广东省2024高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训函数的应用含解析

PAGE函数的应用一、选择题1．(2024·阳江高一期中)函数f(x)＝x2－x的零点是()A．0 B．1C．0,1 D．(0,0)，(1,0)C[令f(x)＝0解得x＝0或x＝1，故选C．]2．下列函数中能用二分法求零点的是()ABCDC[在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．在B中，函数无零点．在C中，函数图象是连绵不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点．]3．下列函数没有零点的是()A．f(x)＝0 B．f(x)＝2C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－eq\f(1,x)B[函数f(x)＝2，对随意x∈R不能满意方程f(x)＝0，因此函数f(x)＝2没有零点．]4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定B[依据题意及二分法的思想方法，画出简图(略)，明显f(1.5)·f(1.25)＜0，由零点存在性定理可知：方程的根落在区间(1.25,1.5)内．故选B．]5．下列关于函数f(x)的图象中，可以直观推断方程f(x)－2＝0在(－∞，0)上有解的是()D[方程f(x)－2＝0在(－∞，0)上有解，∴函数y＝f(x)与y＝2在(－∞，0)上有交点，分别视察直线y＝2与函数f(x)的图象在(－∞，0)上交点的状况，选项A，B，C无交点，D有交点，故选D．]6．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A．200副 B．400副C．600副 D．800副D[由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．]7．方程ex＋8x－8＝0的根所在的区间为()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)C[令函数f(x)＝ex＋8x－8，则方程ex＋8x－8＝0的根即为函数f(x)的零点，再由f(0)＝1－8＝－7<0，且f(1)＝e>0，可得函数f(x)在(0,1)上有零点．故选C．]8．已知函数f(x)的图象是连绵不断的，且有如下对应值表：x－10123f(x)84－206则函数f(x)肯定存在零点的区间是()A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)B[由表可知f(0)·f(1)＝4×(－2)＝－8＜0，由零点的存在性定理可知f(x)肯定存在零点的区间是(0,1)．]9．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A．y＝0.9576eq\s\up12(eq\f(x,100)) B．y＝0.9576100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.9576,100)))eq\s\up12(x) D．y＝1－0.0424eq\s\up12(eq\f(x,100))A[设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t%)100,1－t%＝0.9576eq\s\up12(eq\f(1,100))，∴y＝(1－t%)x＝0.9576eq\s\up12(eq\f(x,100)).]10．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是()A．(1,2) B．(2,3)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,e))) D．(e，＋∞)B[∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－eq\f(2,3)>0，∴f(2)·f(3)<0，由函数零点判定定理可得函数的零点所在的大致区间为(2,3)．]11．设方程|x2＋3x－3|＝a的解的个数为m，则m不行能等于()A．1B．2C．3 D．4A[方程|x2＋3x－3|＝a的解的个数可化为函数y＝|x2＋3x－3|与y＝a的图象的交点的个数，作函数y＝|x2＋3x－3|与y＝a的图象如下，结合图象可知，m的可能值有2,3,4，故选A．]12．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()A．a<1 B．a>1C．a≤1 D．a≥1B[由Δ＝4－4a<0解得a>1.13．下列函数中，在区间(－1,1)内有零点且单调递增的是()x B．y＝2x－1C．y＝x2－eq\f(1,2) D．y＝－x3B[选项A、C中的函数在(－1,1)上不具有单调性，选项D中y＝－x3在(－1,1)上递减，选项B中y＝2x－1在(－1,1)上递增，且其零点为0，故选B．]14．用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是()A．9m2 B．C．7m2 D．A[设矩形的一边长为xm，则与这条边垂直的边长为eq\f(12－2x,2)m，所以矩形面积S＝x·eq\f(12－2x,2)＝－x2＋6x(0<x≤6)，当x＝3m时，S最大＝9m215．函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是()A．1 B．2C．3 D．4B[函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图象，如图，由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2.]二、填空题16．函数f(x)＝eq\f(x－1lnx,x－3)的零点是．1[令f(x)＝0，即eq\f(x－1lnx,x－3)＝0，则x－1＝0或lnx＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.]17．已知a是函数f(x)＝2－log2x的零点，则实数a的值为．4[由f(a)＝2－log2a＝0，得a＝4.18．已知函数f(x)＝ln|x|，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，x＜0，,1，x＞0，))则f(x)g(x)＝1的零点有个．2[F(x)＝f(x)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－ln|x|，x＜0，,ln|x|，x＞0))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－ln－x，x＜0，,lnx，x＞0，))作出函数F(x)的图象(略)，此函数图象与直线y＝1有两个交点，所以f(x)g(x)＝1的零点有2个．]19．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽削减eq\f(x,2)，则面积最大．此时x＝，面积S＝.1eq\f(25,2)[依据题目条件0<eq\f(x,2)<3，即0<x<6，所以S＝(4＋x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x2－2x－24)＝eq\f(25,2)－eq\f(1,2)(x－1)2(0<x<6)．故当x＝1时，S取得最大值eq\f(25,2).]三、解答题20．设函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))(x＞0)．(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值；(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．[解](1)如图所示．(2)∵f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，且eq\f(1,a)－1＝1－eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根，所以m的取值范围是(0,1)．21．已知函数f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb，－1是函数F(x)＝f(x)＋2的一个零点，且对于随意x∈