导数压轴专题突破-第33讲 等高线问题（含答案及解析）

第33讲等高线问题【典型例题】例1．已知函数，，若成立，则的最小值为A． B． C． D．例2．已知函数，若成立，则的最小值为A． B． C． D．例3．已知函数，，若存在，，使得成立，则最小值为A． B． C． D．例4．已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是A． B．， C．， D．例5．已知函数，，若，，则的最大值为．例6．已知函数，若存在互不相等实数、、、，有（a）（b）（c）（d），则的取值范围是．例7．已知，若存在实数，，，满足．且，则的取值范围为，．例8．函数对于任意，均满足，，若存在实数，，．满足（a）（b）（c）（d），则的取值范围是．例9．已知函数对于任意，均满足，当时，，若存在实数，，，满足（a）（b）（c）（d），则的最大值为．【同步练习】一．选择题1．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为A． B． C． D．2．已知函数f（x）对于任意x∈R，均满足f（x）＝f（2﹣x），当x≤1时，f（x）＝，（其中e为自然对数的底数），若存在实数a，b，c，d（a＜b＜c＜d）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则（a+b+c+d）b﹣ea的取值范围为（）A．（﹣1，4） B．[﹣1，） C．（，4） D．[2ln2﹣1，）3．已知函数，，若，，则的最小值为A． B． C． D．4．已知函数，．若，，则的最小值为A． B． C． D．5．已知函数，若对任意，，总存在，使，则实数的取值范围是A． B． C． D．6．已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则的最小值为A．2 B． C． D．二．多选题7．已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则A．的最小值为 B．使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线 C．函数至少存在一个零点 D．使得曲线在点处的切线也是曲线的切线8．已知直线与函数，的图像分别交于、两点，则A．的最小值为 B．存在实数，使得曲线在点处的切线平行于曲线在点处的切线 C．函数至少存在一个零点 D．存在实数，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线三．填空题9．已知函数，若有且仅有不相等的三个正数，，，使得，则的值为12．10．已知函数若关于的方程有三个不相等的实数解，，，则的取值范围是．11．已知函数，存在三个互不相等的正实数，，且有（a）（b）（c），则（a）的取值范围是．

第33讲等高线问题【典型例题】例1．已知函数，，若成立，则的最小值为A． B． C． D．【解析】解：不妨设，，，，故，令，，，易知在上是增函数，且，当时，，当时，，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为；故选：．例2．已知函数，若成立，则的最小值为A． B． C． D．【解析】解：不妨设，，，，，，故，，令，，，易知在上是增函数，且，当时，，递增；当时，，递减．即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为．故选：．例3．已知函数，，若存在，，使得成立，则最小值为A． B． C． D．【解析】解：函数的定义域为，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又（1），所以时，；时，，同时，若存在，，使得成立，则且，所以，即，又，所以，故，令，，则，令，解得，令，解得：，在单调递减，在单调递增，，故选：．例4．已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是A． B．， C．， D．【解析】解：函数的图象如图所示其中，且，，关于对称，，，，，，，，，，当且仅当时取等号，当时，，当时，，的取值范围为，故选：．例5．已知函数，，若，，则的最大值为．【解析】解：由题意得，，即，由函数，得，所以时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又当时，，时，作函数的图象如图所示，由图可知，当时，有唯一解，故，且，，设，，则，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以（e），即的最大值为．故答案为：．例6．已知函数，若存在互不相等实数、、、，有（a）（b）（c）（d），则的取值范围是．【解析】解：作出函数的图象，如图所示，设与函数的交点自左至右依次为，，，，由图可知，，，由，解得，由，解得，故，，，，在，上是减函数，，，故的取值范围是，．故答案为：，．例7．已知，若存在实数，，，满足．且，则的取值范围为，．【解析】解：由题意，函数的大致图象如图所示，由图象知，，；由，关于对称，可得，，可得，那么，构造新函数，，；则，，；在区间，单调递增，可得，在区间，单调递减，，可得数区间，单调递增，，单调递减，当时，取得最大值为故答案为，；．例8．函数对于任意，均满足，，若存在实数，，．满足（a）（b）（c）（d），则的取值范围是．【解析】解：由函数对于任意，均满足，可知的对称轴方程为．又当时，，作出函数的图象如图：由图可知，与，与关于直线对称，，，又（a）（b），，，，，设（b），，（b），（b）在上单调递增，（b），即，，，即的范围为，．故答案为：，．例9．已知函数对于任意，均满足，当时，，若存在实数，，，满足（a）（b）（c）（d），则的最大值为．【解析】解：函数对于任意，均满足，可得的图象关于直线对称，即，（a）（b），即有，即，，，可设，当且仅当时，取得最小值3，由在，递减，可得的最大值为（3），故答案为：3．【同步练习】一．选择题1．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为A． B． C． D．【解析】解：，函数定义域，，当时，，单调递增，当时，（1），所以时，；时，；当时，，单调递减，此时，所以若存在，，使得成立，则且，所以，即，所以，，令，，，当，时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，．故选：．2．已知函数f（x）对于任意x∈R，均满足f（x）＝f（2﹣x），当x≤1时，f（x）＝，（其中e为自然对数的底数），若存在实数a，b，c，d（a＜b＜c＜d）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则（a+b+c+d）b﹣ea的取值范围为（）A．（﹣1，4） B．[﹣1，） C．（，4） D．[2ln2﹣1，）【解析】解：由函数f（x）对于任意x∈R，均满足f（x）＝f（2﹣x），可知f（x）的对称轴方程为x＝1．又当x≤1时，f（x）＝，∴作出函数f（x）的图象如图：由图可知，a与d，b与c关于直线x＝1对称，则a+b+c+d＝4．又∵f（a）＝f（b），∴ea＝lnb+2，因此（a+b+c+d）b﹣ea＝4b﹣lnb﹣2．由题意知，＜b≤，令g（b）＝4b﹣lnb﹣2，（＜b≤），则g′（b）＝4﹣，令g′（b）＝0，得b＝，故g（b）在上单调递减，在（，）上单调递增．故，由，g（）＝，而＞0．∴g（b）∈[2ln2﹣1，）．故选：D．3．已知函数，，若，，则的最小值为A． B． C． D．【解析】解：的定义域为，所以，，，，，则，又因为，所以，令，则，，当时，，递增，所以，则，，，所以在区间上，，递减；在区间，上，，递增，所以的最小值为，即选项正确．故选：．4．已知函数，．若，，则的最小值为A． B． C． D．【解析】解：，即，①，，②，又在，上单调递增，故由①②得，故，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，故，故选：．5．已知函数，若对任意，，总存在，使，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解析】解：对任意，，，即函数的值域为，，若对任意，，总存在，使，设函数的值域为，则满足，即可．当时，函数为减函数，则此时，当时，，，①当时，即时，要使，成立，则此时，所以；②当时，此时，要使，成立，则此时当时，，，此时满足，即，得，综上或，故选：．6．已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则的最小值为A．2 B． C． D．【解析】解：由题意，，，，其中，且，，令，则，，时，；时，，在上单调递减，在，上单调递增，时，．故选：．二．多选题7．已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则A．的最小值为 B．使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线 C．函数至少存在一个零点 D．使得曲线在点处的切线也是曲线的切线【解析】解：令，得，令，得，则点、，如下图所示：由图象可知，，其中，令，则，则函数单调递增，且，当时，，当时，．函数在上单调递减，在上单调递增，，选项正确；，，则，，曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，令，即，即，则满足方程，使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线，选项正确；构造函数，可得，函数在上为增函数，由于，（1），则存在，使得，可得，当时，；当时，．，函数没有零点，选项错误；设曲线在点处的切线与曲线相切于点，，则曲线在点处的切线方程为，即，同理可得曲线在点处的切线方程为，，消去得，令，则，函数在上为减函数，（1），，则存在，使得，且．当时，，当时，．函数在上为减函数，，，由零点存定理知，函数在上有零点，即方程有解．使得曲线在点处的切线也是曲线的切线．故选：．8．已知直线与函数，的图像分别交于、两点，则A．的最小值为 B．存在实数，使得曲线在点处的切线平行于曲线在点处的切线 C．函数至少存在一个零点 D．存在实数，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线【解析】解：令，得，令，解得，则点坐标为，点坐标为，，画出，的图象和直线，如图所示：由图象可知，，其中，令，则，则函数单调递增，且，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在，上单调递增，所以，故正确；因为，，则，，曲线在点处的切线的斜率为，曲线在点处的切线的斜率为，令，即，即，因为满足方程，所以存在实数，使得曲线在点处的切线平行于曲线在点处的切线，故正确．由函数，可得，所以函数在上为增函数，由于，（1），所以存在，，使得，可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以函数没有零点，故错误；设曲线在点处的切线与曲线相切于点，，同理，曲线在点处的切线方程为，所以，消去得，令，则，所以函数在上为减函数，因为（1），（2），则存在实数，使得，且，当时，，当时，，所以，函数在上为减函数，因为（2），（8），由函数零点存在定理知，函数在上有零点，即方程在上有解，所以，存在实数，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线，故正确．故选：．三．填空题9．已知函数，若有且仅有不相等的三个正数，，，使得，则的值为12．【解析】解：不妨设、、、按从左到右顺序排列：如图：当时，有且仅有不相等的三个正数，，，使得，则当时，，，，此时；如图，，结合上问可知，当时，存在，使得，不妨令此时，则对于、满足方程，即，所以；对于、满足方程，即，所以，则有，所以，其中，则，故答案为：12；．1