专题03一元二次方程(考点剖析)-2018-2019学年浙江省八年级数学下学期期末必考点复习(浙教版)(原卷版+解析)2

专题03一元二次方程【考点剖析】1、一元二次方程的相关概念（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．注意：判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．（2）一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2、一元二次方程的解法（1）解一元二次方程-配方法将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．（2）解一元二次方程-公式法把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．（3）解一元二次方程-因式分解法因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3、根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．一元二次方程的定义【典例】例1．方程（m﹣3）（m﹣2）x+5＝0．（1）m为何值时，方程是一元二次方程；（2）m为何值时，方程是一元一次方程．【巩固练习】1．已知方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0．（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？2．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？一元二次方程的解【典例】例1．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，计算：a2﹣3a______．【巩固练习】1．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．32．m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子2m2+2m+2017的值为（）A．2016 B．2017 C．2018 D．20193．已知m是方程x2﹣2x﹣2019＝0的一个根，则2m2﹣4m的值等于（）A．2019 B．﹣2019 C．4038 D．﹣4038解一元二次方程【典例】例1．小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2﹣2x＝﹣1（第一步）x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步）（x﹣1）2＝0（第三步）x1＝x2＝1（第四步）（1）小明解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______________________；（2）请写出此题正确的解答过程．例2．解方程：（1）x（2x﹣1）+2x﹣1＝0；（2）3x2﹣6x﹣2＝0．【巩固练习】1．用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝16 C．（x﹣6）2＝2 D．（x﹣3）2＝22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25 B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100 C．2t2﹣7t﹣4＝0化为 D．3x2﹣4x﹣2＝0化为3．用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0时，此方程可变形为（）A． B． C． D．4．用适当方法解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）3x2﹣2＝4x．5．解下列方程：（1）2x2+4x﹣1＝0；（2）2x（x+2）＝x+2．6．用适当的方法解下列一元二次方程（1）3x2﹣10x+3＝0；（2）（2x﹣3）（x+1）＝（2﹣x）（x+1）．7．解方程：（1）（x﹣2）（x+4）＝6；（2）（x+1）2﹣9（x+3）2＝0．根的判别式【典例】例1．已知，关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x﹣a＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．例2．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【巩固练习】1．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤22．一元二次方程x2﹣3x+3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定3．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+4m+1＝0有两个相等的实数根，则m2﹣2m的值为__________．4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________________．5．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0总有实数根．（1）求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，当m在取值范围内取最小整数时，求原方程的解．根与系数的关系【典例】例1．若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，求下列代数式的值．（1）;（2）x12+x22;（3）（x1﹣x2）2;（4）;（5）（x1﹣2）（x2﹣2）;（6）（x1）（x2）．例2．关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0．（1）如果方程有实数根，求k的取值范围；（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝6+x1x2，求k的值．【巩固练习】1．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝2，x2＝4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．22．若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根．则x12x2+x1x22值为（）A．4 B．2 C．4 D．33．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2，x1•x2，请根据该阅读材料计算：已知x1、x2是方程x2+6x+3＝0的两实属根，则的值为（）A．10 B．8 C．6 D．44．已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．5．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，求k的值．专题03一元二次方程【考点剖析】1、一元二次方程的相关概念（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．注意：判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．（2）一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2、一元二次方程的解法（1）解一元二次方程-配方法将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．（2）解一元二次方程-公式法把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．（3）解一元二次方程-因式分解法因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3、根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．一元二次方程的定义【典例】例1．方程（m﹣3）（m﹣2）x+5＝0．（1）m为何值时，方程是一元二次方程；（2）m为何值时，方程是一元一次方程．【答案】见解析【解析】解：（1）∵关于方程（m﹣3）（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，∴m2﹣7＝2且m﹣3≠0，解得m＝﹣3．故m为﹣3时，方程是一元二次方程；（2）∵关于（m﹣3）（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程，∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1或m2﹣7＝0，解得m＝3或m＝±2或m＝±故m为3或±2或±时，方程是一元一次方程．【点睛】（1）根据一元二次方程的定义得到：m2﹣7＝2且m﹣3≠0，由此可以求得m的值；（2）由一元一次方程的定义得到：m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1，由此可以求得m的值．本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．注意，一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零．【巩固练习】1．已知方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0．（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？【答案】见解析【解析】解：（1）∵方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程，∴，解得：m＝±，所以当m为或时，方程方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程；（2）∵方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程，∴或m2＝1或m＝0，解得，m＝2或m＝±1，m＝0，故当m为2或±1时，方程方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程．2．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？【答案】见解析【解析】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，即当m≠±1时，方程为一元二次方程；（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元一次方程，∴m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，即当m为﹣1时，方程为一元一次方程．一元二次方程的解【典例】例1．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，计算：a2﹣3a______．【答案】0【解析】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，∴a2﹣3a+1＝0，则a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，所以原式＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点睛】由方程的解的定义得出a2﹣3a+1＝0，即a2﹣3a＝﹣1、a2+1＝3a，整体代入计算可得．本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义及整体代入思想的运用．【巩固练习】1．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【答案】C【解析】解：根据题意，将x＝﹣1代入x2﹣2x+m＝0，得：1+2+m＝0，解得m＝﹣3，故选：C．2．m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子2m2+2m+2017的值为（）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019【答案】D【解析】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，∴m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，∴2m2+2m+2017＝2（m2+m）+2017＝2+2017＝2019．故选：D．3．已知m是方程x2﹣2x﹣2019＝0的一个根，则2m2﹣4m的值等于（）A．2019 B．﹣2019 C．4038 D．﹣4038【答案】C【解析】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2﹣2m﹣2019＝0，则m2﹣2m＝2019，∴2m2﹣4m＝2（m2﹣2m）＝2×2019＝4038，故选：C．解一元二次方程【典例】例1．小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2﹣2x＝﹣1（第一步）x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步）（x﹣1）2＝0（第三步）x1＝x2＝1（第四步）（1）小明解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______________________；（2）请写出此题正确的解答过程．【答案】见解析【解析】解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，因为把方程两边都加上1时，方程右边为1．故答案为一；不符合等式性质1；（1）x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±，所以x1＝1，x2＝1．【点睛】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可；（2）先把方程两边加上1，再把方程两边加上1，利用完全平方公式得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程．本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．例2．解方程：（1）x（2x﹣1）+2x﹣1＝0；（2）3x2﹣6x﹣2＝0．【答案】见解析【解析】解：（1）x（2x﹣1）+2x﹣1＝0，（2x﹣1）（x+1）＝0，2x﹣1＝0，x+1＝0，x1，x2＝﹣1；（2）3x2﹣6x﹣2＝0，b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣2）＝60，x，x1，x2．【点睛】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．【巩固练习】1．用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝16 C．（x﹣6）2＝2 D．（x﹣3）2＝2【答案】D【解析】解：x2﹣6x+7＝0，x2﹣6x＝﹣7，x2﹣6x+9＝﹣7+9，（x﹣3）2＝2，故选：D．2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25 B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100 C．2t2﹣7t﹣4＝0化为 D．3x2﹣4x﹣2＝0化为【答案】A【解析】解：A、x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，所以A选项的配方错误；B、x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100，所以B选项的配方正确；C、2t2﹣7t﹣4＝0先化为t2t＝2，再化为，所以C选项的配方正确；D、3x2﹣4x﹣2＝0先化为x2x，再化为（x）2，所以D选项的配方正确．故选：A．3．用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0时，此方程可变形为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵x2+px+q＝0∴x2+px＝﹣q∴x2+pxq∴（x）2故选：B．4．用适当方法解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）3x2﹣2＝4x．【答案】见解析【解析】解：（1）x2+4x﹣1＝0，x2+4x＝1，x2+4x+4＝1+4，（x+2）2＝5，x1＝﹣2+，，x2＝﹣2；（2）3x2﹣2＝4x，3x2﹣4x﹣2＝0，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝40，x，x1，x2．5．解下列方程：（1）2x2+4x﹣1＝0；（2）2x（x+2）＝x+2．【答案】见解析【解析】解：（1）x2+2x，x2+2x+11，（x+1）2，x+1＝±，所以x1＝﹣1，x2＝﹣1；（2）2x（x+2）﹣（x+2）＝0，（x+2）（2x﹣1）＝0，x+2＝0或2x﹣1＝0，所以x1＝﹣2，x2．6．用适当的方法解下列一元二次方程（1）3x2﹣10x+3＝0；（2）（2x﹣3）（x+1）＝（2﹣x）（x+1）．【答案】见解析【解析】解：（1）∵a＝3，b＝﹣10，c＝3．∴b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4×3×3＝64x，所以x1＝3，x2；（2）（2x﹣3）（x+1）+（x﹣2）（x+1）＝0，（x+1）（2x﹣3+x﹣2）＝0，x+1＝0或3x﹣5＝0，所以x1＝﹣1，x2．7．解方程：（1）（x﹣2）（x+4）＝6；（2）（x+1）2﹣9（x+3）2＝0．【答案】见解析【解析】解：（1）x2+2x﹣14＝0，x2+2x+1＝15，（x+1）2＝15，x+1＝±，所以x1＝﹣1，x2＝﹣1；（2）[x+1﹣3（x+3）][x+1+3（x+3）]＝0，x+1﹣3（x+3）＝0或x+1+3（x+3）＝0，所以x1＝﹣4，x2．根的判别式【典例】例1．已知，关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x﹣a＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）证明：∵x2+（a﹣1）x﹣a＝0是关于x的一元二次方程，∴△＝（a﹣1）2+4a＝a2+2a+1＝（a+1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式得，x，∴x1＝1，x2＝﹣a，∵该方程有一个根是负数，∴﹣a＜0，∴a＞0．【点睛】（1）根据一元二次方程根的判别式即可得出结论；（2）利用一元二方程的求根公式求出两根，即可得出结论．此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式是解本题的关键．例2．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：依题意，得△＝（m﹣4）2﹣4（m﹣1）×（﹣3）＝m2﹣8m+16+12m﹣12＝m2+4m+4＝（m+2）2．∵（m+2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）∵（x+1）[（m﹣1）x﹣3]＝0，∴x1＝﹣1，，∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数，∴m﹣1＝1或m﹣1＝3，∴m＝2或m＝4．【点睛】（1）根据一元二次方程根的判别式，配方法，偶次方的非负性证明；（2）利用因式分解法解出方程，根据题意求出m．本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．【巩固练习】1．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2【答案】C【解析】解：根据题意得：△＝22+4（m﹣3）＝4+4m﹣12＝4m﹣8≥0，解得：m≥2，故选：C．2．一元二次方程x2﹣3x+3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定【答案】C【解析】解：∵△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝9﹣12＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，故选：C．3．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+4m+1＝0有两个相等的实数根，则m2﹣2m的值为__________．【答案】【解析】解：根据题意得：△＝（﹣2m）2﹣4＝4m2﹣8m﹣2＝0，整理得：4m2﹣8m＝2，等式两边同时除以4得：m2﹣2m，故答案为：．4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________________．【答案】k＞0且k≠1【解析】解：∵原方程是关于x得一元二次方程，∴k﹣1≠0解得：k≠1，又∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝4+4（k﹣1）＞0，解得：k＞0，即k得取值范围是：k＞0且k≠1，故答案为：k＞0且k≠1．5．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0总有实数根．（1）求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，当m在取值范围内取最小整数时，求原方程的解．【答案】见解析【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0总有实数根，∴m+1≠0且△≥0，即4m2﹣4（m+1）×（m﹣3）≥0，解得m，∴m的取值范围为m且m≠﹣1；（2）∵m的取值范围为m且m≠﹣1，∴m的最小整数为0，∴方程变形为：x2﹣3＝0，∴x＝±，根与系数的关系【典例】例1．若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，求下列代数式的值．（1）;（2）x12+x22;（3）（x1﹣x2）2;（4）;（5）（x1﹣2）（x2﹣2）;（6）（x1）（x2）．【答案】见解析【解析】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，∴x1+x2，x1x2．（1）3；（2）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×（）；（3）（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×（）；（4）；（5）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+424；（6）（x1）（x2）＝x1x2+22．【点睛】利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2和x1x2的值，然后把它们的值代入代数式可以求出代数式的值．本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系求出两根的和与两根的积，然后把两根的和与两根的积代入代数式求出代数式的值．例2．关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0．（1）如果方程有实数根，求k的取值范围；（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝6+x1x2，求k的值．【答案】见解析【解析】解：（1）根据题意得△＝（2k+1）2﹣4k2≥0，解得k，即k的范围为k；（2）根据题意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2，∵x12+x22＝6+x1x2，∴（x1+x2）2＝6+3x1x2，∴（2k+1）2＝6+3k2，整理得k2+4k﹣5＝0，解得k1＝1，k2＝﹣5，∵k，∴k的