期末考试压轴题考点训练（五）

期末考试压轴题考点训练（五）1．如图，等腰中，于，，为内一点，当最短时，在直线上有一点，连接．的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如下图以AC为边向外作正三角形ACF，以BF为边，B为顶点向∠MBC的外侧作∠FBG，使∠FBG=30°，过E作BG的垂线，垂足为H，过点C作BG的垂线，垂足为由∠FBG=30°，HE⊥BG知HE=∴下面计算∵AB=AC=2且∴；∵为内一点，当最短时∴M为△ABC的费马点由费马点的特点知BM与BF为同一条直线∵正三角形ACF∴∠CAF=60°又∴∠BAF=150°又AB=AC=AF∴∠ABF=15°又∠ABC=45°∴∠FBC=30°∴∠GBC=60°在RT△中∴的最小值为．故选：D．2．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（

）A．2 B．2.5 C．4 D．5【答案】B【详解】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，如图，∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，∵BD=BD，∴△BDG≌△BDC，∴BC=BG，CD=DG，∵BCAB=2，∴AG=BCAB=2，∵在△AGC中，GH⊥AC，∴△AGC的面积，∵AC=5，∴，∵在△AGH中，GH⊥AH，∴即∠GHA=90°，△AHG是直角三角形，斜边为AG，∴GH＜AG，∵AG=2，∴GH＜2，当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG，此时GH达到最大，∴则GH的最大值为2，∴△AGC的最大面积为：，∵CD=DG，∴D点为CG中点，∴，∴△ACD的最大面积为：，故选：B．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC为边向上作正方形BCDE，以AC为边作正方形ACFG，点D落在GF上，连结AE，EG．若DG＝2，BC＝6，则△AEG的面积为（）A．4 B．6 C．5 D．8【答案】D【详解】解：过点E作于点H，过点E作，垂足为，交的延长线于点在正方形中，，正方形中，，四边形是矩形在和中，三点同在一条直线上，四边形是矩形与中四边形是正方形设正方形的边长为则，（舍去）与中故选：D．4．如图，中，，，是边的中线，有，垂足为点E，交于点D，且平分交于N，交于H，连接，则下列结论：①；②；③；④；错误的有（）个．A．0个 B．1个 C．2个 D．4个【答案】A【详解】解：如图，过点C作交AD的延长线于K．∵，AH平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴故②③正确，∵∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵∴∵，∴，∴，∴，，故①④正确，因此，错误结论个数为0，故选A．5．如图，中，，点D在内部，且使得．则的度数为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】C【详解】如图，在内作，且使得，连，在和中，，，为等腰三角形，为等腰三角形，，，，为等边三角形，为等腰三角形，延长CE交AD于F点，故选：C．6．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，….若∠A＝70°，则∠Bn－1AnAn－1的度数为(

)A． B． C． D．【答案】C【详解】在△ABA1中，∵∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝∠A＝70°.∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1＝＝35°.同理，∠B2A3A2＝∠B1A2A1＝，∠B3A4A3＝∠B2A3A2＝，……∴∠Bn－1AnAn－1＝＝.故选C.7．如图所示，在和中，，，，连接、，将绕点旋转一周，在旋转的过程中，当最大时，______．【答案】6【详解】解：如图，将绕点A旋转一周，D的轨迹为以点A圆心，AD为半径的圆，过A作BD垂线交BD延长线于H，当最大时，AH最大，在旋转过程中，即时，AH取得最大值3此时直角三角形中，的面积为，如图，取取BD中点G，连接AG并延长至F，使得FG=AG，故答案为：6．8．2022年2月，北京冬奥会举行期间，某官方特许商品零售店有冬奥会吉祥物冰墩墩和雪融融两种商品（冰墩墩的价格高于雪融融的价格）深受广大市民的喜爱，导致“一墩难求”．该零售店试销第一天购进两种商品共10个，第二天购进两种商品共16个，第三天购进两种商品共26个，并且每天都能全部售完，结算后发现这三天的营业额均为3500元，两种商品的售价不变且均为整数，则冰墩墩的售价是______元．【答案】【详解】解：设冰墩墩的价格为每个元，雪融融的价格为每个元，第一天，第二天，第三天依次购买冰墩墩个，个，个，令则则可令则为整数，所以第一天购买9个冰墩墩，1个雪融融，第二天购买6个冰墩墩，10个雪融融，第三天购买1个冰墩墩，25个雪融融，解得：检验：，所以冰墩墩的价格为元.故答案为：元.9．如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______.【答案】【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小.设最小BF的解析式为y=kx+b，则有解得∴直线BF的解析式为y=x2，令y=0，得到x=2.∴Q（2.0）故答案为（2，0）.10．如图，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为_________【答案】【详解】解：如图，过点F作FH⊥BC，连接DF，设AF=x，则BF=4－x，∵EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，∴DF=AF=x，∵，∴，∵FD≥FH，∴，解得：，∴AF最小值是，∴BF的最大值是．故答案为：．11．已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；（3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB，∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴∠ODH＝∠ODF，∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA），∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点，点，且a、b满足．(1)求a，b的值：(2)以AB为边作，点C在直线AB的右侧且，求点C的坐标；(3)若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作交x于点F．①求证；②直接写出点C到DE的距离．【答案】(1)，；(2)或；(3)①见解析；②1【详解】（1）解：，，，，，，；（2）由（1）知，，，，，，是直角三角形，且，只有或，Ⅰ、当时，如图1，，，过点作于，，，，在和中，，≌，，，，，Ⅱ、当时，如图2，同Ⅰ的方法得，；即：满足条件的点或；（3）①如图3，由（2）知点，过点作轴于点，则，在和中，，≌，，，，，，，在和中，，≌，，；②点到的距离为1．如图4，过点作于点，过点作于点，由①知，，，，，，，≌，，．13．如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中：（1）如图2，当________时，；当______时，；（2）如图③，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点M、N时；①与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由；②若使得，求出、的度数，并直接写出此时的度数；③若使得，求的度数范围．【答案】（1）15°，105°；（2）①不变，60°；②∠1＝40°，∠2＝20°，∠α=85°；③69°≤α＜90°【详解】解：（1），当时，，而，，解得；当时，，此时，，解得；故答案为，；（2）①与度数的和不变．连接，如图3，在中，，，在中，，即，；②根据题意得，解得；，即，；③，，，，，即，，，解得，的度数范围为．14．已知中，（1）如图1，点E为的中点，连并延长到点F，使，则与的数量关系是________．（2）如图2，若，点E为边一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．（3）如图3，点D在内部，且满足，，点M在的延长线上，连交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【详解】证明：（1）由题意可得：在和中∴∴（2）过点A引交于点F，如下图：由题意可得：，且则又∵∴平分，∴∴在和中∴∴在和中∴。∴（3）证明：过点作交的延长线于点，，在上取一点，使得，连接，如下图：∵∴∵，∴∴，∵∴∵∴∴∴∵∴∵∴∵∴又∵∴∴∴∴∴∵∴15．已知：如图四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°．（1）如图1，若点E，F分别在边BC、CD上，延长线段CB至G，使得BG＝DF，若BE＝4，BG＝3，求EF的长；（2）如图2，若点E，F分别在边CB、DC延长线上时，求证：EF＝DF﹣BE；（3）如图3，如果四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝8，DC＝12，CF＝6，请你直接写出BE的长．【答案】（1）EF＝7；（2）见解析；（3）BE＝【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠D＝∠ABC＝90°，∵AB＝AD，∠D＝∠ABG，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠GAE，∴∠GAE＝∠EAF，又∵AG＝AF，AE＝AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝GE，∴EF＝GE＝BE+BG＝4+3＝7；（2）如图2，在DF上截取DM＝BE，∵AD＝AB，∠ABE＝∠ADM＝90°，DM＝BE，∴△ABE≌△AD