导数压轴专题突破-第07讲 同构法妙解不等式恒成立问题（含答案及解析）

第07讲同构法妙解不等式恒成立问题【典型例题】例1．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为A． B． C． D．例2．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C．， D．，例3．设实数，若对任意的，，不等式恒成立，则的最大值为A． B． C． D．例4．设，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为A． B． C． D．例5．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是A． B． C． D．例6．已知函数．（Ⅰ）当，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若不等式，对恒成立，求实数的取值范围．例7．已知函数，．（1）若的最大值是0，求函数的图象在处的切线方程；（2）若对于定义域内任意，恒成立，求的取值范围．例8．已知函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的最值；（2）若当时，函数的图象与的图象有交点，求的最大值；（3）若的最小值为0，求的最大值．【同步练习】一．选择题1．设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为A． B． C． D．2．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，3．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．4．对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为A． B． C． D．5．设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，6．已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是A． B． C． D．7．已知函数，，函数，若，对恒成立，则实数的取值范围为A．， B．， C． D．二．填空题8．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是．三．解答题9．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围．10．已知函数，（其中是自然对数的底数），，．（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．11．已知函数．（1）若函数恒有两个零点，求的取值范围；（2）若对任意，恒有不等式成立．①求实数的值；②证明：．12．已知实数，设函数．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求的最小值．13．已知函数．（1）求的单调区间；（2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围．14．已知函数，．（1）当时，证明：当时，；（2）若对，都，，使恒成立，求实数的取值范围．15．已知函数，．（1）设的导函数为，求的最小值；（2）设，当时，若恒成立，求的取值范围．

第07讲同构法妙解不等式恒成立问题【典型例题】例1．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为A． B． C． D．【解析】解：实数，若对任意的，不等式恒成立，即为，设，，，令，可得，由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，可得和有且只有一个交点，设为，当时，，递增；当时，，递减．即有在处取得极小值，且为最小值．即有，令，可得，．则当时，不等式恒成立．则的最小值为．另解1：由于与互为反函数，故图象关于对称，考虑极限情况，恰为这两个函数的公切线，此时斜率，再用导数求得切线斜率的表达式为，即可得的最小值为．另解2：不等式恒成立，即为，即有，可令，可得在递增，由选项可得，所以，若，则，所以，即有，由的导数为，当时，递减．时，递增，可得时，取得最大值．则，的最小值为．故选：．例2．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C．， D．，【解析】解：因为，不等式成立，即，转化为恒成立，构造函数，可得，当时，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当，函数取得最大值（e），所以，所以实数的取值范围为，，故选：．例3．设实数，若对任意的，，不等式恒成立，则的最大值为A． B． C． D．【解析】解：因为对任意的，，不等式恒成立，所以，即，令，，则，故在上单调递增，由题意得，所以，即对任意的，恒成立，故只需，易得在，上单调递增，故（e），所以．故选：．例4．设，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为A． B． C． D．【解析】解：对任意的，不等式恒成立，即恒成立，函数与函数互为反函数，原问题等价于，则，设，则，令，解得，易知，，故．故选：．例5．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是A． B． C． D．【解析】解：由题意，令，则在是恒大于0的，在，是递增函数，可得为（e）在恒成立即可．实数，在，是递减函数，（e），即．解得：．的最大值为．故选：．例6．已知函数．（Ⅰ）当，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若不等式，对恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，，（1分）令，则，（2分）当时，，单调递减，当时，，单调递增，（3分）时，取得极小值即最小值（1），在恒成立，（4分）在单调递增；（5分）（Ⅱ）不等式等价于，（6分）设，即，，（7分）当，，在是减函数，，，在是增函数，（8分），，（9分）当时，，且在是减函数，则式，令，则，（10分）当时，，单调递减，当时，，单调递增，（11分）（e），，又，（12分）例7．已知函数，．（1）若的最大值是0，求函数的图象在处的切线方程；（2）若对于定义域内任意，恒成立，求的取值范围．【解析】解：（1）的导数为，由的最大值是0，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，可得在处取得最大值，且为，即，则，导数为，可得函数的图象在处的切线斜率为，且（e），可得在处的切线方程为，化为；（2）由于在恒成立，即为，即在恒成立，设，，设，，即在递增，由，（1），即存在，，使得，即，当时，，，递减；当时，，，递增．则，又因为，可得，则，可得，考虑函数在递增，可得，即，所以，即有，所以的取值范围是，．例8．已知函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的最值；（2）若当时，函数的图象与的图象有交点，求的最大值；（3）若的最小值为0，求的最大值．【解析】解：（1）当时，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的最小值为（1），无最大值．（2）由题意得方程有正实数解，两边同取对数得：，所以，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以（e），所以的最大值为．（3）方法一由题得恒成立，且能取等号，即且可取等号，由（2）解法提示，令，两边同取对数得，所以恒成立，且等号成立，由（1）可知（1）且当时等号成立，即时，且可取等号，由（2）结论可知，．方法二由题得恒成立，且能取等号，即且可取等号，下面证明不等式令，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即，当时取等号，所以，当，即时取等号，令，则，在上单调递增，在上单调递减，所以（e），所以．【同步练习】一．选择题1．设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为A． B． C． D．【解析】解：，，，即，当时，，恒成立，当时，构造函数，恒成立，当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即，恒成立，，设，，在，上递增，在，递减，（e），故选：．2．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】解：依题意，，即，即，设，，则在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，设，易知函数在单调递增，在单调递减，，则．故选：．3．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．【解析】解：令，则，．不等式恒成立，①当时，，恒成立；②当时，令，，在，单调递增，即等价于，在，恒成立．即，在，恒成立．令，则，可得．在递增，在递减，（e），，的取值范围为．故选：．4．对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为A． B． C． D．【解析】解：对任意的，不等式恒成立，即恒成立，函数与函数互为反函数，又时，，原问题等价于恒成立，则，即在恒成立，设，则，令，解得，当时，递减，时，递增，则（1），故．即．另解：，等价为，设，，可得在递增，则，当时，恒成立；当时，可得，可得，即有，由的导数为，可得时，递减，时，递增，可得处取得最大值，所以．故选：．5．设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，【解析】解：对恒成立，即，即，令，，则，故在单调递增，故，故，问题转化为，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故，故选：．6．已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是A． B． C． D．【解析】解：令，得，其中，在等式两边同时除以得，，即，构造函数，其中，则，所以，函数在区间上单调递增，且，根据题意，若是方程的实根，则，即，所以，，因此，，故选：．7．已知函数，，函数，若，对恒成立，则实数的取值范围为A．， B．， C． D．【解析】解：，对恒成立，即，化为：，令，，，，可得时，函数取得极小值即最小值，（1），恒成立，函数在上单调递增，而，，，即，令，，，可得时，函数取得极大值即最大值．．故选：．二．填空题8．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是．【解析】解：由，，时，递增，而由，可解得，即，即的反函数为，由互为反函数的图象关于直线对称，可得不等式恒成立，只需不等式恒成立，则，即，设，，可得，则时，，递增；时，，递减．则在处取得极大值，且为最大值，故，故答案为：，．三．解答题9．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围．【解析】解：（1）当时，，，（1），（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，当时，，当时，，曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．（2）方法一：由，可得，即，即，令，则，在上单调递增，，即，令，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（1），，，故的范围为，．方法二：由可得，，，即，设，恒成立，在单调递增，，，即，再设，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（1），，即，则，此时只需要证，即证，当时，恒成立，当时，，此时不成立，综上所述的取值范围为，．方法三：由题意可得，，，易知在上为增函数，①当时，（1），，存在使得，当时，，函数单调递减，（1），不满足题意，②当时，，，，令，，易知在上为增函数，（1），当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（1），即，综上所述的取值范围为，．方法四：，，，，易知在上为增函数，在上为增函数，在0，上为减函数，与在0，上有交点，存在，使得，则，则，即，当时，，函数单调递减，当，时，，函数单调递增，设，易知函数在上单调递减，且（1），当，时，，，时，，设，，，恒成立，在，上单调递减，（1），当时，，，．方法五：等价于，该不等式恒成立．当时，有，其中．设（a），则（a），则（a）单调递增，且（1）．所以若成立，则必有．下面证明当时，成立．设，，在单调递减，在单调递增，，，即，把换成得到，，．，当时等号成立．综上，．10．已知函数，（其中是自然对数的底数），，．（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1），，令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故（1），又，，所以，故在上单调递增，（2）由可得，，故，设，则，当时，，单调递增且（1），故当时，，时，，若，因为，若，因为，且在上单调递增，所以，综上可得，即在上恒成立，设，，，故在上单调递增，所以（1），故的范围11．已知函数．（1）若函数恒有两个零点，求的取值范围；（2）若对任意，恒有不等式成立．①求实数的值；②证明：．【解析】解：（1），，则．当时，，故单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；当时，有唯一解，此时，则．注意到，因此．（2）①当时，单调递增，的值域为，不符合题意；当时，则，也不符合题意．当时，由（1）可知，，故只需．令，上式即转化为，设，则，因此在上单调递增，在上单调递减，从而（1），所以．因此，，从而有．故满足条件的实数为．②证明：由①可知，因而只需证明：，恒有．注意到前面已经证明：，因此只需证明：．当时，恒有，且等号不能同时成立；当时，设，则，当，时，是单调递增函数，且，因而，时恒有；从而，时，单调递减，从而（1），即．故．12．已知实数，设函数．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求的最小值．【解析】解：（Ⅰ）时，，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故无极大值，极小值是；（Ⅱ）当时，易知不等式恒成立，时，由题设得不等式，即恒成立，设，则由，知在递增，于是，时，由知，即在恒成立，故所求的最小值即为函数的最大值，，故时，，递增，时，，函数递减，综上，（e）．13．已知函数．（1）求的单调区间；（2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1），．当时，，当时，．从而的单调递增区间为，，单调递减区间为，．（4分）（2），恒成立，即恒成立当时，显然成立；（6分）当时，即恒成立，即恒成立，即，即，（8分）由知，，由①可知，，即．令，，，即在，上为增函数，（e），，综上，，．（12分）14．已知函数，．（1）当时，证明：当时，；（2）若对，都，，使恒成立，求实数的取值范围．【解析】证明：（1）当时，，令，则，所以在上单调递增，且，所以，即，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，且（1），所以，所以，所以当时，有，所以当时，．解：（2）因为，，使恒成立，令（b），只需（b），即在上恒成立，整理得．，设，则，设，又，可得时，，单调递增，时，，单调递减，因此当时，有最小值，所以在上单调递增