2024-2025学年高中数学模块综合测评课后习题含解析北师大版必修5

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于()A.8 B.10 C.12 D.14解析:因为S3=3a1+3×(3-1)2d=3×2+3×22d=12,所以d=2.所以a6=a1+(6-1)d=2+5×答案:C2.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为()A.52 B.53 C.25 D.35解析:依题意,知三角形的最大边为b.由于A=30°,依据正弦定理,得bsinB=asinA,所以答案:A3.在△ABC中,若AB=5,AC=5,且cosC=910,则BC为(A.4 B.5 C.4或5 D.3解析:设BC=x,由余弦定理得,5=x2+25-2×5·x·910,即x2-9x+20=0,解得x=4或x=5答案:C4.已知数列{an}满意an+1-an=2n(n∈N+),a1=3,则ann的最小值为(A.0 B.23-1 C.52解析:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1+3=n2-n+3,所以ann=n-1+3n≥52,当且仅当n=答案:C5.若在△ABC中,sinB·sinC=cos2A2,则△ABC的形态为(A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形解析:由sinB·sinC=cos2A2可得2sinB·sinC=2cos2A2=1+cos即2sinB·sinC=1-cos(B+C)=1-cosBcosC+sinBsinC,所以sinBsinC+cosBcosC=1,即cos(B-C)=1,又-π<B-C<π.所以B-C=0,即B=C.答案:C6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=()A.8 B.7 C.6 D.5解析:因为Sk+2-Sk=24,所以ak+1+ak+2=24,所以a1+kd+a1+(k+1)d=24,所以2a1+(2k+1)d=24.又因为a1=1,d=2,所以k=5.答案:D7.已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于()A.3 B.2 C.1 D.-2解析:因为y=x2-2x+3的顶点为(1,2),所以b=1,c=2.又因为a,b,c,d成等比数列,所以a=12,d=4,所以ad=2答案:B8.(2024天津高考)设变量x,y满意约束条件2x+y≥0,x+2A.23 B.1 C.3解析:由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.目标函数z=x+y可化为y=-x+z.作直线l0:y=-x,平行移动直线y=-x,当直线过点A(0,3)时,z取得最大值,最大值为3.故选D.答案:D9.若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3A.(1,3) B.(-∞,3)C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,+∞)解析:因为4x2+6x+3=2x+所以原不等式⇔2x2+2mx+m<4x2+6x+3⇔2x2+(6-2m)x+(3-m)>0,x∈R恒成立⇔Δ=(6-2m)2-8(3-m)<0,解得1<m<3.答案:A10.已知x,y都是正数,且x+y=1,则4x+2+1A.1315 B.2 C.9解析:由题意知,x+2>0,y+1>0,(x+2)+(y+1)=4,则4x+2+1y+1=14[(x+2)+(y+1)]·4x+2+1y+1=答案:C11.已知a>0,x,y满意约束条件x≥1,x+y≤3,y≥a(A.14 B.C.1 D.2解析:由题意作出x≥1,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a=12,所以a=1答案:B12.导学号33194083已知数列{an}中,a1=1,a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+2k(k∈N+),则{an}的前60项的和S60=()A.231-154 B.231-124C.232-94 D.232-124解析:由题意,得a2=a1-1=0,a4=a3+1,a6=a5-1,…,a60=a59+1,所以S奇=S偶.又a2k-1=a2k-2+2k-1(k≥2),代入a2k=a2k-1+(-1)k,得a2k=a2k-2+2k-1+(-1)k(k≥2),所以a2=0,a4=a2+21+(-1)2,a6=a4+22+(-1)3,a8=a6+23+(-1)4,…,a2k=a2k-2+2k-1+(-1)k,所以a2k=2+22+…+2k-1+(-1)2+(-1)3+…+(-1)k=2k-2+1-(-1)k-12=2k-3+(-1)k-12,所以S偶=(2+22+23+…+229+230)-32×30=2(1-230)1-2答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=x-1x,x≥2,x,x<2,若使不等式解析:当x≥2时,由x-1x<83化简得,3x2-8解得-13<x<3,所以2≤x<3当x<2时,x<83,所以x<2.所以x<3答案:{x|x<3}14.在△ABC中,若BC=2,A=2π3,则AB·解析:由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA≥2AB·AC+AB·AC=3AB·AC,当且仅当AB=AC时,取等号,所以AB·AC≤43,所以AB·AC=AB·AC·cosA≥-23,则(AB·答案:-215.已知函数f(x)=ax-2-2(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A(m,n),则不等式组mx+ny+2≥0解析:函数f(x)=ax-2-2(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A(2,-1),即m=22x-y+2≥0,8x-y-4≤0,x≥0,y≥0,作出可行域如图中阴影部分所示答案:216.设{an}为公比q>1的等比数列,若a2013和a2014是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2015+a2016=.

解析:因为a2013和a2024是方程4x2-8x+3=0的两根,而方程的两个根是x1=12,x2=3又{an}的公比q>1,所以a2013=12,a2024=32,所以q=所以a2024+a2024=a2013q2+a2024q2=(a2013+a2024)q2=12+32×3答案:18三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.解(1)因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.由正弦定理得,sinA+sinC=2sinB.因为sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),所以sinA+sinC=2sin(A+C).(2)因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.由余弦定理得,cosB=a2当且仅当a=c时,等号成立.所以cosB的最小值为1218.(本小题满分12分)已知关于x的不等式x+2m>1+(1)当m>0时,解这个不等式;(2)若此不等式的解集为{x|x>5},试求实数m的值.解(1)原不等式可化为m(x+2)>m2+x-5,(m-1)x>m2-2m-5,若0<m<1,不等式的解集为xx若m=1,则不等式的解集为R;若m>1,则不等式的解集为xx(2)由题意和(1)知,m>1,且满意xx>m2于是m2-2m-519.(本小题满分12分)(2024浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=a24,求角A(1)证明由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)解由S=a24得12故有sinBsinC=12sin2B=sinBcos因sinB≠0,得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=π2当B+C=π2时,A=π当C-B=π2时,A=π综上,A=π2或A=π20.(本小题满分12分)已知在等差数列{an}中,a1,a2,a5成等比数列,且a2,a3+2,a6成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)定义:nP1+P2+…+Pn为n个正数P1,P2,…,Pn(①若数列{bn}前n项的“均倒数”为1an(n∈N+),求数列{bn}②求1b1·b2解(1)设数列{an}的公差为d,由题意有(解得a1=1,d=2,所以a(2)①由题意有nb所以b1+b2+…+bn=n·(2n-1),①b1+b2+…+bn-1=(n-1)·[2(n-1)-1],n≥2.②由①-②得bn=4n-3(n≥2),又b1=1也符合,所以bn=4n-3(n∈N+).②因为1=14所以1b1·b=1=1421.导学号33194084(本小题满分12分)如图,设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24,把它沿着AC折起来,AB折过去后,交DC于P,设AB=x.(1)如何用x来表示DP?(2)如何用x来表示△ADP的面积?(3)能否依据△ADP的面积表达式的特征来求此面积的最大值?解(1)因为AB=x,所以AD=12-x.又DP=PB',在△ADP中,AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP,由勾股定理得(12-x)2+DP2=(x-DP)2,解得DP=12-72x(2)△ADP的面积S=12AD·DP=12(12-x)·12-72x(3)能.因为x>0,12-x>0,x>12-x,即6<x<12,所以6x+432x≥26x·432所以S=108-6x+432x≤108当且仅当6x=432x,即x=62时,等号成立所以S有最大值,为108-722.22.导学号33194085(本小题满分12分)(2024江苏高考)对于给定的正整数k,若数列{an}满意:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对随意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.证明(1)因为{an}是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差数列{an}是“P(3)数列”.(2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4a