导数压轴专题突破-第20讲 取点技巧（含答案及解析）

第20讲取点技巧【典型例题】例1．已知函数，，，．（1）设，．①求方程的根；②若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；（2）若，，函数有且只有1个零点，求的值．例2．已知函数．当时，求函数在处的切线方程；函数是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由．例3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．例4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．例5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．例6．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【同步练习】1．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．2．已知函数为自然对数的底数，且．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．6．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．7．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．8．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．9．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个大于1的零点，求的取值范围．10．已知函数．（1）求的单调区间；（2）试求的零点个数，并证明你的结论．11．已知函数．（Ⅰ）若在，处导数相等，证明：；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：；（Ⅲ）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．12．已知函数，其中是自然对数的底数，．（1）求函数的单调区间；（2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由．13．设函数．（1）求函数的单调区间；（2）讨论函数的零点个数．14．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）讨论的零点个数．15．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数的零点个数．

第20讲取点技巧【典型例题】例1．已知函数，，，．（1）设，．①求方程的根；②若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；（2）若，，函数有且只有1个零点，求的值．【解析】解：函数，，，．（1）设，．①方程；即：，在上单调，可得．②不等式恒成立，即恒成立．令，．不等式化为：在时，恒成立．可得：△或即：或，，．实数的最大值为：4．（2），，，可得，令，则是递增函数，而，，，因此，时，，因此时，，，则．，时，，，则，则在递减，，递增，因此的最小值为：．①若，时，，，则，因此，且时，，因此在，有零点，则至少有两个零点，与条件矛盾．②若，函数有且只有1个零点，的最小值为，可得，由，因此，因此，，即，，则．可得．例2．已知函数．当时，求函数在处的切线方程；函数是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由．【解析】解：，，．当时，．又，则在处的切线方程为．函数的定义域为，，．当时，，，所以，即在区间上没有零点．当时，，令，只要讨论的零点即可．，．当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以在区间上的最小值为．当时，，所以是的唯一的零点；当时，，所以没有零点；当时，．所以有两个零点．例3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）由，求导，，当时，，在上单调递减，当时，，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，，单调递增；综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在，是增函数；（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，，当时，，，当时，，当，，且远远大于和，当，，函数有两个零点，的最小值小于0即可，由在是减函数，在，是增函数，，，即，设，则，，求导，由（1），，解得：，的取值范围．方法二：（1）由，求导，，当时，，在上单调递减，当时，，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在是增函数；（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，当，时，，故只有一个零点，当时，由，即，故没有零点，当时，，，由，故在有一个零点，假设存在正整数，满足，则，由，因此在有一个零点．的取值范围．例4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）求导，因为，，所以，当时，，所以在上单调递减，当时，，令，解得：，当，解得：，当，解得：，所以时，单调递减，单调递增；综上可知：当时，在减函数，当时，在是减函数，在是增函数；（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，当，时，，故只有一个零点，当时，由，即，故没有零点，当时，，，由，故在有一个零点，假设存在正整数，满足，则，由，因此在有一个零点．所以的取值范围．例5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1），若，当时，，递减，时，，递增，当时，令，解得：或，若，，恒成立，在递增，若，，当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增，若，，当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增，综上：若，在递减，在递增，若，在递增，若，在递增，在递减，在递增，若，在递增，在递减，在递增；（2）当时，，令，解得：，此时1个零点，不合题意，当时，由（1）可知，在递减，在递增，有2个零点，必有，即，而（1），故当时，个零点，当时，，取，则，故当，时，个零点，故当时，个零点，符合题意，当时，在递增，不可能有2个零点，不合题意，当时，在递增，在递减，在递增，，，故，此时，至多1个零点，不合题意；当时，在递增，在递减，在递增，，此时，最多有1个零点，不合题意，综上，若有2个零点，则的范围是，．例6．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）的定义域为，且，当时，，此时在上单调递增；当时，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知，当时，在上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，则，当时，，函数至多有一个零点，不合题意；当时，，由于，且，由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，由于，且（由于，由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点；综上，实数的取值范围为．【同步练习】1．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）由，可得，①当时，由，可得；由，可得，即有在递减；在递增；②当时，由，解得或，若，则恒成立，即有在上递增；若时，由，可得或；由，可得；即有在，，递增，在，递减；若，由，可得或；由，可得即有在，，递增；在，递减；综上：当时，在递减；在递增；当时，时，在上递增；时，在，，递增，在，递减；时，在，，递增；在，递减．（2）①由（1）可得，当时，在递减；在递增，且（1），（2），故在上存在1个零点，取满足，且，则（b），故在是也存在1个零点，故时，有2个零点；②当时，，所以只有一个零点，不合题意；③当时，若时，在递增，不存在2个零点，不合题意；若，在递增，又当时，，不存在2个零点，不合题意，当时，在单调增，在，递减，在，递增，极大值（1），故不存在2个零点，不合题意；综上，有两个零点时，的取值范围为．2．已知函数为自然对数的底数，且．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1），①时，，则时，，在递减，时，，在递增，②当时，由得，，若，则，故在递增，若，则当或时，，时，，故在，递增，在递减；综上：时，在递减，在递增，时，在，递增，在递减；时，在递增；（2）①时，在递增，不可能有2个零点，②当时，在，递增，递减，故当时，取极大值，极大值为，此时，不可能有2个零点，③当时，，由得，此时，仅有1个零点，④当时，在递减，在递增，故，有2个零点，，解得：，，而（1），取，则（b），故在，各有1个零点，综上，的取值范围是，．3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）由，可得，①当时，由，可得；由，可得，即有在递减；在递增；②当时，由得或；若，则，当时，，当时，；，恒成立，即有在上递增；若时，则；由，可得或；由，可得．即有在，，递增；在，递减；若，则，由，可得或；由，可得．即有在，，递增；在，递减．（2）①由（1）可得当时，在递减；在递增，且，，取满足且．则，有两个零点；②当时，，所以只有一个零点；③当时，若时，由（1）知在，递减，在，，递增，又当时，，所以不存在两个零点；当时，由（1）知，在单调增，又当时，，故不存在两个零点；综上可得，有两个零点时，的取值范围为．4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）．当时，令，得；令，得．故在上单调递减，在上单调递增．当时，令，得，．①当，即时，，在上单调递增．②当，即时，在上单调递减，在，，上单调递增．③当，即时，在上单调递减，在，，上单调递增．（2）当时，由（1）可知只有一个极小值点，且，．（方法一）取，且，则，，因为，所以，则（b），此时有两个零点．（方法二）当时，，，从而，因此有两个零点．当时，，此时有一个零点，不符合题意．当时，若，则恒有．当时，在上单调递增，此时在上不可能有两个零点；当时，若，同理可知在上不可能有两个零点；若，在上先减后增，此时在上也不可能有两个零点．综上，的取值范围是．5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1），①当时，，由，得，由，得，的单增区间为，单减区间为．②当时，令，或，当，即时，，在单增，当，即时，由得，，，，由得，，，单增区间为，，，单减区间为，．当，即时，由得，，，，由得，，，的单增区间为，，，的单减区间为，．（2）．当时，，，可得，不符题意，故；当时，由（1）可得只需，即时，满足题意；当时，在上单增，不满足题意；当时，的极大值，不可能有两个零点．当时，的极小值，，，只有才能满足题意，即有解，令，，则，（a）在单增，而，（a），方程无解．综上所述，．6．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）由题意知：若，即时，在上单减，在单增，若，即时，①当时，在单增；②当时，在上单增，在单减，在上单增；③当时，在上单增，在单减，在上单增．（2）由（1）知当时，在单增，故不可能有两个零点．当时，只有一个零点，不合题意．当时，在上单减，在单增，且时，；时，．故只要（1），解得：．当时，在上单增，在单减，在上单增．因为故也不可能有两个零点．当时，在上单增，在单减，在上单增且，故要使有两个零点，必有由即当时，有因为即在上单增，且时，．故当时，不可能有两个零点．综上所述：当时，有两个零点．7．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．【解析】解：（1）函数．定义域为，，①时，，当．，单调递增；当．，单调递减；②时，，解得或，当，，单调递减；当，，单调递增，当，，单调递减；③时，，在单调递减；④时，，解得或，当，，单调递减；，，单调递增；，．单调递减；（2）由（1）得当时，在定义域上只有一个零点，，由（1）可得，要使有两个零点，则（2），即（2），所以，下证有两个零点，取，，满足（2），故在有且只有一个零点；因为（4），满足（2）（4），故在有且只有一个零点；当时，由（1）可得，（a），故在无零点，又因为在单调递减，在至多一个零点，不满足条件；当时，，（2），故在上无零点，又因为在单调递减，在至多一个零点，不满足条件；满足条件的取值范围，8．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．【解析】解：（1），函数的定义域为，，当时，恒成立，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在单调递减，当时，令，解得，或，（舍去），①当，即时，，函数在上单调递增，②当，即时，当，时，，函数在，上单调递增，当，时，，函数在，上单调递减，③当，即时，当，，时，，函数在，，单调递增，当时，，函数在单调递减，综上所述：当时，函数在上单调递增，在单调递减，当时，函数在，，上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，当时，函数在，上单调递增，在，上单调递减，（2）由（1）可知，①当时，函数在上单调递增，在单调递减，（1），取，，令，，则在成立，故单调递增，，，函数有两个零点等价于（2），解得，当时，，只有一个零点，不符合题意，当时，函数在上单调递增，至多只有一个零点，不符合题意，当且时，有两个极值，（2），，令，，令，，当时，，在，上单调递增，当时，，在，上单调递减，故，在上单调递增，当时，，故，又（2），由（1）可知，至多只有一个零点，不符合题意，综上，实数的取值范围为，．9．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个大于1的零点，求的取值范围．【解析】解：（1）的定义域是，，当时，，在递减，当时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增；当时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增；（2）由（1）可得若函数有2个大于1的零点，则，当时，需，无解，当时，需，解得：，且当时，在递减，（1），故在有1个零点，，下面证明，令，，当时，，函数递减，当时，，函数递增，故（1），即，故，，又在，递增，故在，有1个零点，综上，的范围是，．10．已知函数．（1）求的单调区间；（2）试求的零点个数，并证明你的结论．【解析】解：（1）由函数，得．另，得．列表如下：，0极小值因此，函数的单调递增区间为，，单调减区间为．（2）由（1）可知，．当时，由，得函数的零点个数为0．当时，因在，上是单调增，在上单调减，故，，时，．此时，函数的零点个数为1．当时，．①时，因为当，时，，所以，函数在区间，上无零点；另一方面，因为在，单调递增，且，由，，且，此时，函数在，上有且只有一个零点．所以，当时，函数零点个数为1．②时，因为在，上单调递增，且（1），，所以函数在区间，上有且只有一个零点；另一方面，因为在，上是单调递减，且又，且，（当时，成立）此时，函数在上有且只有一个零点．所以，当，函数的零点个数为2．综上所述，当时，的零点个数为0；当时，或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2．11．已知函数．（Ⅰ）若在，处导数相等，证明：；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：；（Ⅲ）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．【解析】解：（Ⅰ）由所以，即化简得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由基本不等式得，则得，则设，，，在上单调递增，所以，所以；（Ⅲ）记，，令，记，则△，①当时，，有，单调递减，当，；当，所以取，时，有，又，所以有唯一零点．②当时，△，令，解得，，则当和时，单调递减，当，单调递增，记，，则，记，注意，所以，，则，所以，又，，且，结合单调性，可知有唯一零点．综上可知，若，对于任意，直线与曲线有唯一公共点．12．已知函数，其中是自然对数的底数，．（1）求函数的单调区间；（2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由．【解析】解：（1）因为，所以．（1分）由，得；由，得．（2分）所以的增区间是，减区间是．（3分）（2）因为．由，得或．（4分）设，又，即不是的零点，故只需再讨论函数零点的个数．因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．（5分）所以当时，取得最小值（a）．（6分）①当（a），即时，，无零点；（7分）②当（a），即时，有唯一零点；（8分）③当（a），即时，因为，所以在上有且只有一个零点．（9分）令，则．设（a），则（a），所以（a）在上单调递增，所以，，都有（a）（1）．所以（a）．（10分）所以在上有且只有一个零点．所以当时，有两个零点．（11分）综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点．（12分）13．设函数．（1）求函数的单调区间；（2）讨论函数的零点个数．【解析】解：（1）函数的定义域为当时，令得；令得或，所以函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，恒成立，所以函数的单调增区间为，无减区间；当时，令得；令得或，所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．（2）由（1）可知，当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为，所以，，注意到，所以函数有唯一零点，当时，函数在上单调递增，又注意到，（4）所以函数有唯一零点；当时，函数的单调递增是和上，单调递减是上，所以，，注意到，所以函数有唯一零点，综上，函数有唯一零点．14．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）讨论的零点个数．【解析】（1）解：当时，，则，因为，则，所以时，，时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故的单调递减区间是，单调递增区间是．（2）因为，则．当时，因为，则，则时，，所以时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，（1）．当（1）时，即时，（1），所以当时，函数没有零点，即函数零点个数为0；当