海南省海口市某中学2023-2024学年高二年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

海南省海口市海口中学2023-2024学年高二下学期期末考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集。={1,2,3,4,5},集合/={1,2,4},3={2,3,4,5},,则用(/口5)=()

A.{2,4}B.{1,2,4}C.{3,5}D.{1,3,5}

2.下列各组中的两个函数为相同函数的是()

A.y=lgx?与y=21gxB.y=x(x—2)与y=Q_l)2_]

C.y=x与丫=后D.了=3工与,=/

3.已知为单位向量，且"，日+2河，则向量Z与刃的夹角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.在今年高考数学II卷的阅卷工作中，某质检老师随机抽取了10份试卷，对概率统计解答

题第18题的阅卷评分进行了复查，得分记录分别为13,17,11,9,12,15,10,8,10,

7,则这组样本数据的()

A.极差为11分B.众数为10.5分

C.平均数为11分D.中位数为10.5分

5.在V/BC中，已知N8=5,AC=3,A=120°,贝ijsin8=()

6.已知定义在R上的偶函数/(x)满足/(x+3)=-〃x),若〃-1)=2,则/(100)=()

A.-1B.1C.-2D.2

7.已知球。的表面积为16兀，边长为3的等边V/2C的三个顶点都在球。的球面上，则三

棱锥。-48C的体积等于()

A3A/3n973r373nG

4424

8.已知。>0,关于％的不等式/+乐-4<0的解集是卜2%2],则3+6的最小值为()

<a)a

A.2B.272C.4D.472

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.在回归模型的残差分析中，决定系数火2越接近1,说明回归模型的拟合效果越好

B.若甲、乙两组成对数据的样本相关系数分别为0.92,-0.98,则甲比乙的线性相关性

强

C.在经验回归方程y=0.25x+1.5中，相对于样本点（2,1.2）的残差为-0.8

D.在独立性检验中，当/N%（x“为。的临界值）时，推断用不成立犯错误的概率

不会超过a

10.已知圆的:（%+2）2+必=4的圆心为£,抛物线C2：r=8x的焦点为产，准线为/,动

点尸满足|PE|+|PF|=6,则（）

A.曲线G与G有两个不同的公共点B.点尸的轨迹为椭圆

C.|尸盟的最大值为5D.当点尸在/上时，\PE\=2

11.已知函数〃x）=竺士贝U（）

A./（x）的定义域为｛xeR|xH-2｝B./（x）的值域为R

C.当Q<1时，[（X）在（-2,+8）上单调递减D.当a=0时，/（x-2）为奇函数

12.已知等差数列｛0“｝的首项4=4,前〃项和为S“，若工=2%，则公差"=.

13.某城区交通要道有积雪堵塞，现场有9名男志愿者和5名女志愿者，交警拟安排其中3

名女志愿者和2名男志愿者参与扫雪工作.其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共

有种.（用数字作答）

14.已知函数=g（无）=..若左=-1,贝U/[g⑵]=；

若函数y=/（x）的图象与y=g（无）的图象有3个公共点，则上的取值范围

是.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.已知函数［(x)=asinx-xcosx.

⑴当i=1时,求f(x)在区间(0,2K)上的极大值；

⑵若/'(X)在区间上有零点，求实数。的取值范围.

16.如图1,在边长为2的正方形4BC。中，P为CD的中点，分别将△尸2。，APBC沿尸/,

尸3所在直线折叠，使C、。两点重合于点O,如图2.在三棱锥尸-NOB中，£为尸8的中点.

图1图2

(1)证明：POVAB-,

(2)求直线BP与平面AOE所成角的正弦值.

17.已知双曲线C:丫2二-V2谷=l(a>。b>0)的_离心率3为:，且C的右焦点尸到渐近线的距离

为V?.

(I)求c的标准方程；

⑵过点厂作直线/与。的右支相交于43两点，。为原点，证明：N/05为锐角.

18.某口罩生产厂生产一个口罩需经过A,B,C三道相互独立的工序，每道工序的生产质

量分为优和良两个层级.当三道工序的生产质量都为优时，口罩的过滤等级为一等；当C工

序的生产质量为优，且A,8工序的生产质量至多有一个为优时，口罩的过滤等级为二等；

其余情况下口罩的过滤等级均为三等.据抽样检测和统计分析，一个口罩在A,B,C三道

工序中的生产质量为优层级的概率分别为0.5,0.75,0.8.生产一个口罩的利润与过滤等级有

关，其中一等2元/个，二等1元/个，三等0.5元/个.

(1)求该厂生产的口罩过滤等级为一等所占的概率为多少；

(2)从该厂生产的口罩中任取3个，求过滤等级有2个二等和1个三等的概率；

(3)为了提高A工序的生产质量为优层级的概率，该厂拟对A工序的生产环节进行升级改造.

升改后每个口罩的生产成本增加0.2元(销售价格不变)，A工序的生产质量为优层级的概

试卷第3页，共4页

率达到0.9.试从一个口罩利润的期望值考虑，该厂是否应该实施升级改造？

19.已知函数/(x)=6sinxcosx+sin2x-1^20),将函数/(x)的所有零点按从小到大的

顺序排成一列，得到一个无穷数列：再,％X“，…，记%=cos(X"+1-匕),〃eN*.

⑴求函数/(x)的最大值和最小值；

(2)求用的值；

(3)设数列｛%｝的前“项和为S“，证明：对于任意正整数〃，Sn+2=S„.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DBCDACABACDBC

题号11

答案ACD

1.D

【分析】直接利用交集与补集的概念计算即可.

【详解】由题意可知/n3={2,4},所以牛(/口8)={1,3,5}.

故选：D

2.B

【分析】根据相同函数的判定方法逐项分析即可.

【详解】对A,了=1"2的定义域为{X|XHO},y=21gr的定义域为{X|X>0},则两个函数

不是相同函数，故A错误；

对B,j.=x(x-2)=(x-l)2-1,且两函数的定义域均为R,则两个函数相同函数，故B正

确；

对C,y=^=\X\,则两个函数不是相同函数，故C错误；

对D,、=3工与了=》3,两函数对应法则完全不同，故两函数不是相同函数，故D错误.

故选：B.

3.C

【分析】由1，0+2刃)求出£石，再利用向量的夹角公式可求得结果.

【详解】因为Z花为单位向量，且£_1日+23),

所以a.(Q+2b)=a+2a-b=l+2a-b=0^^a-b=--,

1

因为0。英,力V180。，所以«,%120。.

故选：C

4.D

答案第1页，共11页

【分析】利用极差、平均数、众数、中位数的定义计算-一判定选项即可.

【详解】由数据可知得分最高为17,最低为7,故极差为10,A错误；

显然10出现次数最多，故众数为10,B错误；

13+17+11+9+12+15+10+8+10+7…

平均数为—11.2,故c错误;

10

从小到大排列数据,易知中位数为月310.5,

故D正确.

故选：D

5.A

【分析】首先利用余弦定理求出。=7,再利用正弦定理即可.

【详解】设角4瓦。所对应的边分别为。,6,。，

贝|c=5,6=3,根据余弦定理有a1=/?2+c2-2Z?ccosl20°=32+52-2x3x5xl-|j=49,

则。=7,根据正弦定理有三=3即寻时3

sinAsinBsin5

373

解得.RF36

714

故选：A.

6.C

【分析】根据抽象函数的奇偶性与周期性计算即可.

【详解】由/(%+3)=-/(%)今/0+6)=—/(%+3)=/(%),所以T=6是函数的一个周期,

所以/(100)=(16x6+4)=f(4),

又/'(X)是偶函数且〃x+3)=-/(x),所以汽4)=-/(1)=-/(-1)=-2.

故选：C

7.A

【分析】求出球的半径和V/3C所在平面截球所得的小圆的半径，利用勾股定理可得球心O

到V/3C所在平面的距离，再利用棱锥的体积公式可求得结果.

【详解】设球。的半径为n，贝IJ4成2=16兀，得五、4,

设V/8C所在平面截球所得的小圆的半径为「，圆心为

则「为V/8C外接圆的半径，

答案第2页，共11页

因为等边VABC的边长为3,所以r=|xx3)=V3>

所以球心。到VN8C所在平面的距离为

。。1=J。42-。142=VR2_r2=74-3=1,

所以三棱锥O-ABC的体积24BC•。。1=1X苧X32X1=苧

2

【分析】利用“三个二次”关系，先确定X|=-2a,x,=—是方程/+乐-4=0的两个不等根得

a

出。力关系式再利用基本不等式计算即可.

2

【详解】由题设网=-2。=—是方程/+bx-4=0的两个不等根，

a

从+16〉0

c27

所以:-2aH——=-b,

a

2。

->-2a

又a>0,贝!|3+6=24+%242aL=26,

aaa

当且仅当2a=!，即”日时取得最小值.

a

故选：B

9.ACD

【分析】根据决定系数的定义即可判断A；根据相关系数的概念即可判断B；根据残差的计

算方法即可判断C；根据独立性检验的卡方计算方法即可判断D.

【详解】对A,根据决定系数越大，说明回归模型的拟合效果越好，

即决定系数霜越接近1,说明回归模型的拟合效果越好，故A正确；

对B,因为|0.92|〈卜0.98|,则则甲比乙的线性相关性弱，故B错误;

答案第3页，共11页

对C,当x=2时，预估值V=2,则残差为1.2-2=-0.8,故C正确；

对D,根据独立性检验的基本思想，知D选项正确.

故选：ACD.

10.BC

【分析】先求出圆心坐标、抛物线的焦点和准线方程，根据题中条件可得点尸的轨迹为焦点

在x轴上，焦距为4,长轴长为6的椭圆判断BCD；联立圆和抛物线方程解得交点坐标判断

A；

【详解】圆3：(%+2)2+产=4的圆心为£(-2,0),半径为2,抛物线=阮的焦点为

」(2,0),准线为/:尤=一2,

对于A,曲线£与联立方程组++y=4,消〉得万2+12%=0,

(yZ=8%

解得x=0或x=-12(舍)，所以曲线。与C2有一个公共点，A错误；

对于B,动点P满足|PE|+|PF|=6,根据椭圆的定义可知点P的轨迹为焦点在x轴上，焦

距为4,长轴长为6的椭圆，B正确；

对于C,点尸的轨迹为焦点在x轴上，焦距为4,长轴长为6的椭圆，所以|PF|的最大值为

3+2=5,C正确；

对于D,点尸(x,y)的轨迹为焦点在X轴上，焦距为4,长轴长为6的椭圆，

22

即点P的轨迹方程为土+匕=1,点P在/:》=-2上时，

95

则点P的坐标为(—2,§或(—2,—因为£(-2,0),所以|PE|=,,D错误.

故选：BC.

II.ACD

【分析】对于A,直接求解函数的定义域判断，对于B,分析函数的值域判断，对于C,由

函数图象平移规律分析判断，对于D,根据函数奇偶性的定义分析判断.

答案第4页，共11页

【详解】对于A,由x+2w0,得尤~2,所以/(x)的定义域为｛xeR|x~2｝,所以A正

确，

一丁“、ax+2a(x+2)+2-2a2-2a

对于B,/(%)=--=-——J-------=。+—

x+2x+2x+2

当awl时，/(x)H。，所以/(x)的值域为｛"R|yw。｝,

当〃=1时，/(力=1,所以/(尤)的值域为｛1｝,

所以B错误，

一十l,、，“、ax+22-2a

对于C,因为/(%)=-----=。+------,

x+2x+2

所以/«的图象可以由y=4子向左平移2个单位，向上或向下平移同个单位得到,

当。＜1时，2-2。＞0,因为＞=^^在(0,+s)上递减，

X

所以“X)在(-2,+8)上单调递减，所以C正确，

22

对于D,当。=0时，f(x)=——,设g(无)=〃x-2)=-,定义域为｛xeR|x30｝,

22

因为g(-x)=—=——=-g(x),所以g(x)=/(x-2)为奇函数，所以D正确.

-XX

故选：ACD

12.-2

【分析】利用等差数列的性质及和的性质计算即可.

【详解】由题意可知£=4+。2+。3+&+。5=5%=2%,

所以。3=0=%+2d=4+2dnd=—2.

故答案为：-2

13.360

【分析】直接利用分步乘法计数原理计算即可.

【详解】先选3名女志愿者有C；=10种选法，再选2名男志愿者有C；=36种选法，

最后余下的铲雪，有1种选法，所以共10x36x1=360种安排方法.

故答案为：360

14.-2[-pl]

【分析】利用分段函数的定义直接计算可得第一空；作出两个函数的图象，利用数形结合分

答案第5页，共11页

类讨论即得.

【详解】若后=-1,则g(x)=_x,显然g⑵=-2,

如图所示作出y=/(x)的大致图象，

易知y=g(x)过原点，要满足题意需与了=|尤-3|-1有两个交点，

当y=g(x)过(3,-1)时，止匕时左=一，不满足题意，

当左=1时，y=g(x)与了=卜-3|-1只一个交点，

数形结合可知，当v=g(x)的斜率介于1—J时满足题意，即万

故答案为：-2；

15.⑴兀

【分析】(1)直接利用导数研究函数的单调性与极值即可；

(2)分离参数，将问题等价转化为。=笆%在定区间上有解，构造函数g(x)=2^,

smxsinx

利用导数研究其单调性与最值即可.

【详解】(1)当°=1时，/(X)=sin尤一尤cosx,所以/''(x)=cos尤一(cosx-xsinx)=xsinx,

由三角函数性质可知xe(O,时时，/,(x)>0,此时函数单调递增，

当xe(兀,2兀)时，/\x)<0,此时函数单调递减，

即〃兀)=兀是函数/⑺在区间(0,2无)上的极大值；

答案第6页，共11页

713兀

(2)问题等价转化为。=汇吧在区间上有解,

sin%2?T

1.。

人/xxcosx713兀,r-sin2x-x

令g(x)=W‘则m

2,Tg'3=

sinx

令/z(x)=；sin2x-x=>〃(q=cos2x-l<0,所以力卜)单调递减,

71

则A(x)<A0,即g'(x)<0,

兀3兀、3兀371

时1单调递减，此时

故g(x)在尤ePTg(x)<g0,g(x)>gT

所以ae

16.(1)证明见解析;

⑵w

【分析】(1)利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可;

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可.

PDVDAPOYOA

【详解】(1)由条件易知,所以

PCA.CBPO1OB

而04("105=0,04OBu平面046,所以PO_L平面048,

又/2u平面0/3,所以尸OL/3；

取的中点尸，连接。尸，过。作N8的平行线/,

易知04=08=A8=2,则尸O_LNB,

由上可以以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则/(省,-1,0)司瓜1,0),网0,0,1),所以尸

答案第7页，共11页

即刃=(6,-1,0),砺=丽=卜后-1,1),

\乙)

设平面AOE的一个法向量n=(x,y,z),

nOA=~y-0

有_—»7311,令y=6,则X=1,Z=—2G，

n•OE=——xH——y-\——z=0

〔222

所以为=(l,g,-2后)，

设直线8P与平面/OE所成角为a,

\n-BP\_4G_诟

则sina-cosn,BP\

|和|明4x755

22

17.

(叶十=1

(2)证明见解析

【分析】(1)利用双曲线的性质及点到直线的距离计算即可;

(2)设直线/的方程及48坐标，利用韦达定理及向量的数量积公式证明的余弦值

为正即可.

【详解】(1)设户(c,0)(c>0),贝1]/+62=,2,

易知C的渐近线方程为y=±-x,

a

由对称性知焦点到两条渐近线的距离相同，即退=IM--A

4^'

-ryC3s/ci+b\

乂一=—=---------=>a=2?

a2a

22

则双曲线方程为：土-匕=1；

45

(2)由上知c=3,不妨设/的方程为x=(y+3及4(%1，%),3(久2，了2)，

显然，w土拽，外,力异号，

5

则OA={x^yx\OB=(x2,y2),/AOB=l^)A,OB),

x=卬+3

联立*>2,整理得(5»-4)/+30^+25=0,

145

答案第8页，共11页

30/

乂+%=-口

则

25

3广

2-20/—11

易知OAOB=x]x2+yxy2=+6必++仅i+为-9:

5产一4

而必，歹2异号,贝!|5*-4<0,

所以为•丽>0，即cosO4O8=wu「0,

即N/O8=（厉，砺）为锐角，得证.

18.（1）0.3

⑵0.15

（3）该厂应该实施升级改造，理由见解析

【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案；

（2）利用相互独立事件的概率乘法公式求出二等所占、三等所占的比率；再由相互独立事

件的概率乘法公式计算可得答案；

（3）求出改造前、改造后生产一个口罩的利润均值，再做比较可得答案.

【详解】（1）该厂生产的口罩过滤等级为一等的概率为0.5x0.75x0.8=0.3；

（2）该厂生产的口罩过滤等级为二等的概率为0.8x0-0.75x0.5）=0.5,

为三等的概率为1-0.3-0.5=0.2,

所以从该厂生产的口罩中任取3个，过滤等级有2个二等和1个三等的概率

为C；X0.52>0.2=0.15；

（3）该厂应该实施升级改造，理由如下，

X1表示改造前生产一个口罩的利润，则X1可取2,1,0.5,

答案第9页，共11页

所以尸(Xi=2)=0.3,尸(X|=l)=0.5,尸(％=0.5)=0