第二十二章四边形单元测试-2020-2021学年八年级数学第二学期同步课堂帮帮帮(沪教版)(原卷版+解析)

第二十二章四边形单元测试一、单选题1．如图，点、在线段上，，那么下列结论中，正确的是（）A．与是相等向量 B．与是平行向量C．与是相反向量 D．与是相等向量2．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于（）A．360° B．1080° C．1260° D．1440°3．下列关于判定平行四边形的说法错误的是（）A．一组对角相等且一组对边平行的四边形B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形C．两组对角分别相等的四边形D．四条边相等的四边形4．如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则▱ABCD的对角线AC的长为（）A． B．5 C．5 D．25．如图，在平行四边形ABCD中，E在AC上，，F在AD上，，如果的面积为2，则平行四边形ABCD的面积为（）A．4 B．8 C．9 D．106．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝120°，AB＝4，AD＝2，点O为对称中心，点M从点A出发沿AB向点B运动，到点B停止运动，连接MO并延长交CD于点N，则四边形AMCN形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形C．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形→平行四边形7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若，，则菱形ABCD的周长为（）A． B．16 C． D．328．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（）A．AC=BD B．∠OBC=∠OCBC．S△AOB=S△DOC D．∠BCD=∠BDC9．如图．正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，H是AF的中点，CH＝3，那么CE的长是（）A．3 B．4 C． D．10．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若，，则（）A． B．2 C． D．二、填空题11．在△ABC中，＝_____．12．如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正_____边形．13．如图，平行四边形中，、相交于点，若，则的周长为________．14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量＝，＝，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为_____．15．如图所示，中，的平分线交边于点，而平分，若，则__________，__________．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AM⊥CD于点M，已知AC＝6，BD＝8，则AM＝_____．17．如图，在正方形ABCD中，对角线为AC，在BC延长线上取一点F，有AC＝CF，AF与DC相交于点E，AB＝4，则CF＝_____，∠AEC＝_____．18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝_____．19．正方形的顶点在直线上，过点和分别作直线于，作直线于，再分别以，为边构造正方形，这三个正方的面积如图所示分别为，，，如果，，则_______．20．如图，长方形纸片ABCD中，AD=7，CD=4，将长方形纸片折叠，使点B落在AD上的点E处，折痕为AF，再沿DF折叠，使点C落在点G处，连接CG，交DF于点I．则线段CG的长度为____．在折痕DF上有一动点P，连接PC，过点P作PH⊥DC交DC于H．则PC+PH的最小值为____．三、解答题21．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一角的度数．22．已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，．（1）填空：________；________；________；（用，的式子表示）（2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可）23．如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且．求证：（1）；（2）．24．已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，，DN∥CM，交边AC于点N．（1）求证：MN∥BC；（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想．25．如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF；（1）求证：；（2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由．26．如图，已知正方形的边长为3，菱形的三个顶点E、G、H分别在正方形的边、、上，，连接．（1）当时，求证：菱形为正方形；（2）设，请用x的代数式表示的面积；（3）当时，求的度数．27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；（3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积．28．如图1所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，其中点、．（1）求C点的坐标；（2）如图2，E是AD上一点，且AE＝，P是AC上一动点，求的最小值；（3）如图3，动点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度，沿折线在菱形的两边上匀速运动，设运动时间为秒．若点Q到BD的距离是，则＝．第二十二章四边形单元测试一、单选题1．如图，点、在线段上，，那么下列结论中，正确的是（）A．与是相等向量 B．与是平行向量C．与是相反向量 D．与是相等向量【答案】B【解析】由AC=BD，可得AD=BD，即可得与是平行向量，，继而证得结论．A、∵AC=BD，∴，该选项错误；B、∵点C、D是线段AB上的两个点，∴与是平行向量，该选项正确；C、∵AC=BC，

∴AD≠BD，∴与不是相反向量，该选项错误；D、∵AC=BD，

∴AD=BC，∴，该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．2．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于（）A．360° B．1080° C．1260° D．1440°【答案】D【解析】根据外角和以及每一个外角确定出多边形的边数，即可求出内角和．解：根据题意得：360°÷36°=10，（10-2）×180°=1440°，则该多边形的内角和等于1440°，故选：D．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．3．下列关于判定平行四边形的说法错误的是（）A．一组对角相等且一组对边平行的四边形B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形C．两组对角分别相等的四边形D．四条边相等的四边形【答案】B【解析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论．A.一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；B.一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故本选项符合题意；C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；D.四条边相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，属于基础题型．4．如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则▱ABCD的对角线AC的长为（）A． B．5 C．5 D．2【答案】A【解析】过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，根据菱形的性质可知BC＝BD＝AD＝3，由∠BAD＝45°可知∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，依据勾股定理，在Rt△ABD中，AB＝AD＝，由∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°得出FC＝FB＝，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可求出AC＝．解：如图所示，过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，∵在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∴BC＝BD＝AD＝3，又∵∠BAD＝45°，∴∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，∴Rt△ABD中，AB＝AD＝，∵∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°，∴∠BCF＝45°，∴FC＝FB＝，∴Rt△ACF中，，故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．5．如图，在平行四边形ABCD中，E在AC上，，F在AD上，，如果的面积为2，则平行四边形ABCD的面积为（）A．4 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】由线段之间的关系分别得出几个小三角形的面积关系，进而可得出平行四边形的面积．解：，，．的面积，又，，的面积的面积，平行四边形的面积的面积．故选：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的面积关系；熟练掌握平行四边形的性质，弄清几个小三角形的面积关系是解决问题的关键．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝120°，AB＝4，AD＝2，点O为对称中心，点M从点A出发沿AB向点B运动，到点B停止运动，连接MO并延长交CD于点N，则四边形AMCN形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形C．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形→平行四边形【答案】B【解析】根据OM与OA的位置关系，数量关系，两个方面去判断如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AM∥NC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，∴△MAO≌△NCO，∴MO=NO，∴四边形ANCM是平行四边形，当∠AOM=90°时，四边形ANCM是菱形，当∠AOM＞90°，且OA≠OM时，四边形ANCM是平行四边形，当∠AOM＞90°，且OA=OM时，四边形ANCM是矩形，当∠AOM＞90°，且OA≠OM时，四边形ANCM是平行四边形，∴选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握对角线与四边形的形状之间的关系是解题的关键．7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若，，则菱形ABCD的周长为（）A． B．16 C． D．32【答案】C【解析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，即可计算出菱形ABCD的周长．解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，∴AC＝2EF＝，∵四边形ABCD是菱形，，∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝4，∴AB＝＝，∴菱形ABCD的周长为：＝．故选：C．【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（）A．AC=BD B．∠OBC=∠OCBC．S△AOB=S△DOC D．∠BCD=∠BDC【答案】D∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴AB=CD，AC=BD，故A正确；∵∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠OBC=∠OCB，故B正确；∴∠ABO=∠DCO，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴S△AOB=S△DOC，故C正确．利用排除法，即可得D错误．故选D．9．如图．正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，H是AF的中点，CH＝3，那么CE的长是（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【解析】连接AC、CF，如图，设CE的长为x，根据正方形的性质得∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝，CF＝x，则∠ACF＝90°，再利用勾股定理计算出AF＝，然后根据直角三角形斜边上的中线得到方程即可求解．解：连接AC、CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，设CE的长为x∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝BC＝，CF＝CE＝x，∴∠ACF＝45°＋45°＝90°，在Rt△ACF中，AF＝，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝3．∴=6，解得x=，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．10．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若，，则（）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】延长GE交AB于点R，连接AE，设AG交DE于点M，过点E作EN⊥AG于N，先计算出RG=6，∠ARG=，AR=2，根据勾股定理求出，得到HG=，利用，求出，即可利用勾股定理求出NG、EH．如图，延长GE交AB于点R，连接AE，设AG交DE于点M，过点E作EN⊥AG于N，∵矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，∴RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG=，AR=AR-CE=4-2=2，∴，∵H是AG中点，∴HG=，∵，∴，∴，在Rt△ENG中，，∴，∴，故选：A．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键．二、填空题11．在△ABC中，＝_____．【答案】．【解析】由在△ABC中，根据三角形法则即可求得+的值，则可求得答案．∵．故答案为：．【点睛】本题考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．12．如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正_____边形．【答案】二十【解析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．解：∵正多边形的一个内角是162°，∴它的外角是：180°﹣162°=18°，边数n＝360°÷18°=20．故答案为：二十．【点睛】本题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出边数．13．如图，平行四边形中，、相交于点，若，则的周长为________．【答案】14【解析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD，∵AC＋BD＝16，∴OB＋OC＝8，∴△BOC的周长＝BC＋OB＋OC＝6＋8＝14．故答案是：14．【点睛】本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，属于中考常考题型．14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量＝，＝，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为_____．【答案】+【解析】如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE．证明四边形ABEC是平行四边形，利用三角形法则求出即可解决问题．解：如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE．∵AD＝DE，BD＝CD，∴四边形ABEC是平行四边形，∴，∵，∴．故答案为：+．【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．15．如图所示，中，的平分线交边于点，而平分，若，则__________，__________．【答案】60°120°．【解析】设根据AM是平分线可得到，由的性质，可用含x的代数式表示出和，进而利用DM平分，又可表示出的大小，这样在中，根据三角形的内角和定理构成一个以x为未知数的一元一次方程，解之即可求出x的值，可得的度数，最后利用平行四边形的性质易求出的大小．设，∵AM平分，∴，在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，即，又∵，∴，故答案为：（1）；（2）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形的内角的定理，在解题中理清角与角之间的关系，利用三角形的内角和定理构建方程是解题的关键．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AM⊥CD于点M，已知AC＝6，BD＝8，则AM＝_____．【答案】【解析】根据菱形的性质，菱形ABCD的面积等于对角线之积除以2，还可用计算，然后利用勾股定理计算出CD的长度即可计算AM．解：∵四边形是ABCD菱形，∴AC⊥BD，，，，∴△DOC是直角三角形，∴，∵AM⊥CD，∴,∴．故答案为：【点睛】本题主要考查等面积法的应用，结合菱形性质和勾股定理计算相关边长是解题的关键．17．如图，在正方形ABCD中，对角线为AC，在BC延长线上取一点F，有AC＝CF，AF与DC相交于点E，AB＝4，则CF＝_____，∠AEC＝_____．【答案】112.5°【解析】由四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质可得AB=BC=4，∠B=90°，再由由勾股定理求得AC=，由CF=AC即可得CF=；根据正方形的性质可得∠BCD=∠D=90°，即可得∠ACB=45°，∠DCF=90°；根据等腰三角形的性质可得∠F=∠CAF，由三角形外角的性质可得∠F+∠CAF=∠ACB=45°，即可求得∠F=22.5°，再由三角形外角的性质即可求得∠AEC=112.5°．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠B=90°，由勾股定理得：AC=，∵CF=AC，∴CF=．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠D=90°，∴∠ACB=∠DCB=×90°=45°，∠DCF=90°，∵AC=CF，∴∠F=∠CAF，∵∠F+∠CAF=∠ACB=45°，∴∠F=×45°=22.5°，∴∠AEC=∠F+∠DCF=22.5°+90°=112.5°．故答案为：，112.5°．【点睛】本题考查了正方形性质、三角形的外角性质及勾股定理的应用，主要考查学生灵活运用正方形性质进行推理和计算的能力，难度不大．18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝_____．【答案】【解析】先根据菱形的性质求出AB，再求出菱形面积，即可求出DH的值．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝5，∵S菱形ABCD＝•AC•BD，S菱形ABCD＝DH•AB，∴DH•5＝×6×8，∴DH＝．故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和面积的两种表示方式是解题关键．19．正方形的顶点在直线上，过点和分别作直线于，作直线于，再分别以，为边构造正方形，这三个正方的面积如图所示分别为，，，如果，，则_______．【答案】10【解析】由题意利用“ASA”易证，即EC=DF．再根据，，即可求出BE和EC的长．最后利用勾股定理即可求出BC长，即能求出．根据题意可知，，．∴，．在和中，∴，∴EC=DF．∵，，∴BE=1，DF=3．∴EC=3．在中，∴．故答案为：10．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角以及勾股定理．掌握正方形的性质是解答本题的关键．20．如图，长方形纸片ABCD中，AD=7，CD=4，将长方形纸片折叠，使点B落在AD上的点E处，折痕为AF，再沿DF折叠，使点C落在点G处，连接CG，交DF于点I．则线段CG的长度为____．在折痕DF上有一动点P，连接PC，过点P作PH⊥DC交DC于H．则PC+PH的最小值为____．【答案】【解析】由勾股定理可求DF的长，由折叠的性质和面积法可求GC的长、由线段垂直平分线的性质可求GP=PC，当点G、P、H三点共线且时，由PC+PH的最小值，由面积法即可得解．解：∵将长方形纸片折叠，使点B落在AD上的点E处，∴，∴，∴，∴DF5．∵沿DF折叠，使点C落在点G处，∴，∴DF垂直平分GC，∴，∴S△CDFDF×CIDC×CF，∴CI，∴CG，如图，连接GP，GH，∵DI，∴S△DGCGC×DI．∵DF垂直平分GC，∴GP=PC，∴PH+PC=GP+PH，∴当点G，点P，点H三点共线，且时，PH+PC有最小值为GH，此时GH．故答案为：，．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、最短路径问题、勾股定理；灵活运用这些性质解决问题时本题的关键．三、解答题21．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一角的度数．【答案】140°．【解析】设这个多边形的每一个内角为x°，它的外角为，列方程即可．解：设这个多边形的每一个内角为x°，由题意，得：180﹣x＝x，解得：x＝140，答：这个多边形的每一个内角的度数为140°．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角，解题关键是设恰当的未知数，根据外角的意义列方程．22．已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，．（1）填空：________；________；________；（用，的式子表示）（2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可）【答案】（1）；；（或）；（2）图见解析，．【解析】（1）利用即可求出,首先根据已知可知，然后利用即可求出，利用即可求出；（2）首先根据已知可知，然后利用三角形法则即可求出．（1）．∵，，∴，∴．；（2）作图如下：∵，为的中点，∴．∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查向量的运算，掌握向量的运算法则是解题的关键．23．如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且．求证：（1）；（2）．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】（1）根据平行四边形的性质证得∠ABE=∠CDF，即可证得△ABE≌△CDF，由此得到结论；（2）根据△ABE≌△CDF，得到∠AEB=∠CFD，由此得到∠AED=∠CFB，由此得到AE∥CF.（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF；（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD，∴180°-∠AEB=180°-∠CFD，∴∠AED=∠CFB，∴AE∥CF.【点睛】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，内错角相等两直线平行的判定，熟练掌握各知识点并运用解决问题是解题的关键.24．已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，，DN∥CM，交边AC于点N．（1）求证：MN∥BC；（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想．【答案】（1）见解析；（2）当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．证明见解析．（1）证法一：取边BC的中点E，联结ME．∵BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．∴∠MEC=∠NCD．∵，∴．∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．∴△MEC≌△NCD．∴．又∵CM∥DN，∴四边形MCDN是平行四边形．∴MN∥BC．证法二：延长CD到F，使得，联结AF．∵，，∴．∵，∴MC∥AF．∵MC∥DN，∴ND∥AF．又∵，∴．∴MN∥BC．（2）解：当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．证明如下：∵MN∥BD，BM与DN不平行，∴四边形BDNM是梯形．∵∠ACB=90°，，∴．∵，∴BMDN．∴四边形BDNM是等腰梯形．25．如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF；（1）求证：；（2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）CF=，（1）中的结论不变．理由见解析．【解析】（1）延长EF交CD于M点，证明三角形CMF是等腰三角形，且∠EMC=120°，过点M作MN⊥CF，垂足为N，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，和勾股定理，得FN=NC=即CF=2FN=；（2）过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC，证明△DGN为等腰三角形，四边形GFNC为平行四边形即可．（1）如图１，延长EF交CD于M点，∵四边形AEFG和四边形ABCD是菱形∴DC//GF//AB,DM//GF∴四边形GFMD是平行四边形则∠D=∠EMC=120°，∴∠MFC=∠MCF=30°，过点M作MN⊥CF，垂足为N，∴MN=,根据勾股定理，得FN=，∵MC=MF，∴FN=NC，∴CF=2FN=；（2）如图2，过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC，∴△AGD≌△DNC(SAS）∴AG=NC∠DNC=∠AGD∴△DGN为等腰三角形，则∠DGN=∠DNG，∵∠NGF=360°-∠AGD-∠AGF-∠DGN=240°-∠DGA-∠DGN∠GNC=∠DNC-∠DNG=∠DNC-∠DNG∴∠NGF+∠GNC=240°-∠DGN-∠DNG,∵∠DGN+∠DNG=180°-∠GDN=60°∴∠NGF+∠GNC=180°∴NC//GF，∴四边形GFNC为平行四边形∴CF=GN，则GN=，∴CF=，结论（1）不变．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，三角形的全等，等腰三角形的性质，灵活构造辅助线是解题的关键．26．如图，已知正方形的边长为3，菱形的三个顶点E、G、H分别在正方形的边、、上，，连接．（1）当时，求证：菱形为正方形；（2）设，请用x的代数式表示的面积；（3）当时，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）；（3）60°【解析】（1）先求出，再判断出，得出，进而判断出，即可得出结论；（2）先判断出，进而判断出．得出，即可得出结论；（3）利用勾股定理依次求出，，，进而判断出，即可得出结论．解：（1）在正方形中，，．又，在和中，，，，，．，．所以菱形是正方形；（2）如图1，过点作交所在直线于，联结．，．，．，在和中，，．．．即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值1，；（3）如图2，当时，在中，，根据勾股定理得，；，在中，根据勾股定理得，，过点作于，在中，根据勾股定理得，，，为等边三角形．．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形．27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；（3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积．【答案】（1）见解析；（2）135°；（3）【解析】（1）根据有三个角是直角是四边形是矩形判定即可；（2）首先根据矩形的性质得出OD=OC，然后利用角平分线的定义得出△DCE是等腰直角三角形，进而得出△OCD是等边三角形，然后可得∠OCE=30°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠COE=∠CEO=75°，最后利用∠DOE=∠