的最大值为17.

五'习题实战演练

1.［2024河南名校模拟］设&是等差数列｛诙｝的前w项和，若。2+。5+例=15,则团=

(C)

A.15B.30C.45D.60

解析由题意得。2+怒+。8=3。5=15,所以。5=5,所以$9=9‘°；°9〉-=9。5=45.故选C.

2.［2024湖北武汉模拟］已知等差数列｛斯｝的前〃项和为&.若S1=3,自+?=18,则&=

24

（C）

A.21B.48C.75D.83

解析解法一令劣=且，则数列｛/?〃｝为等差数列力1=学=3,?=/?2+。4=18,设数列

n124

｛仇｝的公差为d,则3+d+3+3d=18,解得d=3,：.b=3n,即且=3〃".8=3层，故一

nn

=3X52=75.故选C.

,n(n—1)d

解法二设等差数列｛a“｝的公差为d,则手=型一12——=的+彳4/,又因为ai=Si=3,

则g++=ai+g+ai+|d=2ai+2d=6+24=18,解得1=6,因此$5=5.+子4=5的+

101=5X3+10X6=75.故选C.

3.［2024吉林白城模拟］已知等差数列｛斯｝是递增数列，且满足G+的=14,a2a6=33,贝U

〃1。7=(C)

A.33B.16C.13D.12

解析由等差数列的性质，得42+。6=的+〃5=14,又〃。26=33,解得卜2-3,或

一一a二11

6a

11，又｛斯｝是递增数列，，卜23，：，d=--=2f(。2—d)(恁+d)

6-2

la6=3,la6=11,

=(3—2)X(11+2)=13.故选C.

4.［2023陕西宝鸡模拟］已知首项为2的等差数列｛斯｝的前30项中，奇数项的和为A,偶数

项的和为8,且5—A=45,贝|斯=(B)

A.3n—2B.3n—1

C.3n+1D.3n+2

解析在等差数列｛诙｝中，首项。1=2,设其公差为d,由前30项中奇数项的和为A,偶

数项的和为3,且3—A=45,可得一的+。2--------〃29+"30=154=45,解得d=3,an=

。1+(n—1)d=2+3(n—1),即斯=3〃-1,故选B.

5.［多选Z2024山东模拟］已知等差数列｛斯｝的前〃项和为斗,公差为d,侬=0—4,S产

154,则(AC)

A.d=12

B.6ZI=30

C.-320是数列｛斯｝中的项

DS〃取得最大值时，〃=14

解析由题意可得43="i+2d=ai—4,即d=-2,A正确；5=154=7〃i+—d=4i=

28,B错误；an=ai+(〃一1)d=30—2〃，令斯=—320,得几=175,即C正确；Sn=

(ai+an)n=n(29—n),结合二次函数图象的对称性及单调性，可知当〃=14或〃=15

时，S〃取得最大值，即D错误.故选AC.

6.[2023广州市二检]在数歹U｛斯｝中，“1=2,am+n=am+an(m,〃£N*),若a/上+1=440,

则正整数k=10.

解析解法一令m=l,则斯+1=斯+的，即诙+i—斯=2,所以数列｛出｝是以2为首项，

2为公差的等差数列，即即=2+(n-1)乂2=2%又左为正整数，所以〃口左+1=2女X2(k

+1)=440,即攵1+1)=110,解得％=10或女=一11(舍去).故填10.

解法二(列举法)令m=〃=1,则。2=。1+的=4;令m=1,n=2,则〃3=。1+。2=6;

令m=n=2,则〃4=〃2+〃2=8.通过观察找规律可知，数列｛斯｝是以2为首项，2为公差的

等差数列，即为=2+(n—1)X2=2n,又％为正整数，所以为蕉+i=2ZX2(Z+1)=

440,即上(Z+1)=110,解得％=10或%=—11(舍去).故填10.

7[2024江西抚州模拟改编]在数列｛斯｝中,已知加+i—斯=斯+2一斯+1，Qioi3=l，则该数

列前2025项的和S2Q25=2025.

解析由念+1—斯=诙+2-诙+1可知，数列｛见｝为等差数列，所以。1+〃2025=2的013=2,所

c_(。1+。2025)“2025_2x2025_

以02025------------------------------------2UZD.

8.[2024广州大学附属中学模拟]设数列｛斯｝和仍.｝都为等差数列，记它们的前〃项和分别

为5和〃，若/髭，则自=「^・

解析由数列｛斯｝和仍“｝都为等差数列，且?=芸—，令an=k(2n—1),bn=k(2n+

1),20,k为常数,因此等差数列｛如｝的首项的=%,等差数列｛久｝的首项"=3左，所以

«l+«n

271aafc+fc(2n—1)_

Sn__i^~n一n

Tb+bbr+bn3k+k(2n+l)n+2

nr2n

9.[2024浙江普陀中学模拟]已知正项数列｛诙｝的前〃项和为见=2.

(1)记金=丹」，证明：数列｛c”｝的前w项和乙＜4

3n+l2

(2)若S〃=2斯+14—2"+3(”GN*),证明：数歹!J琮｝为等差数列，并求⑷｝的通项公式.

an+l一111+1_1

解析(1)

Sn'S/i+i5+iSnSn+i

Snn•••FW+9打上打…Sn

1111

a

iSn+i2Sn+i

ill-1

:数列LJ为正项数列，.".5„+1＞0,；.；一乙＜；,即

2sn+l22

n+2

(2)当”三2且"GN*时，Sn-i=2an-i+14-2,

==n+3n+2n+2

anSn~Sn-12an+14—2—2an-1—14+2=2an~2an-1—2,整理可得an~2an-i

=2〃+2£=4（〃22）,

2n2n—1

当"=1时，ai=Si=2m+14—2计3,得“1=2,y=l,

数列｛爱｝是以1为首项，4为公差的等差数列，

A+4（H-1）=4〃-3,

：.a„=（4〃一3）-2".

10.［2024四川南充校考］若一个凸"（«eN*）边形的最小内角为95。，其他内角依次增加

10°,则n的值为（B）

A.6或12B.6C.8D.12

解析由题知该凸“边形所有内角的取值范围为（0°,180°）,内角和为（〃-2）J80。.因

为最小内角为95。，其他内角依次增加10。，所以它的所有内角按从小到大的顺序排列构成

等差数列，且最大内角为95。+（〃一1）-10°=（10n+85）°,

所以（〃一2）J80=<95±IO；些5）上,即/―18〃+72=0,解得w=6或〃=12,当w=12

时，95°+（12-1）X10°>180°,不合题意，舍去，故〃=6,故选B.

11.［2024湖北孝感高中模拟］设等差数列｛斯｝的前〃项和为S”，满足2a3—怒=7,a2+Sy=

12,则出的最大值为（B）

A.14B.16C.18D.20

解析设｛“〃｝的公差为d,则由题意得2a3—。5=2（ai+2d）—（ai+4d）—ai—1,02+67

=（ai+d）+（7。1+-d）=56+224=12,d——2.

因此S”=7〃+"'"J。X（-2）=一（71-4）2+16W16,故S,的最大值为16.故选B.

12.［全国卷H］北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块

圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加

9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数

相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（C）

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

解析由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为

｛an],设数列｛斯｝的公差为d,前〃项和为S”易知其首项的=9,d=9,所以a〃=ai+（n

—1）d=9〃.由等差数列的性质知S”Sin-Sn,$3”一$2"也成等差数列，

n11

所以（S3„-S2„）一（S2“一S.）=S2n-2Sn,即729=2（9产—2X（9；9n）,解得〃=9,

27x（927x9）

所以三层共有扇面形石板的块数为S3n=S27=+=3402.故选C.

13.[2024江西吉安万安中学模拟]已知正项数列｛斯｝的前〃项和为S“，若｛斯｝与｛店｝均为

等差数列，请写出一个满足题意的｛小｝的通项公式：源=2-1（答案不唯一）.

解析令数列｛跖｝的公差为d,显然0>0,由｛斯｝是等差数列，得底+叵=2后,即

VH7+J3al+3d=2J2al+d,两边平方得4ai+d=2,3由+3。/,两边平方并整理得d

=2勾，则an=ai~\-（«—1）d=（2n—1）ai,

此时S〃=巴受1刃=层〃1,y[S^