山东省滕州市第一中学2024-2025学年高二数学10月月考试题含解析

PAGE21-山东省滕州市第一中学2024-2025学年高二数学10月月考试题（含解析）（时间120分钟总分150分）一、单选题（共8小题，每题5分）1.空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对称的性质和中点坐标公式干脆求解．【详解】解：设空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为，则，解得，，，∴点坐标为．故选：B．【点睛】本题考查了空间中点坐标公式，考查了数学运算实力，属于基础题.2.已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将，转化为求得定点，然后将点到直线的距离转化为两点间的距离求解.【详解】，化为，令，解得，所以直线过定点Q，所以点到直线的距离的最大值为，故选：B【点睛】本题主要考查直线系，两点间的距离公式，还考查了转化求解问题的实力，属于中档题.3.顺次连接点，，，所构成的图形是（）A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】由四个点的坐标可求出，，，依据斜率关系以及线段的长度，即可得结果.【详解】因为，，，，所以，，，所以，，所以四边形平行四边形.故选：A【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件，考查了直线的斜率公式，属于基础题.4.，，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．【详解】解：直线的斜率，直线的斜率，结合图象可得直线的斜率的取值范围是或．故选：．【点睛】本题考查直线斜率公式及斜率改变状况，属于基础题．5.正方体中，、分别为、上的点，且满意，，则异面直线与所成角的余弦值为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取上一点，使，结合正方体的结构特征可得，进而可得，所以为异面直线与所成角，在中，，即可求解.【详解】取线段上一点，使，连接，，如图所示，因为，，所以，所以，，又因为，所以为异面直线与所成角，设该正方体的棱长为，则，，所以在中，，所以，故选：C【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，详细步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．6.若方程所表示的圆取得最大面积，则直线的倾斜角等于（）A.135° B.45° C.60° D.120°【答案】A【解析】【分析】将圆的方程转化为标准方程得到半径，再依据圆取得最大面积时求得k即可.【详解】方程的标准方程为：，则，当所表示的圆取得最大面积时，，此时，则直线为，所以，因为，所以故选：A【点睛】本题主要考查圆的一般方程与标准方程的转化以及圆的最大面积问题，还考查了运算求解的实力，属于中档题.7.已知空间直角坐标系中有一点，点 是平面内的直线上的动点，则，两点间的最短距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据空间中两点间的距离公式，将两点间距离的最小值，转化为二次函数的最小值问题；【详解】点是平面内的直线上的动点，可设点，由空间两点之间的距离公式，得，令，当时，的最小值为，所以当时，的最小值为，即两点的最短距离是，故选：B.【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解实力.8.在四棱柱中，底面是正方形，侧棱底面.已知，E为线段上一个动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，，则的最小值问题转化为求平面直角坐标系中的一个动点到两定点的距离之和的最小值的问题，即转化为求平面直角坐标系中的一个动点到两定点的距离之和的最小值的问题，由图可知当M，P，N三点共线时，到两定点的距离之和最小，从而可得答案【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则.∵E线段上一个动点，∴设，则，，故问题转化为求的最小值问题，即转化为求平面直角坐标系中的一个动点到两定点的距离之和的最小值的问题，如图所示.由此可知，当M，P，N三点共线时，，故选：B.【点睛】此题考查空间中两线段和最小问题，转化为平面问题解决，考查空间向量的应用，属于中档题二.多选题（共4小题，每题5分，选全得满分，不全得3分，错选0分）9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量肯定共面B.若对空间中随意一点，有，则，，，四点共面C.已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底D.若，则是钝角【答案】ABC【解析】【分析】依据共线向量的概念，可判定A是正确的;依据空间向量的基本定理，可判定B是正确的;依据空间基底的概念，可判定C正确;依据向量的夹角和数量积的意义，可判定D不正确.【详解】对于A中，依据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量肯定共面，所以是正确的;对于B中，若对空间中随意一点，有，因为，依据空间向量的基本定理,可得P,A,B,C四点肯定共面，所以是正确的;对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的;对于D中，若，又由，所以，所以不正确.故选：ABC【点睛】本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用，基底的概念与判定，以及向量的夹角的应用，着重考查了分析问题和解答问题的实力.10.已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（）A.y=x+1 B.y=2 C. D.y=2x+1【答案】BC【解析】【分析】依据切割型直线的定义，由点M(5，0)到直线距离不大于4求解.【详解】A.点M(5，0)到直线y=x+1的距离为：，故错误；B.点M(5，0)到直线y=2的距离为：，故正确；C.点M(5，0)到直线的距离为：，故正确；D.点M(5，0)到直线y=2x+1的距离为：，故错误；故选：BC【点睛】本题主要考查点到直线的距离以及存在问题，还考查了运算求解的实力，属于基础题.11.已知二次函数交轴于，两点（，不重合），交轴于点.圆过，，三点.下列说法正确的是（）①圆心直线上；②的取值范围是；③圆半径的最小值为1；④存在定点，使得圆恒过点.A.① B.② C.③ D.④【答案】AD【解析】【分析】①依据二次函数的对称轴是和圆的对称性推断；②依据二次函数交轴于，两点，由推断；③分别令，，得到A，B，C的坐标代入，得到推断；④由③得到圆M的方程为推断；【详解】①因为二次函数的对称轴是，且，两点关于对称，所以圆心在直线上，故正确；②因为二次函数交轴于，两点，所以解得且，故错误；③令，解得，所以，令，得，则，设圆M的方程为：，将A，B，C的坐标代入得：，消去得，所以，即，所以，因为且，所以，故错误；④圆M的方程为，即，则圆恒过定点，故正确；故选：AD【点睛】本题主要考查二次函数函数的性质以及圆的方程的应用，还考查了运算求解的实力，属于中档题.12.定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A.B.C.D.若，，则【答案】BD【解析】【分析】对于A,B,只需依据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当时,,,明显不会恒成立.对于D,依据数量积求出,再由平方关系求出的值,代入定义进行化简验证即可.【详解】解：对于A：，，故不会恒成立；对于B，，，故恒成立；对于C，若，且，，，明显不会恒成立；对于D，，，即有.则恒成立.故选：BD.【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题.三.填空题（共4小题，每题5分）13.若，，则与共线的单位向量是____________.【答案】【解析】【分析】求出，再求出，利用单位向量的定义可得答案．【详解】，，，所以依据单位向量的关系式，可得单位向量．故答案为：．【点睛】本题考查空间向量的坐标运算以及空间向量的模和单位向量，属于基础题．14.将直线l：向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到直线，则直线l与之间的距离为__________．【答案】【解析】【分析】依据条件得到直线为，再由两平行线间的距离公式得到，化简求值即可.【详解】由题意可得，直线的方程为，即，则直线与之间的距离.故答案为.【点睛】本题考查了两平行线间的距离公式的应用以及直线的平移的应用.15.若直线被直线与截得的线段长为，则直线的倾斜角的值为________.【答案】或【解析】【分析】易知直线与平行，且它们之间的距离为：，然后依据直线被直线与截得的线段长为，求得直线与与的夹角即可【详解】因为直线与平行，则与之间的距离为：设直线与与的夹角为，因为直线被直线与截得的线段长为，则，解得，因为两直线的斜率为1，故倾斜角为，所以直线的倾斜角的值为或故答案为：或【点睛】本题主要考查两平行间的距离两直线的夹角，直线的倾斜角的定义，还考查了运算求解的实力，属于中档题.16.如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出目标的表达式，从而可得最小值.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则,设,,.,.,当且时，取到最小值，所以线段长度的最小值为.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值.四.解答题17.在空间直角坐标系中，，，，，点满意．（1）求点的坐标（用表示）；（2）若，求值．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算求出的坐标，结合等式可得出的坐标，再利用可求出点的坐标；（2）计算出的坐标，由，得出，利用空间向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，解出即可得出实数的值.【详解】（1）因为，，所以，因为，所以，所以点的坐标为；（2）因为，，所以，即，解得．【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了利用空间向量处理直线与直线的垂直关系，考查计算实力，属于基础题.18.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在其次象限，半径长为，求圆的一般方程．【答案】x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.【解析】试题分析：建立方程组,解方程组，并删除增根.试题解析：圆心C，∵圆心直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.①又∵半径长r＝＝，∴D2＋E2＝20.②由①②可得或又∵圆心在其次象限，∴－＜0即D＞0.则故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.19.已知为圆上的动点，，为定点，（1）求线段中点M的轨迹方程；（2）若，求线段中点N的轨迹方程.【答案】（1）(x－1)2＋y2＝1；（2）【解析】【详解】（1）设中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为.∵点在圆上，∴.故线段中点的轨迹方程为（2）设的中点为，在中，，设为坐标原点，连结，则，所以，所以.故中点的轨迹方程为20.已知中，点，边和边上的中线方程分别是和，求所在直线方程.【答案】.【解析】【分析】可设点坐标为，将代入边的中线方程，再求出中点坐标，代入边上的中线方程，联立方程即可求解点，同理求得点，则可求解所在直线方程【详解】设点坐标为，因为点在边的中线上，所以有.①的中点坐标为，因为的中点在边的中线上，所以有.②联立①②解得，，即.同理，可得.则，的方程为，化简得.【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，三角形中线的性质，直线方程的求解，属于中档题21.如图，正三棱柱底面边长为.(1)若侧棱长为，求证：;(2)若与成角，求侧棱长.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】设，(1)由，从而可得结果；(2)由与成角，利用夹角公式可得，从而可求侧棱长.【详解】（1）设，知，.而故.（2）由（1）知，，∴即即解得故侧棱AA1的长为2.【点睛】本题主要考查空间向量的几何运算以及空间向量夹角余弦公式的应用，意在考查空间想象实力以及综合应用所学学问解答问题的实力，属于中档题.22.如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面．（1）若点是的中点，求证：平面；（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）存在，且长度为【解析】【分析】(1)连接,可得四边形是平行四边形，可得，可证得//平面；（2）取中点，连接，可得是正三角形，分别以,,为轴,轴,轴，建立空间直角坐标系，假设点存在，设点的坐标为，，可得平面的一个法向