导数压轴专题突破-第28讲 三极值点问题与三变量问题（含答案及解析）

第28讲三极值点问题与三变量问题【典型例题】例1．已知函数（其中为常数）．(1)当时，对于任意大于的实数，恒有成立，求实数的取值范围；(2)当时，设函数的个极值点为、、，且，求证：．例2．已知函数.(1)求的极值.(2)若，，证明：.例3．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）已知是函数的极值点，若，求证：(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).例4．已知函数．(1)当时，求函数的极值点的个数；(2)当a，b，时，恒成立，求m的取值范围．例5．已知函数．(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)若函数有三个不同的极值点，，，且，求实数a的取值范围．例6．已知函数有三个零点，，．(1)求的取值范围；(2)证明：；(3)记较大的极值点为，当时，证明：．【同步练习】1．已知函数，，其中a为实数.(1)若函数，的图象在处的切线重合，求a的值；(2)若，设函数的极值点为.求证：①函数有两个零点，（）；②.2．已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)设函数，若有两个零点，，且为的唯一极值点，求证：．3．已知函数.(1)若，求的取值范围；(2)记的零点为（），的极值点为，证明：.4．已知函数．(1)当时，求函数的极值．(2)若有三个极值点，且，①求实数的取值范围；②证明：．5．已知函数.(1)求函数的极值；(2)设有两个不同的零点，，为其极值点，证明：．6．已知函数．(1)当时，如果函数有唯一的极值点且为极小值点，求实数a的取值范围．(2)若直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标依次是，证明成等比数列．9．已知函数.(1)求和的极值；(2)证明：存在直线，其与曲线和曲线共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.10．已知函数．(1)当时，证明；(2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．11．已知实数，设函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数单调递增，求a的最大值；(3)设是的两个不同极值点，是的最大零点．证明：．注：是自然对数的底数．12．已知函数，且．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有三个极值点，且，求证：．13．已知函数，记的导函数为(1)讨论的单调性；(2)若有三个不同的极值点，其中①求的取值范围；②证明：.14．已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个零点.（i）求实数a的取值范围；（ii）是的极值点，求证：.15．已知函数在处取得极值.(1)求的值及函数的极值；(2)设有三个不同的零点，，，证明：.16．设函数，记的导数为．(1)讨论的单调性；(2)若有三个不同的极值点，，，证明：．17．设函数，，．(1)求函数的单调区间和极值；(2)若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围；(3)方程在的实根为，令，若存在，使得，证明．

第28讲三极值点问题与三变量问题【典型例题】例1．已知函数（其中为常数）．(1)当时，对于任意大于的实数，恒有成立，求实数的取值范围；(2)当时，设函数的个极值点为、、，且，求证：．【解析】(1)当且时，，即成立，令，则，，则.①当，，在上是增函数，即当时，，满足题意；②当时，令，解得，，当时，，函数在上是减函数，此时，不合乎题意.综上所述，.(2)证明：因为，其中且，则，对于函数，有，因为，当时，，函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，因为函数有个极值点、、，且，所以，，解得，当时，，，所以，，当时，，，则，函数单调递减，当时，，，则，函数单调递增，当时，，，则，函数单调递减，当时，，，则，函数单调递减，当时，，，则，函数单调递增，所以，函数的单调递增区间有：、，单调递减区间有：、、，故，当时，、是函数的两个零点，即有，消去有，令，其中，则，令可得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，且，且，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递减，因为，则，即，即，因为，则，函数在上单调递增，故，即.例2．已知函数.(1)求的极值.(2)若，，证明：.【解析】（1）（1）由题意可得.当或时，；当时，.所以在与上单调递增，在上单调递减.故的极大值为，的极小值为.（2）证明：由（1）可知.设，，则.设，则.因为，所以在上恒成立，即在上单调递增，因为，所以在上恒成立，即在上单调递增，因为，所以在上恒成立.因为，所以，因为，所以.由（1）可知在上单调递增，且，，则，即.例3．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）已知是函数的极值点，若，求证：(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).【解析】（1）由，有∴，而，可知曲线在点处的切线方程为（2）由（1）得，令，则在上恒成立，即在上单调递增，而，知当时，；当时，，∴当函数在上单调递减，在上单调递增，即在处取得极大值.∵，不妨设，令，则因为，所以，即有，∴，即函数在上单调递减，而，所以在上恒成立，即在上恒成立，有在上恒成立，又，所以，因为且，而函数在上单调递增，所以，即，而，所以得证.例4．已知函数．(1)当时，求函数的极值点的个数；(2)当a，b，时，恒成立，求m的取值范围．【解析】（1），令，得.当时，因为，所以，，即函数在上单调递减.当时，令，，所以是增函数.，因为，所以，所以存在唯一，使得，所以.即，；当，，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点.综上所述，函数的极值点个数为.（2）当时，，所以，所以函数在上单调递增.因为，所以，即.所以.同理可得所以.所以.当时，由（1）可知，在上存在唯一的零点，且函数在上单调递减，在上单调递增，取，则，即.同理可得.所以，与已知矛盾.所以的取值范围是.例5．已知函数．(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)若函数有三个不同的极值点，，，且，求实数a的取值范围．【解析】（1）函数的定义域为，不等式恒成立，即在上恒成立，记，则，得到在区间上单调递减，在上单调递增，则，即在区间上恒成立，分离变量知：在上恒成立，则，，由前面可知，当时，恒成立，即，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以．（2），设曲线图象上任意一点，所以曲线在点处的切线方程为，将代入得，故切点为，过的切线方程为，所以直线和曲线相切，并且切点坐标为，所以当且仅当时，方程有两个不相等的实根，，并且，从而当时，有三个极值点，，，并且，，，取对数知：，，即，，则．构造，在时恒成立，则在区间上单调递增，且，从而的解为，综上所述．例6．已知函数有三个零点，，．(1)求的取值范围；(2)证明：；(3)记较大的极值点为，当时，证明：．【解析】（1），（i）当，，单调递减；（ii）当，记，，当；当，所以在单调递增，在（1，2）上单调递减，，又所以A．当，，单调递减，至多一个零点，矛盾；B．当，,由（ii）知，有两个零点，记两零点为，，且，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为，令，则，所以，于是，，且趋近0，趋近，趋近，趋近于是函数有三零点，综上符合题意；（2），这等价于，即，由（1）可得，则，令则所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，则满足，，要证，等价于证，易知，令，则，该函数在上单调递减，在上单调递增，下面证明，由，即证，即证，即证，即证，令，令，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以原命题得证；（3）记，，记的零点为，在为负，所以在单调递减，记，，于是单调递减，令，，这说明，于是有，由对称性，即证明时，，这等价于在单调递增，即，显然成立．于是恒有，既在单调递增，，即，，又，且在单调递增，故只需证明：，既，由（2），故只需证，这是成立的．原不等式得证．【同步练习】1．已知函数，，其中a为实数.(1)若函数，的图象在处的切线重合，求a的值；(2)若，设函数的极值点为.求证：①函数有两个零点，（）；②.【解析】（1）由题意得：，，，故，，，，因为函数，的图象在处的切线重合，故，解得.（2）①，，则，其中，令又，故在上单调递减，据，，故，且当时，，在上单调递增，当，，在上单调递减，由（1）知，，故，所以.下面证明，令，，，当时，，在上单调递增，当，，在上单调递减，故，即，当且仅当时取等号，所以，且，，，所以，故存在，使得.综上所述，在上存在两个零点，.②要证，即证，因为是函数的零点，故，又是函数的极值点，故，所以，，又，所以，即，所以，所以，即，得证.2．已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)设函数，若有两个零点，，且为的唯一极值点，求证：．【解析】（1）当时，，定义域为，，所以在区间递减；在区间递增.所以的极小值为，无极大值.（2），当时，在上恒成立，在上递增，不符合题意.当时，在区间递减；在区间递增.所以的极小值点为，，要使有两个零点，则，，则，对于函数，所以在区间递减；在区间递增.所以，所以在上恒成立.则，所以不妨设，由，得，令，即，整理得，要证，即证，即证，即证，即证，即证.设函数，，所以函数在上递增，所以，所以，所以.3．已知函数.(1)若，求的取值范围；(2)记的零点为（），的极值点为，证明：.【解析】（1）记，①当时，取，不符条件；②当时，，令，∴在单调递减，在单调递增，所以，即，则的取值范围为；（2）∵，令，则，且，令，∴在单调递增，在单调递减，且，∴，取，则，∴，取，则，记，在中，，∴在单调递增，在上单调递减，∴，即∵∴从而.4．已知函数．(1)当时，求函数的极值．(2)若有三个极值点，且，①求实数的取值范围；②证明：．【解析】（1）当时，，令，则，所以函数在上单调递增，由，所以时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数有极小值为，无极大值；（2）①由，所以，因为,仅当时取等号，于是，当时，，函数在上单调递增，此时至多有一个零点，不符合，当时，令，得，当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，注意到，当时，，所以，，又，，令，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，所以，故，则，，因此在内恰有一个零点（即在有一个零点），在内有一个零点，即，在内有一个零点，故有三个零点，则；②证明：由题意知，又注意到，所以，即，当时，先证明不等式恒成立，设，则，所以函数在上单调递增，于是，即当时，不等式恒成立．由，可得，因此，两边同除以，得，而，故．5．已知函数.(1)求函数的极值；(2)设有两个不同的零点，，为其极值点，证明：．【解析】（1）由题意知，函数的定义域为，，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，无极大值，且极小值为；（2）()，，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，所以，则.又函数在上有2个零点，所以，解得.设，则，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，即，即，所以，又，，两式相减，得，设，要证，只需证，即证，即证，令，则，设，则，所以函数在上单调递增，有，即在上恒成立，所以.综上，.6．已知函数．(1)当时，如果函数有唯一的极值点且为极小值点，求实数a的取值范围．(2)若直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标依次是，证明成等比数列．【解析】（1），，若，由，解得；由，解得，于是在上递增，在递减，所以是在上唯一的极大值点，不合题设．若，若，得（ⅰ）当时，．；或，在上递增，在和上递减故在区间上在两个极值点，不合题设．（ⅱ）当时，．；或在上递增，在和上递减故在区间上在两个极值点，不合题设．（ⅲ）当时，．由；；函数在区间递减，在区间上递增，故在上有唯一极小值点．综上所述，符合题设的实数a的取值范围是．方法2：同方法1，若时，在上唯一的极大值点，不合题设．若时，由上述可知，要使有唯一极小值点，则只需要对恒成立∴对时，递增∴故综上，所求实数a的取值范围是（2）当时，则有，设函数，则，当时，单调递增，当时，单调递减，而，而，如下图所示：因此曲线的交点只有一个，因此曲线和只有一个交点，，当时，单调递增，当时，单调递减，且当无限接近时，无限接近0，且，图像如下图所示，，当时，单调递增，当时，单调递减，且当无限接近时，无限接近0，当无限接近0时，无限接近，图像如下图所示，当直线经过曲线和唯一的公共点时，直线与两条曲线恰好有三个不同的交点如上图所示，则有，且，①对上式同构可得：，∵且函数在单调递增，∴②又∵，且函数在上单调递减，∴．③由方程②③可得：，再结合方程①可得：．所以成等比数列．7．利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.8．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.9．已知函数.(1)求和的极值；(2)证明：存在直线，其与曲线和曲线共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.【解析】（1）因为，所以，当时，，当时，，所以在单增，在单减，所以当时，取得极大值，无极小值；当时，，当时，，所以在单增，在单减当时，极大值，无极小值；（2）当直线过两个函数的交点时，满足题意，设交点为，设直线与在A的左边交点为，与在A的右边交点为，由（1）知，且，因为，所以，又，，且在上递增，所以，所以，又，所以，又，，且在上递减，所以，则，所以，即.10．已知函数．(1)当时，证明；(2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．【解析】（1）当时，，定义域为，设，则，所以函数在单调递增，在上单调递减，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，，当且仅当时等号成立，所以，且等号不同时成立，所以；（2）函数，，若存在极值点，则，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，由，不妨设，若，则；若，由可得，则，所以，即对恒成立，令，则，则，设，则，，令，，则，，令，则，令，则，当时，令，则，设，所以，所以，所以当时，，单调递增，，单调递增，，单调递增，，单调递减，，，符合题意；当时，，存在，单调递减，，，，单调递增，，，不符合题意；所以，由单调递增可得.11．已知实数，设函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数单调递增，求a的最大值；(3)设是的两个不同极值点，是的最大零点．证明：．注：是自然对数的底数．【解析】（1）当时，，故在上单调递增．（2）若函数单调递增，则对任意的恒成立．令，在上，单增，在上，单减，所以，即.所以在恒成立，则在恒成立，令，则，所以时，即递减，时，即递增，故，即.综上，a的最大值是1．（3）由于时，单调递增，故当有两个不同极值点时，．此时，于是在上单调递减，在上单调递增．当趋向于0时，趋向于正无穷，，趋向于正无穷时，趋向于正无穷，则存在两个零点，不妨设，也即的两个不同极值点，故先估计，令，，则，所以在上单调递增，所以当时，，则，当时，，所以，所以则于是，由知，，故．只需再证明：．由，趋向于正无穷时，趋向于正无穷，故存在．又是的最大零点，则，得证！12．已知函数，且．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有三个极值点，且，求证：．【解析】（1）对函数进行求导，，，切点为故切线为.（2）由题意知，有三个实数跟，则，方程有两个根，即有两个交点令，当时，，故在上单调递增；

当时，，故在上单调递减；作出，的图象如图由图可知，，与的图象有两个交点，横坐标分别为，且要证即证即证，则则即，由对数平均数表达式可得故即可证得.13．已知函数，记的导函数为(1)讨论的单调性；(2)若有三个不同的极值点，其中①求的取值范围；②证明：.【解析】（1）由已知可得，故可得．当时，，故在单调递增；当时，由，解得，或，记，，则可知当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以，函数在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增．（2）①由已知，函数有三个零点，且．由（1）知时，在单调递增，不合题意．下面研究的情况．由于，故，因此，又因为在单调递减，且，所以．又因为，由于，且，故因此，在恰有一个零点（即在恰有一个零点），在恰有一个零点（即），在恰有一个零点（即在恰有一个零点）．所以，的取值范围是．②证明：由（i）可知，且在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增．由此可得．故只需证明因为，故，由此可得．由（其中），可得，整理得，故，整理得．因此，令，可知，则．令则．令，则，由此可得在单调递减，故，可得在单调递增，故，所以，因此．14．已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个零点.（i）求实数a的取值范围；（ii）是的极值点，求证：.【解析】（1）的定义域是，，可得，又故曲线在点处的切线方程为，即.（2）（i）由（1）可知①时，，在单调递增，此时至多有一个零点；②时，，令，解得，令，解得，故在递减，在递增，要使有两个零点，需，解得，即，而，，当时，令，则，故，，，由零点存在性定理可知，在与上分别存在唯一零点．综上.（ii）因为，，令，由，即，由（i）可知，是的极值点故，即，由，，只需证，令，则，令，则，故在上单调递增，，故在上单调递增，；.15．已知函数在处取得极值.(1)求的值及函数的极值；(2)设有三个不同的零点，，，证明：.【答案】(1)，极大值，极小值；(2)证明见解析.【分析】由