全国统考2025版高考数学大一轮复习第5章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标运算2备考试题文含解析

第五章平面对量第一讲平面对量的概念及线性运算、平面对量基本定理及坐标运算1.[2024惠州市模拟]正方形ABCD中,点E,F分别是DC,BC的中点,那么EF=()A.12ABC.12AB2.[2024山东新高考模拟]已知两个力F1=(1,2),F2=(-2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加一个力F3,则F3=()A.(1,-5) B.(-1,5)C.(5,-1) D.(-5,1)3.[2024广西模拟]已知向量a=(k,1)与b=(4,k),则“k=±2”是“a·b共线且方向相反”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.[2024哈尔滨六中模拟]如图5-1-1,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线与AB,AD所在直线分别交于点M,N,若AB=mAM,AN=nAD(m>0,n>0),则1m+n的最小值为()A.22 B.1 C.22 D.25.[2024洛阳市统考]假如向量a=(k,1)与b=(6,k+1)方向相同,那么实数k的值为.

6.[2024唐山市模拟]已知|a|=5,b=(2,1),且a∥b,则向量a的坐标是.

7.[2024南昌市三模]如图5-1-2,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若CG=λCD+μCB(λ,μ∈R),则λμ=图5-1-28.已知圆心为O,半径为1的圆上有不同的三个点A,B,C,其中OA·OB=0,存在实数λ,μ满意OC+λOA+μOB=0,则实数λ,μ的关系为()A.λ2+μ2=1 B.1λC.λμ=1 D.λ+μ=19.[角度创新]在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,F是线段DE上的点,且FC=78AB+A.FD=2EF B.EF=2FDC.FD=3EF D.EF=3FD10.[2024河北六校第一次联考]已知点O是△ABC内一点,且满意OA+2OB+mOC=0,S△AOBS△ABC=4A.-4 B.-2 C.2 D.411.[2024哈尔滨三中二模]已知△ABC中,长为2的线段AQ为BC边上的高,满意ABsinB+ACsinC=AQ,H为AC上一点且AH=12AC,则BH=A.477 B.47 C.412.[2024山东部分重点中学第一次综合测试]如图5-1-3,在△ABC中,∠BAC=π3,AD=2DB,P为CD上一点,且满意AP=mAC+12AB,若△ABC的面积为23,则|APA.2 B.3 C.3 D.4图5-1-313.[2024百校联考]如图5-1-4所示的平面直角坐标系中,网格中小正方形的边长为1,若向量a,b,c满意c=xa+yb,且(ka-b)·c=0,则x+yk图5-1-4答案第五章平面对量第一讲平面对量的概念及线性运算、平面对量基本定理及坐标运算1.C解法一因为点E是DC的中点,所以EC=12DC=12AB.因为点F是BC的中点,所以图D5-1-3解法二如图D5-1-3,连接BD,因为点E,F分别是DC,BC的中点,所以EF=12DB=12.A由题意可知F1+F2+F3=0⇒F3=-(F1+F2)=(1,-5).3.B由a=(k,1),b=(4,k),且a,b共线,得k2-4=0,解得k=±2.当k=2时,a=(2,1),b=(4,2),a,b共线且方向相同;当k=-2时,a=(-2,1),b=(4,-2)=-2(-2,1)=-2a,a,b共线且方向相反.∴“k=±2”是“a,b共线且方向相反”的必要不充分条件.故选B.4.D由题意知AO=12AB+12因为M,O,N三点共线,所以12m+1则1m+n=(12m+12n)(1m+n)=12×(1+1+mn+当且仅当m=n=1时取“=”,故选D.5.2解法一因为向量a与b方向相同,所以(k,1)=λ(6,k+1)(λ>0),所以k=6λ,1=解法二由题意知a∥b,所以k(k+1)-1×6=0,解得k=2或k=-3,但当k=-3时,a=(-3,1),b=(6,-2)=-2a,两个向量方向相反,所以k=2.6.(25,5)或(-25,-5)因为b=(2,1),所以|b|=5,又|a|=5,a∥b,所以a=5b或a=-5b,所以向量a的坐标为(25,5)或(-25,-7.12由题图可设CG=xCE(0<x<1),则CG=x(CB+BE)=x(CB+12CD)=x2CD+xCB.因为CG=λCD+μCB,CD与CB不共线,所以λ8.A解法一取特别点,取C为优弧AB的中点,此时由平面对量基本定理易得λ=μ=22,只有选项A符合.故选A解法二依题意得|OA|=|OB|=|OC|=1,-OC=λOA+μOB,两边同时平方,得1=λ2+μ2.故选A9.D解法一设FD=λED.易知ED=AD-AE=AD-12AB,则FC=FD+DC=λED+AB=λ(AD-12AB)+AB=(1解法二FD=FC+CD=解法三如图D5-1-4,取CD的中点G,连接BG,设H为BG上一点,且BH=DF,易证得AH=FC,则AH=FC=78AB+14AD.过点H作HM∥AB,交AD于点M,交DE于点Q,作HN∥AD,交AB于点N,则AH=AN+AM,所以AM=图D5-1-410.D由OA+2OB=-mOC得,13OA+23OB=-m3OC,如图D5-1-5,设-m3OC=OD,则13OA+23OB=OD,∴A图D5-1-511.D分别在AB,AC上取E,F,使得AE=AF=AQ=2,连接QE,QF,BF,如图D5-1-6所示.因为线段AQ为BC边上的高,所以ABsin∠ABC=ACsinC=AQ,所以ABsin∠ABC=AE,ACsinC=AF,所以AE+由平面对量加法的平行四边形法则可得AE∥QF,AF∥QE,所以四边形AEQF为菱形,所以AQ平分∠BAC,∠BAF=120°,所以AB=AC,Q为BC的中点,E,F分别为AB,AC的中点.所以AB=2AF=2AQ=4,又AH=12AC,所以点H为AC的中点,即点在△BAF中,BF2=AB2+AF2-2AB·AFcos∠BAF=16+4+8=28.所以BH2=28,BH=27,故选D.图D5-1-6【解后反思】由条件ABsinB+ACsinC=AQ引发的两点联想:一是由“形”联想平面对量加法的平行四边形法则;二是由“数”联想所画图形中的数量关系ABsinB=ACsinC=AQ(线段AQ为BC边上的高).二者结合,才能奇妙得解.解此类题时,要将题目中给出的信息挖掘透彻.12.B设|AB|=3a,|AC|=b,则△ABC的面积为12×3absinπ3=23,解得ab=83.由AP=mAC+12AB=mAC+34AD,且C,P,D三点共线,可知m+34=1,得m=14,故AP=14AC+34AD.以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过A作AB的垂线为y轴,建立如图D5-1-7所示的平面直角坐标系,则A(0,0),D(2a,0),B(3a,0),C(12b,32b),则AC=(12b,32b),A