第10讲简单的图案设计八年级数学下册讲义（北师大版）

第10讲简单的图案设计目标导航目标导航知识精讲知识精讲知识点利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．【知识拓展1】（2021秋•丰台区期末）下列是围绕2022年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．【即学即练1】（2021秋•海淀区期末）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得其与O点连线的夹角即可求得旋转角．【解答】解：如图，当经过一次旋转后点C旋转至点B的位置上，此时∠COB＝360°÷6＝60°，故选：B．【点评】本题考查了利用旋转设计图案，解题的关键是能够找到一对对应点确定旋转角，从而确定旋转角的度数，难度不大．【即学即练2】（2021秋•乐亭县期末）如图，（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】直接利用旋转对称图形的性质，得出对应点到旋转中心距离相等，旋转角不变进而得出答案．【解答】解：如图所示：（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是点B．故选：B．【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握旋转的性质是解题关键．【即学即练3】（2020秋•孝昌县期末）下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到的是（）A． B． C． D．【分析】根据旋转变换，平移变换的定义判断即可．【解答】解：观察图象可知，选项D中的图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到，故选：D．【点评】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是理解旋转变换，平移变换的性质．，属于中考常考题型．【即学即练4】（2021秋•海曙区校级期末）如图，3×3网格中每个小正方形的边长都是1，每个网格中有3个小正方形已经涂上阴影，请在余下的空白小方格中，按下列要求涂上阴影．（1）在①中选取1个小正方形涂上阴影，使4个小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；（2）在②中选取1个小正方形涂上阴影，使4个小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案；（2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．【解答】解：（1）如图1所示：1，2，3位置涂上阴影，此时4个小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；（2）如图2所示：1，2位置涂上阴影，此时4个小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．知识点02几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．【知识拓展2】（2021秋•晋中期末）在我们日常生活中存在很多较小的或眼睛不易辨清的物体，利用放大镜“放大”，可以使人看得更清楚．如图，利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是（）A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换【分析】根据相似图形的定义即可得到结论．【解答】解：∵利用放大镜将标尺上的数码放大，放大后的数码与标尺上的数码形状相同，∴放大后的数码与标尺上的数码是相似图形，∴这种图形变换是相似变换，故选：D．【点评】本题主要考查了几何变换的类型，熟练掌握相似图形的定义是解决问题的关键．【即学即练1】（2021秋•浦东新区期末）图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上三种都不对【分析】根据平移，旋转，翻折的性质判断解可．【解答】解：图2是由图1经过平移或旋转或翻折得到，故选：D．【点评】本题考查几何变换综合题，考查了平移变换，旋转变换，翻折变换等知识，解题的关键是理解平移变换，旋转变换，翻折变换的性质，属于中考常考题型．【即学即练2】（2021秋•介休市期中）如图是世界休闲博览会吉祥物“晶晶”．右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到的（）A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换【分析】根据相似变换的概念判断即可．【解答】解：∵右边的“晶晶”和左边的“晶晶”只有形状相同，∴两个图形相似，∴右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”通过相似变换得到的，故选：D．【点评】本题考查的是几何变换的类型，熟记各种变换的概念的解题的关键．【即学即练3】（2021春•三明期末）平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到▱ABCD（如图），下列说法错误的是（）A．将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到▱ABCD B．将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到▱ABCD C．将△AOB绕点O旋转180°可以得到▱ABCD D．将△ABC沿AC翻折可以得到▱ABCD【分析】利用平移变换，旋转变换，翻折变换的性质一一判断即可．【解答】解：A、将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到▱ABCD，正确，本选项不符合题意．B、将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到▱ABCD，正确，本选项不符合题意．C、将△AOB绕点O旋转180°可以得到▱ABCD，正确，本选项不符合题意．D、将△ABC沿AC翻折不可以得到▱ABCD，错误，本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查旋转变换，平移变换，翻折变换等知识，解题的关键是理解旋转变换，翻折变换，平移变换的性质．【即学即练4】（2020秋•齐河县期末）如图，作△ABC关于直线l对称的图形△A'B'C'，接着△A'B'C'沿着平行于直线l的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（）A．对应点连线相等 B．对应点连线互相平行 C．对应点连线垂直于直线l D．对应点连线被直线l平分【分析】直接利用轴对称图形的性质得出对应点之间的关系．【解答】解：如图所示，△A″B″C″是△ABC关于直线l的对称图形，∴直线l垂直平分CC″，∵△A′B′C′是△A″B″C″向下平移所得三角形，∴CC″∥直线l，则PQ是△CC′C″的中位线，∴直线l平分CC′，同理直线l是另外两组对应点的平分线，即两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点连线被对称轴平分．故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确把握对应点之间关系是解题关键．【即学即练5】（2021•抚顺模拟）如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】根据矩形长为10宽为5，可得矩形的对角线长为：＝＝5，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于5，进而可得正方形边长的最小整数n的值．【解答】解：∵矩形长为10宽为5，∴矩形的对角线长为：＝＝5，∵矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，∴该正方形的边长不小于5，∵11＜5＜12，∴该正方形边长的最小正数n为12．故选：C．【点评】本题考查了几何变换的类型，解决本题的关键是掌握旋转的性质．能力拓展能力拓展模块一、简单的图案设计例题1．（2021·吉林长春市·八年级期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请在图①、图②中各画一个三角形，同时满足以下两个条件：以点为一个顶点，另外两顶点均在格点上；所作三角形与全等（除外）．【分析】（1）直接利用网格结合全等三角形的判定方法得出答案；（2）直接利用网格结合全等三角形的判定方法得出答案；【详解】（1）如图所示：三角形ADE即为所求；（2）如图所示：即为所求；【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和网格作图，准确分析作图是解题的关键．【变式1】（2020·湖南益阳市·八年级期末）阅读与探究我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．请结合上述阅读材料，解决下列问题：在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是________(任写一种即可)；图1、图2均为的正方形网格，点均在格点上，请在图中标出格点，连接，使得四边形符合下列要求：图1中的四边形是勾股四边形，并且是轴对称图形；图2中的四边形是勾股四边形且对角线相等，但不是轴对称图形．【答案】（1）矩形，正方形(任写一种即可)；（2）详见解析【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案；（2）根据要求分别得出符合题意的图形．【详解】（1）矩形，正方形（任写一种即可）；（2）【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确把握定义是解题关键．【变式2】（2020·江西赣州市·八年级期末）在5×7的方格纸上，任意选出5个小方块涂上颜色，使整个图形（包括着色的“对称”）有：①1条对称轴；②2条对称轴；③4条对称轴．【分析】①直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；②直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；③直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【详解】①如图1所示：②如图2所示：③如图3所示：模块二、几何变换综合题例题7．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC＝EF，点E在AC边上．（1）如图1，连接BE，若AE＝3，BE＝，求FC的长度；（2）如图2，将△CEF绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF分别与直线AC，BC交于点M，N，当△CMN是等腰三角形时，求旋转角α的度数；（3）如图3，将△CEF绕点C顺时针旋转，使得点B，E，F在同一条直线上，点P为BF的中点，连接AE，猜想AE，CF和BP之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）；（2）22.5°或45°或112.5°；（3）CF＋AE＝BP，见解析【分析】（1）利用勾股定理求出AB＝AC＝7，求出EC＝EF＝4即可解决问题；（2）分三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可；（3）结论：CF＋AE＝BP．如图3中，过点A作AD⊥AE，利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）如图1中，在Rt△ABE中，AB＝，∴AC＝AB＝7，∴EF＝EC＝AC﹣AE＝7﹣3＝4，∵∠CEF＝90°，EC＝EF＝3，∴CF＝；（2）①如图2﹣1中，当CM＝CN时，α＝∠MCE＝∠ECN＝∠ACB＝22.5°．如图2﹣2中，当NM＝NC时，α＝∠MCN＝45°．如图2﹣3中，当CN＝CM时，∠NCE＝∠BCM＝67.5°，α＝∠ACE＝45°＋67.5°＝112.5°．综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°．（3）结论：CF＋AE＝BP．理由：如图3中，过点A作AD⊥AE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∴∠ABP＝∠ACE，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝EC＝EF，AD＝AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE，∵P是BF的中点，∴BP＝BF，∵BP＝BF＝（2EF＋DE），CF＝EF，DE＝AE，∴BP＝（CF＋AE），∴CF＋AE＝BP．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【变式1】（2021·山东济南市·八年级期末）如图网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、．

（1）点关于点中心对称点的坐标为（_______，_______）；（2）绕点顺时针旋转后得到，在方格纸中画出，并写出点的坐标（______，_______）；（3）在轴上找一点，使得最小，请在图中标出点的位置，并求出这个最小值．【答案】（1）3，2；（2）作图见解析；3，1；（3）点P的位置见解析；．【分析】（1）由与点关于点中心对称点的特征是横纵坐标符号改变点，,，可得点关于点中心对称点的坐标为(3,2)；（2）把点A、B顺时针旋转90°对应点分别为A1、B1，连结OA1、OB1、A1B1，则为所求如图，由点B1到y轴距离=点B到x轴的距离，点B1到x轴距离=点B到y轴的距离，由，点B1在第四象限，可得点B1坐标为（3，1）；（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，由．可求，由PB=PB′可知=PA+PB′≤AB′，当点A、P、B′在同一直线时最短由勾股定理．【详解】解：（1）∵与点关于点中心对称点的特征是横纵坐标符号改变，∵点，∴点关于点中心对称点的坐标为(3,2)，故答案为:3，2；（2）把点A、B顺时针旋转90°对应点分别为A1、B1，连结OA1、OB1、A1B1，则为所求如图，点B1到y轴距离=点B到x轴的距离，点B1到x轴距离=点B到y轴的距离，∵，点B1在第四象限，∴点B1坐标为（3，1）；（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，的坐标是．则，PB=PB′，=PA+PB′≤AB′，当点A、P、B′在同一直线时最短，∵，，∴．

【点睛】本题考查中心对称，三角形旋转，轴对称以及两点之间线段最短，掌握中心对称，三角形旋转，轴对称以及两点之间线段最短，关键是利用轴对称作点B关于y轴对称，两B′P。点P、A、B′三点共线，时距离最短，用勾股定理求两点间的距离．【变式2】．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，已知直线y＝kx＋2与直线y＝3x交于点A（1，m），与y轴交于点B．（1）求k和m的值；（2）求△AOB的周长；（3）设直线y＝n与直线y＝kx＋2，y＝3x及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，求出n的值．【答案】（1）m=3，k=1；（2）C△AOB=2++；（3）n的值为或或6．【分析】（1）由直线y＝3x交于点A（1，m），可得m=3，A(1，3)，由直线y＝kx＋2与直线y＝3x交于点A（1，3），代入得3=k+2，解得k=1；（2）求出直线y＝x＋2与y轴交于点B（0，2）利用勾股定理两点距离公式AB，OA，OB，可求周长C△AOB=2++；（3）先求出直线y＝n与直线y＝x＋2，y＝3x及y轴有三个不同的交点，E（n2，n）,D（，n），C（0，n），其中两点关于第三点对称，共有三种情况，①E（n2，n）,D（，n），关于C（0，n）对称；②E（n2，n）,C（0，n），关于D（，n）对称；③D（，n），C（0，n）,关于E（n2，n）对称,列出两点距离等式，即可求出n的值．【详解】解：（1）直线y＝3x交于点A（1，m），∴m=3，A(1，3)直线y＝kx＋2与直线y＝3x交于点A（1，3），∴3=k+2，∴k=1；（2）直线y＝x＋2与y轴交于点B．则x=0，y=2，B（0，2），AB=，OA=，C△AOB=2++；（3）直线y＝n与直线y＝x＋2，y＝3x及y轴有三个不同的交点，E（n2，n）,D（，n），C（0，n），其中两点关于第三点对称，共有三种情况，①E（n2，n）,D（，n），关于C（0，n）对称，则n2+=0，，②E（n2，n）,C（0，n），关于D（，n）对称，则=，=，=或=，n=6或n=2舍去，③D（，n），C（0，n）,关于E（n2，n）对称,，则，，或，或n=0(舍去)，综合以上三种情况n的值为或或6．【点睛】本题考查待定系数法求点坐标与解析式，勾股定理两点距离公式，中心对称的性质，掌握待定系数法求点坐标与解析式，勾股定理两点距离公式，中心对称的性质，会利用分类思想解决中心对称是关键．分层提分分层提分题组A基础过关练一．选择题（共8小题）1．（2020秋•河西区期末）下列图案中，可以看作是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：可以看作是中心对称图形的是第三个图案，故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（2021春•商河县校级期末）如图，正方形ABCD与正方形EFGH边长相等，下列说法正确的个数有（）①这个图案可以看成正方形ABCD绕点O旋转45°前后图形共同组成的；②这个图案可以看成是△ABC绕点O分别旋转45°，90°，135°，180°，225°得到的；③这个图案可以看成是△BOC绕点O分别旋转45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°得到的．A．1个 B．2个 C．3个 D．以上都不对【分析】直接利用旋转的性质结合正方形的性质得出各内角度数，进而判断得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD与正方形EFGH边长相等，∴对角线AC，BD，FG，FH都平分对角，∴∠OAB＝∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝45°，故①这个图案可以看成正方形ABCD绕点O旋转45°前后图形共同组成的，正确；②这个图案可以看成是△ABC绕点O分别旋转45°，90°，135°，180°，225°得到的，正确；③这个图案可以看成是△BOC绕点O分别旋转45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°得到的，正确．故选：C．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及利用旋转设计图案，正确利用正方形的性质分析是解题关键．3．（2020秋•遂宁期末）如图，在9×6的方格纸中，小树从位置A经过平移旋转后到达位置B，下列说法中正确的是（）A．先向右平移6格，再绕点B顺时针旋转45° B．先向右平移6格，再绕点B逆时针旋转45° C．先向右平移6格，再绕点B顺时针旋转90° D．先向右平移6格，再绕点B逆时针旋转90°【分析】先判断出∠1的度数，再进行解答即可．【解答】解：∵小树经过正方形BCDE的顶点B、D，∴∠1＝45°，∴小树从位置A经过旋转平移后到位置B时应绕B点逆时针旋转45°，再向右平移6格．故选：B．【点评】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转变换及平移变换的性质是解答此题的关键．4．（2020春•武侯区期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（）A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q【分析】画出中心对称图形即可判断【解答】解：观察图象可知，点P．点N满足条件．故选：C．【点评】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（2020•长兴县模拟）下面各图形中，不能通过所给图形旋转得到的是（）A． B． C． D．【分析】分别利用旋转的性质分析得出答案．【解答】解：如图，将这个图形逆时针旋转90°可得到图形A；将这个图形顺时针旋转90°可得到图形B；将这个图形旋转180°可得到图形C；不论怎么旋转，都不可能得到图形D，故选：D．【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握旋转角度是解题关键．6．（2021春•薛城区期末）在方格中，在标有序号①②③④的小正方形中选一个涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：将②涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，故选：B．【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．7．（2021•饶平县校级模拟）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．【解答】解：A、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．8．（2020秋•齐河县期末）如图，作△ABC关于直线l对称的图形△A'B'C'，接着△A'B'C'沿着平行于直线l的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（）A．对应点连线相等 B．对应点连线互相平行 C．对应点连线垂直于直线l D．对应点连线被直线l平分【分析】直接利用轴对称图形的性质得出对应点之间的关系．【解答】解：如图所示，△A″B″C″是△ABC关于直线l的对称图形，∴直线l垂直平分CC″，∵△A′B′C′是△A″B″C″向下平移所得三角形，∴CC″∥直线l，则PQ是△CC′C″的中位线，∴直线l平分CC′，同理直线l是另外两组对应点的平分线，即两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点连线被对称轴平分．故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确把握对应点之间关系是解题关键．二．填空题（共1小题）9．（2021春•东坡区校级期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，并且△ABC≌△DEF，那么这两个全等三角形属于全等变换中的轴对称变换．【分析】观察图形，根据轴对称变换解答．【解答】解：由图可知，这两个全等三角形属于全等变换中轴对称变换．故答案为：轴对称变换．【点评】本题考查了几何变换的类型，熟记常见的几何变换并准确识图是解题的关键．三．解答题（共6小题）10．（2020秋•东城区校级期中）按照要求画图：（1）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点为A1，B1，C1.画出旋转后的△A1B1C1．（2）下面是3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．【分析】（1）根据旋转的性质，找出点A、B、C的对应点即可；（2）根据中心对称图形的性质进行画图即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：【点评】本题是作图﹣旋转变换，主要考查了旋转的性质，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换作图，属于中考常见题型．11．（2021•钦州模拟）如图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已经涂上阴影．（1）请在图1余下的空白小等边三角形中，选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；（2）请在图2余下的空白小等边三角形中，选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（只需画出符合条件的一种情形）【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质进而得出一个符合题意的图形；（2）直接利用中心对称图形的性质进而得出一个符合题意的图形．【解答】解：（1）如图1所示：4个阴影小等边三角形组成了一个轴对称图形；（2）如图2所示：4个阴影小等边三角形组成了一个轴对称图形．【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义是解题关键．12．（2021秋•招远市期中）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，涂黑其中三个方格，使剩下的部分成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为涂黑部分）．请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，并且画上对称轴）．【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的图形．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及利用旋转设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．13．（2021春•任丘市期末）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出各点的坐标：A（1，3），B（2，0），C（3，1）．（2）△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移变换得到的？答：先向左平移4个单位，再向下平移2个单位．（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A′B′C′内部的对应点P'的坐标为（x﹣4，y﹣2）．（4）求△ABC的面积．【分析】（1）利用坐标的表示方法写出点A、B、C的坐标；（2）利用A点和A′点的坐标特征确定平移的方向与距离；（3）根据（2）中的平移规律求解；（4）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．【解答】解：（1）A（1，3）；B（2，0）；C（3，1）；故答案为（1，3）；（2，0）；（3，1）；（2）把△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′；故答案为先向左平移4个单位，再向下平移2个单位；（3）点P的对应点P′的坐标为（x﹣4，y﹣2）；故答案为（x﹣4，y﹣2）；（4）△ABC的面积＝2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2＝6﹣1.5﹣0.5﹣2＝2．【点评】本题考查了几何变换的类型，掌握平移变换的坐标特征是解决问题的关键．也考查了三角形面积公式和坐标与图形性质．14．（2021•宁波模拟）图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案；（2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．【解答】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形．（2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形．【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．15．（2021•慈溪市模拟）图1，图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上，请在该4×4的网格中，分别按下列要求画一个与△ABC有公共边的三角形：（1）使得所画出的三角形和△ABC组成一个轴对称图形．（2）使得所画出的三角形和△ABC组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；（2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△ADC即为所求（答案不唯一）；（2）如图所示：△BEC即为所求（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及轴对称变换，正确掌握相关定义是解题关键．题组B能力提升练一．选择题（共2小题）1．（2020秋•南宁期末）拼图是一种广受欢迎的智力游戏．下列拼图组件是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查利用旋转设计图案，中心对称图形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2021•邢台模拟）如图是4×4的网格图．将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．【解答】解：如图，观察图象可知，把③涂灰，所有的灰色图形构成中心对称图形．故选：C．【点评】本题考查中心对称图形的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二．填空题（共4小题）3．（2021春•邵阳县期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）．以点O为旋转中心，将三角形ABC绕点O逆时针旋转90°得到三角形A1B1C1；将三角形ABC向左平移5个单位得到三角形A2B2C2．这样，三角形A2B2C2可以看做由三角形A1B1C1先以点O为旋转中心，绕点O顺时针旋转90°，然后向左平移5个单位得到的．除此以外，三角形A2B2C2还可以由三角形A1B1C1怎样变换得到呢？请你选择一种方法，写出变换过程是三角形A2B2C2可以看做由三角形A1B1C1先向左平移5个单位得到的，再以点O′为旋转中心，绕点O顺时针旋转90°得到．【分析】先向左平移5个单位，再以点O′为旋转中心，绕点O顺时针旋转90°得到．【解答】解：如图，观察图形可知，三角形A2B2C2可以看做由三角形A1B1C1先向左平移5个单位，再以点O′为旋转中心，绕点O顺时针旋转90°得到．故答案为：三角形A2B2C2可以看做由三角形A1B1C1先向左平移5个单位得到的，再以点O′为旋转中心，绕点O顺时针旋转90°得到．【点评】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的性质，正确作出图形．4．（2021春•铁岭月考）在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是③．【分析】根据中心对称图形的性质判断即可．【解答】解：选择标有序号③的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，故答案为③．【点评】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是利用中心对称图形的性质，属于中考常考题型．5．（2021•成都模拟）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k；再将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，θ为旋转角．如图，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°）得到△ADE，则BD长2cm．【分析】已知2中△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．【解答】解：△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE以及AD＝cm，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理得到：BD＝＝2（cm）．故答案为：2．【点评】本题主要考查了几何变换综合题．解答该题的关键是弄清楚O（k，θ）所表达的含义，其中点0叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．6．（2021春•湖北月考）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1，P2，P3，P4，…Pn．若点P1的坐标为（2，0），则点P2021的坐标为（2，0）．【分析】利用点P（x，y）的终结点的定义分别写出点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（﹣3，3），点P4的坐标为（﹣2，﹣1），点P5的坐标为（2，0），…，从而得到每4次变换一个循环，然后利用2021＝4×505+1可判断点P2021的坐标与点P1的坐标相同．【解答】解：根据题意得点P1的坐标为（2，0），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（﹣3，3），点P4的坐标为（﹣2，﹣1），点P5的坐标为（2，0），…，而2021＝4×505+1，所以点P2021的坐标与点P1的坐标相同，为（2，0）．故答案为：（2，0）．【点评】本题考查了几何变换：四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．掌握在直角坐标系中各种变换的对应的坐标变化规律．三．解答题（共6小题）7．（2020秋•福山区期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案．解答下列问题：（1）图①中的三个图案面积都是4，且都具有一个共同特征：都是中心对称图形；（2）请在图②中设计出一个面积与图①阴影部分面积相同，且具备上述共同特征的图案，要求所画图案不能与图①中所给出的图案相同．【分析】（1）利用网格特征以及中心对称图形的性质解决问题即可；（2）根据要求作出图形即可．【解答】解：（1）图①中的三个图案面积都是4，且都具有一个共同特征：都是中心对称图形；故答案为：4；中心；（2）如图所示，答案不唯一．（或面积是4的平行四边形、正方形等）【点评】本题考查作图设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考常考题型．8．（2021春•杏花岭区校级期中）阅读下面材料，并解决相应的问题：在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C；（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：连接AC，BC，AD，BD．由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．∴直线就是线段的垂直平分线（依据2：线段的垂直平分线的判定）．（1）请你将小明证明的依据写在横线上；（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定和性质判断即可．（2）作点C，D关于AB的对称点C′，D′，连接AC′，BC′，AD′，BD′即可．【解答】解：（1）连接AC，CB，AD，DB．由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．∴点C，点D在线段的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．∴直线就是线段的垂直平分线（线段的垂直平分线的判定）．故答案为：线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线的判定．（2）如图所示：【点评】本题考查利用旋转设计图案，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．（2021春•贺兰县期中）如图1，把△ABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△ECD；如图2，以BC为轴，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以得到△AED．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：（1）在图4中，可以使△ABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到△ADF？（2）图中线段BE与DF相等吗？为什么？【分析】（1）根据旋转变换的定义判断即可．（2）根据旋转变换的性质解决问题即可【解答】解：（1）△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF．这里是旋转变换．（2）BE＝DF．理由：因为△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△ADF，根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小，所以BE＝DF．【点评】本题考查旋转变换，平移变换，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．（2020秋•西城区期末）如图所示的三种拼块A，B，C，每个拼块都是由一些大小相同、面积为1个单位的小正方形组成，如编号为A的拼块的面积为3个单位．现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻转．（1）若用1个A种拼块，2个B种拼块，4个C种拼块，则拼出的正方形的面积为25个单位．（2）在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个A种拼块和1个B种拼块，请分别用不同的拼法将图1和图2中的正方形拼图补充完整．要求：所用的A，B，C三种拼块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．【分析】（1）求出各个图形的面积和即可．（2）分别用3个A，2GB，1个C或4个A，1个吧，1个C，拼面积为25的正方形即可．【解答】解：（1）1个A种拼块，2个B种拼块，4个C种拼块，面积＝3+6+16＝25，故答案为：25．（2）图形如图所示：【点评】本题考查利用旋转，平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（2020秋•浦东新区期末）如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题．（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形（填“轴”或“中心”）．（2）请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．【分析】（1）利用中心对称图形的意义得出答案即可；（2）①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠，是轴对称图形；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形画出图．【解答】解：（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形．故答案为：中心；（2）如图2是轴对称图形而不是中心对称图形；图3既是轴对称图形，又是中心对称图形．【点评】本题考查利用旋转或者轴对称设计方案，关键是理解旋转和轴对称的概念，按照要求作出图形即可．12．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中，如图所示A（﹣2，1），B（﹣4，1），C（﹣1，4）．（1）△ABC向上平移一个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，那么C的对应点C1的坐标为（﹣2，5）；P点到△ABC三个顶点的距离相等，点P的坐标为（﹣3，3）；（2）△ABC关于第一象限角平分线所在的直线作轴对称变换得到△A2B2C2，那么点B的对应点B2的坐标为（1，﹣4）；（3）△A3B3C3是△ABC绕坐标平面内的Q点顺时针旋转得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，﹣1），点Q的坐标为（﹣1，﹣1）．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．（3）分别作出A，B，C对应点A3，B3，C3即可，作出对应点连线段的垂直平分线的交点Q即可解决问题．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，那么C的对应点C1的坐标为（﹣2，5）P，点P的坐标为（﹣3，3）．故答案为（﹣2，5），（﹣3，3）．（2）△A2B2C2如图所示，那么点B的对应点B2的坐标为（1，﹣4）．故答案为（1，﹣4）．（3）△A3B3C3即为所求，Q（﹣1，﹣1），故答案为（﹣1，1）．【点评】本题考查作图﹣平移变换，轴对称变换，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．题组C培优拔尖练一．填空题（共1小题）1．（2020秋•温州月考）某艺术馆一扇窗户（矩形ABCD）上的窗花设计如图所示，已知AC，BD是矩形ABCD的对角线，EF，GH，IJ，KL将矩形ABCD分割成8块全等的小矩形，EF与KL相交于点N，M是KN上一点，MN＝2KM，ME与AC相交于点P，这8块小矩形图案均可以由其中的一块经过一次或两次变换得到．设矩形ABCD的面积为S，则阴影部分的面积之和为S．（用含S的代数式表示）【分析】如图，设AC交BD于点O，AO交EN于点K，连接PN．证明S△AEP+S△PKM＝3m+＝＝S四边形AKNE，可得结论．【解答】解：如图，设AC交BD于点O，AO交EN于点K，连接PN．∵MN＝2KM，∴可以假设KM＝m，MN＝2m，则KN＝AE＝ON＝3m，OM＝5m，∵AE∥OM，∴＝＝＝＝，∴AK＝OK，EK＝KN，∴AP：PK＝3：1，设S△PEK＝S△PKN＝a，则S△AEP＝3m，S△PMN＝，S△PKM＝，∵S△EMN＝S四边形AKNE，∴2m+＝S四边形AKNE，∴m＝S四边形AKNE，∴S△AEP+S△PKM＝3m+＝＝S四边形AKNE，∵这8块小矩形图案均可以由其中的一块经过一次或两次变换得到，∴S阴＝S四边形ABCD＝S．故答案为：S．【点评】本题考查几何变换的类型，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．二．解答题（共6小题）2．（2021春•商水县期末）阅读下面材料：如图（1），把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△DEC的位置；如图（2），以BC为轴，把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3），以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：①在图（4）中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法怎样变化，使△ABE变到△ADF的位置；②指图中线段BE与DF之间的关系，为什么？【分析】①AB和AD是对应线段，那么应绕点A逆时针旋转90°得到；②关系应包括位置关系和数量关系．旋转前后的三角形是全等的，∴BE＝DF，延长BE交DF于点G，利用对应角相等，可得到垂直．【解答】解：①在图4中可以通过旋转90°使△ABE变到△ADF的位置．（3分）②由全等变换的定义可知，通过旋转90°，△ABE变到△ADF的位置，只改变位置，不改变形状大小，∴△ABE≌△ADF．∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF．∵∠ADF+∠F＝90°，∴∠ABE+∠F＝90°，∴BE⊥DF．（9分）【点评】旋转前后的三角形全等；所求关系应包括位置关系和数量关系．3．（2020春•临邑县期末）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图．（1）分别写出△A′B′C′各点的坐标：A′（﹣3，1）；B′（﹣2，﹣2）C′（﹣1，﹣1）；（2）若点P（a，b）是△A′B′C′内部一点，则其图形变换后的对应点P′的坐标为（a﹣4，b﹣2）；（3）说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的图形变换得到的？△ABC向左平移4个单位向下平移2个单位得到△A′B′C′；（4）△ABC的面